Giải số phương trình tích phân volterra

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIM ANH GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIM ANH GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực đề tài khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Anh i Lời cam đoan Em xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Em xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Anh ii Mục lục Lời mở đầu iii Danh mục kí hiệu chữ viết tắt vi KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích phân xác định 1.2 Đa thức nội suy 1.3 Công thức hình thang 1.4 Công thức cầu phương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA 2.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra 2.1.1 Phương trình tích phân 2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính 2.1.3 Phân loại phương trình tích phân tuyến tính Volterra 2.1.4 Sự tồn nghiệm phương trình tích phân tuyến tính Volterra 2.2 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.1 NGUYỄN THỊ KIM ANH Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2.2.2 10 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 27 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA 44 3.1 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra 3.1.1 Phân loại phương trình tích phân phi tuyến Volterra 44 3.1.2 Sự tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến Volterra 3.2 44 45 Phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra 3.2.1 Phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại 3.2.2 46 46 Phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại 59 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp nhiều toán có liên quan đén việc giải phương trình tích phân Phương trình tích phân Volterra phương trình có nhiều ứng dụng không nội môn toán (giải phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện biên hay điều kiện ban đầu, giải toán liên quan đến phương trình đạo hàm riêng) mà ứng dụng rộng rãi vào ngành vật lý, học, kĩ thuật, Phương trình tích phân Volterra có phương pháp giải khác nhau, phương pháp số phương pháp tìm nghiệm dạng bảng số ta kết hợp sử dụng phần mềm lập trình tính toán Maple vào để giải phương trình cách nhanh chóng, hiệu Chính lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu" Giải số phương trình tích phân Volterra" nhằm có điều kiện tiếp tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức ứng dụng giải toán đại học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp số để giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra phương trình phi tuyến Volterra iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Phương pháp nghiên cứu +Phương pháp nghiên cứu lí luận +Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Cấu trúc Khóa luận gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức tích phân xác định, công thức tính gần tích phân Chương Phương trình tích phân tuyến tính Volterra Mục đích chương giới thiệu phương trình tích phân tuyến tính Volterra phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra Chương Phương trình tích phân phi tuyến Volterra Mục đích chương giới