Tích phân hàm ẩn trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán

Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, người học và cả người nghiên cứu. Qua việc dạy và học Toán, con người được rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân cách cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Trong chương trình Toán phổ thông, phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Nó cũng là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Ngoài ra, phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,...Năm học 20162017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn Toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Vì vậy người giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp.Trong đề thi THPTQG, vì với hình thức thi trắc nghiệm thì những câu hỏi về tích phân đã được thay đổi. Với cách hỏi giống như hình thức thi tự luận không còn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm. Vì những câu tính tích phân thông thường học sinh hoàn toàn có thể tìm ra đáp án bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi. Do đó, để đảm bảo mục tiêu xét tốt nghiệp cũng như phân hóa học sinh để xét tuyển vào các trường Đại học, Cao đẳng, những câu hỏi về tích phân đa dạng hơn, đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn. Trong đó, tích phân của một số hàm ẩn cũng đã được đưa vào với các mục đích trên. Mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân, nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa số các em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này. Xuất phát từ thực tế dạy học ở trường THPT Nguyễn Huệ, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục tôi chọn đề tài nghiên cứu là:“Tích phân hàm ẩn trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán”.

Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ MỤC LỤC MỤC LỤC .i 1.1 Định nghĩa nguyên hàm 1.2 Định nghĩa tích phân .3 1.3 Tính chất tích phân 1.4 Phương pháp tính tích phân 1.4.1 Phương pháp đổi biến số .4 1.4.2 Phương pháp tính tích phân phần 3.1 Biến đổi đưa nguyên hàm 3.1.1 Kiến thức sử dụng 3.1.2 Ví dụ áp dụng 3.2 Phương pháp đổi biến số 13 3.2.1 Kiến thức sử dụng 13 3.2.2 Ví dụ áp dụng .13 3.3 Phương pháp tích phân phần .17 3.3.1 Kiến thức sử dụng 17 3.3.2 Ví dụ áp dụng .17 3.4 Tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân .19 3.4.1 Kiến thức sử dụng 19 3.4.2 Ví dụ áp dụng .19 3.5 Bài tập áp dụng .25 Trang i Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học mơn khoa học địi hỏi tư cao độ người dạy, người học người nghiên cứu Qua việc dạy học Toán, người rèn luyện lực phân tích, tổng hợp, tư linh hoạt khả sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân cách cần thiết người lao động thời đại Trong chương trình Tốn phổ thơng, phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng, tích phân ứng dụng rộng rãi thực tế tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Nó sở để nghiên cứu Giải tích đại Ngồi ra, phép tính tích phân cịn ứng dụng rộng rãi Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn Tốn đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Vì người giáo viên cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp Trong đề thi THPTQG, với hình thức thi trắc nghiệm câu hỏi tích phân thay đổi Với cách hỏi giống hình thức thi tự luận khơng cịn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Vì câu tính tích phân thơng thường học sinh hồn tồn tìm đáp án cách sử dụng máy tính bỏ túi Do đó, để đảm bảo