Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD . Các đường thẳng AC và AD có phương trình và , đường thẳng BD đi qua diểm . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải Vì AC cắt AD tại A nên tọa độ điểm A thỏa mãn: . Gọi d là đường thẳng đi qua M song song với AD. Đường thẳng d’ có phương trình: Gọi N là giao điểm của d và AC. Tọa độ điểm N thỏa mãn . Gọi E là trung điểm MN . Gọi là đường thẳng đi qua E vuông góc với AD. Đường thẳng có phương trình . Đường thẳng cắt AC tại I thì I là tâm hình chữ nhật. Tọa độ I thỏa mãn . Vì C đối xứng với A qua I, suy ra . Đường thẳng cắt AD tại K thì K là trung điểm của AD. Tọa độ K thỏa mãn . Vì D đối xứng với A qua K nên . Ta lại có B đối xứng với D qua I nên ta có : . Vậy, . Bài 2 .(KA2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của của hai đường chéo AC và BD . Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng có phương trình x+y5=0 . Viết phương trình đường thẳng AB. Giải Vì E thuộc d suy ra E(t;5t) . Gọi F là điểm đối xứng với E qua I thì F thuộc AB và F(12t;t1 ). Khi đó : Theo tính chất hình chữ nhật : Với ta có . Đường thẳng AB qua M(1;5) có là chỉ phương nên có phương trình . Với ta có . Đường thẳng AB qua M(1;5) có là chỉ phương nên có phương trình .
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng Vectơ u đgl vectơ phương đường thẳng giá song song trùng với Nhận xét: – Nếu u VTCP ku (k 0) VTCP – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng Vectơ n đgl vectơ pháp tuyến đường thẳng giá vng góc với Nhận xét: – Nếu n VTPT kn (k 0) VTPT – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT – Nếu u VTCP n VTPT u n Phương trình tham số đường thẳng Cho đường thẳng qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u (u1; u2 ) Phương trình tham số : x x0 tu1 y y0 tu2 (1) ( t tham số) x x0 tu1 Nhận xét: – M(x; y) t R: y y0 tu2 u – Gọi k hệ số góc thì: k = , với u1 u1 Phương trình tắc đường thẳng Cho đường thẳng qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u (u1; u2 ) x x y y0 (2) (u1 0, u2 0) u1 u2 Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc Phương trình tổng qt đường thẳng PT ax by c với a2 b2 đgl phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu có phương trình ax by c có: VTPT n ( a; b) VTCP u ( b; a) u (b; a) – Nếu qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT n ( a; b) phương trình là: Phương trình tắc : a( x x0 ) b( y y0 ) qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): Phương trình : x y a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn ) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình : y y0 k ( x x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1y c1 2: a2 x b2 y c2 Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình: a1 x b1y c1 (1) a2 x b2 y c2 1 cắt 2 hệ (1) có nghiệm “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde a1 b1 a2 b2 Trang (nếu a2 , b2 , c2 ) Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng 1 // 2 hệ (1) vô nghiệm a1 b1 c1 (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 c2 1 2 hệ (1) có vơ số nghiệm a1 b1 c1 (nếu a2 , b2 , c2 ) a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1y c1 (có VTPT n1 (a1; b1 ) ) 2: a2 x b2 y c2 (có VTPT n2 (a2 ; b2 ) ) (n , n ) (n1 , n2 ) 90 (2 ) 1 , 180 (n1 , n2 ) (n1 , n2 ) 90 ) cos( ) n1.n2 cos(1 , 2 n1 , n2 n1 n2 Chú ý: a1b1 a2 b2 2 2 a1 b1 a2 b2 1 2 a1a2 b1b2 Cho 1: y k1 x m1 , 2: y k2 x m2 thì: + 1 // 2 k1 = k2 + 1 2 k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c điểm M0 ( x0 ; y0 ) d ( M0 , ) ax0 by0 c a2 b2 Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) – M, N nằm phía (ax M byM c)(ax N byN c) – M, N nằm khác phía (ax M byM c)(ax N byN c) Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1y c1 2: a2 x b2 y c2 cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2 là: a1 x b1y c1 2 a1 b1 a2 x b2 y c2 2 a2 b2 II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x a)2 ( y b)2 R Nhận xét: Phương trình x y ax by c , với a2 b2 c , phương trình đường t rịn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 b2 c Phương trình tiếp tuyến đường trịn Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng tiếp xúc với (C) d ( I , ) R III PHƯƠNG TRÌNH ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c (c > 0) M ( E ) MF1 MF2 2a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 2c : tiêu cự “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Phương trình tắc elip x2 y2 1 (a b 0, b2 a2 c2 ) a b Toạ độ tiêu điểm: F1 (c; 0), F2 (c; 0) Với M(x; y) (E), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1 a c c x , MF2 a x a a Hình dạng elip (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng A1 (a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b) Toạ độ đỉnh: Độ dài trục: trục lớn: A1 A2 2a , trục nhỏ: B1B2 2b c (0 < e < 1) a Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x a, y b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) a Phương trình đường chuẩn i ứng với tiêu điểm F i