thiệu phương trình tích phân phi tuyến Volterra phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra Khóa luận hoàn thành khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Em xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em nhiều trình làm khóa luận Em chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học Đại học thực khóa luận iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Em mong nhận góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, Ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Anh v Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Danh mục kí hiệu chữ viết tắt tổng sích ma lim giới hạn | | trị tuyệt đối ≈ xấp xỉ J(x) ma trận Jacobi b a tích phân cận từ a tới b K(x, t) hạch α alpha β beta λ lan đa ∞ vô ξ xi σ sích ma vi Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH t 2t t et−s x2 (s)ds (3.14) et−s y(s)ds, t ∈ [0, 1] (3.15) x (t) = e − e − Đặt: y(t) = x2 (t) ⇒ x(t) = ± y(t) phương trình (3.14) trở thành t 2t t y(t) = 2e − e − Ta chia [0, 1] thành 10 phần t0 = 0; t1 = 0, 1; t2 = 0, 2; t3 = 0, 3; t4 = 0, 4; t5 = 0, 5; t6 = 0, 6; t7 = 0, 7; t8 = 0, 8; t9 = 0, 9; t10 = Đặt: y(ti ) ≈ yi , i = 0, 10 Cho t = ti phương trình (3.15) yi = 2e 2ti ti ti −e − eti −s y(s)ds (3.16) + Với i = 0, phương trình (3.16) trở thành e−s y(s)ds √ ⇒ y0 = ⇒ x0 = ± y0 = ±1 y0 = − − + Với i = 1, phương trình (3.16) trở thành 0,1 y1 = 2e 0,2 −e 0,1 0,1−s Đặt: g(s) = e e0,1−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,1 0, g(s)ds ≈ (g(0) + g(0, 1)) = 0, 05(e0,1 y0 + y1 ) = 0, 05e0,1 + 0, 05y1 Thay vào phương trình y1 ≈ 2e0,2 − e0,1 − 0, 05e0,1 − 0, 05y1 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH √ ⇒ y1 ≈ 1, 221311 ⇒ x1 = ± y1 = ±1, 105129 + Với i = 2, phương trình (3.16) trở thành 0,2 y2 = 2e 0,4 −e 0,2 e0,2−s y(s)ds − 0,2−s Đặt: g(s) = e y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,2 0, g(s)ds ≈ (g(0) + +g(0, 2) + 2g(0, 1)) = 0, 05(e0,2 y0 + y2 + 2e0,1 y1 ) 2.2 0,2 ≈ 0, 05e + 0, 05y2 + 0, 1221311e0,1 Thay vào phương trình y2 ≈ 2e0,4 − e0,2 − 0, 05e0,2 − 0, 05y2 − 0, 1221311e0,1 √ ⇒ y2 ≈ 1, 49162 ⇒ x2 = ± y2 = ±1, 221319 + Với i = 3, phương trình (3.16) trở thành 0,3 y3 = 2e 0,6 −e 0,3 e0,3−s y(s)ds − Đặt: g(s) = e0,3−s y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,3 0, [g(0) + g(0, 3) + 2(g(0, 1) + g(0, 2))] = 0, 05[e0,3 y0 g(s)ds ≈ 2.3 0,2 +y3 +2(e y1 +e0,1 y2 )] ≈ 0, 05e0,3 +0, 05y3 +0, 1221311e0,2 +0, 149162e0,1 Thay vào phương trình y3 ≈ 2e0,6 − e0,3 − 0, 05e0,3 − 0, 05y3 − 0, 1221311e0,2 − 0, 149162e0,1 √ ⇒ y3 ≈ 1, 821776 ⇒ x3 = ± y3 = ±1, 349731 + Với i = 4, phương trình (3.16) trở thành 0,4 y4 = 2e 0,8 −e 0,4 0,4−s Đặt: g(s) = e e0,4−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,4 0, g(s)ds ≈ [g(0)+g(0, 4)+2(g(0, 1)+g(0, 2)+g(0, 3))] = 0, 05[e0,4 y0 2.4 0,3 + y4 + 2(e y1 + e0,2 y2 + e0,1 y3 )] ≈ 0, 05e0,4 + 0, 05y4 + 0, 1221311e0,3 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + 0, 149162e0,2 + 0, 1821776e0,1 Thay vào phương trình y4 ≈ 2e0,8 − e0,4 − 0, 05e0,4 − 0, 05y4 − 0, 1221311e0,3 − 0, 149162e0,2 − 0, 1821776e0,1 √ ⇒ y4 ≈ 2, 22503 ⇒ x4 = ± y4 = ±1, 