mục tiêu xét tốt nghiệp phân hóa học sinh để xét tuyển vào trường Đại học, Cao đẳng, câu hỏi tích phân đa dạng hơn, đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt Trong đó, tích phân số hàm ẩn đưa vào với mục đích Mặc dù học kỹ phương pháp tính tích phân, đứng trước yêu cầu tính tích phân hàm ẩn đa số em cịn nhiều lúng túng chí khơng định hình lời giải đứng trước tốn dạng Xuất phát từ thực tế dạy học trường THPT Nguyễn Huệ, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục tơi chọn đề tài nghiên cứu là: “Tích phân hàm ẩn đề thi Trung học phổ thông Quốc gia mơn Tốn” Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Mục tiêu nghiên cứu Phân loại số dạng tích phân hàm ẩn định hướng phương pháp giải Từ giúp học sinh tiếp cận nội dung cách dễ dàng nhằm nâng cao chất lượng kỳ thi THPTQG Nhiệm vụ nghiên cứu + Đưa sở lí luận cần thiết Từ mơ tả phân tích để tìm biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải dạng toán + Kiểm tra đánh giá kết học sinh trình triển khai đề tài để từ có điều chỉnh bổ sung hợp lý Đối tượng nghiên cứu Vận dụng số lý thuyết chương trình SGK Giải tích 12 để giải dạng tốn tích phân hàm ẩn Giới hạn đề tài Các dạng tốn tích phân hàm ẩn đề thi THPTQG mơn Tốn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, đề thi THPTQG, sách tham khảo… Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: + Tìm hiểu, quan sát trình học tập giải dạng tốn tích phân hàm ẩn + Trao đổi, thăm dò qua GV, thống kê lại vướng mắc, khó khăn HS làm dạng tốn tích phân hàm ẩn Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận 1.1 Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f ( x ) xác định K ( K khoảng đoạn nửa khoảng ¡ ) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) , với x thuộc K 1.2 Định nghĩa tích phân Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) [ a; b ] hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân từ a đến b hàm số f ( x ) kí b hiệu ∫ f ( x)dx a b Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để hiệu số F (b) − F (a ) Như Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) đoạn [ a; b ] b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a 1.3 Tính chất tích phân Giả sử f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có a 1) ∫ f ( x)dx = ; a 2) 3) 4) b a a b ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx ; b c c a b a ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx , b b b a a a ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ; Trang Sáng kiến kinh nghiệm b b a a Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ 5) ∫ kf ( x)dx =k ∫ f ( x)dx với k ∈ ¡ 1.4 Phương pháp tính tích phân 1.4.1 Phương pháp đổi biến số b Tính tích phân I = ∫ g ( x)dx Giả sử g ( x) viết dạng f [ u ( x)] u′( x) ,trong a hàm số u ( x) có đạo hàm K , hàm số y = f ( u ) liên tục cho hàm hợp f [ u ( x) ] xác định K a, b hai số thuộc K Khi b u (b) a u(a) ∫ f [ u ( x)] u′( x)dx = ∫ b Chú ý: Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ∫ a f (u )du b b a a f ( x)dx = ∫ f (u ) du = ∫ f (t )dt 1.4.2 Phương pháp tính tích phân phần Nếu u = u ( x ) v = v ( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ a; b ] b b b a a b ∫ u ( x)v′( x)dx = ( u ( x)v( x) ) a − ∫ v( x)u′( x)dx hay ∫ udv = uv a − ∫ vdu b a b a Thực trạng Với hình thức thi trắc nghiệm, đề minh họa GD - ĐT , đề thi THPTQG xuất câu tích phân hàm ẩn Chẳng hạn: Câu 25 (Đề thử nghiệm năm 2017) Cho A I = 32 B I = 0 ∫ f ( x ) dx = 16 Tính I = ∫ f ( x ) dx C I = 16 Câu 38 (Đề tham khảo năm 2017) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn D I = ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 f ( 1) − f ( ) = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = −12 B I = C I = 12 Trang D I = −8 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Mặc dù câu hỏi dành cho học sinh trung bình khá, đa phần học sinh thấy lúng túng khơng định hình cách giải Khơng thế, câu tích phân hàm ẩn thường đưa vào đề thi nhằm phân loại học sinh để xét tuyển vào trường Cao Đẳng, Đại học Do đó, ngồi nắm kiến thức, địi hỏi tư logic linh hoạt, sáng tạo nhiều học sinh Ví dụ: Câu 50 (Đề tham khảo năm 2018) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] 1 thỏa mãn f ( 1) = 0, ∫  f ' ( x )  dx = ∫ x f ( x ) dx = Tích phân 0 A 2 B C ∫ f ( x ) dx D Câu 48 (Đề thi THPTQG 2018-Mã đề 101) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f ' ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) A − 35 36 B − C − 19 36 D − 15 Câu 41 (Đề thi THPTQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ 0 Biết f ( ) = ∫ xf ( x ) dx = Khi ∫ x f ' ( x ) dx A 31 B −16 C D 14 Trước vấn đề trên, thấy cần phân dạng cung cấp phương pháp giải kỹ cần thiết để học sinh giải câu hỏi tích phân hàm ẩn, góp phần nâng cao chất lượng kỳ thi THPTQG Giải pháp giải vấn đề Với đề tài này, hệ thống lại phương pháp tính tích phân học để áp dụng tính cho hàm ẩn thơng qua phương pháp cụ thể tập tương ứng cho phương pháp Cuối tập tổng hợp đề học sinh vận dụng phương pháp học vào giải Do khn khổ đề tài có hạn nên tơi đưa bốn phương pháp tính tích phân hàm ẩn thơng qua số ví dụ tương ứng là: Phương pháp biến đổi để đưa Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ nguyên hàm bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần tạo bình phương cho biểu thức dấu tích phân 3.1 Biến đổi đưa nguyên hàm 3.1.1 Kiến thức sử dụng  Nếu F ′( x) = f ( x) với x ∈ K F ( x) = ∫ f ( x)dx  Các công thức đạo hàm: u′v − uv′  u ′ = ÷; v2 v 1) u′.v + u.v′ = ( uv ) ′ ; 2) 4) nu n−1u′ = ( u n ) ′ ; 5) − 3) u′ = u ( u )′ ; u′  ′ = ÷ u2  u  3.1.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số f ( x ) ≠ , liên tục đoạn [ 1;2] thỏa mãn f (1) = x f ′( x) = ( − x ) f ( x) với ∀x ∈ [ 1;2] Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx f ′( x) − x u′  ′ = Nhận xét: Từ giả thiết ta có , biểu thức vế trái có dạng = − ÷ f ( x) x2 u2  u  Lời giải ′  ′ Ta có x f ′( x) = ( − x ) f ( x) ⇔ f 2( x) = − 22 x ⇔  − ÷ = 12 − f ( x) x  f ( x)  x ⇒− 1   = ∫  − ÷.dx ⇔ − = − − 2x + c , f ( x) f ( x) x x  Do f (1) = 2x2 + x = ⇔ f ( x) = ⇒ c = nên ta có f ( x) x 2x + Khi 2 x d (1 + x ) I = ∫ f ( x)dx = ∫ dx = = ln + x 2 ∫ + 2x 1 + 2x 1 Trang = 1 ( 2ln − ln 3) = ln 4 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, không âm ¡ thỏa mãn f (0) = f ( x) f ′( x) − x f ( x) + = với x ∈ ¡ Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx f ( x) f ′( x) Nhận xét :Từ giả thiết ta có uu′ u2 +1 = f ( x) + = x , biểu thức vế trái có dạng ) ( ′ u2 + Lời giải Ta có f ( x) f ′( x) − x f ( x) + = ⇔ ⇒ f ( x) + = ∫ xdx ⇔ f ( x) f ′( x) f ( x) + = 2x ⇔ ) ( ′ f ( x) + = x f ( x) + = x + c Do f (0) = ⇒ c = nên ta có f ( x) + = x + ⇔ f ( x) + = ( x + 1) ⇔ f ( x) = x ( x + ) ⇔ f ( x) = x x2 + (vì f ( x) khơng âm ¡ ) 1 0 Khi I = ∫ f ( x)dx = ∫ x x + 2dx = ∫ x x + 2dx 1 ( ) 1 = ∫ x + 2d ( x + 2) = ( x + ) x +  = 3 − 2  20 3 Ví dụ Cho hàm số f ( x) đồng biến, có đạo hàm đoạn [ 1;4] thoả mãn f (1) = x + x f ( x) = [ f ′( x) ] , ∀x ∈ [ 1;4] Tính I = ∫ f ( x)dx Lời giải Do f ( x) đồng biến đoạn [ 1;4] ⇒ f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ 1;4] Ta có x + x f ( x ) = [ f ′( x ) ] ⇔ x ( + f ( x ) ) = [ f ′( x ) ] 2 Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Vì x ∈ [ 1; 4] f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ 1;4] nên suy f ( x) > f ′( x) = x + f ( x) ⇔ f ′( x) = x⇔ + f ( x) ⇒ + f ( x) = ∫ xdx ⇔ + f ( x) = Vì f (1) = ( −1 ) ′ + f ( x) = x x x +c 3 ⇒ + = + c ⇔ c = 2 3 2 4 32 2 ⇒ + f ( x) = x x + ⇔ + f ( x ) =  x x + ÷ ⇔ f ( x ) = x + x + 3 3 9 18 3  32   16 52  1186 I = f ( x ) dx = x + x + dx = x + x + x = Khi  ÷  ÷ ∫1 ∫1  9 18   18 45 18  45 4 Ví dụ Cho hàm số f ( x) đồng biến, có đạo hàm cấp hai đoạn [ 0;2] thỏa mãn [ f ( x) ] − f ( x) f ′′( x) + [ f ′( x) ] = 2 với ∀x ∈ [ 0;2] Biết f (0) = 1, f (2) = e6 , tính I = ∫ (2 x + 1) f ( x)dx −2 Nhận xét: Từ giả thiết ta có f ( x) f ′′( x) − [ f ′( x) ] [ f ( x)] 2 ′ = , biểu thức vế trái có dạng  f ′( x)   f ( x)    Lời giải Do f ( x) đồng biến đoạn [ 0;2] nên ta có f (0) ≤ f ( x) ≤ f (2) ⇔ ≤ f ( x) ≤ e Ta có [ f ( x) ] − f ( x) f ′′( x) + [ f ′( x) ] = ⇔ ⇒ f ( x) f ′′( x) − [ f ′( x) ] [ f ( x)] 2 ′ = ⇔  f ′( x)  =  f ( x)    f ′( x) f ′( x) = ∫ 2.dx = x + c ⇒ ∫ dx = ∫ ( x + c ) dx ⇒ ln f ( x) = x + cx + c1 f ( x) f ( x) mà ≤ f ( x) ≤ e6 nên ta có ln f ( x) = x + cx + c1  f (0) = c1 = c = ⇒ ⇔ Do    c1 = 4 + 2c + c1 =  f (2) = e ⇒ ln f ( x) = x + x ⇔ f ( x) = e x +x Trang Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ 0 x Khi I = ∫ (2 x + 1) f ( x)dx = ∫ (2 x + 1).e −2 +x −2 dx = ∫ e x +x d (e x +x +x −2 f Ví dụ Cho f ( x) có đạo hàm ¡ thỏa mãn f ′( x).e Biết f (0) = , tính tích phân I = ) = ex ( x ) − x −1 −2 − = − e2 2x = , ∀x ∈ ¡ f ( x) ∫ x f ( x)dx Lời giải f Ta có f ′( x).e ⇒ ef ( x) ( x ) − x −1 − 3 2x ′ = ⇔ f ′( x) f ( x).e f ( x ) = x.e x +1 ⇔ e f ( x )  = x.e x +1   f ( x) = ∫ xe x +1dx = ∫ e x +1d ( x + 1) = e x 2 +1 +c Do f (0) = ⇔ e = e + c ⇔ c = Suy e f (x) = ex +1 Khi I = ⇔ f ( x) = x + ⇔ f ( x) = x + ∫ x f ( x)dx = ∫ 0 x x + 1.dx = 7 ∫ 3 45 x + 1.d ( x + 1) = ( x + 1) x +  =  8 2 Ví dụ Cho f ( x) có đạo hàm [ 0;1] thỏa mãn f ( x) + ( x + 1) f ′( x) = , ∀x ∈ [ 0;1] Biết f (5) = , tính tích phân I = ∫ f ( x)dx Nhận xét: Từ giả thiết ta có ( x + 1) ′ f ( x) + ( x + 1) f ′( x) = , vế trái biểu thức có dạng u′.v + u.v′ = ( uv ) ′ Lời giải Ta có f ( x) + ( x + 1) f ′( x) = ⇔ ( x + 1) ′ f ( x) + ( x + 1) f ′( x) = ⇔ ( x + 1) f ( x) ′ = ⇒ ( x + 1) f ( x) = ∫ dx ⇔ ( x + 1) f ( x) = x + c , f (5) = ⇒ ( x + 1) f ( x) = x + ⇔ f ( x) = x+2 x +1 Khi Trang 7 ⇔ = + c ⇔ c = 6 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x + x − 2) = x − , ∀x ∈ ¡ 10 Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx Lời giải  x = ⇒ t + 2t = ⇔ t = x = t + t − ⇒ dx = t + t dt Đặt ( ) , đổi cận :   x = 10 ⇒ t + 2t = 12 ⇔ t = 2 2 Ta có I = ∫ f (t + 2t − 2) ( 3t + 2t ) dt = ∫ ( 3t − 1) ( 3t + 2t ) dt = ∫ ( 9t + 3t − 2t ) dt 2 1  9t  151 = +t −t ÷ = 4  1 Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [ −1;5] thỏa mãn [ f ( x) ] 2019 + f ( x) + = x với x ∈ [ −1;5] Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx Lời giải 2019 + t + = x ⇒ dx = ( 2019t 2018 + 1) dt Đặt t = f ( x) ⇒ t  x = ⇒ t 2019 + t + = ⇔ t = −1 Đổi cận:  2019 +t + = ⇔ t =1  x = ⇒ t Ta có I = ∫ t ( 2019t −1 2018 + 1) dt = 1 ∫ ( 2019t −1 2019  2019 2020  + t ) dt =  t + t ÷ =  −1  2020 Ví dụ Biết số thực t ≥ phương trình x + tx − = có nghiệm dương x = x(t ) , với x(t ) hàm số liên tục theo t [ 0; +∞ ) Tính tích phân I = ∫ [ x(t ) ] dt Lời giải t = ⇒ x − = ⇔ x =  − 4x 8x + ⇒ dt = − dx Đặt t = , đổi cận:  x x2 t = ⇒ x + x − = ⇔ x =  3 Trang 16 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ 1 x3 + 31 dx = x + dx = x + x Ta có I = − ∫ x ( ) ( ) = ∫ x 2 3.3 Phương pháp tích phân phần 3.3.1 Kiến thức sử dụng b b Công thức ∫ u ( x)v′( x)dx = ( u ( x)v( x) ) a − ∫ v( x)u ′( x)dx (trong u , v có đạo hàm liên b a a tục K a, b hai số thuộc K ) 3.3.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm ¡ ∫ f ( x)dx 1+ x ) ∫ f ′( x) ln ( x + =1 Tính tích phân I = thỏa mãn f ( 3) = + x dx Lời giải ∫ f ′( x) ln ( x + ) Xét I = + x dx ) (  u = ln x + + x dx   du = ⇒ Đặt  + x2 dv = f ′( x)dx v = f ( x )  ( Khi I = f ( x) ln x + + x ) 3 − ∫ f ( x)dx + x2 ( ) = ln + − Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm ¡ thỏa mãn f (3) − f (0) = 18 ∫ ( f ′( x) + 1) 302 f ( x) x + 1dx = dx Tính tích phân I = ∫ 15 x +1 Lời giải Xét tích phân ∫ ( f ′( x) + 1) x + 1dx = 302 15 Trang 17 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ  u = x + dx du = ⇒ x +1 Đặt  dv = ( f ′( x) + 1) dx v = f ( x) + x + 3  f ( x) 302   = ( f ( x) + x + 1) x +  − ∫  + Khi 15  x +1 x +1  dx  I 302 I 14 76 = f (3) − f (0) + − − ∫ x + 1dx ⇔ = 25 − − ⇒ I = 20 15 15 Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn [ 1;3] thỏa mãn f (3) = f (1) = f ( x) + ln x xf ′( x) I = dx dx = Tính tích phân ∫ ∫1 x + x + ( ) Lời giải Xét I = ∫  1  u = f ( x) + ln x du =  f ′( x) + ÷dx  f ( x) + ln x  x  dx , đặt  ⇒ dv = dx ( x + 1)  v = − + = x x + ( )   x +1 x +1 xf ′( x)   x + dx Khi I =  ( f ( x) + ln x )  − ∫   x +1  1  x + x +  = 3 3 ( f (3) + ln 3) − f (1) − 0 + ln x + 1  = + ln − ln 4 Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = ∫( xf ( x) dx + x f ′( x) + x ) ln(1 + x )dx = 2ln − Tính tích phân I = ∫ Lời giải Xét ∫ ( f ′( x) + x ) ln(1 + x )dx = 2ln − 2x  du = dx u = ln(1 + x )  + x2 ⇒ Đặt  dv = ( f ′( x) + x ) dx v = f ( x) + x +  2 Trang 18 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ 1   x2 +   xf ( x)  + x ÷dx Khi 2ln − =  f ( x) + ÷ln(1 + x )  − ∫  2     0  1+ x 1 xf ( x) 1 dx − ∫ xdx ⇔ 2ln − = ln − I − ⇔ I = − ln 1+ x 2 4 0 = ( f (1) + 1) ln − ∫ 3.4 Tạo bình phương cho hàm số dấu tích phân 3.4.1 Kiến thức sử dụng f ( x) ≥ với ∀x ∈ [ a; b ] Nếu b ∫ f ( x)dx ≥ , dấu đẳng thức xảy a f ( x) = 0, ∀x ∈ [ a; b ] b Hệ quả: ∫f ( x)dx = ⇔ f ( x) = với ∀x ∈ [ a; b ] a 3.4.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn [ 0;1] Biết ∫ xf ( x)dx = ∫[ f ( x) ] dx = Tính tích phân I = ∫ [ f ( x)] 2018 dx Nhận xét : Giả thiết chứa [ f ( x) ] xf ( x) nên ta tạo bình phương dạng [ f ( x) − ax ] Ta chọn a cho ∫ [ f ( x) − ax] ⇔ ∫ [ f ( x)] dx − 2a ∫ xf ( x)dx + a 0 dx = ⇔ ∫ ( [ f ( x)] ) − 2axf ( x) + a x dx = a2 = ⇔ a = Từ ta có lời giải ∫ x dx = ⇔ − 2a + Lời giải Ta có ∫ [ f ( x) − 3x ] dx = ⇔ ∫ 1 0 ( [ f ( x)] ) − xf ( x ) + x dx = ∫ [ f ( x)] dx − ∫ xf ( x)dx + ∫ x dx Trang 19 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ ⇔ − + = ⇒ f ( x) = x Khi I = ∫ [ f ( x)] 2018 dx = 32018 ∫ x 2018 dx = 32018 2019  π π  Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn 0;  Biết f  ÷ = ,  2 2 π ∫ [ f ′( x)] π π π dx = π ∫ cos x f ( x) dx = Tính tích phân I = ∫ f ( x)dx 0 Nhận xét : Giả thiết chứa [ f ′( x)] f ( x) nên ta chưa thể tạo bình phương, trước π hết ta biến đổi cos x f ( x)dx để tạo biểu thức f ′( x) cách đặt ∫ u = f ( x) du = f ′( x)dx ⇒ , π = ( f ( x)sin x )   dv = cos xdx v = sin x π ⇒ ∫ f ′( x)sin xdx = − π π − ∫ f ′( x)sin xdx π Đến ta hai biểu thức [ f ′( x)] f ′( x).sin x nên ta tạo 2 bình phương dạng [ f ′( x) − a sin x ] Ta chọn a cho π ∫ [ f ′( x) − a sin x] π 2 π dx = ⇔ ∫ ( [ f ′( x)] ) − 2a sin x f ′( x) + a sin x dx = π π 0 ⇔ ∫ [ f ′( x)] dx − 2a ∫ sin x f ′( x)dx + a ∫ sin xdx = 2 π a2 a  ⇔ π + aπ + = ⇔ π  + 1÷ = ⇔ a = −2 Từ ta có lời giải 2  Lời giải π u = f ( x) du = f ′( x)dx ⇒ Xét cos x f ( x)dx = π , đặt  ∫0 dv = cos xdx v = sin x Trang 20 Sáng kiến kinh nghiệm Khi π = ( f ( x)sin x ) Ta có π ∫ [ f ′( x) + 2sin x ] = π − 2π + Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ π π π 0 − ∫ f ′( x)sin xdx ⇒ ∫ f ′( x)sin xdx = − π dx = ⇔ ∫ ( [ f ′( x)] π ) + 4sin x f ′( x) + 4sin x dx 4π π  = ⇒ f ′( x) = −2sin x ⇒ f ( x) = 2cos x + c mà f  ÷ = ⇒ c = nên ta có 2 f ( x) = 2cos x π π 0 Vậy, I = f ( x)dx = cos xdx = ∫ ∫ Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn [ −1;0] Biết f (−1) = − 169  f ′( x)  ∫−1  x  dx = 105 ; 10 103 ∫−1 ( x − 1) f ( x)dx = 420 Tính tích phân I = ∫0 f ( x)dx  f ′( x)  Nhận xét : giả thiết chứa  f ( x) nên ta chưa thể tạo bình phương, trước  x   hết ta biến đổi ∫ ( x − 1) f ( x)dx để đưa f ′( x) cách đặt −1 du = f ′( x)dx u = f ( x)  ⇒  x2 dv = x − dx ( ) −x  v =  0  169  103  x 2 ′ ⇒ x − x f ( x ) dx = ′ =  − x ÷ f ( x)  − ∫ ( x − x ) f ( x)dx ( ) ∫ 105 420  −1   −1 −1  f ′( x )  x − x ) f ′( x) Đến ta hai biểu thức  (  x   f ′( x)  − a ( x3 − x )  , ta chọn a ta tạo bình phương dạng   x  Trang 21 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ   f ′( x)   f ′( x)  f ′( x)  2 2 − a x − x dx = ⇔ − a x − x + a x − x dx =  ÷ ( ) ( ) ( ) ∫0  x ∫0   x   ÷ x   1  f ′( x)  2 2 ′ ⇔ ∫ dx − a x − x f ( x ) dx + a x − x ( ) ( ) dx = ∫ ∫  x  0 ⇔ 169 169 169 − 2a + a = ⇔ a = Từ ta có lời giải 105 105 105 Lời giải 103 Xét ∫ ( x − 1) f ( x)dx = , đặt 420 −1 du = f ′( x)dx u = f ( x)  ⇒  x2 −x dv = ( x − 1) dx v =  0  169  103  x 2 =  − x ÷ f ( x)  − ∫ ( x − x ) f ′( x)dx ⇒ ∫ ( x − x ) f ′( x)dx = Khi 105 420  −1   −1 −1   f ′( x)   f ′( x)  f ′( x)  3 2 − x − x dx = ⇔ − x − x + x − x  Ta có ∫  ( )  ( ) x ( ) ÷÷dx ∫   x  x  0  1 169 169 169  f ′( x)  = ∫ dx − 2∫ ( x − x ) f ′( x)dx + ∫ ( x − x ) dx = − + =0  x  105 105 105 0 0 ⇒ f ′( x) 1 = x − x ⇔ f ′( x) = x − x ⇒ f ( x) = x5 − x + c x Mà f (−1) = − 1 ⇒ c = nên f ( x) = x5 − x 10 1 1   1  Khi I = ∫ f ( x)dx = ∫  x − x ÷dx =  x − x5 ÷ = −  10  15  30 0 Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn [ 0;2] Biết f (2) = [ f ′( x)] 2 = 21x − 12 x − 12 xf ( x) , ∀x ∈ [ 0;2] Tính tích phân I = ∫ f ( x) dx Lời giải Từ giả thiết ta có ∫ [ f ′( x)] 2 dx = ∫  21x − 12 x − 12 xf ( x ) dx Trang 22 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ 2 0 ⇒ ∫ [ f ′( x)] dx = ∫ ( 21x − 12 x ) dx − 12 ∫ xf ( x)dx ⇒ ∫ [ 0 552 f ′( x)] dx = − 12 ∫ xf ( x)dx (*) Đến ta có hai biểu thức [ f ′( x)] f ( x) nên ta chưa thể tạo bình phương, trước du = f ′( x)dx u = f ( x)  ⇒ hết ta biến đổi ∫ xf ( x)dx để tạo f ′( x) cách đặt  x2 dv = xdx v =  2 2  x2  2 Khi ∫ xf ( x)dx =  f ( x)  − ∫ x f ′( x)dx = 14 − ∫ x f ′( x)dx , vào (*) ta 20 2 0 20 2 ∫[ 2   552 288 f ′( x)] dx = − 12 14 − ∫ x f ′( x)dx  ⇔ ∫ [ f ′( x)] dx − ∫ x f ′( x)dx + = (**) 20 0   2 Mà ∫ x dx = 2 288 2 nên ta có (**) ⇔ ∫ [ f ′( x)] dx − ∫ x f ′( x)dx + ∫ x dx = 0 2 ⇔ ∫  f ′( x) − x  dx = ⇒ f ′( x) = x ⇒ f ( x) = x + c mà f (2) = ⇒ c = −1 ⇒ f ( x) = x − 2 0 Khi I = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x − 1) dx = Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = Biết ∫0 xf ( x)dx = ∫[ Nhận xét : giả thiết chứa [ f ( x) + ax + b ] ⇔∫ ( [ f ( x)] 13 f ( x) ] dx = Tính tích phân I = ∫ [ f ( x)] dx [ f ( x) ] , xf ( x) f ( x) nên ta tạo bình phương dạng , ta chọn a, b cho ∫ [ f ( x) + ax + b] dx = 0 ) + 2axf ( x) + 2bf ( x) + 2abx + a x + b dx = Trang 23 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ 1 1 0 0 ⇔ ∫ [ f ( x)] dx + 2a ∫ xf ( x)dx + 2b ∫ f ( x)dx + 2ab ∫ xdx + ∫ ( a x + b ) dx = ⇔ 13 a2 + 2a + 4b + ab + + b = ⇔ a + ( 3b + ) a + 3b + 12b + 13 = Để có a ∆ = ( 3b + ) − ( 3b + 12b + 13) ≥ ⇔ −3 ( b + 1) ≥ ⇔ b = −1 ⇒ a = −2 , từ 2 ta có lời giải Lời giải Ta có ∫ [ f ( x) − x − 1] dx = ∫ ( [ f ( x)] ) − xf ( x) − f ( x) + x + x + dx 1 1 0 0 = ∫ [ f ( x)] dx − ∫ xf ( x)dx − ∫ f ( x)dx + ∫ xdx + ∫ ( x + 1) dx = = 13 − − + + + = ⇒ f ( x) = x + 1 Khi I = ∫ [ f ( x)] dx = ∫ ( x + 1) dx = 10 3  π Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn 0;  thỏa mãn  2 π π π ∫ sin x f ( x)dx = + ∫ [ f ( x)] 0 dx = π ∫ f ( x) dx = π 3π + Tính tích phân I = ∫ f ( x).cos xdx Nhận xét : giả thiết chứa [ f ( x) ] , sin x f ( x) f ( x) nên ta tạo bình phương dạng [ f ( x) + a sin x + b ] , ta chọn a, b cho π ∫ [ f ( x) + a sin x + b ] dx = 0 π ⇔∫ ( [ f ( x)] ) + 2a sin xf ( x) + 2bf ( x) + 2ab sin x + a sin x + b dx = Trang 24 π +1, Sáng kiến kinh nghiệm π Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ π π π π 0 0 ⇔ ∫ [ f ( x) ] dx + 2a ∫ sin xf ( x) dx + 2b ∫ f ( x) dx + 2ab ∫ sin xdx + ∫ ( a sin x + b ) dx = ⇔ 3π π a2 π b2 π  π  + + 2a  + 1÷+ 2b  + 1÷+ 2ab + + =0 4 4  2  2 2 ⇔ π ( a + 1) + ( a + 1) ( b + 1) + 2π ( b + 1) = , để có a ∆′ = 16 ( b + 1) − 2π ( b + 1) ≥ ⇔ ( 16 − 2π ) ( b + 1) ≥ ⇔ b = −1 ⇒ a = −1 Từ ta có lời giải Lời giải Ta có π ∫ [ f ( x) − sin x − 1] π 2 π dx = ∫ ( [ f ( x)] ) − 2sin xf ( x) − f ( x) + 2sin x + sin x + dx = π π π π 0 0 ⇔ ∫ [ f ( x) ] dx − ∫ sin xf ( x)dx − ∫ f ( x) dx + ∫ sin xdx + ∫ ( sin x + 1) dx = 3π 3π π  π  + −  + ÷−  + ÷+ + =0 4 4  2  ⇒ f ( x) = sin x + π Vậy, I = ( sinx + 1) cos xdx = ∫0 3.5 Bài tập áp dụng Bài (Đề thi thử Sở GD - ĐT Thanh Hóa) Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn π ∫ cot x f (sin π A I = 16 x)dx = ∫ f ( x ) = Tính tích phân I = ∫ f (4 x) dx x B I = C I = x D I = Bài (Đề tham khảo BGD năm 2018) Cho hàm số f ( x) liên tục, có đạo hàm đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = Biết ∫ [ 1 f ′( x)] dx = ∫ x f ( x)dx = Tính I = ∫ f ( x)dx 0 Trang 25 Sáng kiến kinh nghiệm A Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ B C D  π Bài (Đề thi thử ĐH Hồng Đức) Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn 0;  thỏa mãn  4 π  f  ÷= ; 4 π x f ( x) ∫ ( x sin x + cos x ) dx = − π 4+π π xf ′( x) ∫ cos x ( x sin x + cos x ) dx = π Tính I = f ( x) dx ∫0 cos x A I = π −π B I = C I = 4+π D I = π 4+π Bài (Đề thi thử THPT Hậu Lộc 2) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] , thỏa mãn f (0) = 0, f (1) = ∫ [ f ′( x)] ex A e−2 e −1 dx = Tính tích phân e −1 B C ( e − 1) ( e − ) ∫ f ( x)dx D e −1 e−2 Bài (Đề thi thử THPT Chuyên Nghệ An) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] f (0) + f (1) = biết ∫[ f ( x) ] dx = , ∫ f ′( x) cos π xdx = π I = Tính ∫0 f ( x)dx A 3π B π C π D π Kết thu qua khảo nghiệm đề tài nghiên cứu Được giúp đỡ môn ban giám hiệu nhà trường tiến hành (Thực nghiệm sư phạm) TNSP lớp trường THPT Nguyễn Huệ năm học 2020-2021, sau: Bảng Lớp TNSP Năm học 2020-2021 Lớp thực nghiệm 12A1 (38 HS) Trang 26 Lớp đối chứng 12A4 (40 HS) Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Chúng trao đổi tham khảo ý kiến giáo viên tổ môn nội dung dạy TNSP Thống nội dung (dạy TNSP) có phân loại dạng tốn có liên quan đến tích phân hàm ẩn Tiến hành dạy: Lớp thực nghiệm: Giáo viên sử dụng giáo án dạy ơn có phân loại dạng tốn có liên quan đến tích phân hàm ẩn tiết (như thống với giáo viên) Lớp đối chứng: Giáo viên sử dụng giáo án dạy ôn thông thường Tiến hành kiểm tra: tiến hành kiểm tra 45 phút gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm sau kết thúc chuyên đề thực nghiệm Nội dung kiển tra câu hỏi có liên quan đến tích phân hàm ẩn trích đề thi đại học đề thi thử đại học trường từ năm 2017 đến Bảng Phân loại kết kiểm tra (%) Năm học 2020-2021 Phân loại kết học tập (%) % HS đạt điểm yếu % HS đạt điểm % HS đạt điểm % HS đạt điểm (Y - K) TN ĐC 8,34 27,5 trung bình (TB) TN ĐC 19,44 37,5 (K) TN 44,44 ĐC 27,5 giỏi (G) TN ĐC 27,78 7,5 Kết thực nghiệm cho thấy việc phân loại dạng toán có liên quan đến tích phân hàm ẩn giúp em định hướng tốt dạng toán dễ dàng trả lời câu hỏi Tránh bế tắc hướng tìm lời giải Học sinh lớp khảo nghiệm nắm kiến thức tốt làm kiểm tra cao so với lớp thông thường Đồng thời trình học tập, Học sinh sôi số lượng học sinh đạt điểm giỏi cao Dựa thực nghiệm cho thấy việc phân loại dạng tốn có liên quan đến tích phân hàm ẩn giúp em nắm vững vấn đề hơn, góp phần nâng cao hiệu ơn thi Như kết luận chắn việc phân loại dạng tốn có liên quan đến tích phân hàm ẩn khả thi có hiệu Trang 27 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thời gian nghiên cứu đề tài: “Tích phân hàm ẩn đề thi Trung học phổ thông Quốc gia mơn Tốn” Tơi thực nhiệm vụ đề ra, cụ thể là: - Đã tổng quan sở lí luận đề tài nghiên cứu - Xây dựng, phân loại định hướng phương pháp giải dạng tốn tích phân hàm ẩn đề thi THPT Quốc gia - Tiến hành dạy chuyên đề đánh giá kết đạt - Kết kiểm tra thử cho thấy tính khả thi đề tài phù hợp giả thiết khoa học Kiến nghị Hướng đề tài nghiên cứu Tích phân hàm ẩn đề thi Trung học phổ thơng Quốc gia mơn Tốn” cần thiết vơ quan trọng giúp học sinh có nhìn tồn diện có hệ thống dạng tốn trắc nghiệm Giúp nâng cao kết ôn tập cho học sinh kỳ thi THPTQG Đây hướng đề tài đòi hỏi nhiều cơng sức thời gian có ích việc nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ nghiệp vụ chuyên môn giáo viên Vì chúng tơi tiếp tục phát triển đề tài trình dạy học theo hướng sau nghiên cứu cách đầy đủ qui mơ Chúng tơi mong góp ý, xây dựng thầy cô đồng nghiệp quan tâm đến hướng đề tài Xin chân thành cám ơn! Đăk Lăk, ngày tháng năm 2021 Kí tên Trang 28 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ Một số tài liệu tham khảo: 1/ Các đề thi minh họa đề thi THPTQG môn Toán năm 2017; 2018; 2019 Bộ Giáo dục Đào tạo 2/ Các đề thi thử THPTQG mơn Tốn trường từ năm 2017 đến năm 2020 Trang 29 Sáng kiến kinh nghiệm Tr ường THPT Nguy ễn Hu ệ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH Trang 30 ... Sau thời gian nghiên cứu đề tài: ? ?Tích phân hàm ẩn đề thi Trung học phổ thơng Quốc gia mơn Tốn” Tôi thực nhiệm vụ đề ra, cụ thể là: - Đã tổng quan sở lí luận đề tài nghiên cứu - Xây dựng, phân loại... giải dạng toán tích phân hàm ẩn đề thi THPT Quốc gia - Tiến hành dạy chuyên đề đánh giá kết đạt - Kết kiểm tra thử cho thấy tính khả thi đề tài phù hợp giả thi? ??t khoa học Kiến nghị Hướng đề tài... nghiên cứu Tích phân hàm ẩn đề thi Trung học phổ thơng Quốc gia mơn Tốn” cần thi? ??t vơ quan trọng giúp học sinh có nhìn tồn diện có hệ thống dạng toán trắc nghiệm Giúp nâng cao kết ôn tập cho học sinh