Một số phương pháp giải phương trình vi tích phân fredholm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Phạm Thị Uyên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Uyên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Phạm Thị Uyên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN FREDHOLM

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán– Trường Đại Học SưPhạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theohọc tại khoa và trong thời gian làm khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất VănNinh – Giảng viên khoa Toán- Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ngườitrực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trongsuốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay.Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếusót,em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạnsinh viên và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viênPhạm Thị Uyên

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫntận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong khi nghiêncứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đãghi trong phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết quả của đề tài

"Một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân Fredholm"

là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có

sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toànchịu trách nhiệm

Hà Nội,04 tháng 05 năm 2016

Sinh viênPhạm Thị Uyên

Lời mở đầu iii

1.1 Tích phân xác định 1

1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định 1

1.2 Công thức tính gần đúng tích phân xác định 2

1.2.1 Công thức hình thang 2

1.2.2 Công thức parabol 4

1.3 Sai phân 5

1.3.1 Định nghĩa 5

1.3.2 Tính chất của sai phân 5

1.4 Phương pháp giải hệ phi tuyến 6

1.4.1 Phương pháp lặp đơn 6

1.4.2 Phương pháp Newton 9

1.5 Chuỗi số 10

1.5.1 Khái niệm chuỗi số 10

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên

2 PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1 Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 12

2.2 Các phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 14

2.2.1 Phương pháp tính toán trực tiếp 14

2.2.2 Phương pháp phân tích Adomian 18

2.2.3 Phương pháp chuỗi 27

2.3 Giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 30 2.4 Ví dụ áp dụng 46

3 PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN FRED-HOLM 48 3.1 Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm 48

3.2 Các phương pháp giải tích phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm 49

3.2.1 Phương pháp tính toán trực tiếp 50

3.2.2 Phương pháp chuỗi 54

3.3 Phương trình vi-tích phân phi tuyến thuần nhất Fredholm 58 3.3.1 Phương pháp tính toán trực tiếp 59

3.4 Giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm 61

3.5 Ví dụ áp dụng 65

Kết luận 68

Tài liệu tham khảo 70

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với sựphát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán họcchia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng

Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liênquan đến việc giải phương trình vi - tích phân Phương trình vi- tíchphân Fredholm là một trong những phương trình có nhiều ứng dụngkhông chỉ đối với nội tại môn toán( giải phương trình vi phân thỏa mãnđiều kiện biên hay điều kiện ban đầu, giải bài toán liên quan đến phươngtrình đạo hàm riêng, ) mà còn ứng dụng rộng rãi vào các ngành vật lý,

cơ học, kĩ thuật,

Phương trình vi-tích phân Fredholm có thể giải bằng các phương phápkhác nhau Trong đó, phương pháp giải tích và phương pháp số là haiphương pháp chủ yếu cho nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích haynghiệm thu được dưới dạng bảng số Trong quá trình giải,ta có thể kếthợp sử dụng phần mềm lập trình tính toán Maple vào để giải phươngtrình một cách nhanh chóng, hiệu quả

Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu" Một số phươngpháp giải phương trình vi-tích phân Fredholm" nhằm có điều kiện tiếptiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức của mình và ứng dụng tronggiải toán đại học

2 Mục đích và nhiêm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp để giải phương trình vi-tích phân tuyến

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên

tính Fredholm và phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm

3 Phương pháp nghiên cứu

+Phương pháp nghiên cứu lí luận

+Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

Luận văn gồm ba chương

Chương 1 " Kiến thức chuẩn bị." Chương này nhắc lại một số kiếnthức về tích phân xác định, công thức tính gần đúng tích phân xác định,sai phân và các tính chất của sai phân, phương pháp giải hệ phi tuyến,chuỗi số

Chương 2 "Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm" Mục đíchchương này là giới thiệu về phương trình vi-tích phân tuyến tính Fred-holm và một số phương pháp giải phương trinh vi-tích phân tuyến tínhFredholm

Chương 3 "Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm" Mục đíchchương này là giới thiệu về phương trình vi-tích phân phi tuyến Fred-holm và một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân phi tuyếnFredholm

Luận văn được trình bày trên cơ sở các tài liệu tham khảo được liệt

kê trong phần Mục lục.Đóng góp của tác giả thể hiện ở chỗ, giải cácphương trình vi-tích phân, các ví dụ minh họa cho các phương pháp giảitích cũng như giải số

Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh đã tận tìnhhướng dẫn, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình làm luận văn

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô của khoa Toán

đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tạitrường Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạnnên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và khôngthể tránh khỏi có những sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý củathầy cô và các bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04/05/2016Tác giả khóa luận

Phạm Thị Uyên

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tích phân xác định,công thức tính gần đúng tích phân xác định, định nghĩa sai phân và cáctính chất sai phân, chuỗi số

1.1 Tích phân xác định

1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảngđóng [a, b], chia [a, b] thành những khoảng nhỏ bởi phân điểm ℘, trongmỗi khoảng nhỏ [xi−1, xi] lấy một điểm ξi tùy ý: xi−1 ≤ ξi ≤ xi,