491654 + Với i = 5, phương trình (3.16) trở thành 0,5 y5 = 2e − e 0,5 e0,5−s y(s)ds − 0,5−s Đặt: g(s) = e y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,5 0, g(s)ds ≈ [g(0) + g(0, 5) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4))] 2.5 = 0, 05[e0,5 y0 + y5 + 2(e0,4 y1 + e0,3 y2 + e0,2 y3 + e0,1 y4 )] ≈ 0, 05e0,5 + 0, 05y5 + 0, 1221311e0,4 + 0, 149162e0,3 + 0, 1821776e0,2 + 0, 222503e0,1 Thay vào phương trình y5 ≈ 2e − e0,5 − 0, 05e0,5 − 0, 05y5 − 0, 1221311e0,4 − 0, 149162e0,3 − 0, 1821776e0,2 − 0, 222503e0,1 √ ⇒ y5 ≈ 2, 717566 ⇒ x5 = ± y5 = ±1, 648504 + Với i = 6, phương trình (3.16) trở thành 0,6 y6 = 2e 1,2 −e 0,6 0,6−s Đặt: g(s) = e e0,6−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,6 0, g(s)ds ≈ [g(0) + g(0, 6) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) 2.6 + g(0, 5))] = 0, 05[e0,6 y0 + y6 + 2(e0,5 y1 + e0,4 y2 + e0,3 y3 + e0,2 y4 + e0,1 y5 )] ≈ 0, 05e0,6 + 0, 05y6 + 0, 1221311e0,5 + 0, 149162e0,4 + 0, 1821776e0,3 + 0, 222503e0,2 + 0, 2717566e0,1 63 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Thay vào phương trình y6 ≈ 2e1,2 − e0,6 − 0, 05e0,6 − 0, 05y6 − 0, 1221311e0,5 − 0, 149162e0,4 − 0, 1821776e0,3 − 0, 222503e0,2 − 0, 2717566e0,1 √ ⇒ y6 ≈ 3, 319151 ⇒ x6 = ± y6 = ±1, 821854 + Với i = 7, phương trình (3.16) trở thành 0,7 y7 = 2e 1,4 −e 0,7 e0,7−s y(s)ds − Đặt: g(s) = e0,7−s y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,7 0, [g(0) + g(0, 7) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) g(s)ds ≈ 2.7 + g(0, 5) + g(0, 6))] = 0, 05[e0,7 y0 + y7 + 2(e0,6 y1 + e0,5 y2 + e0,4 y3 + e0,3 y4 + e0,2 y5 + e0,1 y6 )] ≈ 0, 05e0,7 + 0, 05y7 + 0, 1221311e0,6 + 0, 149162e0,5 + 0, 1821776e0,4 + 0, 222503e0,3 + 0, 2717566e0,2 + 0, 3319151e0,1 Thay vào phương trình y7 ≈ 2e1,4 − e0,7 − 0, 05e0,7 − 0, 05y7 − 0, 1221311e0,6 − 0, 149162e0,5 − 0, 1821776e0,4 − 0, 222503e0,3 − 0, 2717566e0,2 − 0, 3319151e0,1 √ ⇒ y7 ≈ 4, 053927 ⇒ x7 = ± y7 = ±2, 013437 + Với i = 8, phương trình (3.16) trở thành 0,8 y8 = 2e 1,6 −e 0,8 0,8−s Đặt: g(s) = e e0,8−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,8 0, [g(0) + g(0, 8) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) g(s)ds ≈ 2.8 + g(0, 5) + g(0, 6) + g(0, 7))] = 0, 05[e0,8 y0 + y8 + 2(e0,7 y1 + e0,6 y2 + e0,5 y3 + e0,4 y4 + e0,3 y5 + e0,2 y6 + e0,1 y7 )] ≈ 0, 05e0,8 + 0, 05y8 + 0, 1221311e0,7 +0, 149162e0,6 +0, 1821776e0,5 +0, 222503e0,4 +0, 2717566e0,3 +0, 3319151e0,2 64 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + 0, 4053927e0,1 Thay vào phương trình y8 ≈ 2e1,6 − e0,8 − 0, 05e0,8 − 0, 05y8 − 0, 1221311e0,7 − 0, 149162e0,6 −0, 1821776e0,5 −0, 222503e0,4 −0, 2717566e0,3 −0, 3319151e0,2 −0, 4053927e0,1 √ ⇒ y8 ≈ 4, 951386 ⇒ x8 = ± y8 = ±2, 225171 + Với i = 9, phương trình (3.16) trở thành 0,9 y9 = 2e 1,8 −e 0,9 0,9−s Đặt: g(s) = e e0,9−s y(s)ds − y(s) Áp dụng công thức hình thang 0,9 0, g(s)ds ≈ [g(0) + g(0, 9) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) 2.9 + g(0, 5) + g(0, 6) + g(0, 7) + g(0, 8))] = 0, 05[e0,9 y0 + y9 + 2(e0,8 y1 + e0,7 y2 + e0,6 y3 + e0,5 y4 + e0,4 y5 + e0,3 y6 + e0,2 y7 + e0,1 y8 )] ≈ 0, 05e0,9 + 0, 05y9 +0, 1221311e0,8 +0, 149162e0,7 +0, 1821776e0,6 +0, 222503e0,5 +0, 2717566e0,4 + 0, 3319151e0,3 + 0, 4053927e0,2 + 0, 4951386e0,1 Thay vào phương trình y9 ≈ 2e1,8 − e0,9 − 0, 05e0,9 − 0, 05y9 − 0, 1221311e0,8 − 0, 149162e0,7 −0, 1821776e0,6 −0, 222503e0,5 −0, 2717566e0,4 −0, 3319151e0,3 −0, 4053927e0,2 − 0, 4951386e0,1 √ ⇒ y9 ≈ 6, 047544 ⇒ x9 = ± y9 = ±2, 459176 + Với i = 10, phương trình (3.16) trở thành e1−s y(s)ds y10 = 2e − e − Đặt: g(s) = e1−s y(s) Áp dụng công thức hình thang 1 g(s)ds ≈ [g(0) + g(1) + 2(g(0, 1) + g(0, 2) + g(0, 3) + g(0, 4) 2.10 65 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + g(0, 5) + g(0, 6) + g(0, 7) + g(0, 8) + g(0, 9))] = 0, 05[ey0 + y10 + 2(e0,9 y1 + e0,8 y2 + e0,7 y3 + e0,6 y4 + e0,5 y5 + e0,4 y6 + e0,3 y7 + e0,2 y8 + e0,1 y9 )] ≈ 0, 05e + 0, 05y10 + 0, 1221311e0,9 + 0, 149162e0,8 + 0, 1821776e0,7 + 0, 222503e0,6 +0, 2717566e0,5 +0, 3319151e0,4 +0, 4053927e0,3 +0, 4951386e0,2 +0, 6047544e0,1 Thay vào phương trình y10 ≈ 2e2 −e−0, 05e−0, 05y10 −0, 1221311e0,9 −0, 149162e0,8 −0, 1821776e0,7 −0, 222503e0,6 −0, 2717566e0,5 −0, 3319151e0,4 −0, 4053927e0,3 −0, 4951386e0,2 − 0, 6047544e0,1 √ ⇒ y10 ≈ 7, 755715 ⇒ x10 = ± y10 = ±2, 784908 Nghiệm gần phương trình (3.13) thu bảng sau i ti x(ti ) = ±eti xi ∆i = |xi − x(ti )| 0 1 0, ±1, 105171 ±1, 105129 0, 000042 0, ±1, 221403 ±1, 221319 0, 000084 0, ±1, 349858 ±1, 349731 0, 000127 0, ±1, 491824 ±1, 491654 0, 00017 0, ±1, 648721 ±1, 648504 0, 000217 0, ±1, 822119 ±1, 821854 0, 000265 0, ±2, 013753 ±2, 013437 0, 000316 0, ±2, 225541 ±2, 225171 0, 00037 0, ±2, 459603 ±2, 459176 0, 000427 10 ±2, 718282 ±2, 784908 0, 066626 Ví dụ 3.2.4 Giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại sau 66 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH t 1 (t − s + 1)x3 (s)ds = t3 + t4 , t ∈ [0, 1] 12 √ Nghiệm xác phương trình x(t) = t2 Đặt x3 (t) = y(t) ⇒ x(t) = (3.17) y(t) Đạo hàm hai vế phương trình (3.17) ta có t y(t) = t + t3 − y(s)ds, t ∈ [0, 1] (3.18) Ta chia [0, 1] thành 10 phần t0 = 0; t1 = 0, 1; t2 = 0, 2; t3 = 0, 3; t4 = 0, 4; t5 = 0, 5; t6 = 0, 6; t7 = 0, 7; t8 = 0, 8; t9 = 0, 9; t10 = Đặt: y(ti ) ≈ yi , i = 0, 10 Cho t = ti phương trình (3.18) y(ti ) = ti + ti − ti y(s)ds + Với i = 0, phương trình (3.19) trở thành √ y0 = ⇒ x0 = y0 = + Với i = 1, phương trình (3.19) trở thành 0,1 y1 = 0, + 0, − y(s)ds 0,1 31 ⇒ y1 = − y(s)ds 3000 Áp dụng công thức hình thang 0,1 0, y(s)ds ≈ (y(0) + y(0, 1)) = 0, 05(y0 + y1 ) = 0, 05y1 Thay vào phương trình 31 √ y1 ≈ − 0, 05y1 ⇒ y1 ≈ 0, 009841 ⇒ x1 = y1 ≈ 0, 214297 3000 67 (3.19) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + Với i = 2, phương trình (3.19) trở thành 0,2 y2 = 0, + 0, − y(s)ds 0,2 16 ⇒ y2 = − y(s)ds 375 Áp dụng công thức hình thang 0,2 0, y(s)ds ≈ (y(0) + y(0, 2) + 2y(0, 1)) = 0, 05(y0 + y2 + 2y1 ) 2.2 ≈ 0, 05y2 + 0, 0009841 Thay vào phương trình 16 − 0, 05y2 − 0, 0009841 y2 = 375 √ ⇒ y2 ≈ 0, 039697 ⇒ x2 = y2 ≈ 0, 341129 + Với i = 3, phương trình (3.19) trở thành 0,3 y3 = 0, + 0, − y(s)ds 0,3 ⇒ y3 = 0, 099 − y(s)ds Áp dụng công thức hình thang 0,3 0, y(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 3) + 2(y(0, 1) + y(0, 