Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 85 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
85
Dung lượng
387,17 KB
Nội dung
Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIM ANH GIẢISỐPHƯƠNGTRÌNHTÍCHPHÂNVOLTERRA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIM ANH GIẢISỐPHƯƠNGTRÌNHTÍCHPHÂNVOLTERRA Chuyên ngành: Toán giảitích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực đề tài khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Anh i Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Em xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Em xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Anh ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu iii Danh mục kí hiệu chữ viết tắt vi KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tíchphân xác định 1.2 Đa thức nội suy 1.3 Công thức hình thang 1.4 Công thức cầu phươngPHƯƠNGTRÌNHTÍCHPHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA 2.1 Phươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra 2.1.1 Phươngtrìnhtíchphân 2.1.2 Phươngtrìnhtíchphân tuyến tính 2.1.3 Phân loại phươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra 2.1.4 Sự tồn nghiệm phươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra 2.2 Phương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.1 NGUYỄN THỊ KIM ANH Phương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra loại 2.2.2 10 Phương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra loại 27 PHƯƠNGTRÌNHTÍCHPHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA 44 3.1 Phươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra 3.1.1 Phân loại phươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra 44 3.1.2 Sự tồn nghiệm phươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra 3.2 44 45 Phương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra 3.2.1 Phương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra loại 3.2.2 46 46 Phương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra loại 59 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp nhiều toán có liên quan đén việc giảiphươngtrìnhtíchphânPhươngtrìnhtíchphânVolterraphươngtrình có nhiều ứng dụng không nội môn toán (giải phươngtrình vi phân thỏa mãn điều kiện biên hay điều kiện ban đầu, giải toán liên quan đến phươngtrình đạo hàm riêng) mà ứng dụng rộng rãi vào ngành vật lý, học, kĩ thuật, PhươngtrìnhtíchphânVolterra có phương pháp giải khác nhau, phương pháp sốphương pháp tìm nghiệm dạng bảng số ta kết hợp sử dụng phần mềm lập trình tính toán Maple vào để giảiphươngtrình cách nhanh chóng, hiệu Chính lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu" Giảisốphươngtrìnhtíchphân Volterra" nhằm có điều kiện tiếp tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức ứng dụng giải toán đại học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp số để giảiphươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterraphươngtrình phi tuyến Volterra Footer Page of 161 iii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Phương pháp nghiên cứu +Phương pháp nghiên cứu lí luận +Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Cấu trúc Khóa luận gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức tíchphân xác định, công thức tính gần tíchphân Chương Phươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra Mục