Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tích phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HÀ VĂN CHUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HÀ VĂN CHUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Khuất Văn Ninh HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới phòng sau đại học, khoa toán, thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội gúp đỡ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám đốc Trung tâm GDNN-GDTX Tam Đảo huyện Tam Đảo tỉnh Vĩnh Phúc giúp đỡ tạo điều kiện thuân lợi giúp hoàn thành khóa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tôi, người bạn động viên, cổ vũ, tạo điều kiện tốt cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Hà Văn Chung Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Hà Văn Chung Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Metric 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Chuỗi lũy thừa 1.4 Tích phân phụ thuộc tham 1.5 Phương pháp cầu phương 1.6 Biến đổi Laplace 1.7 Phương pháp lặp số Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tích phân tuyến tính 2.1 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 2.1.1 Phương pháp phân tích Adomian (Adomian Decomposition Method) (ADM) 2.1.2 Phương pháp biến đổi Laplace 2.1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 2.2 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace 2.2.2 Biến đổi hệ phương trình tích phân tuyến tính loại hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 2.3 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 2.3.1 Phương pháp phân tích Adomian (ADM) 2.3.2 Phương pháp tính toán trực tiếp 2.3.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 7 10 10 12 16 16 16 22 25 26 27 29 30 31 35 40 Lập trình Maple giải số hệ phương trình tích phân tuyến tính 42 3.1 Phương pháp cầu phương giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra 42 3.1.1 3.2 Thuật toán giải phương hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra 3.1.2 Các ví dụ minh họa Phương pháp cầu phương giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 3.2.1 Thuật toán giải phương hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 3.2.2 Các ví dụ minh họa 42 44 51 51 53 Mở đầu Lí chọn đề tài Hệ phương trình tích phân xuất toán học ngành khoa học ứng dụng từ lâu nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong trình giải hệ phương trình tích phân gặp nhiều dạng hệ phương trình khác nhau, phương pháp giải khác nhau, nhiều hệ phương trình tìm nghiệm xác dễ dàng, có hệ tìm nghiệm xác gặp nhiều khó khăn Vì với mong muốn phân loại hệ phương trình tích phân tuyến tính cách giải dạng hệ cách khoa học dễ hiểu chọn đề tài "Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tích phân tuyến tính" Mục đính nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình tích phân tuyến tính dựa vào phương pháp là: Phương pháp phân tích Adomian (Adomian Decomposition Method) (ADM), phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp tính trực tiếp phương pháp cầu phương Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra Fredholm áp dụng giải số ví dụ cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra, hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Các phương pháp giải (phương pháp phân tích Adomian (Adomian Decomposition Method) (ADM), phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp tính trực tiếp phương pháp cầu phương) Đóng góp đề tài Hệ thống lại loai hệ phương trình tích phân tuyến tính nghiên cứu phương pháp giải cho loại hệ phương trình tích phân Giải hệ phương trình tích phân tuyến tính phương pháp cầu phương Thiết lập định lý tồn nghiệm dựa theo nguyên lý ánh xạ co để làm sở cho phương pháp xấp xỉ liên tiếp Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liện liên quan Áp dụng phương pháp Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, giải tích số, Đại số tuyến tính Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Metric Định nghĩa 1.1 Không gian Metric tập (X, d), X tập hợp, d ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau: i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y ii) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X 1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2 Không gian định chuẩn không gian tuyến tính X trường P ( P trường số thực hay trường số phức) với ánh xạ từ X vào tập hợp số thực, ký hiệu (đọc chuẩn), thỏa mãn tiên đề sau: i) ∀x ∈ X, x ≥ 0, x = ⇔ x = θ(phần tử không X) ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P, αx = |α| x iii) ∀x, y ∈ X, x + y ≤ x + y ( bất đẳng thức tam giác) Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X dãy hội tụ tới điểm x ∈ X, lim xn − x = Ký hiệu n→∞ lim xn = x hay xn → x(n → ∞) n→∞ Định nghĩa 1.4 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim n,m→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Cho hai không gian định chuẩn X, Y với hai chuẩn 1, Ta có tích Descartes Z = X × Y = {z = (x; y) : x ∈ X, y ∈ Y } với chuẩn xác định công thức z = x + y không gian định chuẩn Định lý 1.1 Tích Descartes X × Y hai không gian định chuẩn X, Y không gian Banach không gian định chuẩn X, Y không gian Banach 1.3 Chuỗi lũy thừa ∞ Định nghĩa 1.6 Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm có dạng an xn = a0 + n=0 a1 x + a2 x2 + ∞ Giả sử chuỗi luỹ thừa an xn có khoảng hội tụ (−r; r) n=0 Tính chất 1.1 Chuỗi luỹ thừa hội tụ đoạn [a; b] ⊂ (−r; r) Tính chất 1.2 Tích phân số hạng chuỗi [a; x] ⊂ (−r; r) x ∞ n ( a an t )dt = n=0 x ∞ an n=0 ∞ xn+1 t dt = an n+1 n=0 n a Tính chất 1.3 Tổng chuỗi luỹ thừa hàm liên tục khoảng (−r; r) 44 với i = 0, n Giải hệ phương trình (3.1.4) ta tìm giá trị xấp xỉ (ui , vi ) ứng với xi Độ xác nghiệm phụ thuộc số lượng điểm chia đoạn [a, b] với điểm chia xi ,i = 0, 1, n 3.1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.1 Sử dụng phương pháp cầu phương để giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra sau: x u(x) = − x2 + x3 + [(x − t)u(t) + (x − t)v(t)]dt, (3.1.5) x v(x) = − x3 − x + 10 [(x − t)u(t) − (x − t)v(t)]dt với x ∈ [0; 1] , t ∈ [0; 1] Chia đoạn [0, 1] thành phần với điểm chia xi ,i = 0, 1, h = 0.2; x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = Thay xi vào (3.1.5) ta xi u(xi ) = − xi + xi + [(xi − t)u(t) + (xi − t)v(t)]dt, xi v(xi ) = − xi − xi + 10 (3.1.6) [(xi − t)u(t) − (xi − t)v(t)]dt với i = 0, 1, Áp dụng công thức hình thang cho tính phân phương trình (3.1.6) với điểm chia tj = xj , (j = 0, 1, , 5) ta 45 h u(xi ) ≈ − xi + xi + [(xi − t0 )u(t0 ) + (xi − t0 )v(t0 )]+ i−1 h + [(xi − ti )u(ti ) + (xi − ti )v(ti )] + h [(xi − tj )u(tj ) + (xi − tj )v(tj )] j=1 v(xi ) ≈ − xi − h xi + [(xi − t0 )u(t0 ) − (xi − t0 )v(t0 )]+ 10 i−1 h + [(xi − t0 )u(t0 ) − (xi − t0 )v(t0 )] + h [(xi − tj )u(tj ) − (xi − tj )v(tj )] j=1 (3.1.7) với i = 0, 1, , Đặt ui ≈ u(xi ), vi ≈ v(xi ), với i = 0, , 46 Ta có hệ 12 phương trình 12 ẩn (u0 , u1 , u2 , u2 , u4 , u5 , v0 , v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ) sau: u0 = − 02 + 03 + 0.1[(0 − 0)u0 + (0 − 0)v0 ] u1 = − 0.22 + 0.23 + 0.1[(0.2 − 0)u0 + (0.2 − 0)v0 ]+ +0.1[(0.2 − 0.2)u1 + (0.2 − 0.2)v1 )] u2 = − 0.42 + 0.43 + 0.1[(0.4 − 0)u0 + (0.4 − 0)v0 ]+ +0.2[(0.4 − 0.2)u1 + (0.4 − 0.2)v1 ] + 0.1[(0.4 − 0.4)u2 ) + (0.4 − 0.4)v2 ] u5 = − + + 0.2[(1 − tj )uj + (1 − tj )vj ]+ j=2 +0.1((1 − 0)u0 + (1 − 0)v0 ) + 0.1[(1 − 1)u5 + (1 − 1)v5 ] v0 = − 03 − 05 + 0.1[(0.2 − 0)u0 − (0.2 − 0)v0 ] 10 v1 = − 0.23 − 0.25 + 0.1[(0.2 − 0)u0 − (0.2 − 0)v0 ]+ 10 +0.1((0.2 − 0.2)u1 − (0.2 − 0.2)v1 ) v2 = − 0.43 − 0.45 + 0.1[(0.4 − 0)u0 − (0.4 − 0)v0 ]+ 10 +0.2((0.4 − 0.2)u1 − (0.4 − 0.2)v1 ) + 0.1[0.4 − 0.4)u2 − 0.1(0.4 − 0.4)v2 ] v5 = − − 15 + 10 0.2[(1 − tj )uj − (1 − tj )vj ]+ j=2 +0.1((1 − 0)u0 − (1 − 0)v0 ) + 0.1[(1 − 1)u5 − (1 − 1)v5 ] (3.1.8) Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình (3.1.8) ta tìm giá trị xấp xỉ (ui , vi ) ứng với xi với độ xác nghiệm phụ thuộc vào số điểm chia đoạn [0, 1] với điểm chia xi ,i = 0, 1, u0 = u(0) = 1, v0 = v(0) = (3.1.9) 47 u1 = u(0.2) = 1.008, (3.1.10) v1 = v(0.2) = 0.991968 u2 = u(0.4) = 1.063999, (3.1.11) v2 = v(0.4) = 0.935617 u3 = u(0.6) = 1.215982, (3.1.12) v3 = v(0.6) = 0.782642 u4 = u(0.8) = 1.511910, (3.1.13) v4 = v(0.8) = 0.484760 u5 = u(1) = 1.999706, (3.1.14) v5 = v(1) = −0.006276 Bằng phương pháp phân tích Adomian ví dụ 2.2 mục (2.1.1) chương có nghiệm xác hệ phương trình (3.1.5) là: (u(x), v(x)) = (1 + x3 , − x3 ) Bảng so sánh nghiệm xác nghiệm xấp xỉ hệ phương trình (3.1.5)giải phương pháp cầu phương: i xi ui u(xi ) = vi + x3i 0 v(xi ) = − x3i ∆ui = ∆vi = |u(xi ) − ui | |v(xi ) − vi | 1 1 0 1.008 1.008 0.991968 0.992 0.000032 0.4 1.063999 1.064 0.935617 0.936 0.000001 0.000383 0.6 1.215982 1.216 0.782642 0.784 0.000018 0.001358 0.8 1.511910 1.512 0.484760 0.488 0.00009 0.00324 −0.00628 0.000294 0.00628 0.2 1.999706 48 Ví dụ 3.2 Sử dụng phương pháp cầu phương để giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra: x x x + = x [(x − t)u(t)+(x − t)v(t)]dt x x − = 2 (3.1.15) [(x − t)u(t)−(x − t)v(t)]dt Với x ∈ [0; 1] , t ∈ [0; 1] Chia đoạn [0, 1] thành phần với điểm chia xi ,i = 0, 1, h = 0.2; x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = Thay xi vào (3.1.15) ta xi xi + = xi [(xi − t)u(t) + (xi − t)v(t)]dt, xi xi xi − = 2 (3.1.16) [(xi − t)u(t) − (xi − t)v(t)]dt với i = 0, 1, Áp dụng công thức hình thang cho tính phân phương trình hệ (3.1.16) với điểm chia tj = xj , (j = 0, 1, , 5) ta xi xi h + ≈ [(xi − t0 )u(t0 ) + (xi − t0 )v(t0 )]+ i−1 h + [(xi − ti )u(ti ) + (xi − ti )v(ti )] + h [(xi − tj )u(tj ) + (xi − tj )v(tj )] j=1 xi xi h − ≈ [(xi − t0 )u(t0 ) − (xi − t0 )v(t0 )]+ 2 i−1 h + [(xi − t0 )u(t0 ) − (xi − t0 )v(t0 )] + h [(xi − tj )u(tj ) − (xi − tj )v(tj )] j=1 (3.1.17) 49 với i = 0, 1, , Thay điểm nút x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = h = 0.2 Đặt ui ≈ u(xi ), vi ≈ v(xi ), với i = 0, , Ta có hệ 12 phương trình 12 ẩn (u0 , u1 , u2 , u2 , u4 , u5 , v0 , v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ) sau: 02 04 + = 0.1((0 − 0)u0 + (0 − 0)v0 ) 0.22 0.24 + = 0.1((0.2 − 0)u0 + (0.2 − 0)v0 )+ +0.1((0.2 − 0.2)u1 + (0.2 − 0.2)v1 )) 0.42 0.44 + = 0.1((0.4 − 0)u0 + (0.4 − 0)v0 )+ +0.2((0.4 − 0.2)u1 + (0.4 − 0.2)v1 ) + 0.1((0.4 − 0.4)u2 ) + (0.4 − 0.4)v2 ) 12 14 + = 4 0.2((1 − tj )uj + (1 − tj )vj )+ j=2 +0.1((1 − 0)u0 + (1 − 0)v0 ) + 0.1((1 − 1)u5 + (1 − 1)v5 ) 02 03 − = 0.1((0.2 − 0)u0 − (0.2 − 0)v0 ) 2 0.22 0.23 − = 0.1((0.2 − 0)u0 − (0.2 − 0)v0 )+ 2 +0.1((0.2 − 0.2)u1 − (0.2 − 0.2)v1 ) 0.42 0.43 − = 0.1((0.4 − 0)u0 − (0.4 − 0)v0 )+ 2 +0.2((0.4 − 0.2)u1 − (0.4 − 0.2)v1 ) + 0.1(0.4 − 0.4)u2 − 0.1(0.4 − 0.4)v2 ) 12 13 − = 2 0.2((1 − tj )uj − (1 − tj )vj )+ j=2 +0.1((1 − 0)u0 − (1 − 0)v0 ) + 0.1((1 − 1)u5 − (1 − 1)v5 ) (3.1.18) 50 Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình (3.1.18) ta tìm giá trị xấp xỉ (ui , vi )ứng với xi Độ xác nghiệm phụ thuộc vào số điểm chia đoạn [0, 1] với điểm chia xi ,i = 0, 1, u0 = u(0) = 0.91, (3.1.19) v0 = v(0) = 0.11 u1 = u(0.2) = 0.77, (3.1.20) v1 = v(0.2) = 0.37 u2 = u(0.4) = 0.65, (3.1.21) v2 = v(0.4) = 0.85 u3 = u(0.6) = 0.65, (3.1.22) v3 = v(0.6) = 1.45 u4 = u(0.8) = 0.77, (3.1.23) v4 = v(0.8) = 2.17 u5 = u(1) = (3.1.24) v5 = v(1) = Bằng phương pháp biến đổi Laplace ví dụ 2.6 mục (2.2.1) chương có nghiệm xác hệ phương trình (3.1.15) là: 3 3 (u(x), v(x)) = ( x2 − x + 1, x2 + x) 2 2 Bảng so sánh nghiệm xác nghiệm xấp xỉ hệ phương trình (3.1.15) giải phương pháp cầu phương: 51 i xi ui u(xi ) = 3xi 2 0 3xi v(xi ) = 3xi 2 +1 + 3xi ∆ui = ∆vi = |u(xi ) − ui | |v(xi ) − vi | 0.11 0.09 0.11 0.2 0.77 0.76 0.37 0.36 0.01 0.01 0.4 0.65 0.64 0.85 0.84 0.01 0.01 0.6 0.65 0.64 1.45 1.44 0.01 0.01 0.8 0.77 0.76 2.17 2.16 0.01 0.01 3 0 3.2 0.91 − vi Phương pháp cầu phương giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 3.2.1 Thuật toán giải phương hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Xét hệ phương trình: b ∼ (K1 (x, t)u(t)+ K1 (x, t)v(t))dt, u(x) = f1 (x) + a (3.2.1) b ∼ v(x) = f2 (x) + (K2 (x, t)u(t)+ K2 (x, t)v(t))dt a Chia đoạn [a, b] thành n phần với điểm chia xi ,i = 0, 1, n a = x0 < x1 < < xn = b Thay