Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ ôn thi đại học và ôn thi học sinh giỏi cực hay

PHƯƠNG PHÁP DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. Một số kiến thức cần nhớ: I.1. Một số hằng đẳng thức hay sử dụng: + + + … + Sử dụng những hằng đẳng thức này, ta có thể quy phương trình vô tỉ ban đầu về dạng phương trình tích bằng việc làm xuất hiện các nhân tử chung. Từ đó ta có thể dễ dàng giải quyết tiếp Thường thì ở các bài toán sử dụng phương pháp này thì ý tưởng tổng quát của ta như sau: Giả sử nếu ta có phương trình dạng với xác định trên một miền D nào đó và ta nhẩm được một nghiệm x = a của phương trình thì ta có thể biến đổi phương trình đã cho lại thành . Đến đây ta chỉ việc xử lí phương trình G(x) = 0 nữa là ổn (Việc xử lí phương trình G(x)= 0 có thể sử dụng công cụ đạo hàm hoặc bằng bất đẳng thức). II. Các ví dụ minh họa: Sau đây, để làm rõ thêm nội dụng và ý tưởng của phương pháp, mời các bạn cùng thử sức với các ví dụ sau: II.1. Các bài toán mở đầu Các bạn hãy thử sức mình với các bài toán này trước nhé Bài toán 1: Giải phương trình sau: Bài toán 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) II. 2. Bài tập minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Ta dự đoán được nghiệm , và ta viết lại phương trình như sau: Mặt khác, ta có: Nên phương trình thức hai vô nghiệm. Vậy (1) có 2 nghiệm . Ví dụ 2: Giải phương trình sau (2) Giải: Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta có nhận xét rằng: và Ta đi đến lời giải như sau: (2) Mặt khác, ta có: > 0 với mọi x Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2. Ví dụ 3: Giải phương trình (3) Giải: Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử . Ta viết lại như sau: (4) Để ý rằng hai phương trình và vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có: Pt () Đến đây ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: bình phương hai vế… Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm . Ví dụ 4: Giải phương trình Giải: Phương trình đã cho tương đương với:

1. Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai

2. Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai

3. Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau

4. Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn

Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình)

Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phương pháp để giải

Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập

1 bÊt ph−¬ng tr×nh chøa mét c¨n bËc hai

VÝ dô 1: (Đề thi đại học − Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

x −3x 2x −3x− ≥2 0, x∈ℝ

Đánh giá và định hướng thực hiện: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng

AB ≥ 0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

f (x) g(x) ≥0, với f(x) và g(x) có nghĩa

g(x) 0

.g(x) 0

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

2

x 1+ ≥ 2(x ư1), x∈ℝ

Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trỡnh bậc hai ư Giải được

HOẠT ĐỘNG 2: Giải các bất phương trình:

2

a x −3x 10− < −x 2, x∈ℝ.2

Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:

− Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của bất phương trình

− Biến đổi bất phương trình về dạng:

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 3x2− 1 ≥ 0 tức x 1 ,

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞)

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞)

HOẠT ĐỘNG 3: Giải bất phương trình:

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách:

Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:

ư VP là hàm đồng biến

ư VT là hàm nghịch biến

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = ư2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [ư2; 1]

Giải

Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Bất bất phương trình tương đương với:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [ư2; 1]

Cỏch 2: Với điều kiện 1 ư x3≥ 0 tức x ≤ 1, ta biến đổi bất phương trỡnh về dạng:

ư 3 ư ≤ +

3 3

1 x 3 ⇒ x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ư2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [ư2; 1]

Cỏch 3: Với điều kiện x ≤ 1 nhận xột:

VP là hàm đồng biến

VT là hàm nghịch biến

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = ư2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [ư2; 1]

Nhận xét: Như vậy, để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn

một trong các cách:

Cách 1: Biến đổi tương đương Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 rồi

chuyển bất phương trỡnh về dạng tớch (x ư x0)h(x) bằng phộp nhõn liờn hợp, bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhận

được cách giải hay

Cách 2: Đặt ẩn phụ Một hoặc nhiều ẩn phụ

Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số Sử dụng đạo hàm

Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

2

2 2

) x a ( x a

0 x a

0 x a

a x

a x a

a x

Vậy, nghiệm của bất phương trình là ư a ≤ x ≤ 0 hoặc x = a

0 t

0 t cos

0 t cos a

0 x a

Vậy, nghiệm của bất phương trình là ưa ≤ x ≤ 0 hoặc x = a

HOẠT ĐỘNG 5: Giải bất phương trỡnh:

f(x) g (x) (*)Cỏc em học sinh cần biết đỏnh giỏ tớnh giải được của bất phương trỡnh (*)

Ví dụ 6: Giải bất phương trình:

+ > ư ∈ℝ2x 1 1 x, x

Đánh giá và định hướng thực hiện: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trỡnh bậc hai ư Giải được

Ngoài ra, phương trỡnh cũn được giải theo cỏc cỏch khỏc:

Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển bất phương trỡnh về dạng tớch (x ư x0)h(x) bằng phộp nhõn liờn hợp Cụ thể:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = 0

Vậy, tập nghiệm của bất phương trỡnh là (0; +∞)

Giải

Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Bất phương trỡnh tương đương với:

2x 1 0(I) :



Ta lần lượt:

Giải (I) ta được:

1x2

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trỡnh là (0; +∞)

Cỏch 2: Với điều kiện 2x + 1 ≥ 0 tức x 1

2

≥ ư , ta biến đổi bất phương trỡnh về dạng:

( 2x 1 1+ − + >) x 0 ⇔ + − + >

+ +

2x 1 1

x 02x 1 1

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +∞)

HOẠT ĐỘNG 6: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

Gi¶i

Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

2

Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):

Và hệ (II) có dạng:

1x

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (−∞; 0]

HOẠT ĐỘNG 7: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t= x2−3x 6, t+ ≥0

Nhẩm nghiệm x 0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp Cụ thể:

− Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình

− Biến đổi phương trình về dạng:

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2]

HOẠT ĐỘNG 8: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

≥+

011x

01

( )

2x 2x 1 1

2x 22x 1 1 2x 1 1

+ +

> ++ − + + ⇔ 2x 1 1+ + >2x+2

ℝ

VÝ dô 10: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

2 2

4x

2x 2, x (1 1 2x ) < + ∈

HOẠT ĐỘNG 10: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

2x

x 21, x (3 9 2x ) < + ∈

4x

2 2

4x

x −4 > 45 ⇔ 2x4

x −4 + 4.

2 2

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x ≥ 0

HOẠT ĐỘNG 12: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

x2 + 4x ≥ (x + 4) x2−2x+4

2 bÊt ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n bËc hai

VÝ dô 13: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

Tíi ®©y, ta sÏ nhËn ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng c¬ b¶n

Ngoµi ra, còng cã thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p hµm sè

Gi¶i

Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (0; +∞)

HOẠT ĐỘNG 13: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh:

( x 2 1ư ư +) ( x2ư ư >5 2) 0 ⇔ ư ư + ư ư >

2 2

VT là hàm đồng biến

VP là hàm hằng

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = 3

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (3; +∞)

HOẠT ĐỘNG 14: Giải bất phương trình:

Câu hỏi được đặt ra là ẩn phụ kiểu gì ?

ẩn phụ dễ nhận thấy nhất là t= x (t 0)≥ và khi đó ta nhận được bất phương trình dạng:

t ư4t + ≥ ư + ư1 t 3t 1

Trong trường hợp này cần phải giải một bất phương trình cao hơn 2

Từ việc đánh giá hệ số và x hoàn toàn được đưa vào căn bậc hai nên nếu chia cả hai vế của phương trình cho x >0 sẽ thấy xuất hiện x 1

x+ và 1

Trường hợp 1: Bất phương trình (1) đúng khi:

Nhận xét rằng x = 0 là nghiệm của bất phương trình

Với x > 0, biến đổi bất phương trình về dạng:

xx

2x

⇔ + ≥ u x 0u 1 5

= >

⇔ 2u2ư 5u + 2 ≥ 0

u 21u2

Đánh giá và định hướng thực hiện: Biến đổi bất phương trình về dạng:

v

0 x

v

0 x

≥ +

2 2

u

0 v u

0 ) v u (

0 v u

0 2 x

ư

≥

0 4 x 5 x

2 x

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x = 4

HOẠT ĐỘNG 16: Giải bất phương trình:

2

a 2x +12x+ ư6 2x 1ư > +x 2, x∈ℝ

2

b 2x ư10x 16+ ư x 1ư ≤ ưx 3, x∈ℝ

Ví dụ 17: (Đề thi đại học ư Khối A năm 2010): Giải bất phương trình:

giải nó chúng ta cần có những đánh giá dần như sau:

Nhận xét về dấu của Q(x) đề chuyển bất phương trình về dạng:

Hướng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương:

Và với hướng này cần có kinh nghiệm tốt trong việc biến đổi đại số

Hướng 2: Sử dụng ẩn phụ t= x (t 0)≥ và phép biến đổi tương đương giống

như hướng 1 để nhận được một bất phương trình bậc 4 theo t

Hướng 3: Sử dụng ẩn phụ t là tổ hợp của x và phép biến đổi tương đương

giống như hướng 1 để nhận được một bất phương trình bậc 2 theo t

Cụ thể trong bài toán này chúng ta sẽ đặt t 1 x

x

Hướng 4: Sử dụng phương pháp đánh giá (nếu có thể) Cụ thể trong bài toán

này chúng ta sử dụng bất đẳng thức 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 bởi ta có biến đổi:

Cách 1: Biến đổi tiếp (1) về dạng:

HOẠT ĐỘNG 17: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

| a a ax

2

a 2

| a a ax 2

a a ax 2

0 a ax

⇔ 2

a ≤ x ≤ a

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm

2

a ≤ x ≤ a

HOẠT ĐỘNG 18: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

3 bÊt ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n cã bËc kh¸c nhau

VÝ dô 19: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x > 9 hoÆc 0 < x < 1

HOẠT ĐỘNG 19: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

3

2 3x− +2 3 6 5x− − <8 0, x∈ℝ

4 bÊt ph−¬ng tr×nh chøa nhiÒu c¨n bËc hai

VÝ dô 20: (Đề thi đại học − Khối A năm 2005): Giải bất phương trình:

Bước 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:

Kết hợp với (*), ta được nghiệm của bất phương trình là 2 ≤ x < 10

HOẠT ĐỘNG 20: Giải bất phương trình:

7 x

Nhận thấy nhân tử chung x 1ư , nên ta sẽ thực hiện theo các bước:

Bước 1. Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình

HOẠT ĐỘNG 21: Giải bất phương trình:

Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì

chưa khẳng định được dấu của hai vế

Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiện thí dụ trên, cụ thể:

(x ư 1)( 2x 1ư ư 3) ≤ 0

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [5; 14)

b Bất phương trình tương đương với hệ:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Với điều kiện 4x2− 1 ≥ 0 tức x 1

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞)

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−1; 3)

Cách 2: Với điều kiện x + 1 ≥ 0 tức x ≥−1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−1; 3)

3

x 4 3 2 hoac 1 x 4 3 2

⇔ ≤ ≤ +1 x 4 3 2

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ 1; 4 3 2 + 

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

x 27x9

⇔ x > 2

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (2; +∞)

Cách 2: Với điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x≥ −2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞)