là: x e MF1 MF2 e Với M (E) ta có: (e < 1) d ( M , 1 ) d ( M , 2 ) Tâm sai (E): e B BÀI TẬP I VỀ TAM GIÁC Cần nắm: 1 aha bhb chc 2 Về diện tích : Chủ yếu sử dụng hai cơng thức : 1 S ab.sin C bc.sin A ca.sin B 2 2 Các khái niệm Trực tâm giao ba đường cao Trọng tâm g iao ba đường trung tuyến Tâm đường tròn ngoại tiếp giao ba đường trung trực Tâm đường t ròn nội tiếp giao ba đường phâ n giác Tính chất trọng tâm : A Trọng tâm tam giác chia đường trung tuyến thành ba AG AM phần , cách đỉnh hai phần cách đáy phần G S B Tính chất đư ờng phân giác : Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng DB AB AB DB DC DC AC AC M C A B D C Bài toán tam giác :Một số lưu ý: Khi giả thiết toán cho đường cao, nghĩ đến khai thác quan hệ vng góc Khi giả thiết tốn cho trung tuyến, nghĩ đến khai thác quan hệ trung điểm Khi giả thiết toán cho đường phân giác, nghĩ đến khai thác quan hệ đối xứng Bài 1.(KB-2011- CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x y d: 2x-y-2=0 Tìm tọa độ điểm N thuộc d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng M thỏa mãn : OM.ON=8 Giải +/ Vì M nên M a; a Vì N thuộc d nên N b; 2b +/ Đường thẳng ON cắt M O,M,N thẳng hàng : OM kON k “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng a 2k a kb a kb 2k (1) a k 2b kb k 2b b k ả thiết : OM ON OM 2ON 64 +/ Theo gi 2 a a b 2b 64 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 2k 2k 2 2k 2k 64 k2 8k 48k 80 64k 2 y : 2x y O d:x-y-4=0 M -2 x N -4 k 6k 10 k k k k 10 k 5k 10 k Với k b N 0; 2 Với k b 6 2 N ; 5 5 6 2 Vậy, N 0; 2 N ; 5 5 Bài 2.(KB-2011-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B( ;1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC,CA,AB tương ứng diểm D,E,F Cho D(3;1) đường thẳng EF có phương trình y Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương Giải A d ình đường thẳng BD là: y Phương tr AF AE Do đó, BD//EF Suy mà AE AF (theo tính chất F E y=3 AB AC tiếp tuyến từ điểm nằm ngồi đường trịn kẻ đến đường trịn) nên ta có AB AC Vậy , tam giác ABC cân A y=1 Suy D trung điểm BC B( ;1 ) C Đường thẳng AD qua D vng góc với EF có phương trình D(3;1) x 3 Vì F thuộc đường thẳng y suy tọa độ có dạng : F a;3 Theo tính chất tiếp tuyến từ điểm nằm ngồi đường trịn kẻ đến đường trịn ta có : 2 a 1 1 5 BD=BF a 22 a a 2 2 a +) Với a 1 F 1;3 Suy đường thẳng BF có phương trình x y Ta có A giao điểm AD BF nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x x 7 Suy A 3; 3 4 x y y +) Với a F 2;3 Suy đường thẳng BF có phương trình x y Ta có A giao điểm AD BF nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x x 7 13 13 13 Suy A 3; Vậy, A 3; A 3; 3 3 3 4 x y y “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Bài (KD-2011-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) đường thẳng chứa đường phân giác góc A có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh A C Giải Đặt d : x y A Gọi M ( x; y ) trung điểm AC Với G trọng tâm tam giác ABC BG 2GM (1) M Ta có : M(x;y) GM x 1; y 1 BG 5;0 nên: 5 x 1 x 7 (1) M ;1 2 0 y 1 y 1 D G(1;1) C B(-4;1) Gọi D điểm đối xứng với B qua đường phân giác d Ta có D AC Đường thẳng BD qua B vng góc với d nên có phương trình : x y Gọi I trung điểm BD, tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình : x y x 1 Suy ra, I 1; 2 Do đó, D 2; 5 x y 1 y 2 Đường thẳng AC qua D M nên có phương trình x y 13 d 4 x y 13 x Vì A giao điểm d AC nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình: x y 1 y Suy A 4;3 x AC nên C Vì M trung điểm C 3; 1 yC 2.1 1 Vậy, A 4;3 , C 3; 1 Bài 4.(KA-2010-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1 : 3x y d : 3x y Gọi (T) đường t ròn tiếp xúc với d1 A cắt d B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T) , biết điểm A có hồnh độ dương Giải Ta có hai đường thẳng d1 , d cắt O 0;0 Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến n1 3;1 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n2 3; 1 tam giác ABC có diện tích 3 1 d1 d2 A I C 2.2 B Góc tạo hai đường thẳng d1 , d 600 O Do ta có BOA 600 Ta có tam giác ABC vuông B suy AC đường kính Mặt khác đường trịn (T) tiếp xúc với d1 A , AC d1 A Ta có: cos d1 ; d OA tam giác vuông OAC: AC OA.tan 600 OA 3 Hay : OA2 OA (1) AB AC sin 600 OA 3OA 2 2 3 Xét tam giác vuông OAB: AB OA.sin 600 Từ giả thiết : S ABC “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Do A thuộc d1 A t ; 3t OA2 t 3t 4t Từ (1) , suy ra: A ; 1 Đường thẳng AC qua A vng góc với d1 nên có phương trình 4t t 3 Vì A có hồnh độ dương nên t 3x y Vì C giao điểm AC d nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: 3x y x ; 2 C 3x y y 2 3 Gọi I, R tâm bán kính đ ường trịn (T) Ta có I trung điểm AC I ; 2 1 R AC 2 2 3 Vậy, phương trình đường trịn (T) : x y 1 3 Bài (KA-2010-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6) ; đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình : x y Tìm tọa độ đỉnh B C biết điểm E 1; 3 nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Giải A(6;6) Đặt d : x y Gọi D trung điểm BC, H trung điểm AD d:x+y-4=0 Ta có: AD BC (Vì tam giác ABC cân) H d Đường thẳng AD qua A(6;6) vng góc với d nên có phương trình: H E(1;-3) x y Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình: B D C x y x H 2; D 2; 2 (Vì H trung x y y điểm AD) Đường thẳng BC qua D(-2;-2) song song với d nên có phương trình: x y Điểm B thuộc BC suy B t ; t Vì D trung điểm củ a BC nên C 4 t ; t Ta có : CE t ; 3 t ; AB t 6; t 10 Vì E nằm đường cao kẻ từ C CE AB t t t t 3 t 10 2t 12t t 6 Với t B 0; 4 ; C 4;0 Với t 6 B 6; ; C 2; 6 Vậy, B 0; 4 ; C 4;0 B 6; ; C 2; 6 Bài 6.