xi vào (3.2.1) ta b ∼ (K1 (xi , t)u(t)+ K1 (xi , t)v(t))dt, u(xi ) = f1 (xi ) + a (3.2.2) b ∼ v(xi ) = f2 (xi ) + (K2 (xi , t)u(t)+ K2 (xi , t)v(t))dt a 52 với i = 0, 1, n Theo định nghĩa tích phân xác định, ta thay xấp xỉ tích phân công thức cầu phương: b n F (t)dt ≈ Aj F (tj ) j=1 a tj điểm chia [a, b], Aj (j = 1, 2, , n) hệ số phép cầu phương Áp dụng công thức (3.2.1) cho tính phân phương trình (3.2.2) với điểm chia tj = xj , (j = 0, 1, 2, , n) ta n u(xi ) ≈ f1 (xi ) + n K1 (xi , tj )v(tj ) K1 (xi , tj )u(tj )+ j=0 n v(xi ) ≈ f2 (xi ) + j=0 n K2 (xi , tj )v(tj ) K2 (xi , tj )u(tj )+ j=0 (3.2.3) j=0 với i = 0, n Đặt ui ≈ u(xi ), vi ≈ v(xi ), với i = 0, 1, n Ta có hệ phương trình đại số tuyến tính 2n ẩn (u1 , u2 , , un , v1 , v2 , ) sau: n ui = f1 (xi ) + n K1 (xi , tj )uj + j=1 n vi = f2 (xi ) + K1 (xi , tj )vj j=1 n K2 (xi , tj )vj K2 (xi , tj )uj + j=1 (3.2.4) j=1 với i = 0, 1, n Giải hệ phương trình (3.2.4) ta tìm giá trị xấp xỉ (ui , vi )ứng với xi Độ xác nghiệm phụ thuộc số điểm chia đoạn [a, b] với điểm chia xi ,i = 0, 1, n 53 3.2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 3.3 Sử dụng phương pháp cầu phương để giải gần hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm: 11 u(x) = − x − x2 + 12 (xu(t) + xv(t))dt, (3.2.5) v(x) = − + x − x3 + 60 (tu(t) − tv(t))dt Chia đoạn [0, 1] thành phần với điểm chia xi ,i = 0, 1, , h = 0.2; x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = Thay xi vào (3.2.5) ta 11 u(xi ) = − xi − xi + 12 (xi u(t) + xi v(t))dt, (3.2.6) v(xi ) = − + xi − xi + 60 (tu(t) − tv(t))dt với i = 0, , Áp dụng công thức hình thang cho tính phân phương trình (3.2.6) với điểm chia tj = xj , (j = 0, 1, 2, , 5) ta u(xi ) ≈ − 11 h xi − xi + [(xi u(t0 ) + xi v(t0 )) + (xi u(t5 ) + xi v(t5 ))]+ 12 + h[(xi u(t1 ) + xi v(t1 ) + + xi u(t4 ) + xi v(t4 )] v(xi ) ≈ − h + xi − xi + [(t0 u(t0 ) − t0 v(t0 )) + (t5 u(t5 ) − t5 v(t5 ))]+ 60 + h((t1 u(t1 ) − t2 v(t2 )) + + (t4 u(t4 ) − t4 v(t4 ))) (3.2.7) 54 với i = 0, , 5,h = 0.2 điểm nút x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = Đặt ui ≈ u(xi ), vi ≈ (xi ), với i = 0, , Ta có hệ 12 phương trình 12 ẩn (u0 , u1 , u2 , u2 , u4 , u5 , v0 , v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ) sau: u0 = u1 = − 11 0.2 0.2 − 0.22 + [(0.2u0 + 0.2v0 ) + (0.2u5 + 0.2v5 )]+ 12 + 0.2[(0.1u2 + 0.2v1 ) + (0.2u2 + 0.2v2 ) + (0.2u3 + 0.2v3 ) + (0.2u4 + 0.2v4 )] 11 0.2 u2 = − 0.4 − 0.42 + [(0.4u0 + 0.4v0 ) + (0.4u5 + 0.4v5 )]+ 12 + 0.2[(0.4u2 + 0.4v2 ) + (0.4u3 + 0.4v3 ) + (0.4u4 + 0.4v4 )] 0.2 11 − 12 + [(1u0 + 1v0 ) + (1u5 + 1v5 )]+ u5 = − 12 + 0.2[(1u2 + 1v2 ) + (1u3 + 1v3 ) + (1u4 + 1v4 )] 0.2 v0 = − + [(0u0 − 0v0 ) + (1u5 + 1v5 )]+ 60 + 0.2[(0.2u1 − 0.2v1 ) + (0.4u2 − 0.4v2 ) + (0.6u3 − 0.6v3 ) + (0.8u4 − 0.8v4 )] 0.2 [(0u0 − 0v0 ) + (1u5 + 1v5 )]+ v1 = − + 0.2 − 0.23 + 60 + 0.2[(0.2u1 − 0.2v1 ) + (0.4u2 − 0.4v2 ) + (0.6u3 − 0.6v3 ) + (0.8u4 − 0.8v4 )] 0.2 v5 = − + − 13 + [(0u0 − 0v0 ) + (1u5 + 1v5 )]+ 60 + 0.2[(0.2u1 − 0.2v1 ) + (0.4u2 − 0.4v2 ) + (0.6u3 − 0.6v3 ) + (0.8u4 − 0.8v4 )] (3.2.8) Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình (3.2.8) ta tìm giá trị xấp xỉ (ui , vi )ứng với xi Độ xác nghiệm phụ thuộc vào số điểm chia đoạn [0, 1] với điểm chia xi ,i = 0, 1, 55 u0 = u(0) = 1, (3.2.9) v0 = v(0) = −0.017951 u1 = u(0.2) = 0.946153, (3.2.10) v1 = v(0.2) = 0.174049 u2 = u(0.4) = 0.812306, (3.2.11) v2 = v(0.4) = 0.318049 u3 = u(0.6) = 0.598459, (3.2.12) v3 = v(0.6) = 0.366049 u4 = u(0.8) = 0.304611, (3.2.13) v4 = v(0.8) = 0.270049 u5 = u(1) = −0.069236, (3.2.14) v5 = v(1) = −0.017951 Bằng phương pháp phân tích Adomian ví dụ 2.9 mục (2.3.1) chương có nghiệm xác hệ phương trình (3.2.5) là: (u(x), v(x)) = (1 − x2 , x − x3 ) Bảng so sánh nghiệm xác nghiệm xấp xỉ hệ phương trình (3.2.5) giải phương pháp cầu phương 56 i xi ui u(xi ) = vi − xi v(xi ) = ∆ui = ∆vi = xi − xi |u(xi ) − ui | |v(xi ) − vi | 1 −0.01795 0 0.017951 0.2 0.946153 0.96 0.174049 0.192 0.013847 0.017951 0.4 0.812306 0.84 0.318049 0.336 0.027694 0.017951 0.6 0.598459 0.64 0.366049 0.384 0.041541 0.017951 0.8 0.304611 0.36 0.270049 0.288 0.055389 0.017951 −0.06924 −0.01795 0.06924 0.017951 0 57 Kết luận Luận văn gồm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị gồm: Không gian Metric, không gian định chuẩn, chuỗi lũy thừa, tích phân phụ thuộc tham số, phương pháp cầu phương, biến đổi Laplace phương pháp lặp Chương trình bày phương pháp phân tích Adomian, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp tính toán trực tiếp phương pháp biến đổi hệ phương trình tích phân tuyến tính loại hệ phương trình tích phân tuyến tính loại hai, giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại loại hai, hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Chương trình bày phương pháp cầu phương giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Ngoài đóng góp định, luận văn tránh khỏi thiếu sót, em mong thầy cô bạn đọc góp ý để luận văn em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn 58 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (2005) Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001) Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Phạm Huy Điển (2002) Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2005) Giải tích Hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [5] Abdul-Majid Wazwaz (2011) Linear and Nonlinear Integral Equations, Springer [6] Verlan, V.C Sizikov (1986)Integral Equations, Handbook, Naukova Dumka, Kiev ... "Một số phương pháp giải gần hệ phương trình tích phân tuyến tính" Mục đính nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình tích phân tuyến tính dựa vào phương pháp là: Phương pháp phân. .. tiếp phương pháp cầu phương) Đóng góp đề tài Hệ thống lại loai hệ phương trình tích phân tuyến tính nghiên cứu phương pháp giải cho loại hệ phương trình tích phân Giải hệ phương trình tích phân tuyến. .. đổi hệ phương trình tích phân tuyến tính loại hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 2.3 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 2.3.1 Phương pháp phân tích