Phương pháp giải phương trình, hệ phương trình

TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH 1. Phương trình bậc 2: ax2+bx+c = 0 với x1, x2 là nghiệm thì  ax2+ bx + c = a(xx1)(xx2);  với =b2 4ac (’=b’2ac với b’=b2)  Nếu a+ b+ c=0 thì x1= 1; x2= ca;  Nếu a – b+ c=0 thì x1= –1; x2= – ca;  Định lý viet: S= x1+ x2 = – ba; P = x1.x2= ca 2. Tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c   B và B > C  A > C b. A > B  A + C > B + C c. Nếu C > 0 thì A > B AC > BC d. Nếu C < 0 thì A > B  AC < BC 2. Các hệ quả: a. Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều b. c. Với d. Với A, B ≥ 0, e. Với A, B và f. A > B ≥ 0  g. A > B  3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số không âm: Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: . Dấu “=” xảy ra  a = b. 4. Bất đẳng thức Cô si cho ba số không âm: Cho ba số ta có : . Dấu “=” xảy ra  a = b = c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Cô si : Dấu “=” xảy ra  a = b Dấu “=” xảy ra  a = b = c 5. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số: Với 4 số thực bất kỳ ta có: . Dấu “=” xảy ra  b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số: Với 6 số thực bất kỳ ta có: Dấu “=” xảy ra  c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski (1) (2) 7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với hai số A, B tùy ý, ta có: a. . b. . Dấu “=” xảy ra  A.B ≥ 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a. Công thức cơ bản : b. Công thức cộng:  cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b  cos(ab)=cos a.cos b+sin a.sin b  sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b  sin(ab)=sin a.cos b cos a.sin b  tan(a+b) =  tan (a b )=  cot ( a + b) =  cot ( a – b )= c. Công thức nhân đôi:  sin 2a = 2 sin a.cos a  cos 2a = cos2a sin2a = 2 cos2a1 = 12sin2a  tan 2a =  cot 2a = d. Công thức hạ bậc:  cos2a =  sin2a =  tan2a = e. Công thức biến đổi tổng thành tích:  cos a + cos b = 2 cos .cos  cos a–cos b = 2sin . sin  sin a + sin b=2 sin .cos  sin a – sin b = 2 cos .sin   sinx+cosx= sin = cos(x ) sinx–cosx= sin(x– )= – cos f. Công thức biến đổi tích thành tổng PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình LG cơ bản: trong đó k  Z 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. asin2x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1t1) acos2x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1t1) atan2x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx) acot2x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx) 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) với Chia hai vế pt(1) cho ta được: (2) Ta xác định sao cho: Khi đó ta được phương trình: Điều kiện để pt(3) có nghiệm là 4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: (1) Với cosx = 0: ta kiểm tra có phải là nghiệm của pt (1) không. Với cosx  0: chia 2 vế pt (1) cho cos2x ta được pt: Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì =1 5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a. Dạng của phương trình đối xứng: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) b. Dạng tương tự: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2) PP: Giải (1): Đặt  Giải (2): Đặt t =  QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, …, Ak. Mỗi phương án Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1 + n2 +… + nk cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak. Mỗi công đoạn Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1. n2 … nk cách. Lưu ý: Khi thực hiện một công việc, có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng phương án) ta được số cách thực hiện công việc. Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho từng bước) ta được số cách thực hiện công việc. 3. Hoán vị. a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. (Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán vị của n phần tử) b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: 4. Chỉnh hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của n). b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: 5. Tổ hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là tổ hợp chập k của A) b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử là: Chú ý: Quy ước: Với quy ước này ta có: ; đúng với Tính chất 1. Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal): NHỊ THỨC NEWTON 1) Công thức nhị thức Newton: Nhận xét: Trong công thức (1) có n + 1 số hạng. Số hạng thứ k + 1 là Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n. 2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton: XÁC SUẤT Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A Nếu A  B =  thì n(AB) = n(A) + n(B) Nếu A  B ≠  thì: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 1. Phép thử và không gian mẫu. Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành động mà: Kết quả của nó không thể dự đoán trước được. Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó. Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là KGM của T và kí hiệu là .

p n n p n p p n2 – C 2015 - 2016 2: P https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan ) Trang p n p n p n n p n p p n2 p đặt ẩn phụ p đặt ẩn phụ phương pháp mạnh để giải hệ phương trình Từ hệ phức tạp sau vài bước đặt ẩn phụ đưa dạng hệ mà ta dễ dàng giải Thông thường thấy phương trình hệ có cụm hạng tử phức tạp giống ta đặt làm ẩn phụ Xong với xu hướng câu hệ phương trình đề thi HPT thường câu lấy - điểm nên người đề cố tình ẩn dấu đặt ẩn phụ để làm toán trở nên khó khăn Bởi đặt ẩn phụ việc quan trọng học sinh phải nhanh trí phát ẩn phụ : u=f(x;y) v=g(x;y) hai phương trình hệ , sau biến đổi để phát u v Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình chia vế phương trình cho số hạng khác không x, y, xy, x2 , y để tìm phần chung mà sau ta đặt ẩn phụ với dạng cụ thể sau Đặt biểu thức đứng độc lập, phức tạp làm ẩn phụ Sử dụng kĩ nhóm, tách, thêm, bớt đặt ẩn phụ Sử dụng phép chia làm xuất đại lượng đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu o n n n Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang p n n p n p p n2 Đặt biểu thứ đứn độc lập, phức tạp làm ẩn phụ  x  y  2x  y  Bài Giải hệ phương trình     2x  3y   x  y  H ớng dẫn   u 2 (u  v)(1  )     v uv Đặt u = x+3y+1, v = x  y hệ cho trở thành    1  v  1  v   u  u Suy u = 1,v = nên nghiệm hệ là: (x; y) = (1;  )  x  xy  y x2  y   x y  Bài Giải hệ phương trình sau    x xy  x   xy  x  H ớng dẫn Nhận xét:Trong có nhiều biểu thức phức tạp xét thấy x+y biểu diễn theo thức phương trình thứ nên ta nghĩ đến việc chọn ẩn phụ thức để tìm mối liên hệ ẩn vào phương trình thứ tìm nghiệm  ( x  y )  xy u   Đặt  , điều kiện : u  0, v  ( x  y )  xy  v   Khi phương trình thứ hệ trở thành : (u  v)  6u  2v  5u  2uv  3v   (u  v)(5u  3v)  uv Với u  v , ta : ( x  y)2  xy ( x  y)2  xy   ( x  y)2   y  x Thế y  x vào phương trình thứ hai hệ cho, ta : x x  5x   x  5x  Đặt u  x  5x  , điều kiện u  Khi ta hệ phương trình sau 2  u  x  x     xu  x  x  u  x x   5x   Suy :  u        2    u  3x 2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang p n n p n p p n2 Với u  x , ta y  x   109 14   109  109  Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )    14 ; 14  ,(3;3)   Với u  3x , ta y  x  ( x  y ) y  y x  y   x  xy  y (1)  Bài 3: Giải hệ phương trình  2   x y  3x    x  y  y   0(2) H ớng dẫn ĐKXĐ x  y  Đặt x  y  a; y  b(a, b  0)  x  a  b2 (1) Trở thành: a 2b  ab   a  b  ab  ab(a  b)   (a  b)  ab  ab(a  b  1)  (a  b  1)(a  b  1)   (a  b  1)(ab  a  b  1)   ab  a  b   0(a  b   0)  (a  1)(b  1)  a   b  Đặt y   t  y  t  vào (2) x (t  1)  x   (2 x  x)t   x (t  1)  3(t  1) x    x( y   1)   x(t  1)     x( y   1)   x(t  1)  a   x  y   x  y    x     y  *  y 1   (vô lý)    y 1   x( y   1)  a   x  y   x  y   2(y  1)  x   *  y 1   y 1  x ( y   1)   x  * b   y  thay vào (2) ta x  3x     x  (x,y)=(1,1);(1,2) (thỏa mãn ĐKXĐ) Nhận xét: Hệ phương trình đặc biệt chỗ cần đặt nhiều ẩn phụ phương trình biểu thức phức tạp chung Trong trường hợp vậy, ta cách đặt thêm ẩn phụ để tìm mối liên hệ đơn giản ẩn thay sử dụng mối quan hệ tìm (1) thay vào (2) việc tìm nghiệm khó khăn https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang p n n   x 12  y  y (12  x )  12(1) Bài 4: Giải hệ phương trình sau  Đ x  x   y  2(2)   H ớng dẫn p n p p n2 k ối A-2014 ĐKXĐ 2  x  3;  y  12 Đặt 12  y  t (t  0)  y  12  t (1) trở thành: xt  (12  x )(12  t )  12  144  12  x  t   x 2t  12  xt  xt  12  2 2 2 144  12  x  t   x t  144  24 xt  x t  xt  12  0 xt 2 12( x  t )   x  12  y  y  12  x vào (2) ta có: x3  x   10  x  ( x3  x)  (x  3)  2(1  10  x )   x( x  3)( x  3)  ( x  3)  x2   10  x  2x   ( x  3)  x  3x    10  x   x  3( x  0)  y  12  x  x =y =3(thỏa mãn ĐKXĐ) 0  0  Nhận xét :việc đặt ẩn phụ làm cho phương trình (1) trở nên đối xứng dễ chịu Trong số hệ đặt ẩn phụ hoàn toàn (bài toán sử dụng phương pháp đánh giá) 2   x  y   x  2 x  y  x Bài 5:Giải hệ phương trình sau    x   y  x  1(2) H ớng dẫn Đặt t  x  y (t  0)  y  x   t  x   ( x  2)t  x t  x2 phương trình (1) trở thành:  x  2t  xt  x  2t   x  4t  2t  xt   x  2t     x  2t  x  2t  t  1   x   x2  y  x  2t    x  2t  x  t  1     x  t    x   x2  y   https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang p n n p n p p n2 * x   x  y  y  0; x  thay vào (2) ta được: 1  x   (vô nghiệm) x   x      x  3  x   x2  y * thay vào(2)  x  1  2 x   y 2x 1 x2    2x   x2   x    y2 x  3x  x  y 1  x    y  Bài 6: Giải hệ phương trình sau   y  3x  x  y  x    y  H ớng dẫn: 3x ĐKXĐ y  0;1   y Đặt t   3x t  0 y    x   t  x  y 2 x( x  2) t  x  xy  2  2  y t  y t  xt  x    y t  y  2x  x  2    y 2t  y 2t  x  xy   y 2t  x    y 2t  xy     yt  x  yt  x   y  yt  x     yt  x  yt  x  y    x 2x x  1  y 0 y y  yt  x x       x  yt  y  x x  y   3x   x  y 1 y y   Giải (x,y)=(0;2);(4;4) Sử dụn kĩ năn n óm, , m, bớt đặt ẩn phụ  x3 y  x  xy   Bài Giải hệ phương trình  2  x  x y  x y 1 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang p n n p n p p n2 H ớng dẫn Phân tích: toán ta dễ dàng nhìn thấy xuất rõ ràng cách đặt ẩn phụ mà phần hệ có nhiều điểm chung Có Ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ mà thành phần hệ phương trình có điểm chung tổng tích phức tạp Nó giúp ta nhìn nhận vấn đề cách thoáng dễ dàng nhìn hương giải nhiều  x3 y  x( y  x)  1 Đưa hệ dạng:  Đặt u = x3y, v = x(y – x)   x  y  x    x y  u0  x  1 Giải hệ   v  1  y  u  3 (vô nghiệm)  v2  x  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm:   y0 x  y  Bài Giải hệ phương trình  2 3 ( x  y )( x  y )  280 H ớng dẫn Phân tích: hướng giải , ta có cách làm khác tự nhiên thay x=4-y vào phương trình số Sau giải phương trình bậc Phương trình đơn giản ta dễ dàng nhẩm nghiệm Tuy nhiên hay cách làm ẩn phụ ta giải với số lẻ cánh dễ dàng nhiều  x  y  Hệ phương trình    ( x  y )  xy  ( x  y)  3xy( x  y)   280  x  y  S ( S  P) Đặt   x y  P S  Ta có hệ:  ( S  P)( S  3PS )  280 Thế S = vào phương trình ta có: (8  P)(16  3P)  35  128  24P  16P  3P2  35 P   3P  40 P  93     P  31  L   x  y   x  1; y   Với P  3; S     x y   x  3; y  Đáp số: ( x; y)  (1;3), (3;1) 2   x y (1  y )  x y (2  y )  xy  30  Bài Giải hệ phương trình  (I) x y  x (1  y  y )  x  11    H ớng dẫn https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang p n n p n p p n2 Cách  x3 y  x3 y  x y  x y  xy  30   (I )   2   x y  x  xy  xy  y  11   xy ( x  y )  x y ( x  y )  x y  30    xy ( x  y )  ( x  y )  xy  11  S  x  y Đặt   x2  y  S  2P  P  xy  P( S  P)  P S  P  30  (1)  (I )   11  P  PS  S  P  11  (2)  S   P 1 Thế vào phương trình (1), ta có:  P4  11P3  41P2  61P  30  P   S  P   S   ( P  1)( P3  10 P  31P  30)    P   S   P   S  Thế trường hợp tương ứng S, P   21  21    21  21  Ta nghiệm hệ là:   ;  ,  ;  , (1; 2), (2;1)     Cách Đặt : a  x  y; b  xy (a  4b) ab(a  b)  30  ab  a  b  11 Đặt ab  t; a  b  k (k  4t )   x  (1; 2)  k    a    y  (2;1)    tk  30  t   b    x    21 ;  21        2   t  k  11   k   x    t  5   y        y    21 ;  21   2     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm :   21  21    21  21  ( x; y )  (1; 2); (2;1);  ; ;  ;   2 2     Nhận xét: toán việc đặt ẩn phụ thật giúp ích cho ta nhiều Hãy nhìn vào đáp số toán có xuất giá trị mà việc nhẩm nghiệm (x;y) hệ gần Như nói trên, với cách đặt ẩn cho xy x+y ta hoàn toàn thấy rõ hệ số tự không quan trọng, chí bạn thay biểu thức phức tạp theo tham số để tung hỏa mù Và toán thật sư khiến nhiều người phải chùn bước https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang p n n p n p p n2  x  y  2( x  y )  Bài Giải hệ phương trình   y ( y  x)  x  10 H ớng dẫn  x  y  2( x  y )  Hệ   y ( y  x)  x  10 ( x  1)  ( y  1)   2 ( y  x )  ( x  1)   2 a  b  Đặt a  x  1, b  y   b  a  y  x ta hệ  2 (b  a )  a   a2  b2  (b  a)2  a  a  2ab  a  a  2b - Với a   b  3  x  1, y  x  1, y  4 - Với a  2b  5b   b   a  x  1  , y  1  x  1  5 , y  1  5  x  y  xy  Bài Giải hệ phương trình   x   y   H ớng dẫn ĐK x  1, y  1, xy   x  y  xy  Hệ    x  y   ( x  1)( y  1)  16  x  y  xy    x  y  x  y  xy   14 Đặt x  y  a, xy  b a  2, b  0, a  4b2 ta hệ pt   a   b a  b  a   b      2 a  a  b   14 2 b  b   11  b 3b  26b  105    b   x    (thỏa mãn đk) a   y   2 8( x  y )  xy  ( x  y )  13  Bài Giải hệ phương trình:  I  2 x  1  x y H ớng dẫn Phân tích: thật toán khồng dễ đặt vào hoàn cảnh mà bạn gặp toán chưa biết tới pp đặt ẩn phụ Mấu chốt toán nhìn https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang p n n p n p p n2 Bài toán trở nên đơn giản sau ta xác định ẩn phụ Tuy nhiên muốn nói cách nghĩ chúng Việc xuất hiên khiến ta nghĩ tới việc tạo bình phương tổng Tuy nhiên hệ số hạng tử giúp phân tích thành tổng hiệu bình phương cách tự nhiên ĐK x  y      3( x  y )  13 5 ( x  y )  2 ( x  y )    (I )    ( x  y )    x  y    x  y    ,a 2 a  x  y  x y Đặt :   a   x  y    thay vào ta hệ x  y   b  x  y   2  5  a    3b  13 a   , b   4 thay ngược lại ta tìm nghiệm  a  b     a  2, b  1   y  x  xy  y   (1) Bài Giải hệ phương trình  2   y x  y  x y  x  (2) Lời Gi i : Lấy (2) trừ (1) ta có : xy( y  x  1)  (3 y  1) (3) (1)  y  x  xy  y   (4) u  y  x Đặt :  v  xy Thay vào (3) (4) ta có hệ: v(u  1)  (3 y  1)  u  v  y  v(6 y  v  2)  (3 y  1)  u  y   v v  2(3 y  1)v  (3 y  1)   u  y   v (v  y  1)2   u  y   v v  y   xy  y  (3 y  y ) y  y     u  y  y  x  3y  x  y  y  y  y  y   ( y  1)3  y 1      2  x  y  y  x  y  y x  Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( x; y)  (2;1) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 10 p n n p n p p n2 Nhận xét: * Bài thật thử thách khó khăn với người lúc làm theo phương pháp đặt ẩn phụ Điều đặc biệt VP (1) (2) Đây dấu hiệu phổ biến thường ta phải nhân (1) với số sau cộng trừ cho để tạo thành nhân tử Trong trường hợp may mắn cho ta hệ số tự cần nhân Do dó ta trừ cộng chúng lại trường hợp việc trừ giúp ta giải vấn đề * Điều đặc biệt thứ toán việc đặt ẩn không hoàn toàn Đó sau bước thay (3) vào (4) Lúc ta coi y tham số việc làm giúp ta xử lí đẹp toán Như nói việc đặt ẩn phụ giúp ta giải tốt toán với tham số, số kết không thật đẹp việc coi y tham số điều cần lưu ý giải toán  x6  y  15 y  14  3(2 y  x ) (1) Bài Giải hệ phương trình  (2) 4 xy  11x  y  13  Lời gi i Từ phương trình (1) ta có: x  y  15 y  14  3(2 y  x )  x  3x  y  y  15 y  14 Đặt g  y   y3  y  15 y  14  g '  y   y  12 y  15  g ''  y   y  12   y  2  g  y    y     y   a  x (a  0) Đặt :  y  b  Ta được: (1)  a  3a  b3  3b  (a  b)(a  ab  b )  3(a  b)   (a  b)(a  ab  b  3)   Ta có : b  3b2  a  ab  b    a      0, a, b 2  Do (*)  a  b   a  b  y  x  Thay y  x  vào (2) ta : x( x  2)  11x  6( x  2)  15   x3  x  x    ( x  1)(4 x  x  1)   x  x   (VN )   x  1 Với x   y  1 thử lại ta thấy thỏa mãn hệ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : ( x; y)  (1; 1) 2  x  4x  y  y  Bài Giải hệ phương trình:  2   x y  x  y  23 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 11 p n n p n p p n2 Lời gi i Biến đổi hệ phương trình đưa dạng : 2  ( x  2)  ( y  2)  10  2  ( x  2) ( y  2)  4( x  2)  4( y  2)  19 u  x  (u  2) Đặt :  v  y  Ta có : u  v  10 (u  v)2  2uv  10 (1)   uv  4(u  v)  19 uv  4(u  v)  19 (2) Thay (2) vào (1) ta :  u  v   19  4(u  v)  10   u  v   8(u  v)  48  u  v  u  v  12  Xét tới điều kiện (u  v)  4uv ta :  uv   uv  67 v   u u  v    uv  u  4u   v   u  u  1 (loai ) hoac u  (thoa) u   v  Với u  3; v  ta :  x2    x  1   y  y  1 Vậy hệ có nghiệm : ( x; y)  (1;3); (1;3)  x  y  2( x  y )  Bài 10 Giải hệ phương trình   y ( y  x)  x  10 ( x  1)2  ( y  1)   HPT   2  ( y  x)  ( x  1)  Đặt a  x  1, b  y   b  a  y  x ta hệ  a2  b2  (b  a)2  a  a  2ab  a  a  2b Với a   b  3  x  1, y  x  1, y  4 Với a  2b  5b2   b    x  1  a 6 x  1  , y  1  , y  1  5 5 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 12 p n n p n p p n2  x  y  xy  Bài 11 (A – 2006) Giải hệ phương trình:   x   y   ĐK x  1, y  1, xy  Bình phương vế PT(2) ta    x  y  xy   x  y  xy   Hệ    x  y   ( x  1)( y  1)  16  x  y  x  y  xy   14   Đặt x  y  a, xy  b a  2, b  0, a  4b2 a  b  a   b a   b   ta hpt:      2   3b  26b  105  a  a  b   14 2 b  b   11  b b   x  (thỏa mãn đk)   a   y   1  x   y  2 x y  Bài 12 Giải hệ phương trình     1  x  y xy 1  2 ĐK x, y, x  y   1 1  PT (1)   x      y     x y   x y 1  1  PT (2)    ( x  y)   x     y    6 xy x  y  1 Đặt a  x  , b  y  x y  a  3 a  b  6 Ta có hệ trở thành:    b  3   