(KD-2010-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định tạo độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương Giải * Cách 1.Phương trình đường thẳng AH x Gọi D giao điểm AI với đường tròn ngoại tiếp Suy I trung điểm AD Gọi M giao điểm HD BC Vì tứ giác BHCD hình bình hành nên M trung điểm BC “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Xét tam giác ADH có IM đường trung bình Suy IM AH M 2;3 Do Đường thẳng BC qua M vng góc với AH nên có phương trình y Gọi C m;3 BC , C có hoành độ dương : m A H Vì M trung điểm BC nên B 4 m;3 Ta có : BH m; 4 , AC m 3;10 Do BH đường cao BH AC BH AC m m 3 40 I B C M D m 2 65(l ) m 4m 61 Vậy, C 2 65;3 m 2 65(n) * Cách Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA : Với IA 7 2 A 74 C : x y 74 Phương trình AH : x BC AH suy (BC) có dạng y a ( a 7) (vì (BC) khơng qua A) Do tọa độ B,C thỏa mãn phương trình : x a 74 x x a 74 (1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm đương khi: a 74 a 70 H I C B Do C có hồnh độ dương từ (1) ta có: B 2 74 a ; a ; C 2 74 a ; a Vì AC BH AC.BH 74 a 74 a a 1 a a 7(l ) a 4a 21 Vậy C 2 65;3 a 3(n) Bài (KD-2010-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0;2) d đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vng góc A d Viết phương trình đường th ẳng d , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Giải Gọi H a; b hình chiếu vng góc A d y d Gọi K,E hình chiếu H lên trục Ox, Oy A(0;2) Ta có: K a;0 , E 0; b H E Xét tam giác AEH vng E ta có: O AH AE EH b a K x Mặt khác, ta có: AH HK b (gt) Do đó: b a b a 4b (1) Vì tam giác OAH vng H nên H nằm đường trịn (C) có đường kính OA , có tâm I (0;1) trung OA điểm OA bán kính =1 (C) có phương trình : x y 1 từ suy : 2 2 a b 1 a b 2b (2) a 4b b 2b Từ (1) (2) ta có hệ : 2 a b 2b a b 2b “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Suy H Chuyên đề: Giải tích phẳng Vậy có hai đường thẳng d: 1 x 2; H 2 y : 2; 1 x 2y Chú ý : Ta cịn có cách giải khác : Gọi H a; b hình chiếu vng góc A d Gọi K,E hình chiếu H lên trục Ox, Oy Xét tam giác vng OAH ta có : OA2 OH AH a b b a 2b (1) ( AH=HK ) Xét tam giác vuông AEH : AH AE EH b b a (2) Từ (1) (2), ta có: a 2b b b 2 2b b 2b 2 2 2 a 2b b b a a 2b b 1 Từ b 2b b 1 y A(0;2) E * Với : b thay vào a 2b Suy : a 2 Do đó: H 12 2; H 2 d H O K 52 x 2; * Với : b 1 thay vào a 2b 12 4 (vô nghiệm ) +/ Ta có kết Bài (KB-2010-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vng A có đỉnh C(-4;1) , phân giác góc A có phương trình x y Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Giải A Đặt d : x y Gọi C' điểm đối xứ ng C qua phân giác d C' phải nằm AB tam giác AC'C vuông cân A 450 450 Gọi d' đường thẳng qua C(-4;1) vng góc với d B Phương trình đường thẳng d’ : x y Gọi H hình chiếu vng góc C lên d tọa độ H nghiệm hệ : C' H d:x+y-5=0 C(-4;1) x y x H 0;5 x y y C' đối xứng với C qua H suy C'=(4;9) Vì A nằm d suy A a;5 a Do hoành độ A dương a Ta có : CH 42 42 32; AC a 4 a 4 2 a 16 Xét tam giác AHC vng cân H ta có: AC HC a 16 32 a 16 32 a 16 a ( a ) Với a suy A(4;1) Đường thẳng AC' qua A(4;1) có nhận AC ' 0;8 làm vectơ phương nên có phương trình t ham số x y 1 t Vì B thuộc AC' suy B(4;1+t) AB 02 t t Và AC 82 02 “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng t 6 B(4; 5) AB AC 48 t t t B 4;7 Do AB, AC ' hướng suy : với B(4;-5) AB 0; 6 , AC ' 0;5 Hai véc tơ ngược hướng cho nên B(4;-5) loại Vậy B(4;7) đường thẳng BC qua B(4;7) có véc tơ phương BC 8; 6 nên có +/ Từ giả thiết : S ABC 24 phương trình: x y 16 Chú ý Bài cịn có cách giải khác x y 1 Vì C' đối xứng với C qua d: x+y-5=0 suy C'(x;y) thỏa mãn : x y C ' 4;9 5 2 x y Vì A thuộc đường trịn đường kính CC' nên tọa độ A(x;y) thỏa mãn : x y 32 Với x>0 suy A(4;1) 2S Ta có AC AB ABC AC Vì B thuộc đường t hẳng AC' : x=4 Suy tọa độ có dạng B(4;m) Ta có: m 5 AB AB 36 m 1 36 Suy B 4; 5 B 4;7 m Vì AB, AC ' hướng suy B(4;7) thỏa mãn Vậy, đường thẳng BC qua B(4;7) có véc tơ phươn g BC 8; 6 nên có phương trình: x y 16 Bài (KB-2009-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC A có đỉnh A( -1;4) đỉnh B,C thuộc đường thẳng d : x y Xác định tọa độ đỉn h B C , biết diện tích tam giác ABC 18 Giải Gọi H trung điểm BC Vì tam giác ABC cân A nên H hình chiếu A lên d Gọi d' đường thẳng qua A( -1;4) vng góc với d d' có phương A(-1;4) trình x y Ta có H giao điểm d d’ nên tọa độ H nghiệm hệ phương x x y 3 7 1 trình H ; 2 2 B H x y y 1 Khoảng cách từ A đến BC : d(A;BC)=d(A;d)= AH 2 Vì B thuộc d nên B(t;t -4 ), Vì H trung điểm BC nên C(7 -t;3-t) x-y-4=0 C 7 7 Ta có: BH t t t (1) 2 2 Theo giả thiết : S BH AH 18 BH BH 2 (2) 2 t 7 (1) (2) : t 2 t T 2 t 11 3 5 11 Với t B ; ; C ; 2 2 2 “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng 11 11 3 5 B ; ; C ; 2 2 2 Bài 10 (KD-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình : x y x y Viết phương trình đường thẳng AC Giải Gọi H chân đường cao hạ từ A Phương trình đường cao A AH : x y M(2;0) Gọi N trung điểm AC Phương trình trung tuyến AN : x y B H N C 7 x y Tọa độ A thỏa mãn : A 1; 6x-y-4=0 7x-2y-3=0 6 x y Vì M trung điểm AB suy B(3;-2) Đường thẳng BC qua B(3; -2) vng góc với đường cao AH nên có phương trình: x 3 y x y Với t x y 3 Vì N giao điểm AN BC nên tọa độ N thỏa mãn hệ phương trình N 0; 2 7 x y Vì C đối xứng với B qua N suy C (-3;-1) Vậy AC qua A(1;2) nhận AC 4; 3 làm vec tơ phương nê n có phương trình x y BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y hai điểm phân biệt A 1; B không thuộc đường thẳng d Lập phương trình đường thẳng AB Biết khoảng cách từ điểm B đến giao điểm đường thẳng AB với đường thẳng d hai lần khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1;0) , chân đường c ao hạ từ đỉnh B K(0; -2) trung điểm cạnh AB M(3;1) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích Đường thẳng AB có phương trình x-y=0 Điểm I(2;1) trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AC Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền nằm đường 5 thẳng d: x+7y-31=0 , điểm N 1; thuộc đường thẳng AC , điểm M(2; -3) thuộc đường thẳng AB 2 Xác định tọa dộ đỉnh tam giác Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM 17 đường phân giác BD Biết H( -4;1), M ;12 BD : x y Tìm tọa độ đỉnh A Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x y Cạnh AC song song với đường thẳng d Đư ờng cao kẻ từ A có phương trình : x y Điểm M(1;1) nằm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác A BC cân A có chu vi 16 đỉnh A B thuộc đường thẳng d có phương trình 2 x y 2 B C thuộc Ox Xác định tọa độ trọng tâm tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) đường thẳng BC có phương trình : x-2y-2=0 Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân B Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5; -3), trọng tâm G(3;1) Đỉnh B thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y -4=0 Tìm tọa độ dỉnh B,C biết BC 2 B có tọa độ nguyên “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 10 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y -1=0 , phương trình AC: 3x+4y+6=0 điểm M(1; -3) nằm đường thẳng BC thỏa mãn 3MB=2MC Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh BC : x y , trung điểm cạnh AC M(0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm N(7;-1) Xác định tọa độ đỉnh A,B,C viết phương trình đườn g trịn ngoại tiếp tam giác HBC Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G Biế t diện tích tam giác GAB , tìm tọa độ đỉnh C Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân giác BK có phương trình x y x y Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng BC cho tam giác AMB cân M Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC qua M(0;-1) Biết AB=2AM, đường phân giác AD có phương trình : x -y=0 đường cao CH có phương trình 2x+y+3=0 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) đường thẳng d: x-2y+3=0 Tìm đường thẳng d hai điểm B C cho tam giác ABC vuông C AC=3BC II VỀ HÌNH CHỮ NHẬT Cần nắm: A B Trong hình chữ nhật : Hai cạnh liên tiếp vng góc Hai đường chéo cắt điểm đường Hai cạch đối diện nhau I Theo tính chất hai đường thẳng song song bị cắt cát tuyến : - Các góc so le D C - Các góc phía Bài (KD-2012 ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x y 1 x y , đường thẳng BD qua diểm M ;1 Tìm tọ a độ đỉnh hình chữ nhật Giải A B AD A nên tọa độ điểm A thỏa mãn: Vì AC c M x 3y y 1 A 3;1 K I E x y x 3 N Gọi d' đường th ẳng qua M song song với AD Đường thẳng d’ D C có phương trình : x y x 3y y 1 Gọi N giao điểm d' AC Tọa độ điểm N thỏa mãn N 1; 3 x y x 2 Gọi E trung điểm MN E ; 3 Gọi đường thẳng qua E vng góc với AD Đường thẳng có phương trình x y Đường thẳng cắt AC I I tâm hình chữ nhật x y x Tọa độ I thỏa mãn I 0;0 Vì C đối xứng với A qua I, suy C 3; 1 x 3y y Đường thẳng cắt AD K K trung điểm AD x y x 2 Tọa độ K thỏa mãn K 2; Vì D đối xứng với A qua K nên D 1;3 x y y “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 11 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chun đề: Giải tích phẳng Ta lại có B đối xứng với D qua I nên ta có : B 1; 3 Vậy, C 3; 1 ; D 1;3 ; B 1; 3 Bài (KA-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) giao điểm của hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đư ờng thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng có phương trình x+y -5=0 Viết phương trình đường thẳng AB Giải A F M(1;5) B Vì E thuộc d suy E(t;5-t) Gọi F điểm đối xứng với E qua I F thuộc AB F(12-t;t-1 ) Khi : MF 11 t ; t ; IE t ; t 3 I(6;2) Theo tính chất hình chữ nhật : D E C MF IE