đích chương giới thiệu phươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterraphương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra Chương Phươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra Mục đích chương giới thiệu phươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterraphương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra Khóa luận hoàn thành khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Em xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em nhiều trình làm khóa luận Em chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học Đại học thực khóa luận Footer Page of 161 iv Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Em mong nhận góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Anh Footer Page of 161 v Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Danh mục kí hiệu chữ viết tắt tổng sích ma lim giới hạn | | trị tuyệt đối ≈ xấp xỉ J(x) ma trận Jacobi b a tíchphân cận từ a tới b K(x, t) hạch α alpha β beta λ lan đa ∞ vô ξ xi σ sích ma Footer Page 10 of 161 vi Header Page 71 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH t 2t t et−s x2 (s)ds (3.14) et−s y(s)ds, t ∈ [0, 1] (3.15) x (t) = e − e − Đặt: y(t) = x2 (t) ⇒ x(t) = ± y(t) phươngtrình (3.14) trở thành t 2t t y(t) = 2e − e − Ta chia [0, 1] thành 10 phần t0 = 0; t1 = 0, 1; t2 = 0, 2; t3 = 0, 3; t4 = 0, 4; t5 = 0, 5; t6 = 0, 6; t7 = 0, 7; t8 = 0, 8; t9 = 0, 9; t10 = Đặt: y(ti ) ≈ yi , i = 0, 10 Cho t = ti phươngtrình (3.15) yi = 2e 2ti ti ti −e − eti −s y(s)ds (3.16) + Với i = 0, phươngtrình (3.16) trở thành e−s y(s)ds √ ⇒ y0 = ⇒ x0 = ± y0 = ±1 y0 = − − + Với i = 1, phươngtrình (3.16) trở thành 0,1 y1 = 2e 0,2 −e 0,1 0,1−s Đặt: g(s) = e e0,1−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,1 0, g(s)ds ≈ (g(0) + g(0, 1)) = 0, 05(e0,1 y0 + y1 ) = 0, 05e0,1 + 0, 05y1 Thay vào phươngtrình y1 ≈ 2e0,2 − e0,1 − 0, 05e0,1 − 0, 05y1 Footer Page 71 of 161 61 Header Page 72 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH √ ⇒ y1 ≈ 1, 221311 ⇒ x1 = ± y1 = ±1, 105129 + Với i = 2, phươngtrình (3.16) trở thành 0,2 y2 = 2e 0,4 −e 0,2 e0,2−s y(s)ds − 0,2−s Đặt: g(s) = e y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,2 0, g(s)ds ≈ (g(0) + +g(0, 2) + 2g(0, 1)) = 0, 05(e0,2 y0 + y2 + 2e0,1 y1 ) 2.2 0,2 ≈ 0, 05e + 0, 05y2 + 0, 1221311e0,1 Thay vào phươngtrình y2 ≈ 2e0,4 − e0,2 − 0, 05e0,2 − 0, 05y2 − 0, 1221311e0,1 √ ⇒ y2 ≈ 1, 49162 ⇒ x2 = ± y2 = ±1, 221319 + Với i = 3, phươngtrình (3.16) trở thành 0,3 y3 = 2e 0,6 −e 0,3 e0,3−s y(s)ds − Đặt: g(s) = e0,3−s y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,3 0, [g(0) + g(0, 3) + 2(g(0, 1) + g(0, 2))] = 0, 05[e0,3 y0 g(s)ds ≈ 2.3 0,2 +y3 +2(e y1 +e0,1 y2 )] ≈ 0, 05e0,3 +0, 05y3 +0, 1221311e0,2 +0, 149162e0,1 Thay vào phươngtrình y3 ≈ 2e0,6 − e0,3 − 0, 05e0,3 − 0, 05y3 − 0, 1221311e0,2 − 0, 149162e0,1 √ ⇒ y3 ≈ 1, 821776 ⇒ x3 = ± y3 = ±1, 349731 + Với i = 4, phươngtrình (3.16) trở thành 0,4 y4 = 2e 0,8 −e 0,4 0,4−s Đặt: g(s) = e e0,4−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,4 0, g(s)ds ≈ [g(0)+g(0, 4)+2(g(0, 1)+g(0, 2)+g(0, 3))] = 0, 05[e0,4 y0 2.4 0,3 + y4 + 2(e y1 + e0,2 y2 + e0,1 y3 )] ≈ 0, 05e0,4 + 0, 05y4 + 0, 1221311e0,3 Footer Page 72 of 161 62 Header Page 73 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + 0, 149162e0,2 + 0, 1821776e0,1 Thay vào