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên

đó phụ thuộc số khoảng nhỏ n, phụ thuộc ξi, chọn tùy ý trong [xi−1, xi]

và phụ thuộc cách chọn phân điểm ℘

Nếu khi n tăng vô hạn (n → ∞) sao cho max

1.2 Công thức tính gần đúng tích phân xác định

1.2.1 Công thức hình thang

Định nghĩa 1.2 Giả sử ta phải tính tích phân xác định của hàm f(x)được cho bằng bảng hoặc biểu thức giải tích nhưng không biết nguyênhàm của nó Do đó không thể áp dụng khái niệm nguyên hàm để tính.Còn nếu ta dùng định nghĩa tích phân là

thì phải thực hiện rất nhiều các tính toán

Trong trường hợp này ta tính gần đúng tích phân xác định thông qua

đa thức nội suy P (x) của nó, tức là:

I =

Z b a

f(x)dx ≈

Z b a

P(x)dx

Ta chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau với các điểm chia

xi : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, xi = a + ih (i = 0, n); h = b− a

nKhi đó ta có

x 0

P(x)dx =

Z 1 0

x i

f(x)dx ≈ h

2(yi + yi+1)Vậy

Z b

a

f(x)dx ≈ h

2[y0 + yn+ 2(y1 + · · · + yn−1)] := Sn (1.1)Công thức (1.1) nói trên được gọi là công thức hình thang

Đặt r = |I − Sn|

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên

Đánh giá sai số người ta chứng minh được sai số

(x2i−1− x2i−2)(x2i−1− x2i) + y2i

(x − x2i−2)(x − x2i−1)(x2i− x2i−2)(x2i− x2i−1)

= b− a6n [y0 + y2n+ 2(y2 + · · · + y2n−2) + 4(y1 + · · · + y2n−1]:= Sn

Đặt r = |I − Sn|

Đánh giá sai số: Người ta chứng minh được r ≤ M h4

180(b − a)với M = max|f(4)(x)|, x ∈ [a, b]

1.3 Sai phân

1.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.4 Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập X, h làhằng số lớn hơn 0 Biểu thức ∆f(x) = f(x + h) − f(x) được gọi là saiphân cấp 1 của f(x) tại điểm x Biểu thức

∆2f(x) = ∆[∆f (x)] = [f (x + 2h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)] =

∆f (x + h) − ∆f (x) được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x

Tương tự, ta có ∆kf = ∆[∆k−1f] được gọi là sai phân cấp k của f tại x1.3.2 Tính chất của sai phân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên

1.4 Phương pháp giải hệ phi tuyến

Cho hệ phương trình phi tuyến

fp(x1, x2, , xp) = 0

(1.2)

Ở đây fi và các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai được giả thiết

là liên tục và giới nội

x(m+1)1 = g1(x(m)1 , x(m)2 , , x(m)p )

x(m+1)2 = g2(x(m)1 , x(m)2 , , x(m)p )

x(m+1)p = gp(x(m)1 , x(m)2 , , x(m)p ) (1.5)Hoặc ở dạng véctơ:

x(m+1) = ϕ(x(m)), m = 0, 1, 2, (1.6)

Nếu các dãy véctơ x(m) = (x(m)1 , x(m)2 , , x(m)p ) hội tụ đến véctơ x∗ =(x∗1, x∗2, , x∗p) còn các hàm gi(x) liên tục, thì véctơ x∗ là nghiệm của(1.3) Để có được điều kiện hội tụ của phương pháp lặp Ta đưa vào trongkhông gian véctơ p-chiều một chuẩn nào đó Ký hiệu S ≡ S(x0, δ) =(x ∈ Rp : x− x0 δ)

Định lý 1.1 Giả sử đối với phương trình (1.4) các điều kiện sau đượcthõa mãn

1)

kϕ(x0) − ϕ(x00)k ≤ q kx0 − x00k , ∀x0, x00 ∈ S(x0, δ), (1.7)Trong đó 0 < q < 1

2)

Khi đó phương trình (1.4) có nghiệm duy nhất trong hình cầu S, dãy (1.6)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Uyên

hội tụ đến x∗, và sai số của phương pháp được đánh giá bởi bất đẳng thức

∂gi(x)

∂xk

∂gi

∂x1

+

... Các phương pháp giải tích, phương pháp tìm nghiệm dướidạng biểu thức giải tích

2) Phương pháp giải số, phương pháp tìm nghiệm dạng bảngsố

Ta giả thiết phương trình vi- tích phân Fredholm. .. Adomian

Phương pháp phân tích Adomian dùng để giải phương trình vi- tíchphân Fredholm, tìm hiểu phương pháp cách

cụ thể thơng qua vi? ??c giải phương trình vi- tích phân Fredholm cấp hai...

2.3 Giải số phương trình vi- tích phân tuyến tính

Fredholm< /h3>

Để giải phương trình (2.1) ta dùng phương pháp giải số để tính gầnđúng Bản chất phương pháp đưa hệ phương trình