MF IE 11 t t t t 3 d:y+y-5=0 t t 13t 42 t Với t ta có F 5;6 MF 4;1 Đường thẳng AB qua M(1;5) có MF phương nên có phương trình x y 19 Với t ta có F 6;5 MF 5;0 Đường thẳng AB qua M(1;5) có MF phương nên có phương trình y Vậy, AB : x y 19 AB : y Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB : x – y , phương trình đường thẳng BD : x – y 14 , đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật , biết C có tọa độ nguyên Giải Ta có B giao BD với AB tọa độ B B x y 1 21 13 x-2y+1=0 x-7y+14=0 nghiệm hệ: B ; A x y 14 5 I - Đường thẳng BC qua B vng góc với AB M(2;1) có véc tơ phương: u 1; 2 nBC 2;1 D C Nên BC có phương trình: x y 11 Gọi n a; b vectơ pháp tuyến AC Ta có: cos BD,BC 27 5.5 2a b ; cos AC,BC 10 a b2 ACB Vì CBD nên cos BD,BC cos AC,BC 2a b a b 2a b a b a 8ab b 10 a b2 b 7 a + Với a b , chọn b a 1 Ta có n 1;1 Đường thẳng AC qua M có vectơ pháp tuyến n 1;1 nên có phương trình là: x y x y 2 x y 11 Vì C giao điểm AC BC nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: C 4;3 x y x y Vì A giao điểm AB AC nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình: A 1;0 x y 1 x y 7 5 Gọi I giao điểm AC BD, tọa độ I thỏa mãn: I ; 2 2 x – y 14 “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 12 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng 14 12 Vì D đối xứng với B qua I nên D ; 5 + Với b 7 a , chọn a b 7 Ta có n 1; 7 Đường thẳng AC qua M có vectơ pháp tuyến n 1; 7 nên có phương trình là: x y 1 x y Vì C giao điểm AC BC nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: 2 x y 11 24 C ; (loại tọa độ C nguyên) 5 x y 21 13 14 12 Vậy, A 1;0 , B ; , C 4;3 , D ; 5 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 , giao điểm hai đường Bài Trong mặt chéo I( ; ), trung điểm cạnh BC M(3;0) hoành độ điểm B lớn ho ành độ điểm C Xác 2 định tọa độ đỉnh hình chữ nhật Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB có phương trình : x y , tọa độ tâm I(1;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật , biết AB=3BC A có hồn h độ âm Bài Viết phương trình cạnh AB hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB ,BC,CD DA qua điểm M(4;5) ,N(6;5);P(5;2) Q(2;1) với diện tích hình chữ nhật 16 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;1) Các đường thẳng a cạnh AB , AD qua điểm M(-2;2) N(2;3) Xác định tọa độ điểm A,B,C,D , biết 3AB=2AD điểm A có hồnh độ âm III VỀ HÌNH VNG Cần nắm: A B Các cạnh đơi vng góc Hai đường chéo vng g óc với Bốn tam giác vuông cân : AIB,BIC,CID AID I Nếu cạnh hình vng a hai đường chéo có đọ dài a a Hình vng nội tiếp đường trịn có tâm I bán kính R= D C Bài Một hình vng có đỉnh A – 4;5 đường chéo có phương trình x – y Hãy lập phương trình đường chéo cịn lại cạnh hình vuông Giải A B Thay tọa độ điểm A phương trình x – y khơng thỏa mãn Do phương trình đường chéo BD x – y Đường chéo AC qua A vng góc với BD nên có phương trình: x y 31 I Gọi I tâm hình chữ nhật, ta có I giao điểm AC BD Tọa độ điểm I 7 x y 9 nghiệm hệ phương trình : I ; D C 2 x y 31 Vì I trung điểm AC nên C 3; Vì B BD nên tọa độ điểm B có dạng: B t ;7t Vì I trung điểm BD nên suy D 1 t ;1 7t t Ta có: BI AI t t t 1 Với t B 0;8 , D 1;1 Với t 1 B 1;1 , D 0;8 Vì tọa độ điểm B D hoán đổi cho nên ta chọn B 0;8 , D 1;1 Ta có: AB 4;3 Đường thẳng AB qua A nhận AB 4;3 làm vectơ phương nên có pt: x y 32 “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 13 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Đường thẳng AD qua A nhận AB 4;3 làm vectơ pháp tuyến nên có pt: x y Đường thẳng DC qua C nhận AB 4;3 làm vectơ phương nên có pt: x y Đường thẳng BC qua C nhận AB 4;3 làm vectơ pháp tuyến nên có pt: x y 24 Bài (KA-2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC , N 11 điểm cạnh CD cho CN=2ND Giả sử M ; đường thẳng AN có phương trì nh 2x-y-3=0 2 Tìm tọa độ đỉnh A Giải Gọi giao AN với BD P Kẻ qua P đường thẳng song song với AB cắt A B AD E cà cắt BC K PA AB Vì hai tam giác PDN PBA đồng dạng nên M PN DN (Vì AB DC 3DN ) Ta lại có hai tam giác AEP AND đồng dạng nên P K E AE AP ED PN D N C Đặt ED x , suy AE x Xét tam giác EPD ta có DEP 900 ; EDP 450 nên EPD tam giác vuông cân E ED EP x Suy AE PK x Mặt khác ta lại có KC=x MK=x , tam giác AEP=PKM Từ suy AP PM AP=PM 10 Do suy APM vng cân P Ta có: AM PM 2.d M , AN 2 Vì A thuộc AN suy A(t;2t-3) Ta có: MA 10 7 45 11 t 2t 2 2 t A 1; 1 t 5t t A 4;5 Chú ý : Phần chứng minh AP PM có cách khác +/ Gọi cạnh hình vng x Hai tam giác PDN đồng dạng với PAB suy PB PA AB 3DN PB 3PD; PA 3PN PD PN DN DN 2 10 x x 2 10 x +/ Xét tam giác vuông ADN AN AD DN PN x x PN 9.16 72 3 5x2 5x2 Nhưng : AP 3PN AP PN (1) 72 +/ Xét tam giác PBM với PBM 450 , ta áp dụng hệ thức cos in tam giác ta có : PM PB BM PB.PM cos450 (*) AE AP Ta có: AE 3ED ED x , suy PB=3PD=3.ED x AD AN 4 Thay vào (*) ta : 2 3 x 3 x 5x (2) PM x x 4 4 2 2 x2 25 x +/ Xét tam giác CMN : MN CM CN x (3) 3 36 x x 25 x (1) ,(2),(3) ta có AP=PM AP PM T MN Tam giác PMN vuông cân P 72 36 hay PM AP (…) (Làm trên) 2 “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 