Một số phương pháp giải bài toán hệ nhiều hạt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ HƢỜNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HỆ NHIỀU HẠT Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Vật lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội dạy dỗ bảo truyền đạt kiến thức cho em suốt trình học tập rèn luyện trƣờng nhƣ trình thực khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn cô giáo: PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhậnđƣợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 19 tháng năm 2017 Sinh viên Trần Thị Hƣờng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ nhiệt tình cô giáo: PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh Công trình không trùng lặp với kết luận văn tác giả Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2017 Sinh viên Trần Thị Hƣờng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt 1.1.2 Hệ nhiều hạt học 1.1.3 Hệ nhiều hạt nhiệt động 1.1.4 Hệ nhiều hạt nhiệt độ T = 0K 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.2.1.Nguyên lý không phân biệt hạt đồng học lƣợng tử 1.2.2 Hàm sóng hệ hạt đồng 1.3 Các đại lƣợng bảo toàn hệ nhiều hạt 12 1.3.1 Toán tử Hamilton hệ nhiều hạt 12 1.3.2 Bảo toàn động lƣợng hệ nhiều hạt 13 1.3.3 Bảo toàn mô men động lƣợng hạt nhiều hạt 13 1.4 Các biểu diễn toán tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt 15 1.4.1 Biểu diễn Shrodinger 15 1.4.2 Biểu diễn Heisenberg 15 1.4.3 Biểu diễn tƣơng tác 16 KẾT LUẬN CHƢƠNG 23 Chƣơng 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN 24 HỆ NHIỀU HẠT 24 2.1 Phƣơng pháp tách chuyển động khối tâm 24 2.1.1 Đặc điểm tƣơng tác hệ N hạt 24 2.1.2 Phƣơng trình Shrodinger cho hệ đã tách chuyển động khối tâm 26 2.2 Phƣơng pháp trƣờng trung bình 29 2.2.1 Ý tƣởng phƣơng pháp trƣờng trung bình 29 2.2.2 Thế hiệu dụng hệ hạt boson 31 2.2.3 Thế hiệu dụng hệ hạt fermion 35 2.3 Phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai 38 2.3.1 Ý tƣởng phƣơng pháp 38 2.3.2 Toán tử sinh hạt, toán tử hủy hạt toán tử số hạt cho hệ hạt boson 40 2.3.3 Toán tử sinh hạt, toán tử hủy hạt toán tử số hạt cho hệ hạt fermion 41 2.3.4 Toán tử Hamilton phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ 42 KẾT LUẬN CHƢƠNG 47 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cơ học Lƣợng tử đời vào đầu kỷ XX trở thành lý thuyết vật lý đƣợc thừa nhận vào cuối thập kỉ 20 kỉ XX Cơ học lƣợng tử đạt đƣợc thành công vang dội việc giải thích tƣợng giới Rất nhiều công nghệ đại sử dụng thiệt bị dựa ứng dụng học lƣợng tử Ví dụ nhƣ laser, transistor, hiển vi điện tử chụp cộng hƣởng từ hạt nhân… Trong học lƣợng tử, lý thuyết hệ nhiều hạt phần quan trọng thiếu Lý thuyết hệ nhiều hạt tên chung cho loạt toán, vấn đề vật lý liên quan đến thuộc tính hệ vi mô cấu tạo từ số lƣợng lớn hạt có tƣơng tác Tính chất vi mô bao hàm việc học lƣợng tử sử dụng để cung cấp mô tả xác hệ Bởi vậy, vật lý lý thuyết hệ nhiều hạt thƣờng đƣợc dựa loạt gần định hƣớng xử lý cho vấn đề đặc thù riêng, nằm danh mục lĩnh vựa tính toán chuyên sâu khoa học Bài toán hệ nhiều hạt vấn đề khó chuyên sâu vật lý học lƣợng tử Cho nên để nâng cao hiểu biết phát huy kiến thức, chọn đề tài: “Một số phương pháp giải toán hệ nhiều hạt” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phƣơng pháp giải toán hệ nhiều hạt Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Hệ hạt vi mô qui luật chuyển động hạt vi mô Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứucác phƣơng pháp giải toán hệ nhiều hạt (gồm phƣơng pháp chủ yếu) - Áp dụng phƣơng pháp giải toán hệ để giải số tập Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp giải tích toán học - Các phƣơng trình vi phân - Đọc tài liệu tra cứu Cấu trúc khóa luận - Phần 1: Mở đầu - Phần 2: Nội dung + Chƣơng 1: Các tính chất chung hệ nhiều hạt 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.3 Các đại lƣợng bảo toàn hệ nhiều hạt 1.4 Các biểu diễn toán tử hàm song cho hệ nhiều hạt + Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp giải toán hệ nhiều hạt 2.1 Phƣơng pháp tách chuyển động khối tâm 2.2 Phƣơng pháp trƣờng trung bình 2.3 Phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai - Phần 3: Kết luận - Phần 4: Tài liệu tham khảo NỘI DUNG CHƢƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt Một cách chung hệ nhiều hạt hệ gồm từ hai hạt trở lên.Việc tăng thêm số hạt hệ tạo nên đặc điểm cho hệ Trƣớc hết đề giải hệ phƣơng trình Hamiton (cho hệ cổ điển) phƣơng trình Shrodinger (cho hệ lƣợng tử).Với hệ nhiều hạt số biến hệ phƣơng trình Hamilton phƣơng trình Shrodinger tăng lên so với trƣờng hợp hạt.Hơn yếu tố quan trọng hơn,đó việc có thêm thành phần tƣơng tác hàm Hamilton toán tử Hamilton làm cho việc giải xác phƣơng trình Hamilton phƣơng trình Shrodinger thêm khó khăn.Với phƣơng pháp tính số nhờ máy tính,khó khăn có tính kĩ thuật vấn đề nguyên tắc Tuy nhiên vấn đề trở nên khác hoàn toàn số hạt hệ tăng đến mức làm thay đổi chất tính chất hệ: hạt hệ chuyển động hỗn loạn,trạng thái hạt không cho biết tính chất chung hệ.Với hệ nhƣ nhƣ biết cần dùng đến phƣơng pháp Vật lý Thống kê tính chất vĩ mô hệ đƣợc đặc trƣng giá trị trung bình đại lƣợng vật lý 1.1.2 Hệ nhiều hạt học Hệ nhiều hạt học hệ có số hạt nhiều nhƣng chƣa làm thay đổi tính chất chuyển động hạt Trường hợp hệ gồm hạt cổ điển (hệ cổ điển): Tọa độ (1.1a) Và động lƣợng (1.1b) Của tất hạt hệ đƣợc xác định hệ phƣơng trình Hamilton: ̇ = ; ̇ =- (1.2a) k = 1,2,….,3N; ̇ ̇ lần lƣợt đạo hàm theo thời gian t thành phần tọa độ động lƣợng;còn H hàm Hamilton hệ: = với = + (1.2b) động hệ.Nghiệm hệ phƣơng trình (2.2): (t,q(0),p(0)) , (t,q(0),p(0)),… , (t,q(0),p(0)) (1.3a) (t,q(0),p(0)) , (t, q(0),p(0)),…., (t,q(0),p(0)) (1.3b) xác định thái hệ.Các kí hiệu q(0) p(0) công thức (1.3) biểu thị hai tập đại lƣợng tƣơng ứng : { } q(0) { } (1.3c) xác định trạng thái ban đầu hệ Một cách tƣơng đƣơng trạng thái hệ mô tả quỹ đạo tất hạt đƣợc xác định từ (1.3) Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s = 6N chiều (p,q) hệ có s bậc tự do,chúng ta thấy trạng thái hệ biểu diễn điểmpha.Với thời gian đại lƣợng q,p thay đổi điểm pha vẽ nên quĩ đạo pha.Nhƣ quĩ đạo pha cho biết thay đổi trạng thái hệ theo thời gian Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s =6N chiều (q,p) hệ có s bậc tự do, thấy trạng thái hệ đƣợc biểu diễn điểm pha.Với thời gian đại lƣợng q,p thay đổi điểm pha vẽ nên quỹ đạo pha.Nhƣ quỹ đạo pha cho biết thay đổi trạng thái hệ theo thời gian Trường hợp hệ gồm N hạt lượng tử (hệ lượng tử ): Trạng thái hệ đƣợc xác định hàm sóng trƣờng hợp lƣợng E hệ không đổi = (q)exp[-iEt / ] (1.4) q tập biến xác định trạng thái hệ Hàm sóng (1.4) nghiệm phƣơng trình Schrodinger Trung bình đại lƣợng vật lý tƣơng ứng với toán tử ̂ (q) đƣợc xác định ̅=∫ (q,t) ̂ (q) (q,t)dq (1.5) đại lƣợng không phụ thuộc thời gian 1.1.3 Hệ nhiều hạt nhiệt động Khi số hạt hệ tăng đến mức đáng kể , thƣờng lớn số phần tử không khí điều kiện chuẩn (khoảng phân tử / ), tính chất chuyển động hạt hệ thay đổi: hạt chuyển động hỗn loạn Hệ trở thành hệ nhiệt động, chuyển động hỗn loạn hạt gọi chuyển động nhiệt Biểu chuyển động hỗn loạn không giống hệ cổ điển hệ lƣợng tử Đối với hệ cổ điển, nguyên tắc tọa độ động lƣợng hạt xác định đƣợc việc giải hệ phƣơng trình Hamilton (1.2) Với hệ nhiệt động xác định, hàm Hamilton (1.2b) H hệ xác định, nghiệm hệ phƣơng trình (1.2) có dạng xác định Tuy nhiên hệphƣơng trình Hamilton hệ phƣơng trình vi phân nên nghiệm (1.3) hệ phƣơng trình phụ thuộc vào điều kiện ban đầu (1.3c): tùy theo điều kiện ban đầu, thời điểm t có tập giá trị (1.3a) (1.3b) khác nhau; tập ứng với với điều kiện ban đầu điểm pha, tức ứng với trạng thái vi mô hệ thời điểm t Khi t biến thiên tập vẽ nên quỹ đạo pha Do tính đơn trị nghiệm hệ phƣơng trình (1.2), quỹ đạo pha ứng với điều kiện ban đầu khác không cắt tự hợp.Để giải toán thƣờng dùng phƣơng pháp gần liên tiếp Chọn hàm sóng làm nghiệm ban đầu thay vào (2.24c) xác định đƣợc hiệu dụng ban đầu đƣợc vào (2.24c) đƣợc ; thay trị tìm đƣợc ; thay ⃗ vào (2.26) … Nếu giá hội tụ đƣợc lời giải toán Nếu không hội tụ cần tìm nghiệm ban đầu khác 2.2.3 Thế hiệu dụng hệ hạt fermion Đối với hệ hạt fermion thay sử dụng hàm sóng (2.15) phải sử dụng hàm sóng có tính chất phản đối xứng (công thức(2.12)) Để đơn giản xét toán hạt sử dụng hàm sóng: √ [ ] Thay (2.28) vào (2.19) cho hàm sóng ∫[ biến thiên đƣợc: ]( )[ ] ∫[ ]( )[ Vì ] : ∫ ∫ 35 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Mặt khác tính trực giao hàm sóng: ∫ ∫ ∫ ∫ Chúng ta suy ra: ∫ ∫ ∫ ∫ 36 Nhờ tính hecmit toán tử Hamilton phƣơng trình (2.30a) viết lại dƣới dạng: ∫ {[ ] ∫ } {[ ] } tùy chọn, tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp hệ hạt boson Vì nhận đƣợc: ∫ ∫ Chú ý toán tử lấy tổng (2.31) theo [ tác dụng lên biến , sau lấy tích phân nhận đƣợc: ⃗ ] (2.32a) Trong lƣợng hạt 1, hạt đƣợc xác định từ biểu thức sau: ∫ xác định biểu thức: Thế hiệu dụng ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ∫ 37 động Tƣơng tự với hai phƣơng trình (2.32a) (2.33a) cho hạt 1, nhận đƣợc hai phƣơng trình cho hạt Kết cần hoán vị (2.32a) (2.33a) số ( ⃗ [ ⃗ ⃗ ⃗ ] ∫ ⃗ ⃗ ∫ Biểu thức hiệu dụng nhân đƣợc khác so với trƣờng hợp hệ hạt boson có thêm thành phần thứ hai với dấu trừ phía trƣớc Đó tƣơng tác hút hai hạt hai trạng thái khác có spin chiều gọi tƣơng tác trao dổi Thực vậy, tổng theo spin (2.33) khác không hai trạng thái spin hai hàm nhƣ nhau, nghĩa hai electron có định hƣớng spin ( xem (2.18) (2.10)) Với trƣờng hợp hệ N electron, đƣợc viết dƣới dạng định thức Slater ( xem công hàm sóng thức (2.12a)), hiệu dụng có dạng: ⃗ ∑∫ ∑ ( ) ⃗ ⃗ ∫ ( ) ( ) ( ) 2.3 Phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai 2.3.1 Ý tưởng phương pháp Phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai gọi phƣơng pháp lƣợng tử hóa thứ cấp Đó phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng cho hệ hệ hạt đồng tƣơng tác với nhau, đặc biệt hạt có số hạt biến thiên 38 Ở phần xác định trạng thái hệ dùng hàm sóng tổ hợp hàm sóng dừng xác định trạng thái hạt ⃗ Chẳng hạn công thức (2.11a) chƣơng hệ hạt boson: ∑ Trong biểu thức (2.34) , tất nhiên tổng tất tên trạng thái; số hạt trạng thái tổng số hạt hệ ∑ Có nghĩa biểu thức (2.34) có trạng thái ( số nhau, chẳng hạn có hạt, có nghĩa phải có giá trị Điều có nghĩa biết số hạt trạng thái, xác định đƣợc hàm sóng Ψ hệ Ví dụ hệ có N=10 hạt phân bố trạng thái ( Với hàm sóng ; biết số hạt trạng thái xác định hàm sóng hệ: ∑ Tóm lại thay sử dụng biến q để xác định trạng thái hệ nhƣ trƣớc , hoàn toàn sử dụng số hạt trạng thái hạt nhƣ biến số để xác định trạng thái toàn hệ phƣơng pháp dùng số hạt trạng thái hạt để mô tả trạng thái toàn hệ đƣợc gọi phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai Tên phƣơng pháp có xuất xứ nhƣ sau: quan niệm hạt vi mô có tính chất sóng dùng hàm sóng để mô tả trạng thái hạt; cách làm cho đại 39 lƣợng vật lý ( trạng thái hạt) liên tục ( hạt có tính chất sóng) trở nên gián đoạn, tức bị lƣợng tử hóa Ngƣời ta coi lƣợng tử hóa lần thứ Vì sử dụng biến số hạt biến gián đoạn để xác định hàm sóng đƣợc gọi lƣợng tử hóa lần thứ hai Việc xem xét cụ thể phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai phụ thuộc vào tính chất hạt tạo nên hệ 2.3.2 Toán tử sinh hạt, toán tử hủy hạt toán tử số hạt cho hệ hạt boson Nhằm mục đích sử dụng biến số hạt để mô tả trạng thái hệ, trƣớc hết tìm dạng toán tử số hạt Để làm việc cần định nghĩa toán tử sinh hạt toán tử hủy hạt Toán tử hủy hạt trạng thái thứ i toán tử ̂ tác dụng lên hàm sóng hệ làm cho số hạt trạng thái i giảm hạt: ̂ Hệ số √ √ đƣợc xác định cho phù hợp với mục đích xác định toán tử số hạt Tƣơng tự, toán tử sinh hạt trạng thái i toán tử ̂ tác dụng lên hàm sóng hệ làm cho số hạt trạng thái i tăng thêm hạt: ̂ √ Tác động toán tử ̂ từ phía bên trái lên hai vế (2.35), đƣợc: ̂ ̂ Ký hiệu ̂ √ ̂ √ √ ̂ ̂ Chúng ta đƣợc: ̂ (2.39) phƣơng trình trị riêng toán tử số hạt ̂ 40 Để thực tính toán với toán tử sinh hạt ̂ hủy hạt ̂ nhƣ toán tử số hạt ̂ cần xác định hệ thức giao hoán toán toán tử Từ (2.36) có ̂ ̂ ̂ √ Kết hợp với (2.37): ̂ ̂ ̂ ̂ Dễ dàng chứng tỏ rằng: ̂ ̂ Do đó: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Một cách tƣơng tự nhận đƣợc: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 2.3.3 Toán tử sinh hạt, toán tử hủy hạt toán tử số hạt cho hệ hạt fermion Đối với hệ hạt fermion nguyên lý loại trừ Pauli Từ suy ra: ̂ ̂ ; ̂ ̂ ̂ ̂ Do ̂ ̂ √ ̂ √ ̂ √ √ ̂ ̂ Ký hiệu Từ (2.42) (2.43) suy ra: ̂ ̂ ̂ ̂ √ Chúng ta thấy ̂ toán tử số hạt Với định nghĩa tìm đƣợc hệ thức giao hoán: Từ (2.42) (2.43): ̂ ̂ √ ̂ 41 (2.43) Kết hợp với (2.45): ̂ ̂ ̂ ̂ Dễ dàng chứng tỏ rằng: ̂ ̂ Do đó: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Một cách tƣơng tự ta nhận đƣợc: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ nghĩa toán tử sinh hủy hạt fermion khác với toán tử sinh hủy hạt boson: hệ giao hoán hệ hạt boson đổi thành hệ thức phản giao hoán hệ hạt fermion 2.3.4 Toán tử Hamilton phương pháp lượng tử hóa lần thứ Một cách chung toán tử Hamilton hệ biểu thị dƣới dạng tổng thành phần nhƣ sau: ∑ ∑ ∑ Trong thành phần thứ lƣợng liên quan đến từ hạt riêng lẻ bao gồm động hạt chúng trƣờng ngoài, tính gốc từ hóa học , chẳng hạn hạt a: ⃗ Với mục đích xác định dạng toán tử Hamilton biểu diễn lƣợng tử háo lần thứu hai, biểu diễn biến số hạt trạng thái, ngƣời ta thƣờng lấy gốc lƣợng từ mức hóa học Toán tử toán tử tác động lên biến hạt a thành phần thứ hai liên quan đến tƣơng tác hai hạt, thƣờng tƣơng tác cặp đôi, loại tƣơng tác thƣờng gặp hệ nhiều hạt; toán tử tác động lên biến hai hạt a b Các thành phần liên quan đến tƣơng tác đồng 42 thời hạt nhiều hơn, tƣơng tác với xác suất tồn nhỏ thƣờng đƣợc bỏ qua Để viết toán tử Hamilton dƣới dạng toán tử số hạt (hoặc toán tử sinh hạt, hủy hạt) trƣớc hết xét trƣờng hợp đơn giản tƣơng tác hạt không làm thay đổi trạng thái chúng, điều có nghĩa giới hạn biểu diễn lƣợng hệ không tƣơng tác Xuất phát từ nguyên tắc tƣơng ứng toán tử đại lƣợng vật lý Cơ học lƣợng tử, tìm giá trị lƣợng hệ sau toán tử hóa chúng để dƣợc biểu thức toán tử Hamilton dƣới dạng toán tử sinh toán tử hủy Tổng động hạt trƣờng giá trị 〉, giá trị trung bình lƣợng hạt trung bình của〈∑ cộng lại tổng lƣơng nhóm hạt theo trạng thái, nghĩa là: 〈∑ 〉 ∑ Trong tổng i lấy theo tất trạng thái có hệ, lƣợng hạt trạng thái i: trạng thái hạt i, 〈| Đại lƣợng Với số hạt |〉 ∫ ⃗ ⃗ ⃗ thƣờng viết dƣới dạng (xem (2.49)): động hạt trƣờng trạng thái i: ∫ Trong ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ vi phân tọa độ hạt a Toán tử hóa địa lƣợng vật lý số hạt công thức (2.50) nhận đƣợc thành phần thứ 43 toán tử Hamilton (2.48) dƣới dạng toán tử sinh hạt hủy hạt phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai: ∑ ̂ ∑ ∑ Để chuyển thành phần thứ hai ∑ ̂ ̂ toán tử Hamilton (2.48) sang dạng toán tử cảu phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai nhận xét đại lƣợng vật lý tƣơng ứng lƣợng tƣơng tác cặp đôi hạt hệ Từ góc độ phân bố hạt theo nhóm trạng thái phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ haichúng ta xây dựng biểu thức lƣợng tƣơng tác Xét tƣơng tác hai nhóm hạt trạng thái i k Năng lƣợng tƣơng tác hạt nhóm i chẳng hạn với tất nhóm k lƣợng tƣơng tác cặp hạt thuộc (tức lƣợng tƣơng tác hạt trạng thái i với hạt trạng thái k): ∫ Nhân với hạt nhóm k, tức Trong biểu thức (3.53) Tiếp theo, lƣợng tƣơng tác với hạt thuộc nhóm k tăng gấp lên hạt thuộc nhóm i lần, tức Năng lƣợng tƣơng tác hệ tổng theo tất trạng thái hệ, nghĩa phải lấy tổng theo i k đại lƣợng Tuy nhiên trình tính tổng nhƣ cặp đƣợc ý hai lần, nghĩa kết phải chia cho Cuối có: 〈∑ 〉 ∑ Toán tử hóa vế phải (2.54) nhận đƣợc dạng toán tử cần tìm: 44 ∑ ∑ ∑ ̂ ̂ ̂ ̂ Giới hạn tƣơng tác cặp đôi có toán tử Hamilton hệ hạt đồng dƣới dạng toán tử sinh hạt hủy hạt phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai: ∑ Trong đại lƣợng ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ ̂ ̂ đƣợc xác định (2.51) (2.53) Cần ý biểu thức (2.52), (2.55) (2.56), đại lƣợng đƣợc xác định biểu diễn lƣợng hệ không tƣơng tác, nghĩa hệ hàm sở đƣợc sử dụng hệ hàm riêng toán tử đaị lƣợng i,k (i=k) và ik,lm thành phần đƣờng chéo ma trận với với (i=l, k=m) Trong trƣờng hợp chung biểu thức (2.56) có dạng sau: ∑ I,k ̂ i,k= ̂ ∑ ( )ik,lm ̂ ̂ ̂ ̂ ∫ (2.57b) ∫∫ Với mục đích để sử dụng phần sau biểu diễn toán tử lƣợng tử hóa lần thứ hai dƣới dạng khác, sử dụng toán tử trƣờng ̂ ̂ thay toán tử sinh hạt hủy hạt ̂ ̂ : ̂ ∑ ̂ ̂ ∑ ̂ 45 hàm sóng hạt a trạng thái i Các toán tử ̂ Trong ̂ coi toán tử hủy hạt sinh hạt trạng thái i ứng với tập biến Dễ dàng kiểm chứng đƣợc toán tử nêu thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Do dấu cho hệ hạt boson , dấu dƣới cho hệ hạt fermion Với toán tử trƣờng ̂ ̂ ∑ ̂ ̂ toán tử hạt (2.60a) Có thể đƣợc viết nhƣ sau: ̂ ̂ ∫̂ ̂ Thực vậy, tƣơng tự thành phần thứ vế phải (2.57a) viết: ̂ ∑ ̂ ̂ (2.60c) Với so sánh (2.57b) thì: ∫ ̂ Thay vào (2.61) vào (2.60c), đƣợc: ̂ Vì hai toán tử ̂ ∑∫ ̂ ̂ ̂ ̂ tác dụng lên biến khác nên chúng giao hoán với nhau, hàm sóng hàm sóng hạt viết biểu diễn tọa độ toán tử ̂ tác dụng lên hàm sóng toàn hệ 46 biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai, chuyển toán tử ̂ lên trƣớc toán tử ̂ , ý (2.58) đƣợc (2.60b) Một cách tƣơng tự biểu diễn toán tử tƣơng tác cặp đôi qua toán tử trƣờng ̂ ̂ Toán tử Hamilton (2.57a) hệ viết lại nhƣ sau: ̂ ̂ Trong thành phần thứ hai vế phải (2.62) tƣơng tác hai hạt: ̂ ∬̂ ̂ ̂ ̂ Cần ý toán tử (2.57a), (2.60b), (2.62), (2.63) đƣợc viết biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai nên không phụ thuộc vào tọa độ KẾT LUẬN CHƢƠNG Trong chƣơng 2, em trình bày cách logic, tƣơng đối đầy đủ số phƣơng pháp giải toán hệ nhiều hạt: phƣơng pháp tách chuyển động khối tâm, phƣơng pháp trƣờng trung bình, phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai Đây sở quan trọng để em tiếp tục nghiên cứu giải toán hệ nhiều hạt cách toàn diện 47 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, tìm tòi khóa luận, em thu đƣợc kết nhƣ sau: Giới thiệu đƣợc lý thuyết tính chất chung hệ nhiều hạt: khái niệm hệ nhiều hạt, hệ nhiều hạt đồng nhất, đại lƣợng bảo toàn hệ nhiều hạt, biểu diễn toán tử hàm sóng hệ nhiều hạt.Trình bày số phƣơng pháp giải toán hệ nhiều hạt bao gồm: phƣơng pháp tách chuyển động khối tâm, phƣơng pháp trƣờng trung bình phƣơng pháp lƣợng tử hóa lần thứ hai 48 Do thời gian có hạn, lần làm quen với nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân nhiều thiếu sót Em hy vong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc Hy vọng với nội dung đƣợc trình bày khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, góp phần nghiên cứu phƣơng pháp giải toán hệ nhiều hạt vật lý lý thuyết Em xin chân thành cảm ơn thầy cô! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Trần Cát, Lý thuyết hệ nhiều hạt, NXB Đại học Bách Khoa Hà Nội 2009 [2]Trần Thái Hoa, Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2014 [3] Phạm Qúy Tƣ, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lƣợng tử NXBGD Hà Nội 1995 49 ... nhiều hạt 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.3 Các đại lƣợng bảo toàn hệ nhiều hạt 1.4 Các biểu diễn toán tử hàm song cho hệ nhiều hạt + Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp giải toán hệ nhiều hạt 2.1 Phƣơng pháp. .. đề tài: Một số phương pháp giải toán hệ nhiều hạt làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phƣơng pháp giải toán hệ nhiều hạt Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Hệ hạt vi mô... 23 Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN HỆ NHIỀU HẠT Trong chƣơng trình bày số phƣơng pháp chủ yếu giải toán hệ nhiều hạt, gồm phƣơng pháp tách biến chuyển dộng khối tâm, phƣơng pháp trƣờng