Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, người học và cả người nghiên cứu. Qua việc dạy và học Toán, con người được rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân cách cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Muốn học giỏi Toán, học sinh phải luyện tập, thực hành nhiều, tức là phải học giải toán. Năm học 20162017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn Toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Vì vậy người giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp. Trong đề thi THPTQG, nội dung chương 1 của Giải tích lớp 12 “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” chiếm một phần quan trọng. Khi thi theo hình thức tự luận, yêu cầu học sinh phải có kỹ năng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, đồng thời giải quyết được các bài toán liên quan. Tuy nhiên, khi thi theo hình thức trắc nghiệm, ngoài những kỹ năng trên, học sinh còn phải có thêm nhiều kỹ năng khác, trong đó kỹ năng đọc đồ thị vô cùng quan trọng. Xuất phát từ thực tế dạy học ở trường THPT Nguyễn Huệ, khi yêu cầu học sinh đọc đồ thị hàm số để kết luận về tính đơn điệu, điểm cực trị của hàm số này đã có thể nhầm lẫn cho học sinh thì khi học đồ thị hàm số để kết luận về các yếu tố của hàm số còn khó khăn hơn nhiều. Với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp cận dạng toán này, đồng thời thuận tiện hơn trong việc ôn tập cho kì thi THPTQG, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Phân loại và định hướng phương pháp giải một số dạng toán liên quan đồ thị hàm số trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán”.
Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học địi hỏi tư cao độ người dạy, người học người nghiên cứu Qua việc dạy học Tốn, người rèn luyện lực phân tích, tổng hợp, tư linh hoạt khả sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân cách cần thiết người lao động thời đại Muốn học giỏi Toán, học sinh phải luyện tập, thực hành nhiều, tức phải học giải toán Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong mơn Tốn đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn đòi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Vì người giáo viên cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp Trong đề thi THPTQG, nội dung chương Giải tích lớp 12 “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” chiếm phần quan trọng Khi thi theo hình thức tự luận, yêu cầu học sinh phải có kỹ khảo sát vẽ đồ thị hàm số, đồng thời giải toán liên quan Tuy nhiên, thi theo hình thức trắc nghiệm, ngồi kỹ trên, học sinh cịn phải có thêm nhiều kỹ khác, kỹ đọc đồ thị vơ quan trọng Xuất phát từ thực tế dạy học trường THPT Nguyễn Huệ, yêu cầu học sinh đọc đồ thị hàm số y = f ( x ) để kết luận tính đơn điệu, điểm cực trị hàm số nhầm lẫn cho học sinh học đồ thị hàm số f ' ( x ) để kết luận yếu tố hàm số y = f ( x ) cịn khó khăn nhiều Với mục đích giúp học sinh dễ dàng việc tiếp cận dạng tốn này, đồng thời thuận tiện việc ơn tập cho kì thi THPTQG, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: “Phân loại định hướng phương pháp giải số dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đề thi Trung học phổ thơng Quốc gia mơn Tốn” Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Mục tiêu nghiên cứu Để cho học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số y = f '( x ) với vấn đề hàm số y = f ( x) Từ làm tốt dạng toán này, mang lại kết cao kì thi TN THPTQG Nhiệm vụ nghiên cứu + Đưa sở lí luận cần thiết Từ mơ tả phân tích để tìm biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải dạng toán + Kiểm tra đánh giá kết học sinh trình triển khai đề tài để từ có điều chỉnh bổ sung hợp lý Đối tượng nghiên cứu Vận dụng số lý thuyết chương trình SGK Giải tích 12 để giải dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm số y = f '( x) Giới hạn đề tài Các dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f '( x ) đề thi THPTQG mơn Tốn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, đề thi THPTQG, sách tham khảo… Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: + Tìm hiểu, quan sát q trình học tập giải dạng tốn liên quan đồ thị hàm số y = f '( x ) + Trao đổi, thăm dò qua GV, thống kê lại vướng mắc, khó khăn HS làm dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f '( x) Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận 1.1 Sự tương giao đồ thị hàm số y = f ( x ) trục hoành Giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hồnh nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = y Ví dụ minh hoạ: Hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên a Suy phương trình f ( x) = có b O c x nghiệm ( x = a; x = b; x = c ) 1.2 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số bảng biến thiên Bảng 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng ( x0 − h; x0 + h ) , với h > có bảng biến thiên hai bảng sau: Khi đó, hàm số y = f ( x ) đạt cực đại điểm x = x0 Bảng 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng ( x0 − h; x0 + h ) , với h > có bảng biến thiên hai bảng sau: Khi đó, hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu điểm x = x0 1.3 Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số bảng biến thiên Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Bảng 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng [ a; b ] có bảng biến thiên hai bảng sau: y = f ( x0 ) Khi đó, ta có: [ a ;b ] Bảng 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng [ a; b ] có bảng biến thiên hai bảng sau: y = f ( x0 ) Khi đó, ta có: max [ a ;b] Bảng 5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng [ a; b ] có bảng biến thiên sau: y = f ( a ) ;max y = f ( b ) Khi đó, ta có: [ a ;b] [ a ;b] Bảng 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng [ a; b ] có bảng biến thiên sau: y = f ( b ) ;max y = f ( a ) Khi đó, ta có: [ a ;b ] [ a ;b] Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ 1.4 Xét dấu tích phân xác định biết giới hạn miền phẳng giới hạn đồ thị hàm số dấu tích phân, trục hồnh hai đường thẳng x = a; x = b ( a < b ) b ∫ f ( x ) dx < b ∫ f ( x ) dx > a a b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx > b ∫ f ( x ) dx = S1 − S2 + S3 a a b ∫ g ( x ) − f ( x ) dx < a Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] , b ∫ f ' ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) a 1.5 Phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Khi đó, với số a > ta có: Hàm số y = f ( x ) + a có đồ thị ( C ') tịnh tiến ( C ) theo phương Oy lên a đơn vị Hàm số y = f ( x ) − a có đồ thị ( C ') tịnh tiến ( C ) theo phương Oy xuống a đơn vị Hàm số y = f ( x + a ) có đồ thị ( C ') tịnh tiến ( C ) theo phương Ox qua trái a đơn vị Hàm số y = f ( x − a ) có đồ thị ( C ') tịnh tiến ( C ) theo phương Ox qua phải a đơn vị Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ f ( x ) x > Hàm số y = f ( x ) = có đồ thị ( C ') cách: f ( − x ) x ≤ + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy bỏ phần ( C ) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy qua Oy f ( x ) f ( x ) > Hàm số y = f ( x ) = có đồ thị ( C ') cách: − f ( x ) f ( x ) ≤ + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị ( C ) nằm Ox Thực trạng Xét ví dụ sau: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình bên Tìm mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( 1; +∞ ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −1;3) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) D Hàm số đồng biến khoảng ( 0;2 ) Đối với ví dụ học sinh dễ dàng tìm đáp án D Ta thử đặt vấn đề cho đồ thị hàm số y = f ' ( x ) kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) không? Ta xét ví dụ sau: Cho hàm số y = f ( x ) Biết f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) ¡ hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Kết luận sau đúng? A Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị y B Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 1;3) C Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞;2 ) D Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) Học sinh gặp số khó khăn sau: - Hiểu nhầm đồ thị hàm số y = f ( x ) Trang O x Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ - Thiếu kỹ đọc đồ thị, mà lại đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Bên cạnh đó, đề thi THPTQG 2016-2017 có câu sau: Câu 48- Đề 102: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề đúng? A g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) y B g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) C g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) −3 O −2 D g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) x Đối với câu hỏi này, học sinh bế tắc khơng có đường tìm câu trả lời Đa phần học sinh chọn lụi đáp án Không thế, đề tham khảo THPTQG 20182019 cịn có câu sau: Câu 50: Cho hàm ( m, n , p , q , r ∈ ¡ ) số f ( x ) = mx + nx + px + qx + r Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f ( x ) = r có số phần tử A B C D Trước vấn đề thấy cần có lý thuyết, phương pháp phân dạng tập loại toán Giải pháp giải vấn đề 3.1 Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu điểm cực trị hàm số y = f ( x ) ; y = f ( x ± a ) ; y = f ( x ) ± ax Bài Hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) K hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số y = f ( x ) K A B C D Hướng dẫn: Đối với dạng ta cần tìm xem đồ thị y = f ' ( x ) cắt trục Ox điểm mà thôi, không kể điểm mà đồ thị y = f ' ( x ) tiếp xúc với trục Ox Ta chọn đáp án B Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Nhận xét: Xét thực a dương Ta đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị hàm số y = f ( x + a ) y = f ( x − a ) K , đáp án không thay đổi Chú ý số cực trị hàm số y = f ( x ) , y = f ( x + a ) y = f ( x − a ) hàm số đạt cực trị giá trị x0 khác nhau! Giả thiết thí dụ thí dụ sau thay đổi theo hướng sau: Hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K có đồ thị hình vẽ Biết y = g ( x ) nguyên hàm hàm số y = f ( x ) Tìm số cực trị hàm số y = g ( x ) K Bài Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ có đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình vẽ bên Khẳng định đúng? A Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞;2 ) B Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) C Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị D Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f ′ ( x ) cắt trục hoành điểm nên chọn đáp án C Bài Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) khoảng K hình vẽ Khi K , hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn: ′ Đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành điểm nên chọn đáp án A Bài Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ có đồ thị hàm y f ′( x) số f ′ ( x ) hình vẽ bên Hàm số f ( x + 2018 ) có O điểm cực trị? A B x C D Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f ' ( x + 2018 ) phép tịnh tiến đồ thị hàm số f ′ ( x ) theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' ( x + 2018 ) cắt trục hoành điểm Ta chọn đáp án C Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Bài Cho hàm số f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) khoảng y K hình vẽ Khi K , hàm số y = f ( x − 2018 ) có điểm cực trị? A O C B D Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f ' ( x − 2018 ) phép tịnh tiến đồ thị hàm số f ′ ( x ) theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' ( x − 2018 ) cắt trục hoành điểm.Ta chọn đáp án A Bài Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ có đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = g ( x ) = f ( x ) + x có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn: Cách 1: y ' = g ' ( x ) = f ' ( x ) + có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số f ' ( x ) theo phương Oy lên đơn vị Khi đồ thị hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành điểm, ta chọn đáp án A Cách 2: Số cực trị hàm g ( x ) số nghiệm bội lẻ phương trình g ' ( x ) = f ' ( x ) + = ⇔ f ' ( x ) = −4 Dựa vào đồ thị hàm f ' ( x ) ta thấy phương trình có nghiệm đơn Trang x Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Bài Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f '( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = g ( x) = f ( x) + 2017 − 2018 x 2017 có cực trị? A B C D Hướng dẫn: Ta có y ' = g ' ( x ) = f ' ( x ) − 2018 Suy đồ thị 2017 hàm số g ' ( x ) phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) theo phương Oy xuống Ta có < 2018 đơn vị 2017 2018 < dựa vào đồ thị hàm số 2017 y = f ' ( x ) , ta suy đồ thị hàm số g ' ( x ) cắt trục hoành điểm Ta chọn phương án D Bài Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số f ′( x) hình vẽ Tìm điểm cực tiểu hàm số y = f ( x) đoạn [0;3] ? A x = x = B x = x = C x = D x = Hướng dẫn: Đồ thị hàm số f ′ ( x ) cắt trục hoành điểm, ta thấy f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương qua x = nên chọn đáp án C Bài Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ có đồ thị hàm số f ' ( x ) đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;1) B Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 1; ) C Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −2;1) Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Vậy, ta chọn đáp án C Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ thoả f ( ) = f ( −2 ) = đồ thị hàm số y = f ' ( x ) có dạng hình bên Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến khoảng khoảng sau? 3 A −1; ÷ 2 B ( −1;1) C ( −2; −1) D ( 1; ) Hướng dẫn: Ta có f ' ( x ) = ⇔ x = 1; x = ±2 Lại theo giả thiết f ( ) = f ( −2 ) = Từ suy ra, ta có bảng biến thiên: ⇒ f ( x ) < 0; ∀x ≠ ±2 Xét y = ( f ( x ) ) ⇒ y ' = f ( x ) f ' ( x ) f ( x) = x = ±2 y' = ⇔ ⇔ x = 1; x = ±2 f ' ( x ) = Bảng xét dấu : Trang 20 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Chọn đáp án D Bài (Câu 48-đề 102-THPTQG 2017-2018)Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề đúng? A g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) y B g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) C g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) −3 D g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) O −2 Hướng dẫn: Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( x + 1) = f ' ( x ) − ( x + 1) Ta vẽ đường thẳng y = x + Khi đó, khoảng ( −3;1) đồ thị f ' ( x ) nằm đường thẳng y = x + , suy f ' ( x ) > x + 1, ∀x ∈ ( −3;1) hay g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −3;1) Tương tự , ta có g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 1;3) Từ ta có bảng biến thiên Vậy, g ( 1) lớn Ngồi cách đó, ta g ( 1) lớn sau : 1 −3 −3 g ( 1) − g ( −3) = ∫ g' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) − ( x + 1) dx > ⇒ g ( 1) > g ( −3) Trang 21 x Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ 3 1 g ( 3) − g ( 1) = ∫ g' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) − ( x + 1) dx < ⇒ g ( 3) < g ( 1) Để so sánh g ( −3) g ( 3) , ta có: 3 g ( 3) − g ( −3) = ∫ g' ( x ) dx = ∫ f ' ( x ) − ( x + 1) dx −3 −3 −3 = ∫ f ' ( x ) − ( x + 1) dx + ∫ f ' ( x ) − ( x + 1) dx = S1 − S > ⇒ g ( 3) > g ( −3) Như ta có: g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) Ta chọn đáp án D Bài (Câu 46-đề 103-THPTQG 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Đặt g ( x ) = f ( x ) + x Mệnh đề đúng? A g ( 3) < g ( −3) < g ( 1) B g ( 1) < g ( 3) < g ( −3) C g ( 1) < g ( −3) < g ( 3) D g ( −3) < g ( 3) < g ( 1) Hướng dẫn: Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) + x = f ' ( x ) + x ⇒ − g ' ( x ) = − x − f ' ( x ) Ta vẽ đường thẳng y = − x Tương tự ta có: 1 −3 −3 g ( −3) − g ( 1) = − ∫ g ' ( x ) dx = ∫ − x − f ' ( x ) dx > ⇒ g ( −3) > g ( 1) 3 1 g ( 1) − g ( 3) = − ∫ g ' ( x ) dx = ∫ − x − f ' ( x ) dx < ⇒ g ( 3) > g ( 1) 3 −3 −3 g ( −3) − g ( 3) = − ∫ g' ( x ) dx = ∫ − x − f ' ( x ) dx + ∫ − x − f ' ( x ) dx = 2S1 − 2S > ⇒ g ( −3) > g ( 3) Như ta có: g ( 1) < g ( 3) < g ( −3) Ta chọn đáp án B Trang 22 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Bài Cho hàm số y = f ( x ) đồ thị hình bên đồ thị hàm f ' ( x ) Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( x − 1) có tối đa điểm cực trị? A B 11 C D.7 Hướng dẫn: Đặt h ( x ) = f ( x ) − ( x − 1) ⇒ h ' ( x ) = f ' ( x ) − ( x − 1) Ta vẽ thêm đường thẳng y = x − Ta có h ' ( x ) = ⇔ f ' ( x ) = x − ⇔ x = 0; x = 1; x = 2; x = 3; x = a ( a ∈ ( 1;2 ) ) Theo đồ thị h ' ( x ) > ⇔ f ' ( x ) > x − ⇔ x ∈ ( 0;1) ∪ ( a;2 ) ∪ ( 3; +∞ ) Lập bảng biến thiên hàm số h ( x ) Đồ thị hàm số g ( x ) có nhiều điểm cực trị h ( x ) có nhiều giao điểm với trục hoành nhất, đồ thị hàm số h ( x ) cắt trục hoành nhiều điểm, suy đồ thị hàm số g ( x ) có tối đa 11 điểm cực trị Ta chọn đáp án B 3.4 Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y = f ( x ) ; y = f ' ( x ) ; y = f '' ( x ) Phương pháp: sử dụng phương pháp kết hợp phương pháp PP1: Đồ thị hàm số f ' ( x ) cắt trục hoành điểm điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x ) PP2: Tìm giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có) Sau dựa vào tính chất sau Trang 23 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ K ⇒ f ( x ) tăng K f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ K ⇒ f ( x ) giảm K Minh hoạ hàm số y = sin x Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ , cho đồ thị hàm số y = f ' ( x ) parabol có dạng hình bên Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị bốn đáp án sau? Hướng dẫn: Ta chọn đáp án B Bài Cho đồ thị ba hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) , y = f ′′ ( x ) vẽ mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) y = f ′′ ( x ) theo thứ tự, tương ứng với đường cong ? A ( a ) , ( b ) , ( c ) B ( b ) , ( a ) , ( c ) C ( a ) , ( c ) , ( b ) D ( b ) , ( c ) , ( a ) Hướng dẫn: Trang 24 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Dựa vào phương pháp có hai khả năng: ( a ) ; ( c ) ; ( b ) ( b ) ; ( c ) ; ( a ) Quan sát đồ thị ta thấy ứng với khoảng mà đồ thị ( b ) nằm trục hồnh đồ thị ( c ) “đi lên” ngược lại; ứng với khoảng mà đồ thị ( c ) nằm trục hồnh đồ thị ( a ) “đi lên” ngược lại Ta chọn đáp án C Bài Cho đồ thị ba hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) , y = f ′′ ( x ) vẽ mơ tả hình Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) y = f ′′ ( x ) theo thứ tự, tương ứng với đường cong ? A ( C3 ) ; ( C2 ) ; ( C1 ) B ( C2 ) ; ( C1 ) ; ( C3 ) C ( C2 ) ; ( C3 ) ; ( C1 ) D ( C1 ) ; ( C3 ) ; ( C2 ) Hướng dẫn: Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( C1 ) cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số ( C2 ) ; đồ thị ( C3 ) cắt trục Ox điểm điểm cực trị của đồ thị hàm số ( C1 ) Ta chọn đáp án B Bài Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ′ ( x ) , y = h ( x ) = g ′ ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A g ( −1) > h ( −1) > f ( −1) y B h ( −1) > g ( −1) > f ( −1) C h ( −1) > f ( −1) > g ( −1) D f ( −1) > g ( −1) > h ( −1) x −2 Hướng dẫn: −1 −0,5 O 0,5 ( 3) Trang 25 1,5 ( ) ( 1) Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Kết hợp phương pháp ta tìm Hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ′ ( x ) , y = h ( x ) = g ′ ( x ) có đồ thị đường theo thứ tự ( 1) ; ( ) ; ( 3) Từ đồ thị ta thấy: h ( −1) > g ( −1) > f ( −1) Ta chọn đáp án B Bài Một vật chuyển động có đồ thị hàm quãng đường s ( t ) , hàm vật tốc v ( t ) hàm gia tốc a ( t ) theo thời gian t mơ tả hình bên Khẳng định đúng? A s ( ) < v ( ) < a ( ) B a ( ) < v ( ) < s ( ) C s ( ) < a ( ) < v ( ) D v ( ) < a ( ) < s ( ) Hướng dẫn: Đáp án A 3.5 Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b, c , d ∈ ¡ ; a ≠ ) có đồ thị (C) Biết đồ thị Bài Cho hàm (C) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cho hình vẽ bên Tìm diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành? 27 A S = B S = C S = 21 D S = Hướng dẫn: Ta có f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) parabol có trục đối xứng trục tung nên b = Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) qua điểm ( 1;0 ) , ( 0, −3 ) ta tìm được: a = 1; c = −3 Trang 26 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Suy ra: f ' ( x ) = x − ⇒ f ( x ) = x − 3x + C Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm nên ta có: f ' ( x ) = ⇔ x = −1; x = ⇒ x = −1 Như (C) qua điểm ( −1;4 ) ta tìm C = ⇒ f ( x ) = x − 3x + Xét phương trình trình hồnh độ giao điểm trục hoành: x − x + = ⇔ x = −1; x = Vậy, S = ∫ x − 3x + dx = −1 27 Ta chọn đáp án B Bài Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b, c , d ∈ ¡ ; a ≠ ) có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) qua gốc toạ độ đồ thị hàm số y = f '( x) cho hình vẽ bên Tính f ( 3) − f ( 1) ? A 24 B 28 C 26 D 21 Hướng dẫn: Ta có f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) parabol có trục đối xứng trục tung nên b = Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) qua điểm ( 1;5 ) , ( 0; ) ta tìm được: a = 1; c = Suy ra: f ' ( x ) = x + ⇒ f ( x ) = x + x + C , đồ thị hàm số (C) qua gốc toạ độ nên C = ⇒ f ( x ) = x + x ⇒ f ( 3) − f ( ) = 21 Ta chọn đáp án D Hoặc: f ' ( x ) = x + ⇒ f ( 3) − f ( ) = ∫ f ' ( x ) dx = 21 Bài Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c (a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số y = f ' ( x ) −8 ; hình vẽ Biết đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đạt cực tiểu điểm ÷ Đồ thị Trang 27 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với trục hoành hai điểm Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành? A 15 B 15 C 14 15 D 16 15 Hướng dẫn: Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) a > ta dễ dàng có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình bên Ta có f ' ( x ) = 4ax + 2bx Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) −8 ; qua ( 1;0 ) , ÷ ta tìm a = 1; b = −2 ⇒ f ' ( x ) = x3 − x ⇒ f ( x ) = x − x + C Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên f ' ( x ) = ⇔ x = 0; x = ±1 Do (C) đối xứng qua trục tung nên (C) tiếp xúc với trục hoành điểm ( 1;0 ) , ( −1;0 ) Do đó: f ( ) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = x − x + Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) với trục hoành: x − x + = ⇔ x = ±1 16 Vậy, S = ∫ x − x + 1dx = Ta chọn đáp án D 15 −1 Bài (Câu 38-đề 102-THPTQG 2016-2017) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển A s = 24, 25 (km) B s = 26,75 (km) C s = 24,75 (km) D s = 25, 25 (km) Hướng dẫn: Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v ( t ) = at + bt + c ( km / h ) Trang 28 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ c = c = −3 Ta có: 4a + 2b + c = ⇔ b = ⇒ v ( t ) = t + 3t + −b −3 =2 a = 2a Vậy quãng đường mà vật di chuyển là: 99 −3 s = ∫ t + 3t + ÷dt = ≈ 24,75 0 Ta chọn đáp án C Bài (Câu 41-đề 101-THPTQG 2016-2017) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 (km) B s = 21,58 (km) C s = 15,50 (km) D s = 13,83 (km) Hướng dẫn: Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v ( t ) = at + bt + c ( km / h ) c = c = −5 t + 5t + Ta có: 4a + 2b + c = ⇔ b = ⇒ v ( t ) = −b −5 =2 a = 2a Ta có v ( 1) = 31 31 suy phương trình chuyển động vật tốc theo đường thẳng y = 4 Vậy quãng đường mà vật di chuyển là: 31 259 −5 s = ∫ t + 5t + ÷dt + ∫ dt = ≈ 21,58 12 0 4 Ta chọn đáp án B Trang 29 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Bài (Câu 50 - đề tham khảo THPTQG 2016-2017) Cho hàm số f ( x ) = mx + nx + px + qx + r ( m, n , p , q , r ∈ ¡ ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f ( x ) = r có số phần tử B A C D Hướng dẫn: Do f ′ ( x ) = có nghiệm phân biệt nên m ≠ Ta có f ′ ( x ) = 4mx + 3nx + px + q; Mặt khác dựa vào đồ thị y = f ′ ( x ) suy 5 13 15 f ′ ( x ) = 4m ( x + 1) x − ÷( x − 3) = 4m x − x − x + ÷ 4 4 Suy n = − 13m ; p = −m; q = 15m Khi phương trình f ( x ) = r ⇔ mx + nx + px + qx = x = 13 ⇔ x − x − x + 15 x = ⇔ x = x = − Vậy, phương trình f ( x ) = r có ba nghiệm phân biệt Ta chọn đáp án B Kết thu qua khảo nghiệm đề tài nghiên cứu Được giúp đỡ môn ban giám hiệu nhà trường tiến hành TNSP lớp trường THPT