14 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Bài (KA-2014) Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M 1; , N 2; 1 Giải Ta có MN 10 Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD (Điều kiện a ) AC 3a a Ta có AC a Theo giả thiết ta có : AM AN 4 N Xét tam giác AMN, theo định lí cơsin ta có: 5a MN AM AN AM AN cos MAN D C I 5a Do đó, ta có : 10 a Gọi I x; y trung điểm CD Ta có : IM AD IN BD Khi I giao điểm đường trịn tâm M, bán kính đ ường trịn tâm N, bán kính x y 2 2 x 1 y 16 17 Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ : x 17 I 1; 2 I ; 2 5 5 x y 1 y +) Với I 1; 2 IM 0; Đường thẳng CD qua I nhận IM 0; làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình : y 12 16 12 16 17 +) Với I ; IM ; Đường thẳng CD qua I nhận IM ; làm vectơ 5 5 5 pháp tuyến nên có phương trình : x y 15 Vậy, CD : y CD : x y 15 Chú ý : có cách giải khác : M A A M I D B K B N HP C Ta có MN 10 Gọi I tâm hình vng Dựng đường thẳng qua N vng góc với AB cắt AB, CD K, H Vì N trung điểm IC nên K trung điểm MB Ta có AMK vng K MAK 450 nên AMK vuông cân nên AK NK Đặt MK a a Ta có NK AK 3a Xét tam giác MKN vuông K, theo định lí Pitago, ta có MK NK MN a 3a 10 a Xét tam giác MAD vng A, ta có : MD MA2 AD 22 42 20 MD Ta có NH HC Xét tam giác NHD vuông H, ta có : ND MH HD 12 32 10 ND 10 Do đó, D giao điểm đường trịn tâm M, bán kính đường trịn tâm N, bán kính 10 x 1 2 x 1 y 20 y 2 D 1; 2 D 5;0 Tọa độ điểm D thỏa mãn : 2 x x y 1 10 y “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 15 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Mặt khác, gọi P giao điểm MK CD Ta có hai tam giác NHP NKM đồng dạng nên : xP 1 NP NH xP 7 Suy NP NM P ; 2 NM NK 3 y 1 y P 2 P 7 +) Với D 1; 2 P ; 2 Ta có đường thẳng CD qua D nhận DP làm vectơ phương nên 3 ình : y có phương tr 7 +) Với D 5;0 P ; 2 Ta có đường thẳng CD qua D nhận DP làm vectơ phương nên có 3 phương trình : x y 15 Vậy, CD : y CD : x y 15 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Viết phương trình cạnh hình vng ABCD biết AB,CD,lần lượ t qua điểm P(2;1) Q(3;5), BC AD qua điểm R(0;1) S( -3;-1) 5 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C : x y 1 Xác định tọa độ 4 đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh B, C thuộc đường tròn ( C), hai đỉnh A,D thuộ c trục Ox đỉnh B có tung độ dương 3 1 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vng ABCD có tâm I ; Các đường thẳng AB CD 2 2 qua điểm M(-4;-1),N(-2;-4) Tìm tọa độ đỉnh hình vng, biết B có hồnh độ âm IV VỀ HÌNH THOI ần nắm: C Có hai cặp cạnh tương ứng song song Hai đường chéo cắt điểm đường chúng vuông góc với Hai đường chéo hai trục đối xứng hình thoi Các tam giác cân : ABD=CBD ABC=ADC Diện tích hình thoi tích hai đường chéo : S AC.BD B A I C D Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm I(1;1) , điểm M(2;3) thuộc đường thẳng chứa cạnh AB N(4; -1) thuộc cạnh CD Biết độ dài AC=2BD Tìm tọa độ đỉnh hình thoi Giải B Gọi E đối xứng với N qua I E thuộc cạnh AB E(-2;3) ,do AB M(2;3) có vectơ phương ME 4;0 Suy AB có phương trình A C y có vec tơ pháp tuyến nAB 0;1 I(1;1) Gọi n AC a; b vectơ pháp tuyến AC (với a b ) ta có: cos AB;AC 0.a b N(4;-1) (1) a b2 Mặt khác, từ AC=2BD suy IA=2IB Xét tam giác vng AIB có : IA2 IA2 IA2 IA AB IA2 IB IA2 cos AB;AC (2) 4 AB AB 0.a b b 2a Từ (1) (2) ta có: a b 5b b 4a a b2 b 2a “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 16 D Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng +/ Với b 2 a , chọn a 1, b 2 AC có vectơ pháp tuyến n AC 1; 2 Đường thẳng AC qua I nhận n AC 1; 2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x y Đường thẳng BD qua I vng góc với AC nên có phương trình: x y y 3 Vì A giao điểm AB AC nên tọa độ A thỏa mãn: A 5;3 x y 1 y 3 Vì B giao điểm AB BD nên tọa độ B thỏa mãn: B 0;3 2 x y Ta có: AE 7;0 , BE 2;0 , hai vectơ hướng Do điểm E khơng nằm cạnh AB Suy hai điểm A, B không thỏa mãn +/ Với b 2a , chọn a 1, b AC có vectơ pháp tuyến n AC 1; Đường thẳng AC qua I nhận n AC 1; làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x y Đường thẳng BD qua I vng góc với AC nên có phương trìn h: x y y 3 Vì A giao điểm AB AC nên tọa độ A thỏa mãn: A 3;3 x y y 3 Vì B giao điểm AB BD nên tọa độ B thỏa mãn: B 2;3 2 x y Ta có: AE 1;0 , BE 4;0 , hai vectơ ngược hướng Do điểm E nằm cạnh AB Suy hai điểm A, B thỏa mãn tốn Vì I trung điểm AC BD nên suy C 5; 1 , D 0; 1 Vậy, A 3;3 , B 2;3 , C 5; 1 , D 0; 1 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD với AC có phương trình : x y 31 , hai đỉnh B,C thuộc đường thẳng d1 : x y 0; d : x y Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A có hồnh độ â m Giải Cách Vì B thuộc d1 B t1 ;8 t1 D thuộc d D 2t2 3; t2 BD 2t2 t1 3; t2 t1 Dường thẳng AC có vectơ pháp tuyến n 1;7 Do BD vng góc x+y-8=0 AC nên vec tơ BD phương với n 1;7 B 2t t t2 t1 13t2 8t1 13 (1) t 2t2 t1 t2 Gọi I trung điểm BD, ta có: I ; 2 t 2t2 t1 t2 Vì I thuộc AC nên 7 31 2 9t2 6t1 3t2 2t1 (2) A I x+7y-31=0 C x-2y+3=0 D 13t 8t1 13 t1 B 0;8 