2.2 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính
2.2.2 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1
Để giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 ta đưa về dạng phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2.
Xét phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 Z t
a
K(t, s)x(s)ds= f(t), t ∈ [a, b]
Áp dụng công thức đạo hàm tích phân phụ thuộc tham số.
F(u) =
Z β(u)
α(u)
f(u, x)dx
Ta có đạo hàm tích phân sau
F0(u) =
Z β(u)
α(u)
fu0(u, x)dx+f[u, β(u)]β0(u)−f[u, α(u)]α0(u)
Với điều kiện f0(t), Kt0(t, s) tồn tại và liên tục. Áp dụng công thức đạo hàm hai vế của phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1, ta có
Z t
a
Kt0(t, s)x(s)ds+K(t, t)x(t) = f0(t)
Giả sử K(t, t) 6= 0 chia hai vế của phương trình trên cho K(t, t) ta được phương trình tích phân tuyến tính loại 2
x(t) = f0(t) K(t, t) −
Z t
a
Kt0(t, s)
K(t, t)x(s)ds. (2.11) Cách 1. Áp dụng công thức cầu phương giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1.
Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn bằng nhau, t ∈ [a, b]
a = t0 < t1 < . . . < tn = b Khi đó, tương ứng ta có
t0 = a, t1 = a+h, t2 = a+ 2h, . . . , tn = a+nh = b, với h = b−a n Đặt x(ti) ≈ xi, i = 0, n
Cho t = ti, khi đó phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 trở thành
Z ti
a
K(ti, s)x(s)ds = f(ti). (2.12) Áp dụng công thức cầu phương
Z ti
a
g(s)ds ≈
n
X
j=0
Ajgj,
trong đó gj = g(sj) = K(ti, sj)x(sj) = Kijxj Suy ra phương trình (2.12) tương đương
i
X
j=0
AjKijxj = fi, i = 0,1,2, . . . (2.13)
Với fi = f(ti)
+ Với i = 0, phương trình (2.11) trở thành
x0 = f0(a) K(a, a)
+ Với i = k, ta có phương trình (2.13) trở thành
k
X
j=0
AjKkjxj = fk, k = 1,2, . . .
Áp dụng công thức hình thang Đặt g(s) =K(ti, s)x(s), ta có
Z ti
a
g(s)ds ≈ ti −a
2i [g0 +gi + 2(g1 +. . .+gi−1)], i = 1, n.
Thay vào phương trình (2.12), ta tìm được các nghiệm gần đúngx0, x1, . . . , xn được cho trong bảng sau
Kí hiệu
x(ti) là giá trị của nghiệm chính xác tại ti, xi là giá trị gần đúng của x(ti),
∆i = |xi−x(ti)| là sai số.
i ti x(ti) xi ∆i = |xi −x(ti)|
0 a x(t0) x0 ∆0
1 a+ h x(t1) x1 ∆1 2 a+ 2h x(t2) x2 ∆2 ... ... ... ... ...
n b x(tn) xn ∆n
Cách 2. Đưa về phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2.
Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 được đưa về loại 2 và ta giải theo phương trình loại 2 tìm nghiệm .
Ví dụ 2.2.4. Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 sau Z t
0
et−sx(s)ds = t, t ∈ [0,1] (2.14) Nghiệm chính xác của phương trình là x(t) = 1−t.
