Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tích phân tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2HÀ VĂN CHUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02

HÀ VĂN CHUNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ VĂN CHUNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luậnvăn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới phòng sau đại học, khoa toán, cácthầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã gúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trongsuốt quá trình học tập

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám đốc Trung tâm GDNN-GDTX TamĐảo huyện Tam Đảo tỉnh Vĩnh Phúc đã giúp đỡ tôi và tạo điều kiện thuânlợi giúp tôi hoàn thành khóa học này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình tôi, nhữngngười bạn của tôi đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện tốt cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Hà Văn Chung

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận vănnày đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ

rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Hà Văn Chung

Mục lục

1.1 Không gian Metric 7

1.2 Không gian định chuẩn 7

1.3 Chuỗi lũy thừa 8

1.4 Tích phân phụ thuộc tham số 9

1.5 Phương pháp cầu phương 10

1.6 Biến đổi Laplace 10

1.7 Phương pháp lặp 12

2 Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tích phân tuyến tính 16 2.1 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 16

2.1.1 Phương pháp phân tích Adomian (Adomian Decomposition Method) (ADM) 16

2.1.2 Phương pháp biến đổi Laplace 22

2.1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 25

2.2 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một 26

2.2.1 Phương pháp biến đổi Laplace 27

2.2.2 Biến đổi hệ phương trình tích phân tuyến tính loại một về hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 29

2.3 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 30

2.3.1 Phương pháp phân tích Adomian (ADM) 31

2.3.2 Phương pháp tính toán trực tiếp 35

2.3.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 40

3 Lập trình trên Maple giải một số hệ phương trình tích phân tuyến tính 42 3.1 Phương pháp cầu phương giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra 42

3.1.1 Thuật toán giải phương hệ phương trình tích phân tuyến

tính Volterra 42 3.1.2 Các ví dụ minh họa 44 3.2 Phương pháp cầu phương giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 51 3.2.1 Thuật toán giải phương hệ phương trình tích phân tuyến

tính Fredholm 51 3.2.2 Các ví dụ minh họa 53

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hệ phương trình tích phân xuất hiện trong toán học và các ngành khoahọc ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Trong quá trình giải hệ phương trình tích phân gặp rất nhiều dạng hệphương trình khác nhau, và phương pháp giải cũng khác nhau, nhiều hệphương trình có thể tìm nghiệm chính xác dễ dàng, nhưng có những hệtìm nghiệm chính xác gặp rất nhiều khó khăn Vì vậy với mong muốn phânloại các hệ phương trình tích phân tuyến tính và cách giải từng dạng hệmột cách khoa học và dễ hiểu tôi đã chọn đề tài "Một số phương pháp giảigần đúng hệ phương trình tích phân tuyến tính"

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình tích phân tuyến tínhVolterra và Fredholm áp dụng giải một số ví dụ cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra, hệ phương trình tích

phân tuyến tính Fredholm Các phương pháp giải (phương pháp phân tíchAdomian (Adomian Decomposition Method) (ADM), phương pháp biếnđổi Laplace, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp tính trực tiếp vàphương pháp cầu phương).

5 Đóng góp mới của đề tài

Hệ thống lại các loai hệ phương trình tích phân tuyến tính và nghiên cứucác phương pháp giải cho từng loại hệ phương trình tích phân đó Giải hệphương trình tích phân tuyến tính bằng phương pháp cầu phương Thiếtlập định lý tồn tại nghiệm duy nhất dựa theo nguyên lý ánh xạ co để làm

cơ sở cho phương pháp xấp xỉ liên tiếp

6 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liện liên quan Áp dụng các phương phápGiải tích cổ điển, Giải tích hàm, giải tích số, Đại số tuyến tính