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình : 3t2 2t1 t2 D 1;1 Từ su y : BD 1;7 BD đường thẳng BD có phương trình x y 9 Vì I trung điểm BD nên I ; 2 Vì A thuộc AC A 31 7t ; t d A; BD “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde 31 7t t Trang 17 2t Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng +/ Từ giả thiết : 9 2t 3 t S ABCD S ABD BD.d A;BD 2t 75 2t 2 9 2t t Với t A 11;6 Với t A 10;3 (loại) Khi A 11;6 , I trung điểm AC nên C(10;3) Vậy, đỉnh hình thoi thỏa mãn A( -11;6),B(0;8),C(10;3) D(-1;1) * Chú ý : Ta cịn cách giải khác Đường thẳng BD vng góc với AC có dạng : 7x-y+m=0 ( với m tham số ) x y m m BD cắt d1 B thỏa mãn : , suy tọa độ B 1 ;7 Tương tự BD cắt d D 8 7 x y m x y 2m 21 m thỏa mãn : D ; 13 13 7 x y m Trung điểm I BD theo m ; sau thay tọa độ I vào phương trình AC ta phương trình có chứa ẩn m Giải phương trình ta tìm đựơc m=8 +/ Từ ta tìm B,D Các bước phần sau h BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : x y ,0d : x y 0, Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích d : x y 15, đỉnh A,C thuộc d3 , B thuộc d1 D thuộc d hoành độ điểm A dương Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A(1; -2),B(-3;3) giao điểm hai đường chéo nằm đường thẳng d: x-y+2=0 Tìm tọa độ C D V VỀ ĐƯỜNG TRỊN Cần nắm: 2 1.Đường trịn có tâm I(a;b) có bán kính R có phương trình : x a y b R 2 Phương trình : x y 2ax 2by c (với a b c ) phương trình đường trịn tâm I a; b bán kính R a b c Vị trí tương đối điểm M x0 ; y0 so với đường trịn (C) có tâm I(a;b), bán kính R +/ Nếu IM R , M nằm ngồi đường trịn (C) +/ Nếu IM R , M nằm đường trịn (C) + Nếu IM R , M nằm bên đường trịn (C) Vị trí tương đối đường thẳng d : Ax+By+C=0 , so với đường trịn (C) có tâm I(a;b), bán kính R +/ Nếu d I , d R , d khơng cắt (C) +/ Nếu d I , d R , d tiếp xúc với (C) , d gọi tiếp tuyến đường trịn (C) +/ Nếu d I , d R , d cắt (C) hai điểm phân biệt M,N Đường t hẳng qua tâm đường tròn trung điểm dây cung AB đường thẳng vng góc với dây cung Ngược lại, đường thẳng qua tâm đường trịn vng góc với dây cung AB đường thẳng qua trung điểm AB Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến tới (C) Gọi I tâm đường tròn A, B hai tiếp điểm hai tiếp tuyến ta có số kết sau - MA=MB IA MA; IB MB - Tứ giác : MAIB nội tiếp đường trịn có đường kính MI - MI phân giác hai góc : AMB AIB Tiếp tuyến đường tròn (C) điểm Đường thẳng d: Ax+By+C=0 tiếp tuyến đường tròn (I ;R) : d I , d R “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 18 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Bài 1.( KB-2012-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn C1 : x y 4; C2 : x y 12 x 18 đường thẳng d: x-y-4=0 Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc C2 , tiếp xúc với d cắt C1 hai điểm phân biệt AB cho AB vng góc với d Giải Đường trịn C1 có tâm gốc tọa độ O 0;0 , bán kính R1 (C) d I M I2 A (C2) H Đường trịn C2 có tâm I 6;0 , bán kính R2 Gọi I, R tâm bán kính đường trịn cần lập (C ) Gọi H trung điểm AB, ta có IH AB Mặt khác, đường tròn C1 ta có OH AB Do đó, I, O, H thẳng hàng OI AB (1) Theo giả thiết, ta lại có d AB (2) Từ (1) (2), ta có: OI //d Tức O nằm đường thẳng qua O song song với d Gọi d’ đường thẳng qua O song song với d Suy d’ có phương trình: x y Tọa độ điểm I có dạng: I t ; t B O Mặt khác theo giả thiết, tâm I thuộc đường trịn C2 nên ta có: (C1) 2t 12t 18 t 6t t I (3;3) 33 4 Bán kính đường tròn (C) là: R d I ; d 2 2 Vậy C : x 3 y 3 2 Bài 2.(KA-2011-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x y đường tròn (C): x y x y Gọi I tâm đường tròn (C), M điểm thuộc đường thẳng d Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) ( A,B tiếp điểm ) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Giải Đường trịn (C) có tâm I(2;1) bán kính R B Nếu A,B hai tiếp điểm IA IA MA, IB MB từ giác MAIB nội I d (C) M A tiếp đường tròn Theo giả thiết IA IB Vì IAM IBM nên S IAM S MAIB Xét tam giác IAM vng A, ta có S IAM MA.IA 10 10 MA 2 IA Theo định lý Pi ta go , ta có IM MA2 IA2 5 2 25 Vì M thuộc d suy M t ; 2 t t M 2; 4 2 Ta có: IM 25 t t 25 2t 2t 12 t 3 M 3;1 Vậy, M 2; 4 M 3;1 Bài 3.(KA-2010-CB) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1 : 3x y d : 3x y Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A cắt d B C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (T) , biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 19 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến n1 cos d1 , d cos n1 ,n2 3 1 Giải 3;1 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n2 3; 1 Do ta thấy BOA 600 2.2 (T) tiếp xúc với d1 A tam giác ABC vuông B suy AC đường kính , AC d1 A OA Từ kết suy 600 Xét tam giác vuông OAB : AB OA.sin 600 AOC tam giác vuông OAC : AC OA.tan 600 OA y Từ giả thiết : S ABC 3 AB AC sin 600 OA 3OA 2 2 OA Do A thuộc d1 A t ; 3t OA2 t 3t 4t O B x 600 A 300 C 4 Vì A có hồnh độ dương su y 4t t 3 A ; 1 t Đường thẳng AC qua A vng góc với d1 nên có phương trình x y Vì C giao điểm AC d nên tọa độ điểm C t hỏa mãn hệ phương trình: Ta có OA2 3x y x ; 2 C 3x y y 2 3 Gọi I, R tâm bán kính đường trịn (T) Ta có I trung điểm AC I ; 2 1 R AC 2 2 3 Vậy, phương trình đường trịn (T) : x y 1 3 Bài 4.(KA2009-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x y x y đường thẳng có phương trình x my 2m (với m tham số thực ) Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để cắt (C) hai điểm A,B cho diện tích tam giác IAB lớn Giải Đường trịn (C) có tâm I 2; 2 , bán kính R Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là: d(I;d)= IH 4m I(-2;-2) 1 m Để cắt (C) : 4m 52 52 1 4m 1 m (*) m 12 12 1 m 1 Diện tích tam giác S IAB IA.IB sin R sin sin AIB AIB AIB 2 Do dó S IAB đạt GTLN sin 900 IA IB AIB AIB d A H B Vậy tam giác IAB vuông cân I IB IH IH IH IH “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 20 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học 4m m2 Chuyên đề: Giải tích phẳng 1 4m m m 15m 8m m 15 2 Bài 5.(KB-2009) hai đường thẳng d : x y , d ' : x y Xác định tọa độ tâm K tính bán kính đường trịn (C') , biết đường tròn (C') tiếp xúc với d d' tâm K thuộc (C) Giải Gọi K(a;b) Vì K thuộc (C) nên ta có: a b (1) Nếu (C') tiếp xúc với hai đường thẳng d d' a b a 7b 5a 5b a 7b : d(K;d)=d(K;d') a b a 7b 5a 5b 7b a 4a 2b b 2 a 6a 12b a 2b 16 +/ Với b=2a , Thay vào (1) ta a 4a 5a 4a Phương trình vơ nghiệm 25 16 +/ Với a=2b, Thay vào (1) ta được: 2b b 5b 8b b a 5 5 a b 2 5 8 4 Do đường trịn (C’) có tâm K ; bán kính R 2 5 5 Bài (KD-2009-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x 1 y Gọi I tâm (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) cho IMO 300 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x y y M 300 O I(1;0) x Giải Vì (C) có tâm I(1;0) nằm trục Ox với bán kính R =1 tiếp xúc với Oy O Suy tam giác IMO cân đỉnh I Theo giả thiết IMO 300 , góc đỉnh MIO 1200 Áp dụng hệ thức côsin cho tam giác MIO, ta có: 1 OM IM IO IM IO.cos120 R R R.R 3R 2 Gọi M(a;b) ,vì M thuộc (C) nên ta có: a 1 b OM a b a b a 12 b a 12 a a Do tọa độ điểm M thỏa mãn : 2 2 a b a b b a b 3 3 3 3 3 3 ểm n ày đối xứng qua Ox ) Vậy có hai điểm M ; M ; 2 2 ( Hai Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B nội tiếp đường tròn 2 (C ) : x 1 y điểm A(2;0) Biết diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh C ,B “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 21 Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng B C H I(1;-2) A(2;0) Gọi B(a;b) BH d ( B, AC ) Do 2a b Giải Đường trịn (C ) có tâm I 1; 2 bán kính R Vì tam giác vng ABC B nội tiếp đường trịn (C) AC đường kính , tức I trung điểm AC Do C 0; 4 Đường thẳng AC qua A(0; -2) nhận IA 1; làm VTCP nên có phương trình: x y Gọi H hình chiếu vng góc B AC ta có : 2S 2.4 S ABC AC.BH BH ABC AC 5 2a b b 2a 2a b b 2a Ta lại có B nằm (C) suy : a 1 b (1) 2 a b 7 +/ Nếu b=2a-8 thay vào (2) a 1 2a 2a 15a 28 a b a b 2 b=2a : a 1 2a 5a a +/ Nếu a b 14 5 Kết luận… BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x y x y 20 , đường thẳng d có phương trình : 3x+4y -20=0 Chứng minh d tiếp xúc với (C) , Tam giác ABC có đỉnh A thuộc (C), đỉnh B C thuộc d , trung điểm cạnh AB thuộc (C) Tìm tọa độ đỉnh A,B,C , biết trực tâm tam giác ABC trùng với tâm đường trịn (C) điểm B có hồnh độ dương Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x y – x – y 0, (C ') : x y x – qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Bài Cho đường tròn (C): x + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB Bài Trong (Oxy) cho điểm M(2;-1) đường tròn (C): x y Viết phương trình đường trịn (C') có bán kính cắt (C) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ Bài (KD-06) Cho đường tròn (C): x y x y đường thẳng d: x-y+3=0 Tìm điểm M d cho đường trịn có tâm M có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C) tiếp xúc với (C) Bài Cho đường thẳng d1 : x y 0, d : x y hai điểm A 1; , B 1;3 2 a/ Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I(-1;1) tiếp xúc với d1 b/ Viết phương trình đường trịn (C') qua A,B có tâm thuộc d Bài Cho tam giác ABC vng A, đỉnh B(1;1) Đường trịn đường kính AB có phương trình : C : x y x y cắt cạnh BC H cho BC=4BH Tìm tọa độ đỉnh C 2 Bài Cho đường tròn C : x y 3 10 nội tiếp hình vng ABCD Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết cạnh AB qua điểm M( -3;-2) điểm A có hồnh độ dương 2 ABC Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn C : x 1 y , 900 , điểm A(2;0) diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh B “Con đường để học toán làm toán” - EuCilde Trang 22 Thầy Nguyễn Xuân Quân ... tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) đường thẳng BC có phương trình : x-2y-2=0 Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân B Bài Trong mặt phẳng tọa độ. .. Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1;0) , chân đường c ao hạ từ đỉnh B K(0; -2) trung điểm cạnh AB M(3;1) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác. .. Thầy Nguyễn Xuân Quân Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y -1=0 , phương trình AC: 3x+4y+6=0 điểm