Đạo hàm hai vế của phương trình (2.14) ta được phương trình tích phân tuyến tính loại 2
x(t) = 1− Z t
0
et−sx(s)ds (2.15)
+ Với i = 0, phương trình (2.15) trở thành x0 = 1
+ Với i = 1, phương trình (2.14) trở thành Z 0,1
0
e0,1−sx(s)ds = 0,1 Đặt: g(s) = e0,1−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,1
0
g(s)ds ≈ 0,1
2 [(g(0) +g(0,1)] = 0,05(e0,1x0 +x1)
= 0,05e0,1 + 0,05x1
Thay vào phương trình trên 0,05e0,1 + 0,05x1 = 0,1
⇒x1 ≈ 0,894829
+ Với i = 2, phương trình (2.14) trở thành
Z 0,2
0
e0,2−sx(s)ds = 0,2 Đặt: g(s) = e0,2−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,2
0
g(s)ds ≈ 0,2
2.2[(g(0) +g(0,2) + 2g(0,1)] = 0,05(e0,2x0+x2+ 2e0,1x1)
≈ 0,05e0,2 + 0,05x2 + 0,0894829e0,1 Thay vào phương trình trên
0,05e0,2 + 0,05x2 + 0,0894829e0,1 = 0,2
⇒x2 ≈ 0,800719
+ Với i = 3, phương trình (2.14) trở thành Z 0,3
0
e0,3−sx(s)ds = 0,3 Đặt: g(s) = e0,3−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,3
0
g(s)ds ≈ 0,3
2.3[(g(0) +g(0,3) + 2g(0,1) + 2g(0,2)]
= 0,05(e0,3x0 +x3 + 2e0,2x1 + 2e0,1x2)
≈ 0,05e0,3 + 0,05x3 + 0,0894829e0,2 + 0,0800719e0,1 Thay vào phương trình trên
0,05e0,3 + 0,05x3 + 0,0894829e0,2 + 0,0800719e0,1 = 0,3
⇒x3 ≈ 0,694385
+ Với i = 4, phương trình (2.14) trở thành Z 0,4
0
e0,4−sx(s)ds = 0,4 Đặt: g(s) = e0,4−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,4
0
g(s)ds ≈ 0,4
2.4[(g(0) +g(0,4) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3)]
= 0,05(e0,4x0 +x4 + 2e0,3x1 + 2e0,2x2 + 2e0,1x3)
≈ 0,05e0,4 + 0,05x4 + 0,0894829e0,3 + 0,0800719e0,2 + 0,0694385e0,1 Thay vào phương trình trên
0,05e0,4 + 0,05x4+ 0,0894829e0,3+ 0,0800719e0,2+ 0,0694385e0,1 = 0,4
⇒x4 ≈ 0,601561
+ Với i = 5, phương trình (2.14) trở thành Z 0,5
0
e0,5−sx(s)ds = 0,5 Đặt: g(s) = e0,5−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,5
0
g(s)ds ≈ 0,5
2.5[(g(0) +g(0,5) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4)]
= 0,05(e0,5x0 +x5 + 2e0,4x1 + 2e0,3x2 + 2e0,2x3 + 2e0,1x4)
≈ 0,05e0,5 + 0,05x5 + 0,0894829e0,4 + 0,0800719e0,3 + 0,0694385e0,2 + 0,0601561e0,1
Thay vào phương trình trên
0,05e0,5 + 0,05x5 + 0,0894829e0,4 + 0,0800719e0,3 + 0,0694385e0,2 + 0,0601561e0,1 = 0,5
⇒x5 ≈ 0,493804
+ Với i = 6, phương trình (2.14) trở thành Z 0,6
0
e0,6−sx(s)ds = 0,6 Đặt: g(s) = e0,6−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,6
0
g(s)ds ≈ 0,6
2.6[(g(0) +g(0,6) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4) +2g(0,5)] = 0,05(e0,6x0+x6+2e0,5x1+2e0,4x2+2e0,3x3+2e0,2x4+2e0,1x5)
≈ 0,05e0,6 + 0,05x6 + 0,0894829e0,5 + 0,0800719e0,4 + 0,0694385e0,3 + 0,0601561e0,2 + 0,0493804e0,1
Thay vào phương trình trên
0,05e0,6 + 0,05x6 + 0,0894829e0,5 + 0,0800719e0,4 + 0,0694385e0,3 + 0,0601561e0,2 + 0,0493804e0,1 = 0,6
⇒x6 ≈ 0,402554
+ Với i = 7, phương trình (2.14) trở thành Z 0,7
0
e0,7−sx(s)ds = 0,7 Đặt: g(s) = e0,7−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,7
0
g(s)ds ≈ 0,7
2.7[(g(0) +g(0,7) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4) + 2g(0,5) + 2g(0,6)] = 0,05(e0,7x0 +x7 + 2e0,6x1 + 2e0,5x2 + 2e0,4x3 + 2e0,3x4 + 2e0,2x5 + 2e0,1x6)
≈ 0,05e0,7 + 0,05x7 + 0,0894829e0,6 + 0,0800719e0,5 + 0,0694385e0,4 + 0,0601561e0,3 + 0,0493804e0,2 + 0,0402554e0,1
Thay vào phương trình trên
0,05e0,7 + 0,05x7 + 0,0894829e0,6 + 0,0800719e0,5 + 0,0694385e0,4 + 0,0601561e0,3 + 0,0493804e0,2 + 0,0402554e0,1 = 0,7
⇒x7 ≈ 0,293058
+ Với i = 8, phương trình (2.14) trở thành Z 0,8
0
e0,8−sx(s)ds = 0,8 Đặt: g(s) = e0,8−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,8
0
g(s)ds ≈ 0,8
2.8[(g(0) +g(0,8) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4) + 2g(0,5) + 2g(0,6) + 2g(0,7)] = 0,05(e0,8x0 +x8 + 2e0,7x1 + 2e0,6x2 + 2e0,5x3 + 2e0,4x4 + 2e0,3x5 + 2e0,2x6 + 2e0,1x7)
≈ 0,05e0,8 + 0,05x8 + 0,0894829e0,7 + 0,0800719e0,6 + 0,0694385e0,5 + 0,0601561e0,4 + 0,0493804e0,3 + 0,0402554e0,2 + 0,0293058e0,1 Thay vào phương trình trên
0,05e0,8 + 0,05x8 + 0,0894829e0,7 + 0,0800719e0,6 + 0,0694385e0,5 + 0,0601561e0,4 + 0,0493804e0,3 + 0,0402554e0,2 + 0,0293058e0,1 = 0,8
⇒x8 ≈ 0,203727
+ Với i = 9, phương trình (2.14) trở thành Z 0,9
0
e0,9−sx(s)ds = 0,9 Đặt: g(s) = e0,9−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,9
0
g(s)ds ≈ 0,9
2.9[(g(0) +g(0,9) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4) + 2g(0,5) + 2g(0,6) + 2g(0,7) + 2g(0,8)] = 0,05(e0,9x0 +x9 + 2e0,8x1 + 2e0,7x2 + 2e0,6x3 + 2e0,5x4 + 2e0,4x5 + 2e0,3x6 + 2e0,2x7 + 2e0,1x8)
≈ 0,05e0,9 + 0,05x9 + 0,0894829e0,8 + 0,0800719e0,7 + 0,0694385e0,6
+0,0601561e0,5+0,0493804e0,4+0,0402554e0,3+0,0293058e0,2+0,0203727e0,1 Thay vào phương trình trên
0,05e0,9 + 0,05x9 + 0,0894829e0,8 + 0,0800719e0,7 + 0,0694385e0,6
+0,0601561e0,5+0,0493804e0,4+0,0402554e0,3+0,0293058e0,2+0,0203727e0,1
= 0,9
⇒x9 ≈ 0,092116
+ Với i = 10, phương trình (2.14) trở thành Z 1
0
e1−sx(s)ds = 1 Đặt: g(s) = e1−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang
Z 1
0
g(s)ds ≈ 1
2.10[(g(0) +g(1) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4) +2g(0,5)+2g(0,6)+2g(0,7)+2g(0,8)+2g(0,9)] = 0,05(ex0+x10+2e0,9x1 + 2e0,8x2+ 2e0,7x3+ 2e0,6x4+ 2e0,5x5+ 2e0,4x6+ 2e0,3x7+ 2e0,2x8+ 2e0,1x9)
≈ 0,05e+ 0,05x10 + 0,0894829e0,9 + 0,0800719e0,8 + 0,0694385e0,7
+0,0601561e0,6+0,0493804e0,5+0,0402554e0,4+0,0293058e0,3+0,0203727e0,2 + 0,0092116e0,1
Thay vào phương trình trên
0,05e+ 0,05x10+ 0,0894829e0,9 + 0,0800719e0,8 + 0,0694385e0,7
+0,0601561e0,6+0,0493804e0,5+0,0402554e0,4+0,0293058e0,3+0,0203727e0,2 + 0,0092116e0,1 = 1
⇒x10 ≈ 0,005116
Nghiệm gần đúng của phương trình (2.14) thu được dưới bảng sau
i ti x(ti) = 1−ti xi ∆i = |xi−x(ti)|
0 0 1 1 0
1 0,1 0,9 0,894829 0,005171 2 0,2 0,8 0,800719 0,000719 3 0,3 0,7 0,694385 0,005615 4 0,4 0,6 0,601561 0,001561 5 0,5 0,5 0,493804 0,006196 6 0,6 0,4 0,402554 0,002554 7 0,7 0,3 0,293058 0,006942 8 0,8 0,2 0,203727 0,003727 9 0,9 0,1 0,092116 0,007884
10 1 0 0,005116 0,005116
Cách 2 Đưa phương trình (2.14) về phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 2 và giải.
Cho t = ti ở phương trình (2.15) xi = 1−
Z ti
0
eti−sx(s)ds (2.16)
+ Với i = 0, phương trình (2.16) trở thành x0 = 1−
Z 0
0
e−sx(s)ds
⇔x0 = 1
+ Với i = 1, phương trình (2.16) trở thành x1 = 1−
Z 0,1
0
e0,1−sx(s)ds Đặt: g(s) = e0,1−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang
Z 0,1
0
g(s)ds ≈ 0,1
2 [(g(0) +g(0,1)] = 0,05[e0,1x0+x1] = 0,05e0,1+ 0,05x1 Thay vào phương trình trên
x1 = 1−0.05e0,1 −0,05x1
⇒x1 ≈ 0,899754
+ Với i = 2, phương trình (2.16) trở thành x2 = 1−
Z 0,2
0
e0,2−sx(s)ds Đặt: g(s) = e0,2−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,2
0
g(s)ds ≈ 0,2
2.2[(g(0) +g(0,2) + 2g(0,1)] = 0,05[e0,2x0 +x2+ 2e0,1x1]
= 0,05e0,2 + 0,05x2 + 0,0899754e0,1 Thay vào phương trình trên
x2 ≈ 1−0,05e0,2 −0,05x2 −0,0899754e0,1
⇒x2 ≈ 0,799516
+ Với i = 3, phương trình (2.16) trở thành x3 = 1−
Z 0,3
0
e0,3−sx(s)ds Đặt: g(s) = e0,3−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,3
0
g(s)ds ≈ 0,3
2.3[(g(0) +g(0,3) + 2g(0,1) + 2g(0,2)] = 0,05[e0,3x0 +x3+2e0,2x1+2e0,1x2] = 0,05e0,3+0,05x3+0,0899754e0,2+0,0799516e0,1 Thay vào phương trình trên
x3 ≈ 1−0,05e0,3 −0,05x3 −0,0899754e0,2 −0,0799516e0,1
⇒x3 ≈ 0,699286
+ Với i = 4, phương trình (2.16) trở thành x4 = 1−
Z 0,4
0
e0,4−sx(s)ds
Đặt: g(s) = e0,4−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,4
0
g(s)ds ≈ 0,4
2.4[(g(0) +g(0,4) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3)]
= 0,05[e0,4x0 +x4 + 2e0,3x1 + 2e0,2x2 + 2e0,1x3] = 0,05e0,4 + 0,05x4 + 0,0899754e0,3 + 0,0799516e0,2 + 0,0699286e0,1
Thay vào phương trình trên
x4 ≈ 1−0,05e0,4−0,05x4−0,0899754e0,3−0,0799516e0,2−0,0699286e0,1
⇒x4 ≈ 0,599065
+ Với i = 5, phương trình (2.16) trở thành x5 = 1−
Z 0,5
0
e0,5−sx(s)ds Đặt: g(s) = e0,5−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,5
0
g(s)ds ≈ 0,5
2.5[(g(0) +g(0,5) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4)]
= 0,05[e0,5x0+x5+2e0,4x1+2e0,3x2+2e0,2x3+2e0,1x4] = 0,05e0,5+0,05x5 + 0,0899754e0,4 + 0,0799516e0,3 + 0,0699286e0,2 + 0,0599065e0,1
Thay vào phương trình trên
x5 ≈ 1−0,05e0,5 −0,05x5 −0,0899754e0,4 −0,0799516e0,3
−0,0699286e0,2 −0,0599065e0,1
⇒x5 ≈ 0,498853
+ Với i = 6, phương trình (2.16) trở thành x6 = 1−
Z 0,6
0
e0,6−sx(s)ds Đặt: g(s) = e0,6−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,6
0
g(s)ds ≈ 0,6
2.6[(g(0) +g(0,6) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4)
+2g(0,5)] = 0,05[e0,6x0+x6+2e0,5x1+2e0,4x2+2e0,3x3+2e0,2x4+2e0,1x5]
= 0,05e0,6 + 0,05x6 + 0,0899754e0,5 + 0,0799516e0,4 + 0,0699286e0,3 + 0,0599065e0,2 + 0,0498853e0,1
Thay vào phương trình trên
x6 ≈ 1−0,05e0,6−0,05x6−0,0899754e0,5−0,0799516e0,4−0,0699286e0,3
−0,0599065e0,2 −0,0498853e0,1
⇒x6 ≈ 0,398648
+ Với i = 7, phương trình (2.16) trở thành x7 = 1−
Z 0,7
0
e0,7−sx(s)ds Đặt: g(s) = e0,7−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,7
0
g(s)ds ≈ 0,7
2.7[(g(0) +g(0,7) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4) +2g(0,5)+2g(0,6)] = 0,05[e0,7x0+x7+2e0,6x1+2e0,5x2+2e0,4x3+2e0,3x4
+ 2e0,2x5 + 2e0,1x6] = 0,05e0,7 + 0,05x7 + 0,0899754e0,6 + 0,0799516e0,5 + 0,0699286e0,4 + 0,0599065e0,3 + 0,0498853e0,2 + 0,0398648e0,1
Thay vào phương trình trên
x7 ≈ 1−0,05e0,7−0,05x7−0,0899754e0,6−0,0799516e0,5−0,0699286e0,4
−0,0599065e0,3 −0,0498853e0,2 −0,0398648e0,1
⇒x7 ≈ 0,298453
+ Với i = 8, phương trình (2.16) trở thành x8 = 1−
Z 0,8
0
e0,8−sx(s)ds Đặt: g(s) = e0,8−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,8
0
g(s)ds ≈ 0,8
2.8[(g(0) +g(0,8) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4)
+2g(0,5)+2g(0,6)+2g(0,7)] = 0,05[e0,8x0+x8+2e0,7x1+2e0,6x2+2e0,5x3 + 2e0,4x4+ 2e0,3x5+ 2e0,2x6+ 2e0,1x7] = 0,05e0,8+ 0,05x8+ 0,0899754e0,7 + 0,0799516e0,6 + 0,0699286e0,5 + 0,0599065e0,4 + 0,0498853e0,3
+ 0,0398648e0,2 + 0,0298453e0,1 Thay vào phương trình trên
x8 ≈ 1−0,05e0,8−0,05x8−0,0899754e0,7−0,0799516e0,6−0,0699286e0,5
−0,0599065e0,4 −0,0498853e0,3 −0,0398648e0,2 −0,0298453e0,1
⇒x8 ≈ 0,198265
+ Với i = 9, phương trình (2.16) trở thành x9 = 1−
Z 0,9
0
e0,9−sx(s)ds Đặt: g(s) = e0,9−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 0,9
0
g(s)ds ≈ 0,9
2.9[(g(0) +g(0,9) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4) + 2g(0,5) + 2g(0,6) + 2g(0,7) + 2g(0,8)] = 0,05[e0,9x0 +x9 + 2e0,8x1 +2e0,7x2+2e0,6x3+2e0,5x4+2e0,4x5+2e0,3x6+2e0,2x7+2e0,1x8] = 0,05e0,9 + 0,05x9+ 0,0899754e0,8+ 0,0799516e0,7+ 0,0699286e0,6+ 0,0599065e0,5 + 0,0498853e0,4 + 0,0398648e0,3 + 0,0298453e0,2 + 0,0198265e0,1
Thay vào phương trình trên
x9 ≈ 1−0,05e0,9−0,05x9−0,0899754e0,8−0,0799516e0,7−0,0699286e0,6
−0,0599065e0,5−0,0498853e0,4−0,0398648e0,3−0,0298453e0,2−0,0198265e0,1
⇒x9 ≈ 0,098085
+ Với i = 10, phương trình (2.16) trở thành x10 = 1−
Z 1
0
e1−sx(s)ds Đặt: g(s) = e1−sx(s)
Áp dụng công thức hình thang Z 1
0
g(s)ds ≈ 1
2.10[(g(0) +g(1) + 2g(0,1) + 2g(0,2) + 2g(0,3) + 2g(0,4) +2g(0,5)+2g(0,6)+2g(0,7)+2g(0,8)+2g(0,9)] = 0,05[ex0+x10+2e0,9x1 + 2e0,8x2+ 2e0,7x3+ 2e0,6x4+ 2e0,5x5+ 2e0,4x6+ 2e0,3x7+ 2e0,2x8+ 2e0,1x9]
= 0,05e+ 0,05x10+ 0,0899754e0,9 + 0,0799516e0,8 + 0,0699286e0,7
+0,0599065e0,6+0,0498853e0,5+0,0398648e0,4+0,0298453e0,3+0,0198265e0,2 + 0,0098085e0,1
Thay vào phương trình trên
x10 ≈ 1−0,05e−0,05x10−0,0899754e0,9−0,0799516e0,8−0,0699286e0,7
−0,0599065e0,6−0,0498853e0,5−0,0398648e0,4−0,0298453e0,3−0,0198265e0,2
−0,0098085e0,1
⇒x10 ≈ −0,002086
Nghiệm gần đúng của phương trình (2.14) thu được dưới bảng sau
i ti x(ti) = 1−ti xi ∆i = |xi −x(ti)|
0 0 1 1 0
1 0,1 0,9 0,899754 0,000246 2 0,2 0,8 0,799516 0,000484 3 0,3 0,7 0,699286 0,000714 4 0,4 0,6 0,599065 0,000935 5 0,5 0,5 0,498853 0,001147 6 0,6 0,4 0,398648 0,001352 7 0,7 0,3 0,298453 0,001547 8 0,8 0,2 0,198265 0,001735 9 0,9 0,1 0,098085 0,001915
10 1 0 −0,002086 0,002086
Bài tập 2.2.2. Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 sau
1.
Z t
0
(1 + 2(t−s))x(s)ds = t, t ∈ [0,1]
2.
Z t
0
(s−t+ 1
2)x(s)ds = 1−t−e−t, t ∈ [0,1]
3.
Z t
0
cos(t−s)x(s)ds = x−sint, t ∈ [0, π]
4.
Z t
0
2e(t−s)x(s)ds = et +sint−cost, t ∈ [0, π]
5.
Z t
0
cos(t−s)x(s)ds = 1−cost, t ∈ [0, π]
Kết luận Chương 2
Nội dung chính của Chương 2 bao gồm
1. Trình bày định nghĩa phương trình tích phân, phương trình tích phân tuyến tính.
2. Trình bày phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 và loại 2.
3. Phương pháp giải số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1 và loại 2.
4. Đưa ra ví dụ cụ thể khi giải số phương trình tích phân tuyến tính Volterra và bài tập áp dụng.
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VOLTERRA
Chương này trình bày về phương trình tích phân phi tuyến Volterra và phương pháp số giải phương trình tích phân phi tuyến Volterra.