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 Không gian Metric là một tập (X, d), trong đó X là mộttập hợp, d là một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:i) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y

ii) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X

iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X

Định nghĩa 1.2 Không gian định chuẩn là một không gian tuyến tính Xtrên trường P ( P là trường số thực hay trường số phức) cùng với một ánh

xạ từ X vào tập hợp số thực, ký hiệu k k (đọc là chuẩn), thỏa mãn cáctiên đề sau:

i) ∀x ∈ X, kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ(phần tử không trong X)

ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P, kαxk = |α| kxk

iii) ∀x, y ∈ X, kx + yk ≤ kxk + kyk( bất đẳng thức tam giác)

Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X là dãy hội

tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim

n→∞kxn− xk = 0 Ký hiệulim

n→∞xn = x hay xn → x(n → ∞)

Định nghĩa 1.4 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi làdãy cơ bản, nếu

lim

n,m→∞kxn − xmk = 0Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Cho hai không gian định chuẩn X, Y với lần lượt hai chuẩn k k1, k k2

Ta có tích Descartes Z = X × Y = {z = (x; y) : x ∈ X, y ∈ Y } với chuẩnxác định bằng công thức

kzk = kxk1 + kyk2cũng là không gian định chuẩn

Định lý 1.1 Tích Descartes X × Y của hai không gian định chuẩn X, Y

là không gian Banach khi và chỉ khi các không gian định chuẩn X, Y lànhững không gian Banach

Định nghĩa 1.6 Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

(−r; r)

Tính chất 1.4 Có thể đạo hàm từng số hạng của chuỗi

Định nghĩa 1.7 Giả sử hàm f xác định trên hình chữ nhật [a; b] × [a; b] ⊆

R2 và với mỗi điểm y ∈ [a; b] cố định, f khả tích theo x trên [a; b] Khi ấy,tích phân

b

R

a

f (x, y)dx là một hàm số theo biến y

Ta nói tích phân trên là tích phân phụ thuộc tham số với tham số y

f (x, y)dx liên tục trên miền [c; d]

Tính chất 1.6 Giả thiết f liên tục và có đạo hàm riêng fy0 liên tục trênmiền [a; b] × [c; d], ψ và φ khả vi trên trên miền [c; d] Khi ấy hàm I(y) khả

1.5 Phương pháp cầu phương

Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên [a, b] do đó f (x) khả tích trên[a, b] Ta chia đoạn [a, b] thành n phần

trong đó, Ak và xk- tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,

Rn(f ) là phần dư của công thức cầu phương

Theo công thức hình thang thì ta có

1.6 Biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.8 Biến đổi Laplace của một hàm f (x) là một hàm F (s)được xác định bởi hệ thức:

Điều kiện tồn tại của biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace của một số hàm sơ cấp

7 cos2ax s(ss22+2a+4a22 ), Re(s) > |Im(a)|

8 sin2ax s(s22a+4a2 2 ), Re(s) > |Im(a)|

(s 2 +a 2 )2

11 sinhax s2 −aa 2, s > |a|

12 cosh ax s2 −as 2, s > |a|

W được xác định

Aw = f1(x) +Rab[K1(x, t)u(t) + fK1(x, t)v(t)]dt; f2(x)+

+Rab[K2(x, t)u(t)+ fK2(x, t)v(t)]dt

Giả sử toán tử A tác động trong W , thoản mãn điều kiện

kAw1 − Aw2k ≤ α kw1 − w2k ; w1, w2 ∈ Wtrong đó α = const ≥ 0

Nếu α < 1 thì ta nói toán tử A là toán tử co trong W

Định lý 1.2 Nếu hệ phương trình

u(x) = f1(x) +

Z b a

[K1(x, t)u(t) + fK1(x, t)v(t)]dtv(x) = f2(x) +

Z b a

Kf1(x, t)

;

Kf2(x, t)

Kf1(x, t)

|(v1(t) − v2(t))| dt

Kf1(x, t)

a

q 2(b−a)kv1 − v2k dt

về ánh xạ co thì phương trình (1.7.2) có nghiệm duy nhất w∗ trong W , và

w∗ là giới hạn của dãy lặp (wn)

Chương 2

Một số phương pháp giải gần đúng

hệ phương trình tích phân tuyến tính

2.1 Hệ phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai

Trong phần này chúng ta nghiên cứu một vài phương pháp giải hệ phươngtrình tích phân tuyến tính Volterra loại hai có dạng:

Decomposi-tion Method) (ADM)

Sử dụng phương pháp phân tích Adomian để giải hệ phương trình tíchphân tuyến tính Volterra có dạng:

ở đây số hạng u(x) và v(x), n ≥ 0 được xác định nhờ phương pháp lặp.

Để thiết lập quá trình lặp chúng ta thế chuỗi (2.1.3) vào hệ phương trìnhtích phân (2.1.2) Số hạng đầu u0(x), v0(x) được lấy tương ứng là f1(x) và

f2(x), chúng ta sử dụng phép lặp:

u0(x) = f1(x)

v0(x) = f2(x)và

, , nghiệm u(x) và v(x) dưới dạng chuỗi Chuỗi (2.1.4) hội tụ đến nghiệmchính xác nếu nghiệm của hệ phương trình ban đầu tồn tại Hiện tượngnhiễu âm và phương pháp phân tích sẽ được sử dụng qua từng ví dụ cụ thể.Các tổng riêng của các chuỗi (2.1.3) cho ta nghiệm xấp xỉ của hệ phươngtrình ban đầu.

Ta chú ý đến của các nhiễu âm ∓16x4 giữa u0(x) và u1(x) Số hạng ∓2801 x7giữa u1(x) và u2(x) Số hạng ∓453601 x10 giữa u2(x) và u3(x) Và các nhiễu

âm ∓121 x5 giữa v0(x) và v1(x) Số hạng ∓1008011 x8 giữa v1(x) và v2(x) Sốhạng ∓14265007 x11 giữa v2(x) và v3(x) Bằng cách giản ước những số hạngnhiễu âm này ta được nghiệm của hệ phương trình là:

(u(x), v(x)) = (x, x2)Thay (u(x), v(x)) = (x, x2) vào hệ phương trình ban đầu thỏa mãn

Vậy nghiệm chính xác của hệ phương trình ban đầu là:

(u(x), v(x)) = (x, x2)

Ví dụ 2.2 Sử dụng phương pháp phân tích Adomian để giải hệ phươngtrình tích phân tuyến tính Volterra:

Ta chú ý đến của các nhiễu âm ∓x2 giữa u0(x) và u1(x), số hạng ∓121 x4 giữa

u1(x) và u2(x), số hạng ∓1801 x6 giữa u2(x) và u3(x) Các nhiễu âm ∓101 x5giữa v0(x) và v1(x), số hạng ∓121 x4 giữa v1(x) và v2(x), số hạng ∓151201 x9giữa v2(x) và v3(x) Bằng cách giản ước những số hạng nhiễu âm này tađược nghiệm của hệ phương trình là:

(u(x), v(x)) = (1 + x3, 1 − x3)Thay (u(x), v(x)) = (1 + x3, 1 − x3) vào hệ phương trình ban đầu thỏamãn

Vậy nghiệm chính xác của hệ phương trình ban đầu là:

(u(x), v(x)) = (1 + x3, 1 − x3)

2.1.2 Phương pháp biến đổi Laplace

Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace giải hệ phương trình tích phântuyến tính Volterra có dạng:

Ví dụ 2.3 Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace giải hệ phương trình

tích phân tuyến tính Volterra sau:

Ví dụ 2.4 Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace giải hệ phương trìnhtích phân tuyến tính Volterra sau:

2.1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải hệ phương trình tích phântuyến tính Volterra có dạng:

Kf1(x, t)

;

...Kf1(x, t)

;

Kf2(x, t)

}thì hệ phương trình (1.7.1) có nhiệm (u∗, v∗) với w∗ = (u∗; v∗)trong