HOẠT ĐỘNG 5: Ta cú thể trỡnh bày theo cỏc cỏch sau:

Cỏch 1: Đặt x = |a|tgt, với t ∈ ( ư

2

π, 2

| a

| Khi đó, bất phương trình có dạng:

|

t cos

a2 ⇔ 1 ≤ sint + 2cos2t ⇔ 2sin2t ư sint ư 1 ≤ 0

|

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x ≥ ư

3

| a

0 a x

0 a x

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

|

| x

|

| a

|

| x

|

| a

|

| x

|

0

x ≥

⇔ x ≥ 0

NÕu x < 0, th× (2) ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng:

0 a x

2 2 2 2 2 2

2 2

| x 3

| a

|

| a

| x

| a

| ≤ x < 0

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ≥ −

3

| a

|

HOẠT ĐỘNG 6: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

x 2 0(I) :

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞)

Cách 2: Với điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x≥ −2, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

VP là hàm nghịch biến

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞)

HOẠT ĐỘNG 7: Bất phương trình tương đương với:

1(I) : x 0

− ≤ ≤ Và dễ thấy hệ (II) vô nghiệm

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là ; 1

HOẠT ĐỘNG 8: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (−4; 1)

HOẠT ĐỘNG 9: §iÒu kiÖn:

1 x 0

0 x 2

x 4 1 1 ( − − 2 + − 2 < 3(1 + 1 − 4 x 2)

2

) 3 x 4 ( ) x 4 1 ( 9

0 3 x 4

0 x 4 1

0 3 x 4

3 x 2

1

| x

| 4

3 x

0 x 2

0 x 1

3

1 x

) x 3 1 ( x 4 1

0 x 3 1

0 x 4 1

0 x 3 1

1 x

2

1 x 2 1 3

1 x

2

1 x 3

−

≥ +

0 x 9

3

0 x

9

x2

+

− +

x 9 3 x 9

x2

+

− + < x + 21

Khi đó bất phương trình có dạng:

2 2

) x 2 9

2

9, 2

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (3; +∞)

b Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

VP là hàm đồng biến

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm cú hoành độ x = ư1

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [ư1; 3)

HOẠT ĐỘNG 14: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (1; 2)

Viết lại phương trình dưới dạng:

5( x +

x 2

1 ) < 2(x +

x 4

Đặt t = x +

x 2

1 , ta có nhận xét:

x +

x 2

1 Côsi

≥ 2

x 2

1

Mặt khác:

t2 =

2

x 2

1 + 1 ⇒ x +

x 4

2

⇔ t > 2 ⇔ x +

x 2

2

2 2 X

2 2 x

3 x 0

2 2

3 x

0 1

x

0 6 x 12

v

0 1 x

2 2

u

0 v u

0 ) v u (

0 v u

1 x

Suy ra, để u ≠ v, ta phải có x ∈ [

2

1, + ∞) \ {1, 5}

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x ∈ [

2 1

; +∞) \ {1; 5}

b Hướng dẫn: Viết lại bất phương trình dưới dạng:

2

) 3 x ( 2 ) 1 x

(

Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ u = x ư 1 và v = x ư 3

HOẠT ĐỘNG 18:

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Viết lại bất phương trình dưới dạng:

1 1 x 2 1

0 1 1 x

2

3 1 x 2

0 1 1 x

Với x − 2 < 0 tức x < 2 thì:

9(1) 2(2 x) 2x

Suy ra (1) nghiệm đúng với mọi x

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ [1; +∞)

b Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

x

0 1 x

x

0 1

x

2 2

x

0 1 x

x

0 1

x

2 2

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x = 1

HOẠT ĐỘNG 20: §iÒu kiÖn:

06

x

07

x

⇔ x ≥

76

Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ:

 ⇔ư1 ≤ x < 3

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là [ư1; 3)

Cách khác: Với điều kiện x ≥ư1, biến đổi bất phương trình về dạng: