Một số phương pháp giải phương trình vi tích phân fredholm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Uyên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Phạm Thị Uyên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2016 i Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán– Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh – Giảng viên khoa Toán- Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận để em có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót,em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Uyên ii Lời cam đoan Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài "Một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân Fredholm" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội,04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Uyên Mục lục Lời mở đầu iii Danh mục kí hiệu chữ viết tắt vi KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích phân xác định 1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định 1.2 Công thức tính gần tích phân xác định 1.2.1 Công thức hình thang 1.2.2 Công thức parabol 1.3 Sai phân 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tính chất sai phân 1.4 Phương pháp giải hệ phi tuyến 1.4.1 Phương pháp lặp đơn 1.4.2 Phương pháp Newton 1.5 Chuỗi số 10 1.5.1 Khái niệm chuỗi số i 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM 12 2.1 Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 12 2.2 Các phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 14 2.2.1 Phương pháp tính toán trực tiếp 14 2.2.2 Phương pháp phân tích Adomian 18 2.2.3 Phương pháp chuỗi 27 2.3 Giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 30 2.4 Ví dụ áp dụng 46 PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN FREDHOLM 48 3.1 Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm 48 3.2 Các phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm 49 3.2.1 Phương pháp tính toán trực tiếp 50 3.2.2 Phương pháp chuỗi 54 3.3 Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm 58 3.3.1 Phương pháp tính toán trực tiếp 59 3.4 Giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm 61 3.5 Ví dụ áp dụng 65 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 70 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình vi - tích phân Phương trình vi- tích phân Fredholm phương trình có nhiều ứng dụng không nội môn toán( giải phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện biên hay điều kiện ban đầu, giải toán liên quan đến phương trình đạo hàm riêng, ) mà ứng dụng rộng rãi vào ngành vật lý, học, kĩ thuật, Phương trình vi-tích phân Fredholm giải phương pháp khác Trong đó, phương pháp giải tích phương pháp số hai phương pháp chủ yếu cho nghiệm dạng biểu thức giải tích hay nghiệm thu dạng bảng số Trong trình giải,ta kết hợp sử dụng phần mềm lập trình tính toán Maple vào để giải phương trình cách nhanh chóng, hiệu Chính lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu" Một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân Fredholm" nhằm có điều kiện tiếp tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức ứng dụng giải toán đại học Mục đích nhiêm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp để giải phương trình vi-tích phân tuyến iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên tính Fredholm phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm Phương pháp nghiên cứu +Phương pháp nghiên cứu lí luận +Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Luận văn gồm ba chương Chương " Kiến thức chuẩn bị." Chương nhắc lại số kiến thức tích phân xác định, công thức tính gần tích phân xác định, sai phân tính chất sai phân, phương pháp giải hệ phi tuyến, chuỗi số Chương "Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm" Mục đích chương giới thiệu phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm số phương pháp giải phương trinh vi-tích phân tuyến tính Fredholm Chương "Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm" Mục đích chương giới thiệu phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm số phương pháp giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm Luận văn trình bày sở tài liệu tham khảo liệt kê phần Mục lục.Đóng góp tác giả thể chỗ, giải phương trình vi-tích phân, ví dụ minh họa cho phương pháp giải tích giải số Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả nhiều trình làm luận văn iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô khoa Toán quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04/05/2016 Tác giả khóa luận Phạm Thị Uyên v Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Danh mục kí hiệu chữ viết tắt tổng xích ma ∆k f sai phân cấp k f x lim giới hạn chuẩn ≈ xấp xỉ J(x) ma trận Jacobi u(n) (x) đạo hàm cấp n u(x) b tích phân cận từ a tới b a K(x, t) hạch α alpha β beta λ lam đa ∞ vô ξ xi σ xích ma vi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên 82 u (x) = + x + 45 12 Thế u(x) chuỗi xtu2(t)dt, u(0) = (3.24) an xn (3.25) −1 ∞ u(x) = n=0 vào hai vế phương trình (3.24) dẫn đến ∞ 82 ( an x ) = + x + 45 12 n=0 ∞ n an tn )2)dt (xt( −1 (3.26) n=0 Từ (3.25) sử dụng điều kiện ban đầu a0 = ta có a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + 5a5 x4 + · · · 82 a1 a3 a1 a2 a2 a3 a1 a4 a3 a4 =1+( + + + + + + )x 45 15 15 21 21 27 (3.27) Đồng hệ số x hai bên giải hệ phương trình thu a0 = 1, a1 = 1, a2 = 0, ar = 0, r ≥ (3.28) Vì nghiệm xác thu u(x) = + x (3.29) Ví dụ 3.2.5 Giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm cách sử dụng phương pháp chuỗi u (x) = −2 − x + 15 xtu2 (t)dt, u(0) = u (0) = −1 56 (3.30) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Thế u(x) chuỗi ∞ (3.31) an xn, u(x) = n=0 vào hai vế phương trình (3.30), đồng hệ số x hai bên,sử dụng a0 = 1, a1 = 1, a2 = −1, tiếp tục tìm a0 = 1, a1 = 1, a2 = −1, a3 = , ak = 0, k ≥ 105 (3.32) Vì nghiệm xác thu u(x) = + x − x2 + x 105 (3.33) Ví dụ 3.2.6 Giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm cách sử dụng phương pháp chuỗi 1796 u (x) = x+ 315 xtu2(t)dt, u(0) = 0, u (0) = (3.34) Thế u(x) chuỗi ∞ (3.35) an xn u(x) = n=0 vào hai vế phương trình (3.34) dẫn đến ∞ 1796 x+ ( an x ) = 315 n=0 ∞ n an tn (t)dt xt (3.36) n=0 Đánh giá tích phân, đồng hệ số hai vế x sử dụng điều kiện 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên ban đầu a0 = 0, a1 = tìm a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 731 , ar = 0, r ≥ 738 (3.37) Nghiệm xác phương trình u(x) = x + 3.3 731 x 738 Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm Thay f (x) = vào phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại hai b (i) u (x) = f (x) + λ K(x, t)F (u(t))dt, (3.38) a ta thu phương trình tích phân phi tuyến Fredholm loại hai cho b (i) u (x) = λ K(x, t)F (u(t))dt (3.39) a F (u(t)) hàm phi tuyến u(t) Điều kiện ban đầu sử dụng để xác định nghiệm xác Trong mục này, nghiên cứu phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm (3.39) cho trường hợp hạch K(x, t) hạch tách 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3.1 Phạm Thị Uyên Phương pháp tính toán trực tiếp Phương pháp tính toán trực tiếp sử dụng để giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm phi tuyến Fredholm Phương pháp thay phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm số phương trình đại số hay hệ phương trình đại số tùy vào dạng K(x, t) Sử dụng phương pháp tính toán trực tiếp việc giải phương trình vi-tích phân Fredholm không cách trực tiếp cho nghiệm xác không dạng chuỗi Như trình bày mục trước, phương pháp tính toán trực tiếp đưa vào giải hạch K(x, t) hạch suy biến hay hạch tách có dạng n (3.40) gk (x)hk (t) K(x, t) = k=1 Phương pháp tính toán trực tiếp áp dụng cụ thể sau Đầu tiên (3.40) vào phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm b (i) u (x) = λ K(x, t)F (u(t))dt (3.41) a Thay dẫn đến b (i) u (x) = λg1 (x) b h1 (t)F (u(t))dt + λg2 (x) a b + λgn (x) h2 (t)F (u(t))dt + · · · a hn (t)F (u(t))dt a 59 (3.42) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Mỗi tích phân phần bên phải phụ thuộc biến số t với cận số cho t Điều có nghĩa tích phân tương đương với số Vì vậy, phương trình trở thành u(i) (x) = λα1 g1 (x) + λα2 g2 (x) + · · · + λαn gn (x), (3.43) b αi = hi (t)F (u(t))dt, ≤ i ≤ n (3.44) a Lấy tích phân hai vế (3.43) với cận từ đến x dùng điều kiện ban đầu cho tìm biểu thức cho u(x) theo số hạng αi x Dùng biểu thức u(x) thay vào phương trình, sau giải phương trình hệ n phương trình đại số để xác định số αi , ≤ i ≤ n Dùng giá trị thu αi (3.43) thay vào u(x) ta nghiệm xác phương trình (3.39) Ví dụ 3.3.1 Giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm cách sử dụng phương pháp tính toán trực tiếp 1 u (x) = λ 24 x(1 − u2(t))dt, u(0) = (3.45) Phương trình viết λαx 24 (3.46) (1 − u2 (t))dt (3.47) u (x) = α= 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Lấy tích phân hai vế (3.46) với cận từ tới x sử dụng điều kiện ban đầu tìm u(x) = + λαx2 48 (3.48) Thế (3.48) vào (3.47), đánh giá tích phân giải kết phương trình α ta α = 0, 11520 − 160λ λ2 (3.49) Khi nghiệm xác thu u(x) = 1, + 11520 − 160λ x λ (3.50) Chú ý λ = điểm kì dị phương trình vi-tích phân Fredholm phi tuyến 3.4 Giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm Ngoài việc sử dụng phương pháp giải tích để giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm ta thu nghiệm xác dạng biểu thức giải tích ta sử dụng phương pháp số để giải nghiệm cho dạng bảng số Trong mục nghiên cứu phương pháp số để giải phương trình vi-tích phân phi 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên tuyến Fredholm dựa phương pháp sai phân b (n) K(x, t)F (u(t))dt, u(k)(0) = bk , ≤ k ≤ (n − 1) u (x) = f (x) + λ a (3.51) Để thu độ xác cao ta chia [a; b] thành n phần x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, · · · , xn = b, h = b−a n ta đặt b K(x, t)F (u(t))dt g(x, u) = f (x) + λ (3.52) a Sử dụng công thức Ơle để giải phương trình vi-tích phân cấp ui+1 = ui + hg(xi , ui), i = 0, (n − 1), h = b−a n (3.53) Sử dụng điều kiện ban đầu ta xác định giá trị u1 , g(x1, u1 ) vào (3.53) từ xác định u2 Cứ tiếp tục ta thu nghiệm dạng bảng sau i xi ui Nghiệm xác a u0 u(x0) ∆u0 = |u0 − u(x0)| a+h u1 u(x1) ∆u1 = |u1 − u(x1)| a + 2h u2 u(x2) ∆u2 = |u2 − u(x2)| n u(xn) ∆un = |un − u(xn)| b un ∆ui = |ui − u(xi)| Ví dụ 3.4.1 Sử dụng phương pháp số để giải phương trình vi-tích phân 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên phi tuyến Fredholm sau π u (x) = cosx − x + 48 24 π xu2(t)dt, u(0) = (3.54) Ta chia đoạn [0, π] thành 10 phần x0 = 0, x1 = x6 = π 3π 2π π π , x2 = , x3 = , x4 = , x5 = 10 10 3π 7π 4π 9π , x7 = , x8 = , x9 = , x10 = π 10 10 Đặt π g(x, u) = cosx − x + 48 24 π xu2(t)dt (3.55) π 10 (3.56) Ta sử dụng công thức ui+1 = ui + hg(xi , ui), i = 0, 9, h = π g(xi, ui) = cosxi − xi + xi 48 24 π u2i (t)dt, i = 0, (3.57) Với i = ta sử dụng điều kiện ban đầu u0 = u(0) = vào (3.56) u1 = u0 + π π g(x0, u0) = 10 10 Với i = thay vào (3.56) u2 = u1 + π g(x1, u1) = 0, 6077579229 10 63 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Với i = thay vào (3.56) π g(x2, u2) = 0, 858542808 10 u3 = u2 + Với i = thay vào (3.56) π g(x3, u3) = 1, 052390312 10 u4 = u3 + Với i = thay vào (3.56) u5 = u4 + π g(x4, u4) = 1, 18086603 10 Với i = thay vào (3.56) u6 = u5 + π g(x5, u5) = 1, 238643939 10 Với i = thay vào (3.56) u7 = u6 + π g(x6, u6) = 1, 221733124 10 Với i = thay vào (3.56) u8 = u6 + π g(x7, u7) = 1, 126843574 10 Với i = thay vào (3.56) u9 = u8 + π g(x8, u8) = 0, 9522430603 10 64 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Với i = thay vào (3.56) u10 = u9 + π g(x9, u9) = 0, 700756064 10 Ta thu nghiệm bảng sau i xi ui Nghiệm xác u(x) = sinx ∆ui 0 0 π 10 0, 3141592654 0, 3090169944 0, 005142270984 π 0, 6077579229 0, 5877852523 0, 01997267061 3π 10 0, 858542808 0, 8090169944 0, 04952581363 2π 1, 052390312 0, 9510565163 0, 1013337957 π 1, 18086603 0, 18086603 3π 1, 238643939 0, 9510565163 0, 2875874227 7π 10 1, 221733124 0, 8090169944 0, 4127161296 4π 1, 126843574 0, 5877852523 0, 5390583217 9π 10 0, 9522430603 0, 3090169944 0, 6432260659 0, 700756064 0, 70756064 10 π 3.5 Ví dụ áp dụng Ví dụ 3.5.1 Giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm sau 1 x−4t x e u (t)dt, u(0) = 1 u (x) = 2e − e + 24 24 π π + xu (t)dt, u(0) = −1 u (x) = cosx + sinx − 96 96 2x 65 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên 82 1 u (x) = + x + xtu2(t)dt, u(0) = 45 12 −1 1 x xt(1 + u(t) − u2 (t))dt, u(0) = u (x) = e + (3 + e )x + 16 1 53 197 (x − t)u2(t))dt, u(0) = − + 3x + u (x) = 45 630 12 −1 −47 193 u (x) = − x+ + (x − t)u2(t))dt, u(0) = 45 90 12 −1 1 x u (x) = e − (e − 1)x + xtu2(t))dt, u(0) = u (0) = 48 12 1 x u (x) = e + (e − 2)x + x(t − u2(t))dt, u(0) = 1, u (0) = 2 π π π + (x − t)u2 (t)dt, u(0) = 0, u (0) = u (x) = −sinx − x + 36 72 18 1 10 u (x) = ex + ex−2t u2(t)dt, u(0) = 1, u (0) = 2 π π 11 u (x) = sinx + + (u(t) − u2 (t))dt, 16 u(0) = −u (0) = 1, u (0) = x 1 x−3t e u (t)dt, u(0) = u (0) = u (0) = 12 u (x) = e + 4 π π 13 u (x) = sinx − cosx − x+ xu2(t)dt, u(0) = 1, 100 100 u (0) = 1, u (0) = −1 1 x (e − 3)x + x(2u(t) − u2(t))dt, 14 u (x) = e + 200 100 u (0) = 1, u (0) = Kết luận Chương Nội dung Chương Trình bày dạng phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm 66 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên Trình bày phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm Trình bày phương pháp giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm Một số ví dụ áp dụng 67 Kết luận Dựa tài liệu tham khảo luận văn trình bày số vấn đề sau Một số kiến thức tích phân xác định,công thức tính gần tích phân xác định, sai phân, tính chất sai phân, công thức hình thang, phương pháp Newton, giải hệ phương trình phi tuyến, chuỗi số Một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm Đóng góp tác giả thể chỗ, tìm ví dụ minh họa cho phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân Fredholm, áp dụng phương pháp giải số để giải số phương trình vi-tích phân Fredholm Phương pháp giải phương trình vi-tích phân Fredholm nhiều điều mẻ nhiều câu hỏi mở chưa trình bày luận văn Cuối cùng, có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc 68 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên tránh khỏi có sai sót cách trình bày Tác giả mong góp ý thầy cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! 69 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Phạm Huy Điển(2002),Tính toán, lập trình giảng dạy Toán học Maple, NXB Khoa học-Kỹ thuật [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2006),Giáo trình giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Springer 70 ... (2.25) Phương pháp phân tích Adomian Phương pháp phân tích Adomian dùng để giải phương trình vi- tích phân Fredholm, tìm hiểu phương pháp cách cụ thể thông qua vi c giải phương trình vi- tích phân Fredholm. .. TUYẾN TÍNH FREDHOLM Chương trình bày phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm số phương pháp giải phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm 2.1 Phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm. .. sau: 1) Các phương pháp giải tích, phương pháp tìm nghiệm dạng biểu thức giải tích 2) Phương pháp giải số, phương pháp tìm nghiệm dạng bảng số Ta giả thiết phương trình vi- tích phân Fredholm thỏa