PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số hệ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG gặp đối với học SINH TRUNG học PHỔ THÔNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MỤC LỤC Mở đầu… Người thực hiện: Nguyễn Xuân Dũng 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiênChức cứu……………………………………………… vụ: Giáo viên 1.3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài……………………………… SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………………… 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn ………………………………… 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 1………………………………… 2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại ……………………… ………… 2.1.4 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn ……………………………………………………… 2.1.5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai ……………………………… 2.1.6 Biểu thức liên hợp…………………………………… ………… THANH HÓA NĂM 2019 2.1.7 Phương pháp đánh giá …………………………… …………… 2.1.8 Phương pháp hàm số …………………………… …………… 2.2 Thực trạng vấn đề……………………………………………… Trang 2 2 3 3 4 5 6 2.2.1 Thực trạng vấn đề………………………………………………… 2.2.2 Kết thực trạng…………………………………………… 2.3 Giải vấn đề ………………………………………………… 2.3.1 Phương pháp chia hai vế phương trình hệ cho ẩn cụm ẩn………………………………………………………… 2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số …………………………………… 2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp……………………………………… 2.3.4 Phương pháp phân tích phương trình hệ thành nhân tử 2.3.5 Phương pháp xem phương trình hệ phương trình bậc hai……………………………………………………………………… 2.3.6 Phương pháp rút ẩn cụm ẩn số……………… 2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ ……………………………… ………… 2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số………………………… ………… 2.3.9 Phương pháp đánh giá………………………… ………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………………… Kết luận, kiến nghị……………………… Tài liệu tham khảo… Phụ lục…………………………………………………………………… 6 6 11 12 13 15 16 16 17 18 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Chuyên đề hệ phương trình phần quan trọng chương trình Tốn bậc THPT, thường gặp kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp Mặc dù học sinh cọ sát phần nhiều, song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải Nguyên nhân vì: Thứ nhất, hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, đòi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần đơn giản, tài liệu tham khảo đề cập đến phần nhiều chưa phân loại dựa gốc toán nên học, học sinh chưa có liên kết, định hình chưa có nhìn tổng qt hệ phương trình Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát tốn tìm tốn xuất phát, chưa biết toán đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em Chính thân chọn đề tài “Phương pháp giải số hệ phương trình thường gặp học sinh trung học phổ thông ” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách giải tốn hệ phương trình chương trình tốn bậc THPT Từ tổng hợp thành phương pháp cần thiết hay áp dụng giải hệ phương trình Tìm tổng hợp phương pháp áp dụng để giải hệ phương trình chương trình mơn Tốn bậc THPT, áp dụng vào giải thành thạo toán hệ đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu giải tốn hệ phương trình đại số, hệ phương trình mũ lơgarit, hệ phương trình lượng giác Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia quốc tế, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Các kỉ yếu, hội thảo chuyên đề công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trường chuyên nước 1.4 Phương pháp nghiên cứu Khi thực đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 2.1.1.1 Định nghĩa: Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát a1 x + b1 y = c1 (1)  a2 x + b2 y = c2 Trong x, y hai ẩn; chữ số lại hệ số Nếu cặp số ( x0 ; y0 ) đồng thời nghiệm hai phương trình hệ ( x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) tìm tập nghiệm 2.1.1.2 Phương pháp giải Phương pháp rút Phương pháp cộng, trừ đại số Phương pháp dùng đồ thị Phương pháp dùng định thức Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x + y =  3 x − y = 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2.1.2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng F ( x ; y) =  G ( x ; y ) = Trong F ( x ; y ) = 0, G ( x ; y ) = đa thức đối xứng với x, y 2.1.2.2 Phương pháp giải  F1 ( S ; P ) = Đưa hệ phương trình dạng  G1 ( S ; P) = Trong x + y = S   xy = P Với điều kiện S ≥ 4P Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x + y + xy =  2  x + y + xy = 2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại 2.1.3.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng F ( x ; y) =   F ( y ; x ) = Trong F ( x ; y ) = đa thức không đối xứng với x, y 2.1.3.2 Phương pháp giải Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta phương trình F ( x ; y ) − F ( y ; x) = Viết phương trình dạng ( x − y )G ( x ; y ) = ( x − y ) = G ( x ; y ) = Suy Hệ phương trình cho tương đương với hai hệ phương trình x − y =   F ( x ; y ) = Hoặc G ( x ; y ) =   F ( x ; y ) = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x3 − = y   y − = x 2.1.4 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn 2.1.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn hệ phương trình có dạng ax + by = c  2 a1 x + b1 y + c1 xy + dx + ey = f 2.1.4.2 Phương pháp giải Từ phương trình bậc hệ rút ẩn theo ẩn lại vào phương trình bậc hai Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 2 x + y =  2 5 x − y + x − y = 2.1.5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 2.1.5.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai hệ phương trình có dạng 2  a1 x + b1 xy + c1 y = d1  2  a2 x + b2 xy + c2 y = d 2.1.5.2 Phương pháp giải Cách Kiểm tra với x = có thỏa mãn hệ phương trình khơng, đặt y = kx vào hệ chia vế cho vế hệ ta tìm k từ tìm x, y Cách Khử hệ số hạng chứa x y phương trình hệ sau rút Cách Khử hệ số tự phương trình hệ đưa dạng ax + bxy + cy = Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 2   x + xy + y =  2  2 x − 3xy + y = 2.1.6 Biểu thức liên hợp Hai biểu thức A + B A − B gọi hai biểu thức liên hợp với Khi ta có ( A + B)( A − B ) = A2 − B Hai biểu thức A + B A2 − AB + B gọi hai biểu thức liên hợp với Khi ta có ( A + B )( A2 − AB + B ) = A3 + B Hai biểu thức A − B A2 + AB + B gọi hai biểu thức liên hợp với Khi ta có ( A − B )( A2 + AB + B ) = A3 − B Tổng quát: Hai biểu thức A − B An−1 + An−2 B + + B n−1 gọi hai biểu thức liên hợp với Khi ( A − B)( An−1 + An −2 B + + B n −1 ) = An − B n , với n số tự nhiên Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  x − y + y = x + y   y − + x + + y + y = 10 2.1.7 Phương pháp đánh giá Một số bất đẳng thức thường sử dụng • a ≥ với giá trị a , dấu xảy a = • a + b + c ≥ với giá trị a, b, c , dấu xảy a = b = c = • a + b ≥ 2ab với giá trị a, b, dấu xảy a = b • Cho a ≥ b ≥ a+b ≥ ab Dấu xảy a = b • Cho a, b, c khơng âm a+b+c ≥ abc Dấu xảy a = b = c • (a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) , với giá trị a, b, c, d , dấu xảy ad = bc • a + b + c + d ≥ (a + c )2 + (b + d )2 , với giá trị a, b, c, d , dấu xảy ad = bc  ac + bd ≥ Ví dụ 7: (đề thi Đại học khối A, năm 2014) Giải hệ phương trình  x 12 − y + y (12 − x ) = 12   x − x − = y − 2.1.8 Phương pháp hàm số Tính chất Nếu f hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) phương trình f ( x) = có nghiệm nghiệm Tính chất 2.Nếu f hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) phương trình f (u ) = f (v) tương đương u = v với u , v thuộc (a; b) Ví dụ 8: Giải hệ phương trình  x − − y − = 24 − x  ( x − 1) + = y 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thực trạng vấn đề Trong trình giảng dạy học sinh giỏi ,ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi đại học – cao đẳng , nhận thấy phần hệ phương trình đại số học sinh tương đối gặp khó khăn cách giải, khơng biết phải sử lý tình kiến thức em biết 2.2.2 Kết thực trạng Nếu trang bị cho em kỹ ,tình bản, từ giúp học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho thân có vấn đề em giải nhanh chóng cho lời giải tương đối đẹp Từ thực trạng kết trên, để cơng việc giải tốn hệ phương trình đại số học sinh đạt hiệu tốt mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Phương pháp giải hệ số hệ phương trình thường gặp học sinh trung học phổ thông ” 2.3 Giải vấn đề Một hệ phương trình có nhiều hướng giải mấu chốt tốn tìm hướng biến đổi ban đầu Đó điều quan trọng định cơng việc giải tiếp theo, giống mở sợ dây mà tìm nốt thắt Do để giải thành cơng hệ phương trình tác giả đưa số phương pháp trình giải hệ 2.3.1 Phương pháp chia hai vế phương trình hệ cho ẩn cụm ẩn Ví dụ 2.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2009) Giải hệ phương trình  xy + x + = y  2  x y + xy + = 13 y Lời giải Với y = hệ trở thành x + =  1 = Hệ vô nghiệm Với y ≠ hệ trở thành x  x + + =7  y y   x + x + = 13  y y2 Hệ phương trình tương đương với hệ sau x  x + + =7  y y  ( x + ) − x = 13  y y Đặt  x + =a  y (*)  x  = b  y Hệ phương trình tương đương với hệ sau a + b =  a − b = 13 Từ phương trình thứ ta có b = − a vào phương trình thứ hai ta có a + a − 20 = Giải phương trình ta có a = −5 a = Với a = −5 b = 12 theo cách đặt (*) ta có  x + = −5  y   x = 12  y Hay  12 y + = −5 y   x = 12 y  Hệ phương trình tương đương với hệ 12 y + y + =   x = 12 y Ta thấy hệ phương trình vơ nghiệm Với a = b = theo cách đặt (*) ta có  x + =4  y   x =  y Hệ tương đương với hệ phương trình sau  3 y + = y   x = y  Giải hệ ta x = y = x = y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (3;1) (1; ) Nhận xét Ta thấy nhờ chia vế phương trình cho ẩn, mà ta đưa hệ phương trình phức tạp thành hệ phương trình đơn giản, cho lời giải nhanh chóng, tốn giải So với giải cách thông thường rút ẩn y ẩn x từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai phương trình bậc bốn phức tạp trí khơng giải 2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số Ví dụ 2.3.2 (đề thi chuyên Lam Sơn, năm 2006) Giải hệ phương trình 2  x − x y + x y =   x y − x + xy = −1 Lời giải Trừ vế phương trình thứ cho phương trình thứ hai ta x − x y + x y + x − xy − = Phương trình tương đương với ( x − xy )2 + x − xy − = Giải phương trình ta x − xy = x − xy = −2 Hệ cho tương đương với hai hệ  x − xy = (I)   x y − x + xy = −1  x − xy = −2 Hoặc   x y − x + xy = −1 Ta có (I) tương đương với hệ  x − xy =   x y = Giải hệ ta x = y = x = −1 y = Ta có (II) tương đương với hệ  x − xy = −2   x y = −3 Từ phương trình thứ ta có y=− x Thế vào phương trình thứ hai ta (II) x2 + = −2 x2 Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (1;0) (−1;0) Nhận xét Nhờ trừ vế mà ta thu mối quan hệ ẩn, nên giải tốn cách ngắn gọn So với cách giải thông thường rút ẩn y từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ phức tạp, khó khăn q trình biến đổi 2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 2.3.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2014) Giải hệ phương trình (1 − y) x − y + x = + ( x − y − 1) y ( )  2 y − 3x + y + = x − y − x − y − Lời giải Điều kiện y ≥  x ≥ y 4 x ≥ y +  Phương trình thứ hệ tương đương với phương trình (1 − y )( x − y − 1) + ( x − y − 1)(1 − y ) = Hay 1 (1 − y )( x − y − 1)( + ) = x − y +1 1+ y Do 1 + > x − y +1+ 1+ y Nên phương trình trở thành y = y = x − Với y = thay vào phương trình thứ hai hệ ta có x = Với y = x − thay vào phương trình thứ hai hệ ta có 2x2 − x − = − x (1) Giải phương trình (1) Điều kiện ≤ x ≤ Ta có phương trình (1) tương đương với phương trình 2( x − x − 1) + ( x − − − x ) = Hay ( x − x − 1)(2 + ) = x −1+ − x x2 − x − = Suy 10 x3 + 3x − f '( x ) = ( x + 1) f '( x) = 0, suy x = Ta có Ta có bảng biến thiên sau x − f '( x) f ( x) +∞ + +∞ Từ bảng biến thiên ta có y + xy = Vậy nên ta có y + xy − x3 − x + ≥ x +1 + > x+ y xy + ( x − y )( xy − 2) + y Do từ phương trình (1) ta có y = x vào phương trình thứ hai hệ ta x − x − 3x + = + 17 Giải phương trình kết hợp với x ≥ ta có x = x = Thử lại điều kiện, ta có hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (1;1) (1 + 17 ; + 17 ) 2 2.3.4 Phương pháp phân tích phương trình hệ thành nhân tử Ví dụ 2.3.4 (đề thi Đại học khối A, năm 2011) Giải hệ phương trình 5 x y − xy + y − 2( x + y ) =  2 xy ( x + y ) + = ( x + y )  Lời giải Ta có phương trình thứ hai tương đương với ( xy − 1)( x + y − 2) = hay xy = x + y = Với xy = từ phương trình thứ ta có y − y + = Giải phương trình ta y = hay y = y = −1 Khi y = x = 1, y = −1 x = −1 Với x + y = từ phương trình thứ ta có 12 y ( x + y ) − xy + x y − 2( x + y ) = y − xy + x y − 2( x + y ) = Hay Phân tích thành nhân tử ta (1 − xy )(2 y − x) = Suy xy = y − x = Với xy = ta xét Với y − x = 0, suy x = y , vào x + y = ta y= 10 10 y = − 5 10 10 x = 5 10 10 Khi y = − x = − 5 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm phân biệt 10 10 10 10 (1;1); (−1; −1); ( ; ); ( − ;− ) 5 5 2.3.5 Phương pháp xem phương trình hệ phương trình bậc hai Ví dụ 2.3.5 (đề thi Đại học khối B, năm 2013) Giải hệ phương trình  x + y − xy + 3x − y + =  2  x − y + x + = x + y + x + y Lời giải Điều kiện 2 x + y ≥   x + y ≥ Phương trình thứ hệ viết thành y − (3x + 2) y + x + x + = (1) Xem phương trình (1) phương trình bậc hai ẩn y ẩn x tham số Giải phương trình ta y = x + y = x + Với y = x + vào phương trình thứ hai hệ ta 3( x − x) + ( x + − x + 1) + ( x + − x + 4) = Nhân biểu thức liên hợp ta 1 ( x − x)(3 + + ) = x + + 3x + x + + x + Do 1 3+ + > x + + 3x + x + + x + Nên giải phương trình ta x = x = Khi x = y = 1, x = y = Khi y = 13 Với y = x + vào phương trình thứ hai hệ ta x + ( x + − 1) + ( x + − 2) = Nhân biểu thức liên hợp ta x(3 + + ) = + 4x + + 9x + Do 3+ + > + 4x + + 9x + Nên phương trình tương đương với x = suy y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (0;1) (1;2) Nhận xét Nhờ xem phương trình thứ hệ phương trình bậc hai ẩn y ẩn x tham số ta nhanh chóng tìm ta mối quan hệ ẩn Từ tốn giải Nếu khơng dùng phương trình bậc hai khó phân tích thành nhân tử tìm nhân tử chung 2.3.6 Phương pháp rút ẩn cụm ẩn số Ví dụ 2.3.6.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2008) Giải hệ phương trình  x + x3 y + x y = x +   x + xy = x + Lời giải Hệ phương trình tương đương với hệ sau ( x + xy ) = x +   x2  xy = x + −  Từ phương trình thứ hai, vào phương trình thứ ta x2 ( x + x + − ) = x + Khai triển rút gọn ta phương trình x + 12 x3 + 48 x + 64 x = Giải phương trình ta x = x = −4 Với x = khơng thỏa mãn hệ phương trình 17 Với x = −4 y = 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( −4; ) x Nhận xét Nhờ rút cụm ẩn xy = x + − phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta phương trình bậc bốn ẩn x giải Bài toán giải xong cho lời giải ngắn gọn Ví dụ 2.3.6.2 (đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa, năm 2008) Giải hệ phương trình 14  x + y = xy   x + y = xy Lời giải Hệ phương trình tương đương với hệ sau  x + y = xy  3 3 ( x + y ) − xy ( x + y ) = xy Thế phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta phương trình x3 y − x y = xy Phân tích thành phương trình xy (4 x y − xy − 1) = Giải phương trình ta x = y = xy = xy = − y = Với x = phương trình thứ suy Với y = phương trình thứ suy x = Với xy = suy x = vào phương trình thứ ta có y + y = y y Giải phương trình ta y = y = −1 Khi y = x = , y = −1 x = −1 −1 Với xy = suy x = − vào phương trình thứ ta có 4y y − + y3 = − 4y −1 + −1 − y = 4 1 − y = − −1 Khi suy y = 2 1 x = − y = − Khi 2 −1 1 − x = Khi y = − 2 −1 Vậy hệ cho có bốn nghiệm phân biệt −1 1 ; − 1) ( ;− (1;1);( −1; −1) ; ( −1 2 −1 Giải phương trình ta y = − 1) 2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 2.3.7 Giải hệ phương trình 15 ( x − 1) y + ( x − 3)( y + 2) =  2  x − y = x + y + Lời giải Hệ phương trình tương đương với hệ ( x − 2)( y + 1) =  2 ( x − 2) − 3( y + 1) = Đặt x − = a   y + = b Hệ trở thành ab =  2 a − 3b = Từ phương trình thứ suy b = vào phương trình thứ hai ta a a − = a Giải phương trình ta a = a = − 1 , suy x = + y = −1 + Với a = b = 3 1 , suy x = − y = −1 − Với a = − b = − 3 1 ) (2 − 3; −1 − ) Vậy hệ cho có hai nghiệm phân biệt (2 + 3; −1 + 3 Nhận xét Nhờ đặt ẩn phụ mà ta giải tốn cách nhanh chóng so với cách giải thơng thường rút khó khăn, phương trình thu có nghiệm xấu 2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số Ví dụ 2.3.8 (đề thi Đại học khối A, năm 2013) Giải hệ phương trình   x + + x −1 − y + = y ( )  2 x + x ( y − 1) + y − y + =   Lời giải Điều kiện x ≥ Từ phương trình thứ hai ta có y = ( x + y − 1) suy y ≥ Đặt u = x − u ≥ Phương trình thứ trở thành u4 + + u = y4 + + y (1) 16 Xét hàm số f (t ) = t + + t liên tục xác định [ 0; +∞ ) Ta có 2t f '(t ) = + > 0, với t ≥ t4 + Nên hàm số f (t ) = t + + t đồng biến [ 0; +∞ ) Do (1) tương đương với y = u nghĩa x = y + vào phương trình thứ hai hệ ta y ( y + y + y − 4) = (2) Xét hàm số g ( y ) = y + y + y − [ 0; +∞ ) Ta có g '( y ) = y + y + > với y ≥ Mà g (1) = nên (2) có hai nghiệm phân biệt y = y = Với y = x = 1, với y = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm hai nghiệm phân biệt (1;0) (2;1) 2.3.9 Phương pháp đánh giá Ví dụ 2.3.9 ([4]) Giải hệ phương trình  y = − x3 + 3x +   x = y − y − Lời giải Hệ phương trình tương đương với  y − = (2 − x)( x + 1)   x − = 2( y − 2)( y + 1) Từ phương trình thứ hệ ta thấy Nếu y > x < nên phương trình thứ hai vơ nghiệm Nếu y < x > nên phương trình thứ hai vơ nghiệm Nếu y = x = nên phương trình thứ hai thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (2;2) Nhận xét Đây tốn khó, rút theo cách thơng thường phương trình bậc chín phức tạp, chí khơng giải được, qua sử dụng kỹ đánh giá ta giải nhanh chóng toán cho kết ngắn gọn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đề tài áp dụng thường xuyên lớp kết đạt tương đối tốt, học sinh giải nhiều tốn hệ phương trình đại số , em thích dần với tập giải hệ phương trình đại số, học tập hăng say tích cực nhiều tạo cho em niềm tin giải tốn, góp phần nâng cao kết thi đại học học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn 17 Đề tài thành viên tổ Tốn góp ý đánh giá tốt, đề tài thầy cô áp dụng rộng rãi với đối tượng học sinh lớp phụ trách, đem lại hiệu thiết thực giảng dạy mơn Tốn Trường THPT nay.So với cách làm cũ không giải hệ phương trình bình thường, khơng giúp cho em thấy dạng quên thuộc, kỷ cần thiết Nếu trang bị cho em kỹ cần thiết nhìn vào tốn giải hệ phương trình em phần thấy cách giải Trong năm học 2015 -2016, 2016 -2017, 2017 -2018, 2018-2019 tơi thực nghiệm đề tài lớp 12A1,12A2 và12C4, 12C6 kết cụ thể sau: Loại Đối tượng Áp dụng thường xuyên lớp 12 A1 Áp dụng thường xuyên lớp 12 A2 Không áp dụng thường xuyên lớp 12C4 Không áp dụng thường xuyên lớp 12C6 Loại giỏi Loại Loại trung bình Loại yếu 20 % 50 % 30 % 0% 15 % 50 % 30 % 5% 0% 30 % 50 % 20 % 0% 20 % 55 % 25% Kết luận kiến nghị : Đề tài đưa số phương pháp thường gặp giải tốn hệ phương trình chương trình tốn học THPT qua kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, Quốc gia tuyển sinh Đại học Cao đẳng Xây dựng chọn lọc ví dụ minh họa sinh động Đề tài góp phần hình thành kỹ giải tốn cần thiết cho học sinh THPT tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi thiết thực thầy giáo dạy tốn bậc THPT, để từ nâng cao chất lượng giảng dạy học tập, tạo niềm tin, khuyến khích say mê khám phá vẻ đẹp Tốn Cơng tác nghiên cứu khoa học cấp cần phát huy nữa, để công tác dạy học ngày đạt hiệu cao Để có giảng hay ,sáng 18 kiến đổi giảng dạy mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, phù hợp với phát triển Đất nước Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn để trao đổi chuyên môn,xây dựng tiết dạy phù hợp với đối tượng học sinh, phải xem sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn công việc để trau dồi chuyên môn, tự học tập lẫn giúp tiến Đề tài đồng nghiệp góp ý chân thành.Để đề tài thực tốt cần có buổi sinh hoạt, xêmina toán học để em học sinh bày tỏ quan điểm tự giúp em phát sai lầm thông qua giải Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu xót để hồn thiện tác giả mong bổ xung góp ý chân thành đồng nghiệp./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Nguyễn Xuân Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính, Lê Thống Nhất, Đào Tam, Vũ Dương Thụy (1993), Các giảng luyện thi mơn tốn tập hai, nhà xuất Giáo dục [2] Phạm Kim Chung, Dương Văn Sơn, Đào Văn Trung (2014), Rèn luyện kỹ tư giải toán hệ phương trình, nhà xuất ĐHQG Hà Nội [3] Đặng Thành Nam (2014), Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình, nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Báo toán học tuổi trẻ [5] Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, Quốc gia, Quốc tế, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng mơn Tốn 19 [6] Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2018 Bộ GD&ĐT [7] Đề thi thử THPT quốc gia trường THPT tồn quốc [8] Nguồn Internet PHỤ LỤC Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x + y =  3 x − y = Lời giải Cộng hai vế hệ phương cho ta phương trình x = hay x = Với x = vào phương trình thứ hệ ta có y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = (1;1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x + y + xy =  2  x + y + xy = Lời giải Hệ phương trình tương đương với  x + y + xy =  ( x + y ) − xy = Đặt 20 x + y = S   xy = P S ≥ P Với điều kiện Hệ phương trình trở thành S + P =   S − P = Cộng vế hai phương trình hệ ta S + S − 12 = Giải phương trình ta S = −4 S = Với S = −4 P = khơng thỏa mãn điều kiện Với S = P = theo cách đặt ta có x + y =   xy = x = x = Giải hệ phương trình ta   y =1 y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y ) = (2;1) ( x ; y ) = (1;2) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x3 − = y   y − = x Lời giải Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta x − y + x − y = Phương trình viết thành ( x − y )( x + y + xy + 1) = hay x − y = Hệ phương trình cho tương đương với hệ x − y =   x − = y Từ phương trình thứ suy x = y vào phương trình thư hai ta x3 − x − = Giải phương trình ta x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = (2;2) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 2 x + y =  2 5 x − y + x − y = 21 Lời giải Từ phương trình thứ ta có y = − x vào phương trình thứ hai ta x − (3 − x ) + x − 3(3 − x) = Suy x + 19 x − 20 = Giải phương trình ta x = x = −20 Với x = y = Với x = −20 y = 43 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x ; y ) = (1;1) ( x ; y ) = (−20;43) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 2   x + xy + y =  2  2 x − xy + y = Lời giải Với x = hệ trở thành 2 y =    3 y = Hệ vô nghiệm nên x ≠ Đặt y = kx hệ trở thành  x + kx + 2k x =   2 2  2 x − 3kx + 3k x = Suy 2   x (1 + k + 2k ) = (1)  2 x (2 − k + k ) =   Chia phương trình thứ cho phương trình thứ hai hệ ta + k + 2k = 2 − 3k + 3k Biến đổi phương trình ta phương trình sau 4k − k + = Giải phương trình ta k = k = Với k = vào phương trình thứ hệ (1) ta x = x = −1 Khi x = y = 1, x = −1 y = −1 Với k = vào phương trình thứ hệ (1) ta x= 46 46 x = − 23 23 22 46 46 46 46 y = y = − , x = − 23 23 23 23 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm 46 46 46 46   ( x ; y ) ∈ (1;1), (−1; − 1), ( ; ), ( − ;− )  23 23 23 23   Khi x = Ví dụ 6: Giải hệ phương trình  x − y + y = x + y   y − + x + + y + y = 10 Lời giải Điều kiện y ≥1   x ≥ −1 2 x + y ≥  Phương trình thứ tương đương với phương trình y − 2x x − 4y + = y + 2x + y Hay ( x − y )(1 − y + 2x + y ) = Phương trình viết thành x − y = 0, 1− Do y ≥ nên ta có y + 2x + y = 2 ≤ y + 2x + y Suy phương trình 1− y + 2x + y = 0, vô nghiệm Vậy x − y = suy x = y vào phương trình thứ hai hệ ta y − + y + + y + y = 10 Phương trình tương đương với phương trình y − − + y + − + y + y − = Nhân biểu thức liên hợp ta 23 ( y − 2)( + + y + 3) = y −1 +1 4y +1 + Phương trình tương đương với hai phương trình y − = 0, + + y + = y −1 +1 4y +1 + Do y ≥ nên phương trình vơ nghiệm Với y = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = (2;8) Ví dụ 7: (đề thi Đại học khối A, năm 2014) Giải hệ phương trình  x 12 − y + y (12 − x ) = 12   x − x − = y − Lời giải Điều kiện ≤ y ≤ 12, x ≤ Cách Từ phương trình thứ hệ ta viết thành ( x − x 12 − y + 12 − y ) + ( y − y (12 − x ) + 12 − x ) = Phương trình viết thành ( x − 12 − y ) + ( y − 12 − x ) = Phương trình xảy  x − 12 − y =   y − 12 − x = Suy x ≥   y = 12 − x Thay vào phương trình thứ hai ta x − x − = 2( 10 − x − 1) (1) Bằng cách nhân liên hợp ta phương trình (1) tương đương với phương trình ( x − 3)( x + x + 1) = 2(9 − x ) 10 − x + Hay 24 Suy  2( x + 3)  ( x − 3)  x + x + + ÷ = 10 − x +   x = 3, x + 3x + + 2( x + 3) = 10 − x + Do x ≥ nên phương trình vơ nghiệm Với x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = (3;3) Cách Từ phương trình thứ hệ áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  x + 12 − y  x 12 − y ≤  2  y (12 − x ) ≤ y + 12 − x  Cộng hai vế với ta x 12 − y + y (12 − x ) ≤ 12 Dấu xảy  x = 12 − y   y = 12 − x Hệ tương đương với hệ x ≥   y = 12 − x Thế vào phương trình thứ hai, tương tự cách Cách Từ phương trình thứ hệ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có ( x 12 − y + y (12 − x )) ≤ ( x + 12 − x )(12 − y + y ) = 144 Suy x 12 − y + y (12 − x ) ≤ 12 Dấu xảy x y = 12 − x 12 − y suy x ≥   y = 12 − x Thế vào phương trình thứ hai, tương tự cách Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 25  x − − y − = 24 − x  ( x − 1) + = y Lời giải Điều kiện y ≥   x ≥ Từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta x − − ( x − 1) = 24 − x Phương trình tương đương với phương trình x − x + x + x − − 25 = (1) Xét hàm số f ( x) = x − x + x + x − − 25 [ 2; +∞ ) Ta có f '( x) = x − x + + > 0, x−2 với x > Do ta có hàm số f ( x ) = x − x + x + x − − 25, đồng biến [ 2; +∞ ) Mặt khác f (3) = Vậy nên phương trình (1) có nghiệm x = 3, ta suy y = 18 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) = (3;18) 26 ... dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Phương pháp giải hệ số hệ phương trình thường gặp học sinh trung học phổ thông ” 2.3 Giải vấn đề Một hệ phương trình có nhiều hướng giải mấu chốt... nghiệm hai phương trình hệ ( x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) tìm tập nghiệm 2.1.1.2 Phương pháp giải Phương pháp rút Phương pháp cộng, trừ đại số Phương pháp dùng... chọn đề tài Phương pháp giải số hệ phương trình thường gặp học sinh trung học phổ thông ” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách giải tốn hệ phương trình chương trình tốn bậc