Giải số phương trình tích phân fredholm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ KHÁNH HẰNG GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội – Năm 2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ KHÁNH HẰNG GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Khuất Văn Ninh Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, khóa luận em đến hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy cô giáo quan tâm, dìu dắt chúng em trưởng thành ngày hôm Trong suốt trình học tập khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội em tiếp thu nhiều tri thức, kinh nghiệm, phương pháp học tập làm quen với nghiên cứu khoa học, hành trang cần thiết cho em bước vào đời Em xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh - người giúp đỡ hướng dẫn tận tình suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận Thầy gương nghiêm túc công việc, hiểu biết toán học đam mê nghiên cứu khoa học Nhờ em có ý thức trách nhiệm để hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Đỗ Khánh Hằng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu nỗ lực em với giúp đỡ thầy cô, bạn sinh viên khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Các kết có khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Trong trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục tài liệu tham khảo Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Đỗ Khánh Hằng i Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Định nghĩa tích phân xác định 1.2 Tính gần tích phân xác định 1.3 Nguyên lý ánh xạ co 1.4 Không gian C[a,b] 1.5 Phân loại phương trình tích phân Fredholm 11 1.5.1 Phương trình toán tử 11 1.5.2 Phương trình tích phân 11 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 2.1 2.2 14 Cơ sở lý thuyết 14 2.1.1 Phương pháp giải 15 2.1.2 Phương pháp thay hạch suy biến 17 Ví dụ minh họa tập áp dụng 25 2.2.1 Giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại I ii 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 2.2.3 Đỗ Khánh Hằng Giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II 35 Bài tập áp dụng 43 Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 3.1 Cơ sở lý thuyết 3.1.1 3.2 45 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 3.1.2 45 46 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 47 Ví dụ minh họa tập áp dụng 50 3.2.1 Ví dụ 50 3.2.2 Bài tập áp dụng 56 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 57 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng Lời mở đầu Lí chọn đề tài Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán học lý thuyết toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình tích phân Nó xem công cụ toán học có ứng dụng rộng rãi không toán học mà nhiều ngành khoa học khác, ví dụ nghiên cứu phương trình tích phân nhằm giải phương trình vi phân với điều kiện biên xác định để giải số vấn đề vật lý mà phương trình vi phân mô tả tượng khuếch tán, tượng truyền, Vì việc nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Nhằm mục đích mở rộng kiến thức tập làm quen với việc tự nghiên cứu mảng nhỏ toán học hứng thú với phương trình tích phân - phương trình mà ẩn hàm cần tìm nằm dấu tích phân Từ nguồn tài liệu mà Thầy Khuất Văn Ninh giới thiệu tài liệu mà em tìm được, với gợi ý thầy, em định chọn đề tài "Giải số phương trình tích phân Fredholm" để làm khóa luận tốt nghiệp Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Khóa luận tập trung nghiên cứu phương trình tích phân Fredhom vận dụng phương pháp giải số để giải số tập liên quan đến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm phương trình tích phân phi tuyến Fredholm - Làm rõ phương pháp giải số minh họa qua ví dụ, tập cụ thể Phương pháp nghiên cứu Để đạt kết cần thiết, sử dụng phương pháp - Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến phương trình tích phân Fredholm phương pháp giải số phương trình tích phân Fredholm - Một số công cụ Giải tích hàm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân Fredhom - Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chủ yếu nghiên cứu phương pháp giải số phương trình tích phân Fredholm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng Ý nghĩa khoa học Khóa luận hoàn thành đóng góp tài liệu tham khảo hữu ích cho thầy cô giáo, bạn sinh viên khoa toán Về thân bên cạnh việc tìm hiểu sâu phương trình tích phân Fredholm, nâng cao kiến thức sở phương trình tích phân, Toán cao cấp Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm ba chương Chương Kiến thức sở Chương nhắc lại số kiến thức tích phân xác định, công thức tính gần tích phân, nguyên lý ánh xạ co, không gian C[a,b] , phân loại phương trình tích phân Fredholm Chương Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Mục đích chương giới thiệu phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại I, phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II phương pháp giải số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Chương Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm Mục đích chương giới thiệu phương trình tích phân phi tuyến Fredholm, phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến Fredholm Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức Rn Không gian Euclide n- chiều C[a,b] Không gian hàm số thực liên tục đoạn [a, b] Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng x(t) − sin(t − s)x(s)ds = cos t 44 Chương Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 3.1 Cơ sở lý thuyết Định lý 3.1 (Định lý tồn nghiệm) Xét phương trình tích phân b K[t, s, x(s)]ds, a ≤ t, s ≤ b x(t) = f (t) + λ (3.1) a Giả sử f (t) hàm bị chặn đoạn [a, b] , |f (t)| < r; K[t, s, x(s)] hàm khả tích bị chặn |K| < M, a ≤ t, s ≤ b; K[t, s, x(s)] thỏa mãn điều kiện Lipschits theo x |K(t, s, x1 ) − K(t, s, x2 )| ≤ L |x1 − x2 | , ∀x1 , x2 ∈ C[a,b] Khi phương trình (3.1) có nghiệm với ∀λ < 45 (3.2) , k(b − a) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng k = max M 3.1.1 1+ r ,L |λ| M (b − a) (3.3) Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến Fredholm Xét phương trình tích phân phi tuyến Fredholm loại II b x(t) − λ K[s, t, x(s)]ds = f(t) (3.4) a Áp dụng công thức cầu phương ta có n x(t) − λ Ak K [t, sk , x(sk )] + εn [Kx ] = f (t) (3.5) k=1 đó, sk = tk , k = 1, n, tk nút công thức cầu phương Ta giả thiết |λεn [Kx ]| nhỏ không cần tính đến Trong phương trình (3.6) thay t = ti ta có n xi − λ Ak K[ti , sk , xk ] = f (ti ), i = 1, n (3.6) k=1 đây, xi ≈ x(ti ) giá trị xấp xỉ nghiệm x(t) phương trình (3.1) điểm nút ti (3.6) hệ phương trình số có n phương trình n ẩn x1 , x2 , , xn chưa biết Sau ta giải hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp đơn Từ đó, suy nghiệm phương trình dạng bảng số 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.1.2 Đỗ Khánh Hằng Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến Cho hệ phương trình phi tuyến   f1 (x1 , x2 , , xn ) =       f2 (x1 , x2 , , xn ) =        f (x , x , , x ) = n n (3.7) Ở fi (i = 1, n) đạo hàm riêng chúng bậc hai giả thiết liên tục giới nội Phương pháp lặp đơn áp dụng hệ đưa dạng sau   x1 = ϕ1 (x1 , x2 , , xn )       x2 = ϕ2 (x1 , x2 , , xn )        x = ϕ (x , x , , x ) n n n (3.8) Nếu ký hiệu x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ϕ(x) = (ϕ1 (x), ϕ2 (x), , ϕn (x )) ∈ Rn Thì hệ (3.8) đưa dạng véc tơ x = ϕ(x) 47 (3.9) Khóa luận tốt nghiệp Đại học (0) Đỗ Khánh Hằng (0) (0) Giả sử x(0) = x1 , x2 , , xn xấp xỉ chọn trước, xấp xỉ xây dựng theo công thức  (m+1) (m) (m) (m)   x = ϕ x , x , , x n  1      x(m+1) = ϕ2 x(m) , x(m) , , x(m) n 2 (3.10)        (m) (m) (m)  x(m+1) = ϕn x1 , x2 , , xn n Hoặc dạng véc tơ x(m+1) = ϕ x(m) , m = 0, 1, 2, Nếu dãy véc tơ x(m) = (m) (m) (m) x1 , x2 , , xn (3.11) hội tụ đến véc tơ x∗ = (x∗1 , x∗2 , , x∗n ) hàm ϕi (x) liên tục, véc tơ x∗ nghiệm (3.1) Để có điều kiện hội tụ phương pháp lặp, ta đưa vào không gian véc tơ n - chiều chuẩn (chẳng hạn chuẩn cầu) Ký hiệu S = S x(0) , r = x ∈ Rn | x − x(0) ≤ r hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r Rn Định lý 3.2 Giả sử phương trình (3.8), điều kiện sau thỏa mãn ϕ(x, ) − ϕ(x,, ) ≤ q x, − x,, , ∀x, , x,, ∈ S x(0) , r < q < ϕ x(0) − x(0) ≤ (1 − q)r Khi phương trình (3.8) có nghiệm hình cầu S, 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Khánh Hằng dãy (3.11) hội tụ đến x∗ sai số phương pháp đánh giá bất đẳng thức x (m) −x ∗ qm ≤ ϕ x(0) − x(0) 1−q (3.12) Sự hội tụ phương pháp lặp coi tối ưu q ≤ 21 Ta nêu điều kiện đủ để điều kiện 1) Định lý (3.2) thỏa mãn Giả sử S ≡ S x0 , r = x ∈ R : x − x0 = max (0) xi −xi ≤r 1≤i≤n Định lý 3.3 Giả thiết hình cầu S, hàm ϕi i = 1, n có đạo hàm riêng ∂ϕi ∂ϕk thỏa bất đẳng thức n q = max i=1,n max x−x ≤r k=1 ∂ϕi (x) ∂xk