Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho một số phương trình vi tích phân hàm phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THỊ HỒNG DUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN HÀM PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN HÀM PHI TUYẾN Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS TS Mai Đức Thành Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: TS Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: TS Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 2: TS Đào Quang Khải Người hướng dẫn: PGS TS Lê Thị Phương Ngọc THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học hoàn thành hướng dẫn PGS TS Lê Thị Phương Ngọc Nội dung luận án viết sở nội dung báo công bố Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Các báo đồng tác giả, đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án Tác giả luận án Huỳnh Thị Hồng Dung i Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Phương Ngọc tận tình hướng dẫn PGS tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Kính gửi đến TS Nguyễn Thành Long lòng biết ơn chân thành, Thầy đọc luận án cho ý kiến đóng góp xác đáng q báu giúp tơi hiểu sâu Tơi bày tỏ lịng kính trọng biết ơn đến Nhà Khoa học, Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn, cấp sở Đào tạo, chuyên gia phản biện độc lập thức luận án, cho tơi nhận xét bổ ích giúp tơi hồn thiện tốt luận án Tơi vơ biết ơn Q Thầy Cơ ngồi Khoa Tốn-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm học thuật cho tơi suốt q trình học trường Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Quý Thầy Cô phòng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành chương trình học Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Cơng Đồn Trường, Phịng Ban trường Đại học Kiến Trúc Tp Hồ Chí Minh Anh Chị đồng nghiệp trường lời cảm ơn sâu sắc hỗ trợ nhiều mặt để tơi hồn thành chương trình Nghiên cứu sinh Tơi chân thành cảm ơn Anh Chị, Bạn thuộc nhóm Seminar đóng góp ý kiến kinh nghiệm quý báu buổi sinh hoạt học thuật Cuối cùng, xin dành lời thân thương gửi đến thành viên gia đình tơi, người ln bên tơi lúc khó khăn, ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tơi học tập Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2019 HUỲNH THỊ HOÀNG DUNG ii Mục lục Danh sách ký hiệu 1.1.1 Thiết lập không gian hàm X1 1.1.2 Tiêu chuẩn để tập X1 tập compact tương đối 11 Không gian Xm 13 1.2.1 Thiết lập không gian hàm Xm 13 1.2.2 Tiêu chuẩn để tập Xm tập compact tương đối 15 Không gian Xm,n 18 1.3.1 Thiết lập không gian hàm Xm,n 18 1.3.2 Tiêu chuẩn để tập Xm,n tập compact tương đối 20 Các định lý điểm bất động sử dụng cho luận án 26 1.4.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 26 1.4.2 Định lý Schauder 26 1.4.3 Định lý Krasnosel’skii không gian Banach 26 Kết luận chương 26 Khảo sát phương trình vi tích phân phi tuyến cấp 28 Khảo sát phương trình (2.0.1) nhận giá trị không gian Banach E với H 29 2.2 Chú ý phương trình (2.0.1) nhận giá trị thực với H 34 2.3 Khảo sát phương trình (2.0.1) nhận giá trị không gian Banach E với H 6= 35 Mở đầu Chương 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian X1 Chương 2.1 2.4 Các công cụ sử dụng luận án Chú ý phương trình (2.0.1) nhận giá trị thực với H 6= 43 Các ví dụ minh họa 43 2.5.1 Ví dụ cho phương trình (2.0.1) với E = R 44 2.5.2 Ví dụ cho phương trình (2.0.1) với E = C ([0, 1]; R) 49 Kết luận chương 61 2.5 iii Khảo sát phương trình vi tích phân phi tuyến cấp m 62 3.1 Khảo sát phương trình cấp m nhận giá trị không gian Banach E 62 3.2 Chú ý phương trình (3.0.1) nhận giá trị thực 71 3.3 Ví dụ minh họa 72 3.3.1 Ví dụ cho phương trình (3.3.1) với E = R 72 3.3.2 Ví dụ cho phương trình (3.3.1) với E = C ([0, 1]; R) 76 Kết luận chương 81 Khảo sát phương trình vi tích phân phi tuyến cấp m + n 82 Chương Chương 4.1 Khảo sát phương trình cấp m + n nhận giá trị không gian Banach E 82 4.2 Chú ý phương trình (4.0.1) nhận giá trị thực 93 4.3 Ví dụ minh họa 94 4.3.1 Ví dụ cho phương trình (4.3.1) với E = R 94 4.3.2 Ví dụ cho phương trình (4.3.1) với E = C ([0, 1]; R) 100 Kết luận chương 104 Kết luận 105 Danh mục cơng trình tác giả 107 Tài liệu tham khảo 108 iv Danh sách ký hiệu Các ký hiệu N Z R Z+ R+ E Ω x Bx Bx i = 1, m u Di u Dik u Dα u C (Ω; E) C k (Ω; E) ( A) [ A] [A] Tập hợp số tự nhiên; Tập hợp số nguyên; Tập hợp số thực; Tập hợp số nguyên không âm; Tập hợp số thực không âm; Không gian Banach với chuẩn k k E ; Ω = [0, 1] N = [0, 1] [0, 1]; x = ( x1 , , x N ) = ( x1 , x ) với x = ( x2 , , x N ), Bx = [0, x1 ] [0, x N ]; Bx0 = [0, x2 ] [0, x N ]; i f1, , mg hay i = 1, , m; u = u ( x1 , , x N ) : Hàm số theo N biến số thực x1 , , xN ; ∂u Di u = : Đạo hàm riêng cấp hàm u theo biến xi ; ∂xi ∂k u Dik u = k : Đạo hàm riêng cấp k hàm u theo biến xi ; ∂xi ∂ α1 + + α N u α1 αN N; α , α N ) Z+ D u = D1 D N u = α1 α N , α = ( α1 , ∂x1 ∂x N C (Ω; E) : Không gian gồm hàm u : Ω ! E liên tục Ω; C k (Ω; E) = fu C (Ω; E) : D α u C (Ω; E), jαj = α1 + + αN Giả thiết A chương 2; Giả thiết A chương 3; Giả thiết A chương k g; Mở đầu Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân lĩnh vực Giải tích tốn học Phương trình vi phân hiểu phương trình có chứa hàm chưa biết (còn gọi ẩn hàm) với đạo hàm ẩn hàm (đạo hàm thường hay đạo hàm riêng), chứa biến độc lập ẩn hàm Nếu ẩn hàm hàm biến người ta gọi phương trình phương trình vi phân thường, ngược lại, nhiều biến gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng, hay nói gọn phương trình đạo hàm riêng Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm ẩn hàm (đạo hàm thường hay đạo hàm riêng) xuất phương trình Phương trình tích phân, phương trình vi tích phân hiểu tương tự Phương trình vi tích phân khơng có chứa đạo hàm (có thể có đạo hàm riêng) mà cịn có chứa tích phân (theo loại tích phân đó) mà dấu tích phân có chứa biến độc lập, biến lấy tích phân, ẩn hàm với đạo hàm ẩn hàm Phương trình vi phân, phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng khoa học kỹ thuật thực tế đời sống Các phương trình thường mô tả tượng xuất nhiều lĩnh vực khác nhau: hóa học, sinh học, sinh thái học, vật lý học, học, (xem Corduneanu [14], Deimling [15] tài liệu trích dẫn đó) Do tính ứng dụng, chất toán học chứa đựng kết đạt từ việc nghiên cứu mơ hình thực tế từ cơng trình mơ tả mơ hình vật lý học, học, , mà phương trình vi phân, phương trình vi tích phân từ trước thu hút quan tâm nghiên cứu nhà khoa học Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu tính giải được, nghĩa nghiên cứu tồn khơng tồn nghiệm phương trình, nghiên cứu tính chất có nghiệm kể nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm, (xem [1] – [13], [16] – [58], [61] tài liệu trích dẫn liệt kê đó) Thực tế cho thấy rằng, có nhiều dạng phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân khác khơng có phương pháp chung để giải tất phương trình Chính thế, đề tài nghiên cứu luận án cần thiết, có ý nghĩa lý luận thực tiễn Tiếp nối kết có cho phương trình vi tích phân, luận án chúng tơi nghiên cứu phương trình vi tích phân cấp 1, cấp m (m 2) cấp m + n nhận giá trị không gian Banach theo dạng nêu đây, kết thu liên quan đến tồn nghiệm tính chất nghiệm cho phương trình Dạng u( x ) = g( x ) + Z Bx H ( x, y, u(y), D1 u(y))dy + Z Ω K ( x, y, u(y), D1 u(y))dy (0.1) Dạng u( x ) = g( x ) + + Z Ω Z Ω H ( x, y, u(y), D1 u(y), , D1m u(y))dy , D1m u(y))dy K ( x, y, u(y), D1 u(y), (0.2) Dạng u( x ) = g( x ) + Z Ω H ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy + Z Ω K ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy (0.3) Các dạng phương trình dạng phương trình tương tự nhiều tác giả nghiên cứu phương pháp điểm bất động kết hợp cơng cụ thích hợp giải tích hàm phi tuyến (xem [16], [33], [44] - [46] tài liệu tham khảo có liệt kê đó) Trong [7], sử dụng Định lý điểm bất động Perov, Bica cộng chứng minh tồn nghiệm tính chất khác nghiệm cho phương trình vi tích phân Fredholm cấp nhận giá trị không gian Banach E tùy ý sau x (t) = g(t) + Z b a f (t, s, x (s), x (s))ds, t [ a, b], (0.4) f : [ a, b] [ a, b] E E ! E liên tục g C1 ([ a, b] ; E) hàm cho trước Trong [50], B G Pachpatte nghiên cứu phương trình vi tích phân phi tuyến kiểu Fredholm cấp n có dạng sau x (t) = g(t) + Z b a f (t, s, x (s), x (s), , x (n 1) ( s )) ds, t I = [ a, b], (0.5) n N, n x, g, f hàm nhận giá trị thực Giả sử g C ( I; R), n f C( I R ; R) hàm khả vi liên tục đến cấp n theo t tập xác định tương ứng chúng Với giả thiết xây dựng cho hàm g, f cho trước, B G Pachpatte nghiên cứu tồn tại, tính tính chất khác nghiệm cho phương trình vi tích phân (0.5) Trước hết, cách biến đổi phương trình cho phương trình điểm bất động x = Tx, với toán tử T : S ! S S không gian Banach xây dựng dựa chuẩn kiểu Bielecki (tức loại chuẩn có trọng), tác giả chứng minh T : S ! S ánh xạ co, từ thu tồn nghiệm phương trình Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức tích phân có đánh giá nghiệm tường minh, tác giả thu tính chất khác nghiệm (0.5) tính (nhiều nghiệm), phụ thuộc liên tục nghiệm đánh giá nghiệm theo hàm cho trước với điều kiện thích hợp Chi tiết xây dựng không gian Banach S [50] sau: Với λ > số dương cho trước, xét không gian S= ( u Cn ( I; R) : supe λt t2 I ∑ n j =0 u( j) (t ) < +∞ ) , trang bị chuẩn kiểu Bielecki sau kukS = supe t2 I λt n ∑ j =0 u( j) (t) , u S, (S, k kS ) khơng gian Banach Trong [48], B G Pachpatte tiếp tục nghiên cứu phương trình vi tích phân kiểu Fredholm theo hai biến sau: u( x, y) = f ( x, y) + Z aZ b 0 g ( x, y, s, t; u(s, t), D1 u(s, t), D2 u(s, t)) dtds, (0.6) ( x, y) ∆ = [0, a] [0, b], a > 0, b > 0, f , g hàm cho trước; u ẩn hàm ∂u D1 u = ∂u ∂x , D2 u = ∂y đạo hàm riêng cấp hàm u ( x, y ) , ( x, y ) ∆, tương ứng theo biến thứ biến thứ hai, đây, trước hết hàm f , g cho trước giả sử thỏa điều kiện f C1 (∆; R), g C (∆2 R3 ; R) Di g C (∆2 R3 ; R), i = 1, Đối với dạng phương trình vi tích phân theo hai biến này, phương pháp kỹ thuật sử dụng [50] cải tiến để thu kết tương tự tồn nghiệm số tính chất nghiệm cho (0.6) Đặc biệt, kỹ thuật xây dựng không gian Banach E dựa cách chọn chuẩn kiểu Bielecki tác giả cải tiến cách thích hợp tương ứng với dạng phương trình (0.6) Khơng gian Banach E= ( u C1 (∆; R) : sup e λ( x +y) ( x,y)2∆ ) (ju ( x, y)j + j D1 u ( x, y)j + j D2 u ( x, y)j) < +∞ , với chuẩn k k E (kiểu Bielecki) xây dựng [48] cho kuk E = sup e ( x,y)2∆ λ( x +y) (ju ( x, y)j + j D1 u ( x, y)j + j D2 u ( x, y)j) , k¯ ( x, y, s, t) = k ( x, y) [(st)α¯ + (st)α¯ ] (4.3.18) Tương tự D1i K ( x, y, s, t; u, v) k¯ i ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) , k¯ 2,1 ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) , D2 D12 K ( x, y, s, t; u, v) (4.3.19) k¯ i ( x, y, s, t) = D1i k( x, y) [(st)α¯ + (st)α¯ ] , i = 1, 2, (4.3.20) k¯ 2,1 ( x, y, s, t) = D2 D12 k ( x, y) [(st)α0 + (st)α1 ] Kiểm tra giả thiết [HK]0 Ta cần kiểm tra bất đẳng thức sau ∑ sup Z 1Z ( x,y)2Ω i =0 + sup Z 1Z ( x,y)2Ω 0 Z 1Z hi ( x, y, s, t)dsdt + sup ( x,y)2Ω h2,1 ( x, y, s, t)dsdt + sup k¯ i ( x, y, s, t)dsdt Z 1Z ( x,y)2Ω 0 ! (4.3.21) k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt < Thực phép tính tích phân: Z 1Z 0 0 Z 1Z hi ( x, y, s, t)dsdt, Z 1Z h2,1 ( x, y, s, t)dsdt, Z ¯ k i ( x, y, s, t)dsdt, 1Z i = 0, 2, (4.3.20) k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt, ta được: Z 1Z 0 Z 1Z 0 0 Z 1Z Z 1Z 0 hi ( x, y, s, t)dsdt = 2πD1i k ( x, y) k¯ i ( x, y, s, t)dsdt = D1i k( x, y) (1+ α0 )2 (1+α¯ )2 h2,1 ( x, y, s, t)dsdt = 2πD2 D12 k( x, y) k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt = D2 D12 k ( x, y) 97 + + (1+ α1 )2 (1+α¯ )2 (1+ α0 )2 (1+α¯ )2 + + , , i = 0, 1, 2, (4.3.22) (1+ α1 )2 (1+α¯ )2 , Ta suy đánh giá sau Z 1Z ∑ sup ( x,y)2Ω i =0 ∑ i =0 = h D1i k 2π (1+ α0 )2 h X + Z 1Z hi ( x, y, s, t)dsdt + sup ( x,y)2Ω 2π (1+ α0 )2 2π (1+ α1 )2 + + 2π (1+ α1 )2 (1+α¯ )2 + + (1+α¯ )2 (1+α¯ )2 i k¯ i ( x, y, s, t)dsdt (1+α¯ )2 + ! i (4.3.23) kkk X + k D1 kk X + D12 k X Chú ý k ( x, y) = e x+y + y e2 + 1, D1i k( x, y) = D2 D12 k ( x, y) = e x+y e2 (4.3.24) Do Z 1Z ∑ sup ( x,y)2Ω i =0 Z 1Z hi ( x, y, s, t)dsdt + sup ( x,y)2Ω 0 k¯ i ( x, y, s, t)dsdt 2π 2π 1 + + + 2 (1 + α0 ) (1 + α1 ) (1 + α¯ ) (1 + α¯ )2 ! (4.3.25) 3e2 + Mặt khác sup Z 1Z ( x,y)2Ω 0 D2 D12 h X 2π (1+ α0 )2 e2 h2,1 ( x, y, s, t)dsdt + sup h Z 1Z ( x,y)2Ω 2π (1+ α0 )2 + + 2π (1+ α1 )2 2π (1+ α1 )2 + + (1+α¯ )2 (1+α¯ )2 + (1+α¯ k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt + (1+1α¯ )2 i )2 i (4.3.26) Do ∑ i =0 sup Z 1Z ( x,y)2Ω + sup Z 1Z ( x,y)2Ω 2π (1+ α0 )2 + hi ( x, y, s, t)dsdt + sup ( x,y)2Ω h2,1 ( x, y, s, t)dsdt + sup 2π (1+ α1 )2 Z 1Z Z 1Z ( x,y)2Ω + (1+α¯ )2 + (1+α¯ )2 0 k¯ i ( x, y, s, t)dsdt ! k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt (4.3.27) 4e2 + < Do [HK]0 ¯ ], [HK]0 Định lý 4.1.6 Do Vậy hàm g, H, K thỏa giả thiết [G0 ], [H10 ], [K tập nghiệm (4.3.1) khác rỗng compact X2,1 Hơn nữa, khơng khó khăn để thử lại w0 X2,1 nghiệm (4.3.1) 98 4.3.2 Ví dụ cho phương trình (4.3.1) với E = C ([0, 1]; R) Ví dụ 4.3.2 Xét phương trình (4.3.1) với E = C ([0, 1]; R) hàm g : Ω ! E; H, K : Ω Ω E2 ! E sau > H, K : Ω Ω E2 ! E > > > > > > ( x, y, s, t; u, v) ! H ( x, y, s, t; u, v), > > > > > > > < ( x, y, s, t; u, v) ! K ( x, y, s, t; u, v), h i πu(η ) 2πv(η ) α0 sin α1 cos > H ( x, y, s, t; u, v )( η ) = k ( x, y; η ) ( st ) + ( st ) , > 2w0 (s,t;η ) > D2 D12 w0 (s,t;η ) > > > > > > K ( x, y, s, t; u, v)(η ) = k ( x, y; η )K1 (s, t; u, v)(η ), η 1, ( x, y) Ω, > > > i h > > 1 : g( x, y) = w ( x, y) + (1+α )2 + (1+α¯ )2 + (1+α¯ )2 k( x, y), ( x, y) Ω, (1+ α0 )2 1 (4.3.28) Z > > ¯ α > K1 (s, t; u, v)(η ) = (st) > > > < u(ζ ) w0 (s,t;ζ ) w0 ( x, y; η ) = 1+1 η e x+y + y > > > > > > : k ( x, y; η ) = e x+y + y 1+ η dζ + (st)α¯ Z 1 v(ζ ) D2 D12 w0 (s,t;ζ ) (4.3.29) , ,0 η dζ, 1, ( x, y) Ω, α0 , α1 , α¯ , α¯ số dương thỏa mãn 4e2 + 2π (1+ α0 )2 + 2π (1+ α1 )2 + (1+α¯ )2 + (1+α¯ )2 < (4.3.30) ¯ ], [ K ¯ ], [HK] Định lý 4.1.1 thoả Ta kiểm tra giả thiết [G], [H1 ], [K mãn (i) Trước hết, thực phép tính tốn lý luận tương tự trên, ta kiểm tra (i1) g thỏa giả thiết [G]; (i2) H, D1 H, D12 H, D2 D12 H C (Ω (i3) K, D1 K, D12 K, D2 D12 K C (Ω Ω Ω E2 ; E ); E2 ; E ); ¯ ]; (i4) K thỏa giả thiết [K ¯ ](i, ii, iii ) để kiểm tra giả thiết (j) Tiếp theo, xem xét đánh giá [H1 ](i, ii, iii ), [K [HK] (j1) Đánh giá [H1 ](i, ii, iii ) 99 ¯ v¯ ) Ω Với ( x, y, s, t; u, v), ( x, y, s, t; u, Ω E2 , với η [0, 1], ta có ¯ v¯ )(η )j j H ( x, y, s, t; u, v)(η ) H ( x, y, s, t; u, h i πu(η ) π u¯ (η ) 4k ( x, y; η )(st)α0 sin 2w (s,t;η ) sin 2w (s,t;η ) 0 h i 2πv ( η ) 2π v¯ (η ) cos D D2 w (s,t;η ) +k( x, y; η )(st)α1 cos D D2 w (s,t;η ) 2 ju(η ) u¯ (η )j 2π kk ( x, y)k E (st)α0 w (s,t;η ) ku u¯ k E ( s,t;η ) 2π kk ( x, y)k E (st)α0 w + 2π kk( x, y)k E (st)α1 + 2π kk( x, y)k E (st)α1 v(η ) v¯ (η ) D2 D12 w0 (s,t;η ) kv v¯ k E j D2 D12 w0 (s,t;η )j Chú ý w0 ( x, y; η ) = 1+ η D1 w0 ( x, y; η ) = , 2 e x +y + y D12 w0 ( x, y; η ) = D2 D12 w0 ( x, y; η ) = x +y 1+ η e (4.3.31) , j H ( x, y, s, t; u, v)(η ) ¯ v¯ )(η )j H ( x, y, s, t; u, ku u¯ k E ( s,t;η ) 2π kk ( x, y)k E (st)α0 w 4π kk ( x, y)k E [(st)α0 ku + 2π kk( x, y)k E (st)α1 u¯ k E + (st)α1 kv 4π kk ( x, y)k E ((st)α0 + (st)α1 ) (ku kv v¯ k E j D2 D12 w0 (s,t;η )j (4.3.32) v¯ k E ] u¯ k E + kv v¯ k E ) Vậy k H ( x, y, s, t; u, v) ¯ v¯ )k E H ( x, y, s, t; u, h0 ( x, y, s, t) (ku u¯ k E + kv v¯ k E ) , (4.3.33) (4.3.34) h0 ( x, y, s, t) = 4π kk ( x, y)k E ((st)α0 + (st)α1 ) Tương tự D1i H ( x, y, s, t; u, v) D2 D12 H ( x, y, s, t; u, v) ¯ v¯ ) D1i H ( x, y, s, t; u, E ¯ v¯ ) D2 D12 H ( x, y, s, t; u, hi ( x, y, s, t) (ku v¯ k E ) , E h2,1 ( x, y, s, t) (ku 100 u¯ k E + kv u¯ k E + kv v¯ k E ) , (4.3.35) hi ( x, y, s, t) = 4π D1i k( x, y) E ((st)α0 + (st)α1 ) , i = 1, 2, h2,1 ( x, y, s, t) = 4π D2 D12 k ( x, y) E ((st)α0 + (st)α1 ) ¯ ](i, ii, iii ) (j2) Đánh giá [K Với ( x, y, s, t; u, v) Ω (2.5.10) ta thu jK ( x, y, s, t; u, v)(η )j " Z = k( x, y; η ) (st)α¯ Ω p Z α¯ ( st ) k ( x, y )k k E kk( x, y)k E (st)α¯ E2 , với η [0, 1], sử dụng bất đẳng thức u(ζ ) w0 (s,t;ζ ) 1 p Z1 (4.3.36) dζ + (st)α¯ Z 1 v(ζ ) D2 D12 w0 (s,t;ζ ) p Z α¯ 2 dζ + ( st ) u ( ζ )j j (1 + ju(ζ )j) dζ + (st)α¯ 1 dζ # jv(ζ )j dζ Z p (1 + jv(ζ )j) dζ kk ( x, y)k E ((st)α¯ + (st)α¯ ) (1 + kuk E + kvk E ) Vậy k¯ ( x, y, s, t) (1 + kuk E + kvk E ) , kK ( x, y, s, t; u, v)k E (4.3.37) k¯ ( x, y, s, t) = kk ( x, y)k E ((st)α¯ + (st)α¯ ) (4.3.38) Tương tự D1i K ( x, y, s, t; u, v) k¯ i ( x, y, s, t) (1 + kuk E + kvk E ) , E D2 D12 K ( x, y, s, t; u, v) E k¯ 2,1 ( x, y, s, t) (1 + kuk E + kvk E ) , k¯ i ( x, y, s, t) = D1i k ( x, y) E ((st)α¯ + (st)α¯ ) , i = 1, 2, k¯ 2,1 ( x, y, s, t) = D2 D12 k ( x, y) ((st)α¯ + (st)α¯ ) E (j3) Kiểm tra giả thiết [HK] Tính tốn tích phân Z 1Z 0 hi ( x, y, s, t)dsdt, 101 Z 1Z 0 (4.3.39) k¯ i ( x, y, s, t)dsdt, i = 0, 2, Z 1Z 0 h2,1 ( x, y, s, t)dsdt, Z 1Z 0 Z 1Z 0 Z 1Z 0 0 Z 1Z Z 1Z 0 k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt, sau: hi ( x, y, s, t)dsdt = 4π D1i k ( x, y) k¯ i ( x, y, s, t)dsdt = D1i k( x, y) (1+ α0 )2 E (1+α¯ )2 E h2,1 ( x, y, s, t)dsdt = 4π D2 D12 k ( x, y) k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt = D2 D12 k ( x, y) + + (1+ α1 )2 (1+α¯ )2 (1+ α0 )2 E (1+α¯ )2 E + + , i = 0, 1, 2, , i = 0, 1, 2, (1+ α1 )2 , (1+α¯ )2 Chú ý kk( x, y)k E = e x+y + y D1i k ( x, y) E e2 + 1, D2 D12 k ( x, y) E = = e x +y ( x, y) Ω, i = 1, e2 , (4.3.40) Vậy sup Z 1Z ( x,y)2Ω sup Z 1Z ( x,y)2Ω sup Z 1Z ( x,y)2Ω sup Z 1Z ( x,y)2Ω sup Z 1Z ( x,y)2Ω sup 0 Z 1Z ( x,y)2Ω 0 h0 ( x, y, s, t)dsdt 4π e2 + k¯ ( x, y, s, t)dsdt e2 + hi ( x, y, s, t)dsdt 4πe2 k¯ i ( x, y, s, t)dsdt 2e2 (1+ α0 )2 (1+α¯ )2 (1+ α0 )2 + + (1+ α1 )2 (1+α¯ )2 (1+ α1 )2 + , , , i = 1, 2, (4.3.41) (1+α¯ )2 h2,1 ( x, y, s, t)dsdt 4πe2 k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt 2e2 + (1+α¯ )2 (1+ α0 )2 (1+α¯ )2 + , i =, 1, 2, (1+ α1 )2 (1+α¯ )2 + , Do ∑ i =0 sup Z 1Z ( x,y)2Ω + sup Z 1Z ( x,y)2Ω 4e2 + 0 hi ( x, y, s, t)dsdt + sup Z 1Z ( x,y)2Ω h2,1 ( x, y, s, t)dsdt + sup Z 1Z ( x,y)2Ω 2π (1+ α0 )2 + 2π (1+ α1 )2 + (1+α¯ )2 102 + k¯ i ( x, y, s, t)dsdt ! k¯ 2,1 ( x, y, s, t)dsdt (1+α¯ )2 < (4.3.42) Do [HK] ¯ ], [ K ¯ ], [HK] Định Như vậy, hàm g, H, K thỏa giả thiết [G], [H1 ], [K lý 4.1.1 Do đó, tập nghiệm (4.3.1) khác rỗng compact X2,1 Hơn nữa, w0 X2,1 nghiệm (4.3.1) Kết luận chương Như vậy, cách áp dụng Định lý điểm bất động Krasnosel’skii sở xây dựng giả thiết phù hợp hàm cho trước g, H, K, tính khác rỗng compact tập nghiệm phương trình (4.0.1) Xm,n chứng minh, phương trình xét với E khơng gian Banach tùy ý Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm phương trình (4.0.1) cịn xem xét không gian Banach E trường hợp đặc biệt, E = R, với giả thiết giảm nhẹ Cuối chương hai ví dụ minh họa kết đạt chương, ứng với E = R E = C ([0, 1]; R) Chương tổng quát hóa kết [D3], phương trình (4.0.1) xét với H 0, số biến N = E = R Do vế phải phương trình xuất tốn tử tích phân, nên [D3], ngun lý ánh xạ co Định lý Schauder lựa chọn để khảo sát tồn nghiệm tính chất nghiệm phương trình Các phương pháp kỹ thuật sử dụng chương áp dụng để khảo sát tồn nghiệm phương trình có dạng tổng qt sau, nhiên vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu: u( x ) = g( x ) + + Z Ω Z Bx H ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy K ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy, x [0, 1] N 103 Kết luận Trong luận án, nghiên cứu tính giải tính compact tập nghiệm phương trình vi tích phân hàm phi tuyến cấp 1, cấp m, cấp m + n theo nhiều biến có dạng sau: Dạng 1: Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến cấp 1: u( x ) = g( x ) + Z Bx H ( x, y; u(y), D1 u(y))dy + Z Ω K ( x, y; u(y), D1 u(y))dy, x [0, 1] N (1) Dạng 2: Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến cấp m (m u( x ) = g( x ) + + Z Ω Z Ω H ( x, y; u(y), D1 u(y), K ( x, y; u(y), D1 u(y), 2) : , D1m u(y))dy , D1m u(y))dy, x [0, 1] N (2) Dạng 3: Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến cấp m + n : u( x ) = g( x ) + + Z Ω Z Ω H ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy K ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy, x [0, 1] N (3) Bằng phương pháp kỹ thuật giải tích hàm phi tuyến, kết hợp với việc sử dụng định lý điểm bất động phù hợp, luận án đạt kết sau đây: Thiết lập không gian hàm X1 , Xm , Xm,n chứng minh không gian hàm không gian Banach đồng thời đưa tiêu chuẩn để tập không gian hàm tập compact tương đối Dưới số giả thiết phù hợp hàm cho trước g, K, nguyên lý ánh xạ co Banach áp dụng để chứng minh tồn nghiệm (1) X1 tương ứng với H Tiếp theo, thiết lập giả thiết phù hợp g, H, K, định lý điểm bất động Định lý Schauder (trong trường hợp H 0) Định lý Krasnosel’skii (trường hợp H 6= 0) áp dụng để chứng minh tính khác rỗng compact tập nghiệm (1) X1 Với số giả thiết phù hợp g, H, K, Định lý Krasnosel’skii áp dụng 104 để chứng minh tập nghiệm (2) tập khác rỗng compact Xm Áp dụng Định lý Krasnosel’skii sở xây dựng giả thiết phù hợp hàm cho trước g, H, K, chứng minh tính khác rỗng compact tập nghiệm (3) Xm,n Sự tồn nghiệm tính chất tập nghiệm tương ứng nêu xem xét không gian Banach E trường hợp đặc biệt, E = R, với giả thiết giảm nhẹ trường hợp cụ thể Các ví dụ cụ thể ứng với hai trường hợp đặc biệt không gian Banach E E = R E = C ([0, 1]; R) trình bày để minh hoạ tồn kết đạt nói trên, cho phương trình (1), (2), (3) Các kết luận án phát triển kế thừa kết công bố [D1] - [D6] gửi đăng [D7] báo cáo hội nghị khoa học chuyên ngành Trên sở kết thu luận án, chúng tơi xin nêu vấn đề nghiên cứu, phát triển tiếp sau: - Sử dụng Định lý Krasnosel’skii để nghiên cứu phương trình vi tích phân hàm phi tuyến cấp m nhận giá trị không gian Banach tổng quát có dạng: u( x ) = g( x ) + + Z Ω Z Bx H ( x, y; u(y), D1 u(y), K ( x, y; u(y), D1 u(y), , D1m u(y))dy (4) , D1m u(y))dy, với x = ( x1 , , x N ) Ω = [0, 1] N , g : Ω ! E; H : ∆ Em+1 ! E; K : Ω Ω Em+1 ! E hàm cho trước, ∆ = f( x, y) Ω Ω : y Bx g, Bx = [0, x1 ] [0, x N ] - Sử dụng Định lý Krasnosel’skii để nghiên cứu phương trình vi tích phân hàm phi tuyến cấp m + n nhận giá trị khơng gian Banach tổng qt có dạng u( x ) = g( x ) + Z Bx H ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy + Z Ω K ( x, y; u(y), D2n D1m u(y))dy, với x = ( x1 , , x N ) Ω = [0, 1] N , g : Ω ! E; H : ∆ K : Ω Ω E2 ! E hàm cho trước 105 (5) E2 ! E; Danh mục cơng trình tác giả [D1] H T H Dung, L T P Ngoc, Note on a Volterra-Fredholm type integrodifferential equation in two variables, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 22 (1) (2017) 121-135 (Scopus) [D2] H T H Dung, P H Danh, L T P Ngoc, N T Long, On a m-order nonlinear integrodifferential equation in two variables, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 22 (5) (2017) 983-999 (Scopus) [D3] H T H Dung, L T P Ngoc, N T Long, On a (m + n)-order nonlinear integrodifferential equation in two variables, Journal of Abstract Differential Equations and Applications (JADEA) (1) (2017) 71-83 [D4] L T P Ngoc, H T H Dung, N T Long, The set of solutions to a nonlinear integrodifferential equation in N variables, Fixed Point Theory, 20 (1) (2019) 255-270 (SCI-E) [D5] H T H Dung, L T P Ngoc, N T Long, On a nonlinear integrodifferential equation in two variables with values in a general Banach space, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 24 (2) (2019) 339-360 (Scopus) [D6] L T P Ngoc, H T H Dung, P H Danh, N T Long, On a m-order nonlinear integrodifferential equation in N variables, Nonlinear Functional Analysis and Applications (accepted) (Scopus) [D7] H T H Dung, L T P Ngoc, N T Long, The existence and compactness of the set of solutions for a nonlinear integrodifferential equation in N variables in a Banach space (bài gửi đăng) 106 Tài liệu tham khảo [1] C Avramescu, C Vladimirescu, Asymptotic stability results for certain integral equations, Electronic J Diff Equat 126 (2005) 1-10 [2] C Avramescu, Some remarks on a fixed point theorem of Krasnosel’skii, Electronic J Qualitative Theory of Diff Equ (2003) 1-15 [3] C Avramescu, C Vladimirescu, An existence result of asymptotically stable solutions for an integral equation of mixed type, Electronic J Qualitative Theory of Diff Equ 25 (2005) 1-6 [4] M A Abdou, A A Badr, M M El-Kojok, On the solution of a mixed nonlinear integral equation, Applied Mathematics and Computation, 217 (12) (2011) 54665475 [5] M A Abdou, W G El-Sayed, E I Deebs, A solution of a nonlinear integral equation, Applied Mathematics and Computation, 160 (2005) 1-14 [6] A Aghajani, E Pourhadi, M Rivero, J Trujillo, Application of Perov’s fixed point theorem to Fredholm type integro-differential equations in two variables, Mathematica Slovaca, 66 (2016) 1207-1216 [7] A M Bica, V A Caus, S Muresan, Application of a trapezoid inequality to neutral Fredholm integro-differential equations in Banach spaces, J Inequal Pure and Appl Math (5) (2006), Art 173 [8] T A Burton, A fixed-point theorem of Krasnosel’skii, Appl Math Letters, 11 (1) (1998) 85-88 [9] T A Burton, C Kirk, A fixed-point theorem of Krasnosel’skii type, Math Nach 189 (1998) 23-31 [10] T A Burton, I K Purnaras, L p -solutions of singular integro-differential equations, J Math Anal Appl 386 (2012) 830-841 107 [11] M M El-Borai, M A Abdou, M M El-Kojok, On a discussion of nonlinear integral equation of type Volterra-Hammerstein, J Korea Soc Math Educ Ser B, Pure Appl Math 15 (1) (2008) 1-17 [12] Józef Banas, Krishnan Balachandran, Diana Julie, Existence and global attractivity of solutions of a nonlinear functional integral equation, Applied Mathematics and Computation, 216 (2010) 261-268 [13] Tomasz Czlapinski, On some nonlinear Volterra integral-functional equation in several ´ variables, Analysis Mathematica, 20 (1994) 241-253 [14] C Corduneanu, Integral equations and applications, Cambridge University Press, NewYork, 1991 [15] K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, 1985 [16] B C Dhage, S K Ntouyas, Existence results for nonlinear functional integral equations via a fixed point theorem of Krasnoselskii-Schaefer type, Nonlinear Studies (2002) 307-317 [17] B C Dhage, On some nonlinear alternatives of Leray-Schauder type and functional interal equations, Archivum Mathematicum (BRNO), 42 (2006) 11-23 [18] M B Dhakne and G B Lamb, On an abstract nonlinear second order integrodifferential equation, J of Function Spaces and Applications, (2) (2007) 167-174 [19] Y M Dib, M R Maroun, Y N Raffoul, Periodicity and stability in neutral nonlinear differential equations with functional delay, Electronic J Diff Equat 142 (2005) 1-11 [20] S Dhompongsa, J Nantadilok, A simple proof of the Brouwer fixed point theorem, Thai Journal of Mathematics, 13 (3) (2015) 519-525 [21] P H Danh, L T P Ngoc, H T H Dung, N T Long, Existence of a unique solution of a nonlinear functional integral equation, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 20 (1) (2015) 111-121 [22] P H Danh, H T H Dung, N T Long, L T P Ngoc, On nonlinear integrodifferential equations in two variables, Results in Math 71 (1) (2017) 251-281 [23] P H Danh, L T P Ngoc, N T Long, On a nonlinear functional integral equation with variable delay, Journal of Abstract Differential Equations and Applications, (1) (2014) 35-51 108 [24] P H Danh, L T P Ngoc, N T Long, Solvability and asymptotically stable of a mixed functional integral equation in N variables, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 19 (3) (2014) 435-456 [25] K Goebel, W A Kirk, Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press, New York, 1990 [26] T Kostrzewski, Existence and uniqueness of BC [ a, b] solutions of nonlinear functional equation, Demonstratio Math 26 (1993) 61-74 [27] T Kostrzewski, BC-solutions of nonlinear functional equation A nonuniqueness case, Demonstratio Math 26 (1993) 275-285 [28] M A Krasnosel’skii, P P Zabreiko, Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg NewYork Tokyo, 1984 [29] S Lang, Analysis II, Addison-Wesley, Reading, Mass California London, 1969 [30] Zeqing Liu, Shin Min Kang, Jeong Sheok Ume, Solvability and asymptotic stability of a nonlinear functional-integral equation, Applied Mathematics Letters, 24 (6) (2011) 911-917 [31] N Lungu, I A Rus, On a functional Volterra-Fredholm integral equation via Picard operator, Journal of Mathematical Inequalities, (4) (2009) 519-527 [32] M Lupa, On solutions of a functional equation in a special class of functions, Demonstratio Math 26 (1993) 137-147 [33] Monica Lauran, Existence results for some nonlinear integral equations, Miskolc Mathematical Notes, 13 (1) (2012) 67-74 [34] N T Long, N H Nghia, N K Khoi, D V Ruy, On a system of functional equations, Demonstratio Math 31 (1998) 313-324 [35] N T Long, N H Nghia, On a system of functional equations in a multi-dimensional domain, Z Anal Anw 19 (2000) 1017-1034 [36] N T Long, Solution approximation of a system of integral equations by a uniformly convergent polynomials sequence, Demonstratio Math 37 (1) (2004) 123-132 [37] N T Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated with the system of functional equations, Demonstratio Math 37 (2) (2004) 349-362 [38] Tomasz Maolepszy, Nonlinear Volterra integral equations and the Schrăoder functional equation, Nonlinear Anal TMA 74 (2011) 424-432 109 [39] L T P Ngoc, H T H Dung, P H Danh, N T Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated with the system of nonlinear functional equations, Demonstratio Math 47 (1) (2014) 103-124 [40] L T P Ngoc, N T Long, On a fixed point theorem of Krasnosel’skii type and application to integral equations, Fixed Point Theory and Applications, Vol 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages [41] L T P Ngoc, N T Long, Solvability and existence of asymptotically stable solutions for a Volterra-Hammerstein integral equation on an infinite interval, Journal of Integral Equations and Applications (Rocky Mountain Mathematics Consortium) 25 (2) (2013) 295-319 [42] L T P Ngoc, N T Long, Existence of asymptotically stable solutions for a nonlinear functional integral equation with values in a general Banach space, Nonlinear Anal TMA 74 (18) (2011) 7111-7125 [43] L T P Ngoc, N T Long, Solving a system of nonlinear integral equations and existence of asymptotically stable solutions, Differential Equations & Applications, (2) (2012) 233-255 [44] L T P Ngoc, N T Long, Applying a fixed point theorem of Krasnosel’skii type to the existence of asymptotically stable solutions for a Volterra-Hammerstein integral equation, Nonlinear Anal TMA 74 (11) (2011) 3769-3774 [45] L T P Ngoc, N T Long, On a nonlinear Volterra-Hammerstein integral equation in two variables, Acta Mathematica Scientia, 33B (2) (2013) 484-494 [46] L T P Ngoc, N T Long, Existence of asymptotically stable solutions for a mixed functional nonlinear integral equation in N variables, Mathematische Nachrichten, 288 (5-6) (2015) 633-647 [47] L T P Ngoc, N T Long, A continuum of solutions in a Fréchet space of a nonlinear functional integral equation in N variables, Mathematische Nachrichten, 289 (13) (2016) 1665-1679 [48] B G Pachpatte, On Fredholm type integral equation in two variables, Differential Equations & Applications, (1) (2009) 27-39 [49] B G Pachpatte, Volterra integral and integrodifferential equations in two variables, J Inequal Pure and Appl Math 10 (4) (2009), Art 108, 10 pp [50] B G Pachpatte, On Fredholm type integrodifferential equation, Tamkang J of Math 39 (1) (2008) 85-94 110 [51] S Park, Generalizations of the Krasnoselskii fixed point theorem, Nonlinear Anal TMA 67 (12) (2007) 3401-3410 [52] S Park, Ninety years of the Brouwer fixed point theorem, Vietnam J Math 27 (1999) 187-222 [53] I K Purnaras, A note on the existence of solutions to some nonlinear functional integral equations, Electronic J Qualitative Theory of Diff Equ 17 (2006) 1-24 [54] I K Purnaras, On the existence of nonnegative solutions to an integral equation with applications to boundary value problems, Nonlinear Anal TMA 71 (2009) 3914-3933 [55] A M A El-Sayed, H H G Hashem, Monotonic positive solution of a nonlinear quadratic functional integral equation, Applied Mathematics and Computation, 216 (2010) 2576-2580 [56] Mohamed Aziz Taoudi, Integrable solutions of a nonlinear functional integral equation on an unbounded interval, Nonlinear Anal TMA 71 (2009) 4131-4136 [57] C Q Wu, Q W Xuan, D Y Zhu, The system of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, South-East Asian Bull Math 15 (1991) 109-115 [58] T K Yuldashev, J A Artykova, Volterra functional integral equation of the first kind with nonlinear right-hand side and variable limits of integration, Ukrainian Mathematical Journal, 58 (9) (2006) 1458-1461 [59] K Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, New York Berlin, Gottingen Heiă delberg, Vol 123, 1965 [60] E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Part I, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo, 1986 [61] Zhinan Xia, Global Asymptotic Stability for Nonlinear Functional Integral Equation of Mixed Type, Journal of Applied Mathematics, Vol 2013, Article ID 193602, 11 pages 111 ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THỊ HỒNG DUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN HÀM PHI TUYẾN Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS TS... phân, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân lĩnh vực Giải tích tốn học Phương trình vi phân hiểu phương trình có chứa hàm chưa biết (cịn gọi ẩn hàm) với đạo hàm ẩn hàm (đạo hàm thường... phương trình đạo hàm riêng Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm ẩn hàm (đạo hàm thường hay đạo hàm riêng) xuất phương trình Phương trình tích phân, phương trình vi tích phân hiểu tương tự Phương