2))] 2.3 = 0, 05[y0 + y3 + 2(y1 + y2 )] ≈ 0, 05y3 + 0, 0049538 Thay vào phương trình y3 ≈ 0, 099 − 0, 05y3 − 0, 0049538 √ ⇒ y3 ≈ 0, 089568 ⇒ x3 = y3 ≈ 0, 447422 + Với i = 4, phương trình (3.19) trở thành 0,4 y4 = 0, + 0, − y(s)ds 0,4 68 ⇒ y4 = − y(s)ds 375 Áp dụng công thức hình thang 0,4 0, y(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 4) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3))] 2.4 68 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH = 0, 05[y0 + y4 + 2(y1 + y2 + y3 )] ≈ 0, 05y4 + 0, 013911 Thay vào phương trình 68 y4 ≈ − 0, 05y4 − 0, 013911 375 √ ⇒ y4 ≈ 0, 15945 ⇒ x4 = y4 ≈ 0, 542261 + Với i = 5, phương trình (3.19) trở thành 0,5 y5 = 0, + 0, − y(s)ds 0,5 ⇒ y5 = − y(s)ds 24 Áp dụng công thức hình thang 0,5 0, y(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 5) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4))] 2.5 = 0, 05[y0 + y5 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 )] ≈ 0, 05y5 + 0, 0298556 Thay vào phương trình √ y5 ≈ −0, 05y5 −0, 0298556 ⇒ y5 ≈ 0, 249344 ⇒ x5 = y5 ≈ 0, 629409 24 + Với i = 6, phương trình (3.19) trở thành 0,6 y(s)ds y6 = 0, + 0, − 0,6 ⇒ y6 = 0, 432 − y(s)ds Áp dụng công thức hình thang 0,6 0, g(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 6) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) 2.6 + y(0, 5))] = 0, 05[y0 + y6 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 )] ≈ 0, 05y6 + 0, 05479 Thay vào phương trình y6 ≈ 0, 432−0, 05y6 −0, 05479 ⇒ y6 ≈ 0, 359247 ⇒ x6 = + Với i = 7, phương trình (3.19) trở thành 0,7 y7 = 0, + 0, − y(s)ds 0,7 1813 ⇒ y7 = − y(s)ds 3000 69 √ y6 ≈ 0, 710882 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Áp dụng công thức hình thang 0,7 0, [y(0) + y(0, 7) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) y(s)ds ≈ 2.7 + y(0, 5) + y(0, 6))] = 0, 05[e0,7 y0 + y7 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + e0,2 y5 + y6 )] ≈ 0, 05y7 + 0, 0907147 Thay vào phương trình 1813 y7 ≈ − 0, 05y7 − 0, 0907147 3000 √ ⇒ y7 ≈ 0, 489161 ⇒ x7 = y7 ≈ 0, 787923 + Với i = 8, phương trình (3.19) trở thành 0,8 y(s)ds y8 = 0, + 0, − 0,8 304 ⇒ y8 = − y(s)ds 375 Áp dụng công thức hình thang 0,8 0, y(s)ds ≈ [y(0) + y(0, 8) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) 2.8 +y(0, 5)+y(0, 6)+y(0, 7))] = 0, 05[y0 +y8 +2(y1 +y2 +y3 +y4 +y5 +y6 +y7 )] ≈ 0, 05y8 + 0, 139631 Thay vào phương trình 304 y8 ≈ − 0, 05y8 − 0, 139631 375 √ ⇒ y8 ≈ 0, 639082 ⇒ x8 = y8 ≈ 0, 861362 + Với i = 9, phương trình (3.19) trở thành 0,9 y9 = 0, + 0, − y(s)ds 0,9 ⇒ y9 = 1, 053 − y(s)ds Áp dụng công thức hình thang 0,9 0, [y(0) + y(0, 9) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) y(s)ds ≈ 2.9 + y(0, 5) + y(0, 6) + y(0, 7) + y(0, 8))] = 0, 05[y0 + y9 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 70 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH + y5 + y6 + y7 + y8 )] ≈ 0, 05y9 + 0, 203539 Thay vào phương trình y9 ≈ 1, 053 − 0, 05y9 − 0, 203539 √ ⇒ y9 ≈ 0, 80901 ⇒ x9 = y9 ≈ 0, 93179 + Với i = 10, phương trình (3.19) trở thành 1 y10 = + − y(s)ds ⇒ y10 = − y(s)ds Áp dụng công thức hình thang 1 g(s)ds ≈ [y(0) + y(1) + 2(y(0, 