phươngtrình y4 ≈ 2e0,8 − e0,4 − 0, 05e0,4 − 0, 05y4 − 0, 1221311e0,3 − 0, 149162e0,2 − 0, 1821776e0,1 √ ⇒ y4 ≈ 2, 22503 ⇒ x4 = ± y4 = ±1, 491654 + Với i = 5, phươngtrình (3.16) trở thành 0,5 y5 = 2e − e 0,5 e0,5−s y(s)ds − 0,5−s Đặt: g(s) = e y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,5 0, g(s)ds ≈ [g(0) + g(0, 5) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4))] 2.5 = 0, 05[e0,5 y0 + y5 + 2(e0,4 y1 + e0,3 y2 + e0,2 y3 + e0,1 y4 )] ≈ 0, 05e0,5 + 0, 05y5 + 0, 1221311e0,4 + 0, 149162e0,3 + 0, 1821776e0,2 + 0, 222503e0,1 Thay vào phươngtrình y5 ≈ 2e − e0,5 − 0, 05e0,5 − 0, 05y5 − 0, 1221311e0,4 − 0, 149162e0,3 − 0, 1821776e0,2 − 0, 222503e0,1 √ ⇒ y5 ≈ 2, 717566 ⇒ x5 = ± y5 = ±1, 648504 + Với i = 6, phươngtrình (3.16) trở thành 0,6 y6 = 2e 1,2 −e 0,6 0,6−s Đặt: g(s) = e e0,6−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,6 0, g(s)ds ≈ [g(0) + g(0, 6) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) 2.6 + g(0, 5))] = 0, 05[e0,6 y0 + y6 + 2(e0,5 y1 + e0,4 y2 + e0,3 y3 + e0,2 y4 + e0,1 y5 )] ≈ 0, 05e0,6 + 0, 05y6 + 0, 1221311e0,5 + 0, 149162e0,4 + 0, 1821776e0,3 + 0, 222503e0,2 + 0, 2717566e0,1 Footer Page 73 of 161 63 Header Page 74 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Thay vào phươngtrình y6 ≈ 2e1,2 − e0,6 − 0, 05e0,6 − 0, 05y6 − 0, 1221311e0,5 − 0, 149162e0,4 − 0, 1821776e0,3 − 0, 222503e0,2 − 0, 2717566e0,1 √ ⇒ y6 ≈ 3, 319151 ⇒ x6 = ± y6 = ±1, 821854 + Với i = 7, phươngtrình (3.16) trở thành 0,7 y7 = 2e 1,4 −e 0,7 e0,7−s y(s)ds − Đặt: g(s) = e0,7−s y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,7 0, [g(0) + g(0, 7) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) g(s)ds ≈ 2.7 + g(0, 5) + g(0, 6))] = 0, 05[e0,7 y0 + y7 + 2(e0,6 y1 + e0,5 y2 + e0,4 y3 + e0,3 y4 + e0,2 y5 + e0,1 y6 )] ≈ 0, 05e0,7 + 0, 05y7 + 0, 1221311e0,6 + 0, 149162e0,5 + 0, 1821776e0,4 + 0, 222503e0,3 + 0, 2717566e0,2 + 0, 3319151e0,1 Thay vào phươngtrình y7 ≈ 2e1,4 − e0,7 − 0, 05e0,7 − 0, 05y7 − 0, 1221311e0,6 − 0, 149162e0,5 − 0, 1821776e0,4 − 0, 222503e0,3 − 0, 2717566e0,2 − 0, 3319151e0,1 √ ⇒ y7 ≈ 4, 053927 ⇒ x7 = ± y7 = ±2, 013437 + Với i = 8, phươngtrình (3.16) trở thành 0,8 y8 = 2e 1,6 −e 0,8 0,8−s Đặt: g(s) = e e0,8−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,8 0, [g(0) + g(0, 8) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) g(s)ds ≈ 2.8 + g(0, 5) + g(0, 6) + g(0, 7))] = 0, 05[e0,8 y0 + y8 + 2(e0,7 y1 + e0,6 y2 + e0,5 y3 + e0,4 y4 + e0,3 y5 + e0,2 y6 + e0,1 y7 )] ≈ 0, 05e0,8 + 0, 05y8 + 0, 1221311e0,7 +0, 149162e0,6 +0, 1821776e0,5 +0, 222503e0,4 +0, 2717566e0,3 +0, 3319151e0,2 Footer Page 74 of 161 64 Header Page 75 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + 0, 4053927e0,1 Thay vào phươngtrình y8 ≈ 2e1,6 − e0,8 − 0, 05e0,8 − 0, 05y8 − 0, 1221311e0,7 − 0, 149162e0,6 −0, 1821776e0,5 −0, 222503e0,4 −0, 2717566e0,3 −0, 3319151e0,2 −0, 4053927e0,1 √ ⇒ y8 ≈ 4, 951386 ⇒ x8 = ± y8 = ±2, 225171 + Với i = 9, phươngtrình (3.16) trở thành 0,9 y9 = 2e 1,8 −e 0,9 0,9−s Đặt: g(s) = e e0,9−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,9 0, g(s)ds ≈ [g(0) + g(0, 9) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) 2.9 + g(0, 5) + g(0, 6) + g(0, 7) + g(0, 8))] = 0, 05[e0,9 y0 + y9 + 2(e0,8 y1 + e0,7 y2 + e0,6 y3 + e0,5 y4 + e0,4 y5 + e0,3 y6 + e0,2 y7 + e0,1 y8 )] ≈ 0, 05e0,9 + 0, 05y9 +0, 1221311e0,8 +0, 149162e0,7 +0, 1821776e0,6 +0, 222503e0,5 +0, 2717566e0,4 + 0, 3319151e0,3 + 0, 4053927e0,2 + 0, 4951386e0,1 Thay vào phươngtrình y9 ≈ 2e1,8 − e0,9 − 0, 05e0,9 − 0, 05y9 − 0, 1221311e0,8 − 0, 149162e0,7 −0, 1821776e0,6 −0, 222503e0,5 −0, 2717566e0,4 −0, 3319151e0,3 −0, 4053927e0,2 − 0, 4951386e0,1 √ ⇒ y9 ≈ 6, 047544 ⇒ x9 = ± y9 = ±2, 459176 + Với i = 10, phươngtrình (3.16) trở thành e1−s y(s)ds y10 = 2e − e − Đặt: g(s) = e1−s y(s) Áp dụng công thức hình thang 1 g(s)ds ≈ [g(0) + g(1) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) 2.10 Footer Page 75 of 161 65 Header Page 76 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + g(0, 5) + g(0, 6) + g(0, 7) + g(0, 8) + g(0, 9))] = 0, 05[ey0 + y10 + 2(e0,9 y1 + e0,8 y2 + e0,7 y3 + e0,6 y4 + e0,5 y5 + e0,4 y6 + e0,3 y7 + e0,2 y8 + e0,1 y9 )] ≈ 0, 05e + 0, 05y10 + 0, 1221311e0,9 + 0, 149162e0,8 + 0, 1821776e0,7 + 0, 222503e0,6 +0, 2717566e0,5 +0, 3319151e0,4 +0, 4053927e0,3 +0, 4951386e0,2 +0, 6047544e0,1 Thay vào phươngtrình y10 ≈ 2e2 −e−0, 05e−0, 05y10 −0, 1221311e0,9 −0, 149162e0,8 −0, 1821776e0,7 −0, 222503e0,6 −0, 2717566e0,5 −0, 3319151e0,4 −0, 4053927e0,3 −0, 4951386e0,2 − 0, 6047544e0,1 √ ⇒ y10 ≈ 7, 755715 ⇒ x10 = ± y10 = ±2, 784908 Nghiệm gần phươngtrình (3.13) thu bảng sau i ti x(ti ) = ±eti xi ∆i = |xi − x(ti )| 0 1 0, ±1, 105171 ±1, 105129 0, 000042 0, ±1, 221403 ±1, 221319 0, 000084 0, ±1, 349858 ±1, 349731 0, 000127 0, ±1, 491824 ±1, 491654 0, 00017 0, ±1, 648721 ±1, 648504 0, 000217 0, ±1, 822119 ±1, 821854 0, 000265 0, ±2, 013753 ±2, 013437 0, 000316 0, ±2, 225541 ±2, 225171 0, 00037 0, ±2, 459603 ±2, 459176 0, 000427 10 ±2, 718282 ±2, 784908 0, 066626 Ví dụ 3.2.4 Giảiphươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra loại sau Footer Page 76 of 161 66 Header Page 77 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH t 1 (t − s + 1)x3 (s)ds = t3 + t4 , t ∈ [0, 1] 12 √ Nghiệm xác phươngtrình x(t) = t2 Đặt x3 (t) = y(t) ⇒ x(t) = (3.17) y(t) Đạo hàm hai vế phươngtrình (3.17) ta có t y(t) = t + t3 − y(s)ds, t ∈ [0, 1] (3.18) Ta chia [0, 1] thành 10 phần t0 = 0; t1 = 0, 1; t2 = 0, 2; t3 = 0, 3; t4 = 0, 4; t5 = 0, 5; t6 = 0, 6; t7 = 0, 7; t8 = 0, 8; t9 = 0, 9; t10 = Đặt: y(ti ) ≈ yi , i = 0, 10 Cho t = ti phươngtrình (3.18) y(ti ) = ti + ti − ti y(s)ds + Với i = 0, phươngtrình (3.19) trở thành √ y0 = ⇒ x0 = y0 = + Với i = 1, phươngtrình (3.19) trở thành 0,1 y1 = 0, + 0, − y(s)ds 0,1 31 ⇒ y1 = − y(s)ds 3000 Áp dụng công thức hình thang 0,1 0, y(s)ds ≈ (y(0) + y(0, 1)) = 0, 05(y0 + y1 ) = 0, 05y1 Thay vào phươngtrình 31 √ y1 ≈ − 0, 05y1 ⇒ y1 ≈ 0, 009841 ⇒ x1 = y1 ≈ 0, 214297 3000 Footer Page 77 of 161 67 (3.19) Header Page 78 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + Với i = 2, phươngtrình (3.19) trở thành 0,2 y2 = 0, + 0, − y(s)ds 0,2 16 ⇒ y2 = − y(s)ds 375 Áp dụng công thức hình thang 0,2 0, y(s)ds ≈ (y(0) + y(0, 2) + 2y(0, 1)) = 0, 05(y0 + y2 + 2y1 ) 2.2 ≈ 0, 05y2 + 0, 0009841 Thay vào phươngtrình 16 − 0, 05y2 − 0, 0009841 y2 = 375 √ ⇒ y2 ≈ 0, 039697 ⇒ x2 = y2 ≈ 0, 341129 + Với i = 3, phươngtrình (3.19) trở thành 0,3 y3 = 0, + 0, − y(s)ds 0,3 ⇒ y3 = 0, 099 − y(s)ds Áp dụng công thức hình thang 0,3 0, y(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 3) + 2(y(0, 1) + y(0, 2))] 2.3 = 0, 05[y0 + y3 + 2(y1 + y2 )] ≈ 0, 05y3 + 0, 0049538 Thay vào phươngtrình