Nguyễn Huệ năm học 2018-2019 , sau: Bảng Lớp TNSP Năm học Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng 2018-2019 12A2 (48 HS) 12A1 (46 HS) Chúng trao đổi tham khảo ý kiến GV tổ môn nội dung dạy TNSP Thống nội dung (dạy TNSP) có phân loại dạng tốn có liên quan đến đồ thị hàm số f ' ( x ) Tiến hành dạy: Trang 30 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ + Lớp thực nghiệm: GV sử dụng giáo án dạy ơn có phân loại dạng tốn có liên quan đến đồ thị hàm số f ' ( x ) tiết (như thống với GV) + Lớp đối chứng : GV sử dụng giáo án dạy ôn thông thường Tiến hành kiểm tra: tiến hành kiểm tra 45 phút gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm sau kết thúc chuyên đề thực nghiệm Nội dung kiển tra câu hỏi có liên quan đến đồ thị hàm số f ' ( x ) trích đề thi đại học đề thi thử đại học trường từ năm 2017 đến Bảng Phân loại kết kiểm tra (%) Năm học Phân loại kết học tập (%) % HS đạt điểm yếu % HS đạt điểm % HS đạt điểm % HS đạt điểm 2018-2019 (Y - K) TN ĐC 6,25 13,04 trung bình (TB) TN ĐC 20,83 41,3 (K) TN 41,67 ĐC 32,62 giỏi (G) TN ĐC 31,25 13,04 Kết thực nghiệm cho thấy việc phân loại dạng tốn có liên quan đến đồ thị hàm số f ' ( x ) giúp em định hướng tốt dạng toán dễ dàng trả lời câu hỏi Tránh bế tắc hướng tìm lời giải HS lớp khảo nghiệm nắm kiến thức tốt làm kiểm tra cao so với lớp thông thường Đồng thời q trình học tập, HS sơi số lượng học sinh đạt điểm giỏi cao Dựa thực nghiệm cho thấy việc phân loại dạng tốn có liên quan đến đồ thị hàm số f ' ( x ) giúp em nắm vững vấn đề hơn, góp phần nâng cao hiệu ơn thi Như kết luận chắn việc phân loại dạng tốn có liên quan đến đồ thị hàm số f ' ( x ) khả thi có hiệu Trang 31 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thời gian nghiên cứu đề tài: “Phân loại định hướng phương pháp giải số dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đề thi Trung học phổ thơng Quốc gia mơn Tốn” Tôi thực nhiệm vụ đề ra, cụ thể là: Đã tổng quan sở lí luận đề tài nghiên cứu Xây dựng, phân loại định hướng phương pháp giải dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Tiến hành dạy chuyên đề đánh giá kết đạt Kết kiểm tra thử cho thấy tính khả thi đề tài phù hợp giả thiết khoa học Kiến nghị Hướng đề tài nghiên cứu “Phân loại định hướng phương pháp giải số dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đề thi Trung học phổ thơng Quốc gia mơn Tốn” cần thiết vơ quan trọng giúp học sinh có nhìn tồn diện có hệ thống dạng toán trắc nghiệm Giúp nâng cao kết ôn tập cho học sinh kỳ thi THPTQG Đây hướng đề tài đòi hỏi nhiều cơng sức thời gian có ích việc nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ nghiệp vụ chun mơn GV Vì tiếp tục phát triển đề tài trình dạy học theo hướng sau nghiên cứu cách đầy đủ qui mô Chúng tơi mong góp ý, xây dựng thầy cô đồng nghiệp quan tâm đến hướng đề tài Xin chân thành cám ơn! Ea Tóh, ngày 01 tháng năm 2019 Kí tên Trang 32 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Một số tài liệu tham khảo: 1/ Tạp chí toán học tuổi trẻ số 483 (9/2017) 2/ Hướng dẫn ơn tập kì thi Trung học phổ thơng Quốc gia 2017-2018 (Đoàn Quỳnh) - Nhà xuất Giáo dục-2018 3/ Các đề thi THPTQG mơn Tốn năm 2017; 2018; đề tham khảo THPTQG 2019 Bộ Giáo dục Đào tạo 4/ Các đề thi thử THPTQG mơn Tốn trường từ năm 2017 đến năm 2019 Trang 33 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH Trang 34 ... khả thi đề tài phù hợp giả thi? ??t khoa học Kiến nghị Hướng đề tài nghiên cứu ? ?Phân loại định hướng phương pháp giải số dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đề thi Trung học phổ thông Quốc. .. Sau thời gian nghiên cứu đề tài: ? ?Phân loại định hướng phương pháp giải số dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đề thi Trung học phổ thơng Quốc gia mơn Tốn” Tơi thực nhiệm vụ đề ra,... số lý thuyết chương trình SGK Giải tích 12 để giải dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm số y = f '( x) Giới hạn đề tài Các dạng toán liên quan đồ thị hàm số y = f '( x ) đề thi THPTQG mơn Tốn Phương