1) + y(0, 2) + y(0, 3) + y(0, 4) 2.10 + y(0, 5) + y(0, 6) + y(0, 7) + y(0, 8) + y(0, 9))] = 0, 05[y0 + y10 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9 )] ≈ 0, 05y10 + 0, 28444 Thay vào phương trình √ y10 ≈ −0, 05y10 −0, 28444 ⇒ y10 ≈ 0, 998946 ⇒ x10 = y10 ≈ 0, 999649 Nghiệm gần phương trình (3.17) thu bảng sau 71 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH ti xi ∆i = |xi − x(ti )| 0 0, 0, 215443 0, 214297 0, 001146 0, 0, 341995 0, 341129 0, 000866 0, 0, 44814 0, 447422 0, 000718 0, 0, 542883 0, 542261 0, 000622 0, 0, 629961 0, 629409 0, 000552 0, 0, 711378 0, 710882 0, 000496 0, 0, 788374 0, 787923 0, 000451 0, 0, 861773 0, 861362 0, 000411 0, 0, 932169 0, 93179 0, 000379 10 1 0, 999649 0, 000351 i ti x(ti ) = 0 Bài tập 3.2.2 Giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại sau t 1 (t − s + 1)x2 (s)ds = t3 + t4 , t ∈ [0, 1] 12 t (t − s + )x2 (s)ds = et − t, t ∈ [0, 1] t 1 (t − s)e2x(s) ds = e6t − t − , t ∈ [0, 1] 36 36 t 1 et−s e2x(s) ds = e6t − et , t ∈ [0, 1] 5 t cos(t − s)x2 (s)ds = sint − sin2t, t ∈ [0, π] 3 72 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIM ANH Kết luận Chương Nội dung Chương bao gồm Trình bày phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại loại 2 Phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại loại Nêu ví dụ cụ thể giải số phương trình tích phân phi tuyến Volterra tập áp dụng 73 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn tận tình thầy Khuất Văn Ninh, em hoàn thành đề tài kế hoạch đạt mục đích nghiên cứu đế Trên toàn nội dung khóa luận "Giải số phương trình tích phân Volterra" Khóa luận trình bày số vấn đề sau Một số kiến thức giải tích tích phân xác định, công thức tính gần tích phân ứng dụng phần mềm Maple vào giải phương trình Giới thiệu phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1, loại phương pháp số giải phương trình Giới thiệu phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại 1, loại phương pháp số giải phương trình Cuối cùng, có nhiều cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Vì vậy, em mong nhận nhiều ý kiến đóng góp báu thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn 74 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB Giáo Dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật [5] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2006), Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006), Toán học cao cấp 2, NXB Giáo Dục [B] Tài liệu Tiếng Anh [7] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Springer 75 ... tính Volterra phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra 2.1 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra Phương trình tích phân Định nghĩa 2.1 Phương trình tích phân phương. .. tích phân tuyến tính 2.1.3 Phân loại phương trình tích phân tuyến tính Volterra Phương trình tích phân tuyến tính Volterra phương trình tích phân có cận lấy tích phân biến số Đối với phương trình. .. tính Volterra loại 1, loại phương pháp số để giải phương trình 2.2.1 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Sau ta trình bày phương pháp giải phương trình tích phân Volterra