y3 ≈ 0, 099 − 0, 05y3 − 0, 0049538 √ ⇒ y3 ≈ 0, 089568 ⇒ x3 = y3 ≈ 0, 447422 + Với i = 4, phươngtrình (3.19) trở thành 0,4 y4 = 0, + 0, − y(s)ds 0,4 68 ⇒ y4 = − y(s)ds 375 Áp dụng công thức hình thang 0,4 0, y(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 4) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3))] 2.4 Footer Page 78 of 161 68 Header Page 79 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH = 0, 05[y0 + y4 + 2(y1 + y2 + y3 )] ≈ 0, 05y4 + 0, 013911 Thay vào phươngtrình 68 y4 ≈ − 0, 05y4 − 0, 013911 375 √ ⇒ y4 ≈ 0, 15945 ⇒ x4 = y4 ≈ 0, 542261 + Với i = 5, phươngtrình (3.19) trở thành 0,5 y5 = 0, + 0, − y(s)ds 0,5 ⇒ y5 = − y(s)ds 24 Áp dụng công thức hình thang 0,5 0, y(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 5) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4))] 2.5 = 0, 05[y0 + y5 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 )] ≈ 0, 05y5 + 0, 0298556 Thay vào phươngtrình √ y5 ≈ −0, 05y5 −0, 0298556 ⇒ y5 ≈ 0, 249344 ⇒ x5 = y5 ≈ 0, 629409 24 + Với i = 6, phươngtrình (3.19) trở thành 0,6 y(s)ds y6 = 0, + 0, − 0,6 ⇒ y6 = 0, 432 − y(s)ds Áp dụng công thức hình thang 0,6 0, g(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 6) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) 2.6 + y(0, 5))] = 0, 05[y0 + y6 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 )] ≈ 0, 05y6 + 0, 05479 Thay vào phươngtrình y6 ≈ 0, 432−0, 05y6 −0, 05479 ⇒ y6 ≈ 0, 359247 ⇒ x6 = + Với i = 7, phươngtrình (3.19) trở thành 0,7 y7 = 0, + 0, − y(s)ds 0,7 1813 ⇒ y7 = − y(s)ds 3000 Footer Page 79 of 161 69 √ y6 ≈ 0, 710882 Header Page 80 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Áp dụng công thức hình thang 0,7 0, [y(0) + y(0, 7) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) y(s)ds ≈ 2.7 + y(0, 5) + y(0, 6))] = 0, 05[e0,7 y0 + y7 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + e0,2 y5 + y6 )] ≈ 0, 05y7 + 0, 0907147 Thay vào phươngtrình 1813 y7 ≈ − 0, 05y7 − 0, 0907147 3000 √ ⇒ y7 ≈ 0, 489161 ⇒ x7 = y7 ≈ 0, 787923 + Với i = 8, phươngtrình (3.19) trở thành 0,8 y(s)ds y8 = 0, + 0, − 0,8 304 ⇒ y8 = − y(s)ds 375 Áp dụng công thức hình thang 0,8 0, y(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 8) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) 2.8 +y(0, 5)+y(0, 6)+y(0, 7))] = 0, 05[y0 +y8 +2(y1 +y2 +y3 +y4 +y5 +y6 +y7 )] ≈ 0, 05y8 + 0, 139631 Thay vào phươngtrình 304 y8 ≈ − 0, 05y8 − 0, 139631 375 √ ⇒ y8 ≈ 0, 639082 ⇒ x8 = y8 ≈ 0, 861362 + Với i = 9, phươngtrình (3.19) trở thành 0,9 y9 = 0, + 0, − y(s)ds 0,9 ⇒ y9 = 1, 053 − y(s)ds Áp dụng công thức hình thang 0,9 0, [y(0) + y(0, 9) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) y(s)ds ≈ 2.9 + y(0, 5) + y(0, 6) + y(0, 7) + y(0, 8))] = 0, 05[y0 + y9 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 Footer Page 80 of 161 70 Header Page 81 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + y5 + y6 + y7 + y8 )] ≈ 0, 05y9 + 0, 203539 Thay vào phươngtrình y9 ≈ 1, 053 − 0, 05y9 − 0, 203539 √ ⇒ y9 ≈ 0, 80901 ⇒ x9 = y9 ≈ 0, 93179 + Với i = 10, phươngtrình (3.19) trở thành 1 y10 = + − y(s)ds ⇒ y10 = − y(s)ds Áp dụng công thức hình thang 1 g(s)ds ≈ [y(0) + y(1) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) 2.10 + y(0, 5) + y(0, 6) + y(0, 7) + y(0, 8) + y(0, 9))] = 0, 05[y0 + y10 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9 )] ≈ 0, 05y10 + 0, 28444 Thay vào phươngtrình √ y10 ≈ −0, 05y10 −0, 28444 ⇒ y10 ≈ 0, 998946 ⇒ x10 = y10 ≈ 0, 999649 Nghiệm gần phươngtrình (3.17) thu bảng sau Footer Page 81 of 161 71 Header Page 82 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH ti xi ∆i = |xi − x(ti )| 0 0, 0, 215443 0, 214297 0, 001146 0, 0, 341995 0, 341129 0, 000866 0, 0, 44814 0, 447422 0, 000718 0, 0, 542883 0, 542261 0, 000622 0, 0, 629961 0, 629409 0, 000552 0, 0, 711378 0, 710882 0, 000496 0, 0, 788374 0, 787923 0, 000451 0, 0, 861773 0, 861362 0, 000411 0, 0, 932169 0, 93179 0, 000379 10 1 0, 999649 0, 000351 i ti x(ti ) = 0 Bài tập 3.2.2 Giảiphươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra loại sau t 1 (t − s + 1)x2 (s)ds = t3 + t4 , t ∈ [0, 1] 12 t (t − s + )x2 (s)ds = et − t, t ∈ [0, 1] t 1 (t − s)e2x(s) ds = e6t − t − , t ∈ [0, 1] 36 36 t 1 et−s e2x(s) ds = e6t − et , t ∈ [0, 1] 5 t cos(t − s)x2 (s)ds = sint − sin2t, t ∈ [0, π] 3 Footer Page 82 of 161 72 Header Page 83 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Kết luận Chương Nội dung Chương bao gồm Trình bày phươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra loại loại 2 Phương pháp sốgiảiphươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra loại loại Nêu ví dụ cụ thể giảisốphươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra tập áp dụng Footer Page 83 of 161 73 Header Page 84 of 161 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn tận tình thầy Khuất Văn Ninh, em hoàn thành đề tài kế hoạch đạt mục đích nghiên cứu đế Trên toàn nội dung khóa luận "Giải sốphươngtrìnhtíchphân Volterra" Khóa luận trình bày số vấn đề sau Một số kiến thức giảitíchtíchphân xác định, công thức tính gần tíchphân ứng dụng phần mềm Maple vào giảiphươngtrình Giới thiệu phươngtrìnhtíchphân tuyến tính Volterra loại 1, loại phương pháp sốgiảiphươngtrình Giới thiệu phươngtrìnhtíchphân phi tuyến Volterra loại 1, loại phương pháp sốgiảiphươngtrình Cuối cùng, có nhiều cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Vì vậy, em mong nhận nhiều ý kiến đóng góp báu thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn Footer Page 84 of 161 74 Header Page 85 of 161 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giảitích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giảitích số, NXB Giáo Dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giảitích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật [5] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2006), Giáo trìnhgiảitích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006), Toán học cao cấp 2, NXB Giáo Dục [B] Tài liệu Tiếng Anh [7] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Springer Footer Page 85 of 161 75 ... Chương trình bày phương trình tích phân tuyến tính Volterra phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra 2.1 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra Phương trình tích phân. .. tích phân tuyến tính 2.1.3 Phân loại phương trình tích phân tuyến tính Volterra Phương trình tích phân tuyến tính Volterra phương trình tích phân có cận lấy tích phân biến số Đối với phương trình. .. gần tích phân Chương Phương trình tích phân tuyến tính Volterra Mục đích chương giới thiệu phương trình tích phân tuyến tính Volterra phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra