Giải số phương trình tích phân fredholm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ************* ĐỖ KHÁNH HẰNG GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

ĐỖ KHÁNH HẰNG

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội – Năm 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*************

ĐỖ KHÁNH HẰNG

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Khuất Văn Ninh

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn và chỉbảo tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, khóa luận của

em đến nay đã được hoàn thành

Em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo đã quan tâm, dìudắt chúng em trưởng thành như ngày hôm nay Trong suốt quá trình họctập tại khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 em đã tiếp thuđược nhiều tri thức, kinh nghiệm, phương pháp học tập và được làm quenvới nghiên cứu khoa học, đó là một hành trang cần thiết cho em bước vàođời

Em xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS.Khuất Văn Ninh - người đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình trong suốtthời gian qua để em có thể hoàn thành được khóa luận này Thầy là mộttấm gương về sự nghiêm túc trong công việc, hiểu biết về toán học và sựđam mê nghiên cứu khoa học Nhờ đó em đã có ý thức và trách nhiệm đểhoàn thành khóa luận của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Đỗ Khánh Hằng

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trìnhhọc tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô,các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt

là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh.Các kết quả có trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân,không trùng với kết quả của các tác giả khác

Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu của một sốtác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo

Hà Nội, tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Đỗ Khánh Hằng

Mục lục

1.1 Định nghĩa tích phân xác định 5

1.2 Tính gần đúng tích phân xác định 6

1.3 Nguyên lý ánh xạ co 8

1.4 Không gian C[a,b] 9

1.5 Phân loại phương trình tích phân Fredholm 11

1.5.1 Phương trình toán tử 11

1.5.2 Phương trình tích phân 11

2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 14 2.1 Cơ sở lý thuyết 14

2.1.1 Phương pháp giải 15

2.1.2 Phương pháp thay thế hạch suy biến 17

2.2 Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng 25

2.2.1 Giải số phương trình tích phân tuyến tính Fred-holm loại I 25

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa họckhác, toán học chia thành toán học lý thuyết và toán học ứng dụng.Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liênquan đến việc giải phương trình tích phân Nó được xem như là mộtcông cụ toán học có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còntrong nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trìnhtích phân nhằm giải phương trình vi phân với các điều kiện biên xácđịnh hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý mà phương trình vi phânkhông thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền, Vì vậy việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quantrọng trong lý thuyết toán học

Nhằm mục đích mở rộng kiến thức và tập làm quen với việc tự nghiêncứu một mảng nhỏ trong toán học cùng sự hứng thú với phương trìnhtích phân - một phương trình mà ẩn hàm cần tìm nằm dưới dấu tíchphân Từ nguồn tài liệu mà Thầy Khuất Văn Ninh giới thiệu và các tàiliệu mà em tìm được, với sự gợi ý của thầy, em quyết định chọn đề tài

"Giải số phương trình tích phân Fredholm" để làm khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Khóa luận tập trung nghiên cứu về phương trình tích phân Fredhom

và vận dụng phương pháp giải số để giải một số bài tập liên quanđến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm và phương trìnhtích phân phi tuyến Fredholm

- Làm rõ phương pháp giải số và minh họa qua các ví dụ, bài tập cụthể

3 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được những kết quả cần thiết, tôi sử dụng phương pháp

- Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáotrình có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm và phươngpháp giải số phương trình tích phân Fredholm

- Một số công cụ của Giải tích hàm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân Fredhom

- Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chủ yếu nghiên cứu về phương phápgiải số phương trình tích phân Fredholm

5 Ý nghĩa khoa học

Khóa luận được hoàn thành sẽ đóng góp một tài liệu tham khảo hữuích cho các thầy cô giáo, các bạn sinh viên khoa toán Về bản thân bêncạnh việc được tìm hiểu sâu hơn về phương trình tích phân Fredholm,còn được nâng cao kiến thức cơ sở về phương trình tích phân, Toán caocấp

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm

ba chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở Chương này nhắc lại một số kiến thức

về tích phân xác định, công thức tính gần đúng tích phân, nguyên lý ánh

Chương 2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Mụcđích chương này là giới thiệu về phương trình tích phân tuyến tínhFredholm loại I, phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II vàphương pháp giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm.Chương 3 Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm Mụcđích chương này là giới thiệu về phương trình tích phân phi tuyến Fred-holm, phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến Fredholm

Bảng kí hiệu

C[a,b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]

gọi là tổng tích phân của hàm f (x) trên đoạn [a, b] ứng với phân hoạch

kính phân hoạch P

Khi đó nếu tồn tại lim|p|→0σp = I theo nghĩa: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng

với mọi phân hoạch P mà |P| < δ và với mọi phép chọn C ta có

|σp− I| =

Trong đó f (x) gọi là hàm dưới dấu tích phân f (x)dx gọi là biểu thứcdưới dấu tích phân, a gọi là cận dưới, b gọi là cận trên của tích phân

trong đó M = sup{ ϕ00 (x)| : x ∈ [a, b]}

• Quy tắc parabol (Simpson)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng

1.3 Nguyên lý ánh xạ co

xạ co, nếu tồn tại số α, 0 ≤ α < 1 sao cho

Định lý 1.1 Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d)

Do lim

⇒ (1 − α)d(x∗, y∗) ≤ 0

⇒ d(x∗, y∗) = 0 (do (1 − α) ≥ 0)

1.4 Không gian C[a,b]

Định nghĩa 1.2 Tập hợp các hàm số thực xác định và liên tục trênmột đoạn [a, b] với khoảng cách giữa hai phần tử x(t) và y(t) là

ρ(x, y) = max

a≤t≤b |x(t) − y(t)|

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng

là không gian C[a,b]

a≤t≤b|x(t)| (1.5)

Hay max

a≤t≤b|xn(t) − xm(t)| ≤ ε Tức là dãy {xn(t)}∞n=1 hội tụ đều tớix(t)

Vậy x(t) liên tục trên [a, b], x(t) ∈ C[a,b], và {xn(t)}∞n=1 hội tụ tới

(1.5)

1.5 Phân loại phương trình tích phân Fredholm

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng

Định nghĩa 1.4 Nếu A là toán tử tích phân tuyến tính thì tương ứngvới (1.7) ta có phương trình tích phân loại II

Định lý 1.3 Cho K(t, s) là một hàm số liên tục theo hai biến (t, s) ∈[a, b] × [a, b], x(s) là hàm số liên tục trên [a, b] hay x(s) ∈ C[a,b]

Hay A(αx + βy) = αAx+βAy.

⇒ A là toán tử tuyến tính từ C[a,b] vào C[a,b]

tử tích phân Fredholm nếu:

Trong đó hàm hai biến K(t, s) gọi là nhân của toán tử tích phân

2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II là phương trìnhdạng

x = λAx + f

Trong đó x, f ∈ X - không gian định chuẩn, trong khóa luận này

ta xét X là không gian C[a,b]

λ ∈ R, A là toán tử tích phân Fredholm

• Nếu A là toán tử tích phân Fredholm nhưng không giả thiết tuyếntính thì ta có phương trình tích phân phi tuyến Fredhom

K(t, s)x(s)ds = f (t).

• Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II

x(t) − λ

Z b a

K(t, s)x(s)ds = f (t)

Đặt f + λRabK(t, s)x(s)ds = A, K(t, s) ∈ C[a,b]×[a,b] = D

Định lý 2.1 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)

Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn

1 |K(t, s)| ≤ M, ∀(t, s) ∈ D

2 |λ| M (b − a) = q < 1thì phương trình x = Ax + f có nghiệm duy nhất

Chứng minh Vì A là ánh xạ tuyến tính nên ta có

+

∂ϕi

∂xn

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng

3.2 Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng



= t.Sn

Vậy phương trình đã cho được viết dưới dạng

x(t) = 1

3t.Sn+ f (t)Với t = ti; x(ti) = xi; i = 0, 4 ta có hệ phương trình phi tuyến

∂g1

∂x1

... C[a,b]

tử tích phân Fredholm nếu:

Trong hàm hai biến K(t, s) gọi nhân tốn tử tích phân

2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II phương trìnhdạng

x =... C[a,b]

λ ∈ R, A tốn tử tích phân Fredholm

• Nếu A tốn tử tích phân Fredholm khơng giả thiết tuyếntính ta có phương trình tích phân phi tuyến Fredhom