a 2  b 2  3  Thay vào ta tìm x  y  2 Sử dụng phép chia làm xu t hi n đạ l ợn đặt ẩn phụ   x   y ( y  x)  y Bài Giải hệ phương trình   ( x  1)( y  x  2)  y (1) (2) Lời giải Ta thấy y = không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với  x2   yx4   y   x  ( y  x  2)   y https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13 p Đặt u  n n p n p p n2 u  v   (u  1; v  1) v  y  x  ta có hệ  uv  x2  , y  x2   y ( x  1; y  2)  Ta có hệ  ( x  2; y  5) x  y  Hệ phương trình cho có nghiệm Bài Giải hệ phương trình x3 y 19 x3 y xy 6x2 H ớng dẫn Nhận thấy x=0 nghiệm nên x3 y x2 HPT a3 y Bài Giải hệ phương trình y x x y y 3x3 125 x a y y x x 19 x 19 y2 x 3ab a.b y 19 y x y, b 45 x y y2 75 x H ớng dẫn Nhận thấy y=0 nghiệm hệ nên: 27 x HPT a3 15 3x y b3 a.b a b 125 y3 5x y2 3x 3x y 3x y y 6 Bài Giải hệ phương trình x3 3y x y3 H ớng dẫn Nhận thấy x=0 nghiệm nên 3y 3y t3 x3 t HPT 3 x y 3t y3 x 4  2  x y  xy  y   2(3   x) y Bài Giải hệ phương trình    x y x 3 H ớng dẫn Xét y  chia vế cho y ta phương trình sau https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 14 p n n p n p p n2 2x  x2      2  x y y y       x     x   1   2 y  y     t Ta được: 2t  t    2  t  y 1 Với t  Ta có: x    y  y 3 x Đặt x  Thay vào phương trình ta x x3 3 x x   y    x    y   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y), (2;1), (4  2; 1  1);(4  2;   1)  x( x  y  1)    Bài (D – 2009 ) Giải hệ phương trình  ( x  y)2     x  H ớng dẫn   x  y   x   ĐK x  Khi HPT   ( x  y )          x  Đặt x  y  a,  b ta hệ : x a   3b  a  3b     2 a  5b   (3b  1)  5b    a  2, b  x  y     a  , b   x  2, y    2    x  y  x y  xy  xy   Bài (A – 2008) Giải hệ phương trình   x  y  xy (1  x)    H ớng dẫn  2 ( x  y )  xy ( x  y  1)   HPT   ( x  y )  xy    x  y  a Đặt  ta :  xy  b https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 15 p n n p n p p n2 5   a  a  ab  a  0, b   a  b(a  1)        5 a   , b   a  b   b    a    2  3  25     Vậy tập nghiệm hệ pt S = 1;   ;  ;    2  16       y( x  7)  x   Bài Giải hệ phương trình  2 21y  x  ( xy  1) H ớng dẫn Nhận thấy x=0, y=0 không nghiệm nên ta chia PT1 cho y chia PT2 cho y2 ta x  x   y  y  a  b    y ( x  7)  x   x   a, x   b ta hệ    Đặt 2 2 2 y y 21  a  b 21y  x  ( xy  1) 21  x   x      y2  y  Giải hệ PP ta nghiệm cần tìm  xy  x   y Bài (B – 2009 ) Giải hệ phương trình  2  x y  xy   13 y H ớng dẫn Lần lượt chia PT(1), PT(2) cho y; y đặt ẩn phụ 2   x  y  xy   y Bài 10 Giải hệ phương trình  2   y( x  y)  x  y  H ớng dẫn Chia vế PT cho y đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ dạng tổng hi u Với cách đặt tổng – hiệu ta nên áp dụng cho hệ mà có phương trình chứa hạng tử bậc 1, 2, 3, 1/2 Những hạng tử bậc cao thấp trở nên công kềnh áp dụng phương pháp Và việc đặt ẩn phụ tổng hiệu không gò bó với cách đặt x  y  a, x  y  b mà theo toán cụ  f   x  y    a thể ta đặt biểu thức có dạng tổng dạng hiệu làm ẩn phụ   g   x  y    b   x y a  x  y  a ,  x  y  b x  y  b     https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 16 p n n p n p p n2  2 3( x  y )  xy  ( x  y )   Bài Giải hệ phương trình  2 x    x y H ớng dẫn 2 Chú ý: Các biểu thức x  y , xy, x, y biểu diễn theo x+y, x-y nên toán túy yếu tố nên chọn phương pháp “đặt ẩn phụ dạng tổng hi ” Viết lại hệ phương trình cho dạng:  2 ( x  y )  2( x  y )  ( x  y )    ( x  y )  ( x  y )    x y Ta đặt :  a 2b  2b  4b   a  2b    x  y  a    b    x  y  b a  b   a    b b   b Ta vào tìm nghiệm 6 x y  y  35   Bài Giải hệ phương trình  2  5 x  y  xy  x  13 y  H ớng dẫn Nhận xét: Trong hệ phương trình mà đề chưa định hướng cho cách đặt ẩn phụ hệ này, ta có hướng giải: - Phân tích thành phương trình tích: pt (1) dễ thấy không thể, pt (2) ta đưa tam thức bậc ẩn y với x tham số ∆= 96 x2  48 x 169 phân tích thành tích - Trở lưu ý cặp số biểu diễn dạng tổng hiệu nên: 35  3 3  x  a  b a  b   8a  8b  35 Ta đặt :   HPT     y  a b 6a  9a  4b  4b  6a  9a  4b  4b   Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có: Lấy PT(1)-6PT(2) ta được: (2a  3)3  (2b  2)3   2a   2b   2a  2b   Đến bạn tự thay vào lại tìm a, b => x, y 2   x  y  y  28 Bài Giải hệ phương trình :    xy  x   x  y  x  y  H ớng dẫn Cách 1: cách tự nhiên ta đặt thành biến ta được: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 17 p n n p n p p n2 xy  x   a  xy  x   a x  y  b  x  y  b  x  b  y  x  xy  y  b  x  y  x   a  b  x  y  b  y   a  b  x  y  y  a  b  b  2 a  b  b   28  x  y  y  28     xy  x   x  y  x  y  a  b  b  Đến cần sử dụng phương pháp rút - giải toán, công đoạn tính toán tìm a, b công kềnh Cách 2: ta thử cách đặt tổng hiệu để xem toán có trở lên tính toán nhẹ nhàng ? Do phương trình hệ chứa x y nên ta đặt hiệu x y  a  b2 x  a  x  y    Ta đặt :  b  x  y  b   y  a b  2a  2b   a  b   102 a  a  56  b  b    HPT     a  a  b4  b2  a  b a  b2  b2  b   2     b2  b    2     25  b  b  b  b   25  b  b   b  b   b  b 25  b  b  25   b  1 b      b  1 b2   b  1   b  2   b 1  25  b  b  25  b  Vậy ta có:  a  a  56 Đến bạn tự giải tiếp Như với cách đặt ẩn phụ tổng – hi u ta đưa toán với hệ dễ giải nhiều ưu phương pháp bí cách làm cách đặt thông thường đưa hệ khó giải  2  1  x  y  xy   x  y  Bài 4: Giải hệ phương trình sau   x    2  x y H ớng dẫn ĐKXĐ x+y≠0 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 18 p n n p n p p n2 a  x  y ab  Đặt    ab    x x y b  x  y  x  y  (1) Được viết lại thành: 3 x  y    x  y     x  y 7    3 x  y    x  y   7 x y   3a  b  a  b  Hệ trở thành:  2 3a  b  Giải hệ ta được:a=0;b=3⇒x=y=1 Nhận xét: hệ đặt x+y=a; x-y=b giải biểu thức cồng kềnh Hơn có chứa phân thức nên ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ có chứa phân thức Đặt a=x-y;b= k  x  y thay vào hệ cân hệ số để tìm k x y Giáo viên: Nguy n Bá Tu n Nguồn https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan : Hocmai.vn Trang 19 [...]... 1 Giải hệ phương trình  2  ( x  1)( y  x  2)  y (1) (2) Lời giải Ta thấy y = 0 không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với  x2  1  yx4   y  2  x  1 ( y  x  2)  1  y https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13 p Đặt u  n n p n p p n2 u  v  2  (u  1; v  1) v  y  x  2 ta có hệ  uv  1 x2  1 , y  x2  1  y ( x  1; y  2)  Ta có hệ. .. x  2; y  5) x  y  1 Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm trên Bài 2 Giải hệ phương trình 1 x3 y 3 19 x3 y xy 2 6x2 H ớng dẫn Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm nên 1 x3 y x2 HPT a3 y 6 Bài 3 Giải hệ phương trình 3 y 1 x x y 6 9 y 3 3x3 1 125 1 x a y y 1 x x 6 19 3 1 x 19 y2 x 3ab a.b 3 y 19 y x y, b 45 x 2 y 0 6 y2 75 x H ớng dẫn Nhận thấy y=0 không phải là nghiệm của hệ nên: 27 x HPT a3 3 9 15...  2 x  1  0 (VN )   x  1 Với x  1  y  1 thử lại ta thấy thỏa mãn hệ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : ( x; y)  (1; 1) 4 2 2  x  4x  y  4 y  2 Bài 9 Giải hệ phương trình:  2 2   x y  2 x  6 y  23 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 11 p n n p n p p n2 Lời gi i Biến đổi hệ phương trình đưa về dạng : 2 2 2  ( x  2)  ( y  2)  10  2 2  ( x  2) ( y ...  1  3 a  3   b b   b Ta thế vào và tìm nghiệm 6 x 2 y  2 y 3  35  0  Bài 2 Giải hệ phương trình  2 2  5 x  5 y  2 xy  5 x  13 y  0 H ớng dẫn Nhận xét: Trong các hệ phương trình mà đề bài chưa định hướng cho chúng ta cách đặt ẩn phụ như hệ này, ta có 2 hướng giải: - Phân tích thành phương trình tích: pt (1) dễ thấy là không thể, pt (2) ta đưa về tam thức bậc 2 ẩn y với x là tham... b  25  b  1 Vậy ta có:  2 a  a  56 Đến đây các bạn tự giải tiếp Như vậy với cách đặt ẩn phụ tổng – hi u ta đưa được về bài toán với hệ mới dễ giải hơn rất nhiều đây cũng là 1 ưu thế của phương pháp này khi bí cách làm hoặc cách đặt thông thường đưa về hệ khó giải 1 5  2 2  1 2  x  y  xy   x  y 4  Bài 4: Giải hệ phương trình sau   x  1  3  2  x y 2 H ớng dẫn ĐKXĐ x+y≠0 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan... a b 125 y3 5x y2 0 6 3x 3x 5 y 3 5 3x y 3 9 5 y 6 6 Bài 4 Giải hệ phương trình x3 2 3y x y3 2 1 3 H ớng dẫn Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm nên 1 2 3y 2 3y t3 1 x3 t HPT 3 3 x y 3t 2 y3 2 x 2 4 2 4 2  2  x y  2 xy  y  1  2(3  2  x) y Bài 5 Giải hệ phương trình  2   x y x 3 H ớng dẫn 2 Xét y  0 chia 2 vế cho y ta được phương trình mới như sau https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan... 2 y y 21  a  b 21y  x  ( xy  1) 21  x   x  1     y2  y  Giải hệ trên bằng PP thế ta được nghiệm cần tìm  xy  x  1  7 y Bài 9 (B – 2009 ) Giải hệ phương trình  2 2 2  x y  xy  1  13 y H ớng dẫn Lần lượt chia PT(1), PT(2) cho y; y và đặt ẩn phụ 2 2 2   x  y  xy  1  4 y Bài 10 Giải hệ phương trình  2 2   y( x  y)  2 x  7 y  2 H ớng dẫn Chia 2 vế của 2 PT cho y...  6  2 2  t  3 2 y 1 1 Với t  3 Ta có: x  2  3  y 2  y 3 x Đặt x  Thay vào phương trình 2 ta được x 1 x3 3 x x  2  y  1   x  4  2  y   Vậy hệ phương trình trên có 3 nghiệm là ( x; y), (2;1), (4  2; 2 1 2  1);(4  2;  2  1)  x( x  y  1)  3  0  Bài 6 (D – 2009 ) Giải hệ phương trình  5 ( x  y)2  2  1  0  x  H ớng dẫn 1   x  y  1  3 x  0  ĐK x  0 ... 16 p n n p n p p n2 1  2 2 3( x  y )  2 xy  ( x  y ) 2  4  Bài 1 Giải hệ phương trình  2 x  1  3  x y H ớng dẫn 2 2 Chú ý: Các biểu thức như x  y , xy, x, y đều biểu diễn được theo x+y, x-y nên trong các bài toán chỉ thuần túy những yếu tố như vậy nên chọn phương pháp “đặt ẩn phụ dạng tổng hi ” Viết lại hệ phương trình đã cho dưới dạng: 1  2 2 ( x  y )  2( x  y )  ( x  y ) 2 ... xử lí đẹp bài toán hơn Như đã nói ở trên việc đặt ẩn phụ giúp ta giải quyết tốt những bài toán với tham số, số bất kì dù cho kết quả không thật sự đẹp việc coi y như là tham số cũng là 1 điều cần lưu ý khi giải toán  x6  y 3  15 y  14  3(2 y 2  x 2 ) (1) Bài 8 Giải hệ phương trình  (2) 4 xy  11x  6 y  13  0 Lời gi i Từ phương trình (1) ta có: x 6  y 3  15 y  14  3(2 y 2  x 2 )  x 6 ... đặt ẩn phụ p đặt ẩn phụ phương pháp mạnh để giải hệ phương trình Từ hệ phức tạp sau vài bước đặt ẩn phụ đưa dạng hệ mà ta dễ dàng giải Thông thường thấy phương trình hệ có cụm hạng tử phức tạp...  Bài Giải hệ phương trình  2 3 ( x  y )( x  y )  280 H ớng dẫn Phân tích: hướng giải , ta có cách làm khác tự nhiên thay x=4-y vào phương trình số Sau giải phương trình bậc Phương trình. .. Bài Giải hệ phương trình  2  5 x  y  xy  x  13 y  H ớng dẫn Nhận xét: Trong hệ phương trình mà đề chưa định hướng cho cách đặt ẩn phụ hệ này, ta có hướng giải: - Phân tích thành phương trình