Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLÊ THỊ TUYẾT NHUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016... ĐẠI HỌC THÁI NGUY

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ TUYẾT NHUNG

TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP

TÍCH PHÂN FOURIER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ TUYẾT NHUNG

TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP

TÍCH PHÂN FOURIER

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ NGÂN

Thái Nguyên - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Lê Thị Tuyết Nhung

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được

sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS Nguyễn Thị Ngân Tôi xinchân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo và xin gửi lời tri ânnhất của tôi đối với những điều cô giáo đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư Đại học Thái Nguyên cùng các Phòng- Ban chức năng của Trường Đạihọc Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, các Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Caohọc K22 (2014- 2016) Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đãtận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện chotôi hoàn thành khóa học

phạm-Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, những người thân đã luôn động viên,

hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thựchiện luận văn Xin trân trọng cảm ơn !

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Người viết luận văn

Lê Thị Tuyết Nhung

Mục lục

1.1 Phương trình tích phân 3

1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại một 4

1.3 Các đa thức Chebyushev 5

1.3.1 Đa thức Chebyushev loại một 5

1.3.2 Đa thức Chebyushev loại hai 7

1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính 9

1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh 11

1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh 11

1.5.2 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản 11

1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S 11

1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 12

1.6.1 Không gian S0 của các hàm suy rộng tăng chậm 12

1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 13

1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S0 13

1.6.4 Biến đổi Fourier của tích chập 14

1.7 Các không gian 14

1.7.1 Không gian Hs(R) 14

1.7.2 Các không gian Hos(Ω), Ho,os (Ω), Hs(Ω) 15

1.7.3 Định lý nhúng 16

1.8 Các không gian Sobolev vectơ 16

1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 18

1.10 Toán tử giả vi phân vectơ 19

2 Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier 22 2.1 Phát biểu bài toán 22

2.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier 22

2.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.10) 24 2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 27

2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính 33

Mở đầu

Phương trình cặp và hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải bài toánhỗn hợp của vật lý toán Nhiều bài toán tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi,các bài toán về vết nứt, về dị tật trong môi trường, có thể đưa đến việcgiải các phương trình cặp khác nhau

Trong bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa với điều kiệnbiên hỗn hợp được cho như sau: Trên cạnh y = 0 điều kiện biên Dirichletđược cho trên khoảng hữu hạn (a, b), còn ngoài khoảng đó cho điều kiệnNeumann Trên cạnh y = h điều kiện biên Neumann được cho trên khoảnghữu hạn (a, b), còn ngoài khoảng đó cho điều kiện biên Dirichlet Bài toánđược giải bằng cách đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier mà cácphần tử trên đường chéo chính của ma trận biểu trưng cấp hai, một tăng-một giảm cấp một

Với mong muốn được tìm hiểu tính giải được của hệ phương trình cặptích phân xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điềuhòa trên miền hình dải, tôi chọn đề tài “Tính giải được của một hệ phươngtrình cặp tích phân Fourier” Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tàiliệu tham khảo gồm có hai chương nội dung

Chương 1 trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về phương trìnhtích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vô hạn các phương trình đại

số tuyến tính, các đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier của các hàm cơbản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, cáckhông gian Sobolev, các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tínhliên tục, toán tử giả vi phân vectơ

Chương 2 trình bày về tính giải được của hệ phương trình cặp tíchphân Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình

điều hòa Các Định lí 2.1, Định lí 2.2 đã chứng minh được sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của các hệ phương trình cặp tích phân Fourier trongcác không gian Sobolev vectơ thích hợp, đưa các hệ phương trình cặp tíchphân Fourier về hệ các phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy,đưa tiếp các hệ phương trình tích phân về hệ vô hạn các phương trìnhđại số tuyến tính Đánh giá được các hệ số của các hệ vô hạn các phươngtrình đại số tuyến tính đó và chứng minh các hệ phương trình đó có duynhất nghiệm thuộc không gian `2, các hệ vô hạn các phương trình đại sốtuyến tính đó là hệ tựa hoàn toàn chính quy.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Thị Ngân Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướngdẫn, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi để em hoàn thành được khóa học của mình

+Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa

được về dạng (A − λI)g = f , trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu

A là toán tử tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính.Định nghĩa 1.2 Phương trình có dạng:

1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại một

Xét phương trình tích phân kỳ dị sau

1π

a Nghiệm không bị chặn ở hai đầu mút:

b Nghiệm bị chặn tại đầu mút ξ = a và không bị chặn tại đầu mút ξ = b:

1.3.1 Đa thức Chebyushev loại một

Định nghĩa 1.3 [12] Đa thức Chebyushev bậc n loại một Tn(x) đượcxác định như nghiệm của phương trình sai phân

Tn+1(x) − 2xTn(x) + Tn−1(x) = 0,

T0(x) = 1,

T1(x) = x

Nghiệm của phương trình sai phân trên là

Tn(x) = cos(n arccos x), Tn(cos θ) = cos(nθ), (n = 0, 1, 2, )

Ta có một số công thức của đa thức Chebyushev loại một như sau:

n, n = 1, 2,

f Nghiệm của Tn(x)

Tất cả các nghiệm của Tn(x) đều thuộc đoạn [−1, 1] và được xác địnhtheo công thức:

xk = cos θk = cos(2k − 1)π

2n , k = 1, 2,

g Phương trình vi phân

(1 − x)y00 − xy0 + n2y = 0, y = Tn(x)

1.3.2 Đa thức Chebyushev loại hai

Định nghĩa 1.4 [12] Đa thức Chebyushev bậc n loại hai Un(x) đượcxác định như nghiệm của phương trình sai phân

Un+1(x) − 2xUn(x) + Un−1(x) = 0,

U0(x) = 1,

U1(x) = 2x

Nghiệm của phương trình sai phân trên là

x = cos θ, Un(cos θ) = sin [(n + 1)θ]

Xét hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính sau

Định nghĩa 1.5 [5] Tập hợp những số x1, x2, được gọi là nghiệm của

hệ (1.16) nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.16) ta có các chuỗihội tụ và tất cả những đẳng thức được thỏa mãn Nghiệm được gọi làchính nếu nó tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với giá trị banđầu bằng không

Định nghĩa 1.6 [5] Hệ vô hạn (1.16) được gọi là hệ chính quy nếu

Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0

Giả sử hệ (1.16) là hệ chính quy và các hệ số tự do bi thỏa mãn điềukiện

|bi| ≤ Kρi, (K = const > 0) (1.19)Định lý 1.1 [5] (Sự tồn tại của nghiệm bị chặn) Nếu các hệ số tự docủa hệ vô hạn chính quy thỏa mãn điều kiện (1.19) thì nó có nghiệm bịchặn |xi| ≤ K và nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉliên tiếp

Định lý 1.2 [5] (Sự “chặt cụt”) Nghiệm chính x∗ của hệ chính quy

x∗i = limN →∞xNi

Định lý 1.3 [5] (Bondarenko P.S) Hệ chính quy có thể có không quámột nghiệm tiến đến không, nghĩa là

limi→∞xi = 0

1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh

1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh

Định nghĩa 1.7 [4], [13], [14] Kí hiệu S = S(R) là tập hợp của các hàmkhả vi vô hạn ϕ ∈ C∞(R), thỏa mãn điều kiện

có giá compact trong R là trù mật trong S theo tôpô của S

1.5.2 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản

Vì hàm cơ bản trong không gian S là những hàm khả tổng trong R nênbiến đổi Fourier được xác định theo công thức

1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S

Tính chất 1.1 Đạo hàm số lần tùy ý dưới dấu tích phân Fourier

DαF [ϕ](ξ) = F [(ix)αϕ](ξ)

Tính chất 1.2 Biến đổi Fourier của đạo hàm

Định lý 1.5 [10], [11] Biến đổi Fourier F từ S vào S là tương ứng một

- một và liên tục vào chính nó, nghĩa là một đẳng cấu tuyến tính

1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm

1.6.1 Không gian S0 của các hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.8 [4], [13], [14] Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

S được gọi là hàm suy rộng tăng chậm Tập hợp các hàm suy rộng tăngchậm ký hiệu là S0 Giá trị của f ∈ S0 trên phần tử ϕ ∈ S được kí hiệu là

hf, ϕi, còn trên phần tử liên hợp phức ϕ, kí hiệu là (f, ϕ) Dãy {fk} ∈ S0hội tụ đến f ∈ S0, nếu hfk, ϕi → hf, ϕi , ϕ ∈ S

Giả sử f là hàm khả tích địa phương, ngoài ra đối với N > 0 nào đó:

1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm

Công thức (1.20) có thể viết lại dưới dạng

hF [f ], ϕi = hf, F [ϕ]i , ϕ ∈ S

Công thức này là cơ sở của định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.9 [13], [14] Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm

f là hàm suy rộng tăng chậm F [f ] được xác định theo công thức

hF [f ], ϕi = hf, F [ϕ]i , f ∈ S0, ϕ ∈ S (1.21)

Vì phép toán ϕ → F [ϕ] là đẳng cấu và liên tục từ S vào S, nên phiếmhàm F [f ] xác định theo công thức (1.21) được hiểu theo nghĩa S0,hơnnữa, phép toán f → F [f ] là tuyến tính và liên tục từ S0 vào S0

Định nghĩa 1.10 [13], [14] Phép biến đổi Fourier F−1 được xác địnhtrong S0 theo công thức

Rõ ràng là F−1 là toán tử tuyến tính liên tục từ S0 vào S0 Ta sẽ chứng

tỏ rằng toán tử F−1 là biến đổi Fourier ngược của F , nghĩa là

F−1[F [f ]] = f, F [F−1[f ]] = f, f ∈ S0 (1.23)Thật vậy, theo tính chất của biến đổi Fourier trong S, thì các công thứctrong (1.22) đúng trong S trù mật trong S0, do đó (1.23) cũng đúng trong

S0

1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S0

Tính chất 1.5 Đạo hàm của biến đổi Fourier

DαF [f ] = F [(ix)αf ], f ∈ S0 (1.24)

Tính chất 1.6 Biến đổi Fourier của đạo hàm

F [Dαf ] = (−iξ)αF [f ], f ∈ S0 (1.25)Tính chất 1.7 Đẳng thức Parseval

hF [f ], F [ϕ]i = 2π hf (−x), ϕ(x)i , f ∈ S0, ϕ ∈ S (1.26)Tính chất 1.8 Biến đổi Fourier của dịch chuyển

F [f (x − x0)] = eiξx0F [f ], f ∈ S0 (1.27)Tính chất 1.9 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng có giá compactNếu f ∈ S0 có giá compact, thì F [f ] ∈ C∞ và tăng chậm ở vô cùng,nghĩa là

1.7.1 Không gian H s (R)

Định nghĩa 1.12 [4], [13], [14] Giả sử s ∈ R Kí hiệu Hs(R) là khônggian của các hàm suy rộng u ∈ S0, có biến đổi Fourier u(ξ) thỏa mãn điềub

1.7.2 Các không gian Hos(Ω), H s

o,o (Ω), H s (Ω)

Định nghĩa 1.13 [14] Giả sử Ω là một khoảng hoặc hệ các khoảngkhông giao nhau trong R Kí hiệu Hos(Ω) là không gian con của khônggian Hs(R) được định nghĩa như bao đóng của Co∞(Ω) theo chuẩn của

Hs(R) Tập hợp của các hàm trong Hs(R) có giá trong Ω được kí hiệu là

Ho,os (Ω)

Chuẩn trong Hos(Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.28) và mọihàm u ∈ Hos(Ω) có supp u ⊂ Ω Thật vậy, giả sử u ∈ Hos(Ω) Khi đó tồntại dãy {uk} ∈ Co∞ hội tụ đến u theo chuẩn của Hs(R) Kí hiệu Ω0 = R/Ω.Như vậy, ta có huk, ϕi = 0 với mọi ϕ ∈ Co∞(Ω0) Do tính liên tục suy ra

hu, ϕi = 0, với mọi ϕ ∈ C0∞(Ω0) Điều đó chứng tỏ supp u ⊂ Ω Như vậy

Hos(Ω) ⊂ Ho,os (Ω)

Định nghĩa 1.14 [4] Giả sử f ∈ Hs(R) Kí hiệu fΩ là hạn chế của ftrên Ω, nghĩa là

hfΩ, ϕi = hf, ϕi với mọi ϕ ∈ Co∞(Ω)

Kí hiệu p, ` tương ứng là các toán tử bị hạn chế trên Ω và toán tử tháctriển ra R Tập hợp các hạn chế của các hàm thuộc Hs(R) trên Ω kí hiệu

Hs(Ω) Chuẩn trong Hs(Ω) được xác định theo công thức

kf kHs (Ω) = inf

trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển `f ∈ Hs(R) của f ∈ Hs(Ω).Định lý 1.8 [4] Giả sử (Hos(Ω))∗ là không gian đối ngẫu của Hos(Ω).Khi đó (Hos(Ω))∗ đẳng cấu với H−s(Ω) Ngoài ra giá trị của phiếm hàm

f ∈ H−s(Ω) trên phần tử u ∈ Hos(Ω) được cho bởi công thức

1.8 Các không gian Sobolev vectơ

Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính Ta ký hiệu tích trực tiếp củahai không gian X là X2 Tôpô trong X2 là tôpô thông thường của tíchtrực tiếp Ta dùng chữ in đậm để kí hiệu hàm vectơ và ma trận Kí hiệu

u là vectơ có dạng u = (u1, u2) và

S2 = S × S, S02 = S0 × S0.Cho hàm vectơ u ∈ (S0)2, w ∈ (S)2, đặt

Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược của hàm vectơ

u ∈ (S0)2 là hàm vectơ F±1[u] = F±1[u1] , F±1[u2]
được xác định bằngcông thức

hF [u](ξ), w(ξ)i = hu(x), F [w](x)i , (1.32)

F−1[u](ξ), w(ξ) = 1

2π hu(x), F [w](−x)i ,trong đó w ∈ S2

Giả sử Hsj(R), Hsj

o (Ω), Hsj

o,o(Ω), Hsj(Ω) là các không gian Sobolev, trong

đó j = 1, 2; Ω là một khoảng hoặc hệ khoảng không giao nhau trong R

1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục

Định lý 1.11 [10], [11] Giả sử (H−→s(R))∗ là không gian đối ngẫu củakhông gian H−→s(R) Khi đó (H−→s(R))∗ đẳng cấu với H−−→s(R) Ngoài ra, giátrị của phiếm hàm f ∈ H−−→s(R) trên phần tử u ∈ H−→s(R) được cho bởicông thức

H−−→s(Ω).Chứng minh Giả sử `0f là một thác triển khác của f Khi đó ta có

`f − `0f = 0 trên Ω nghĩa là

(`f − `0f , w)o = 0, với mọi w ∈ (Co∞(Ω))2 (1.37)

Vì (Co∞(Ω))2 trù mật trong H−→os, cho nên từ đẳng thức (1.37) ta suy ra

(`f − `0f , u)o = 0, với mọi u ∈ H−→os,tức là (`0f , u)o = (`f , u)o Vì vậy tích phân trong (1.36) không phụ thuộcvào cách chọn thác triển `f Từ công thức (1.36) ta có

|(`f , u)o| ≤ kuk− →s k`f k−−→s

Vì (`f , u)o không phụ thuộc vào cách chọn thác triển `f nên

|(`f , u)o| ≤ kuk− →s inf

` |`f |−−→s = kuk− →s kf kH−−→s (Ω) (1.38)

Vậy mọi phiếm hàm f ∈ H−−→s(Ω) cho ta một phiếm hàm liên tục trên

Ω Ta có

Φ(u) = (v, u)− →s = (fo, u)ovà kΦk = kvk− →s = kfok−−→s ≥ kf k

H−−→s(Ω).Mặt khác theo (1.38) ta có công thức

1.10 Toán tử giả vi phân vectơ

Định nghĩa 1.15 [8] Giả sử α ∈ R, ta nói hàm số a(ξ) thuộc vào lớp

σα ∈ (R) nếu

|a(ξ)| ≤ C1(1 + |ξ|)α, ξ ∈R,

và nó thuộc vào lớp σ+α(R) nếu

C2(1 + ξ)α ≤ |a(ξ)| ≤ C1(1 + |ξ|)α, ξ ∈ R,trong đó C1, C2 là các hằng số dương nào đó

Mệnh đề 1.3 [8] Giả sử a(ξ) > 0 và (1 + |ξ|)−αa(ξ) là hàm liên tục, bịchặn trên R và lim

ξ→±∞(1 + |ξ|)−αa(ξ) = ` > 0 Khi đó

a(ξ) ∈ σ+α(R)

Mệnh đề 1.4 [10], [11] Giả sử a(ξ) ∈ σα(R), u(x) ∈ Hs(R) Khi đó toán

tử giả vi phân (toán tử tích chập) F−1[a(ξ)u(ξ)] (x) là toán tử tuyến tínhb

bị chặn từ Hs(R) vào Hs−α(R)

Định nghĩa 1.16 [10], [11] Giả sử A(ξ) ∈ P− →α

(R), u ∈ H−→s,u(ξ) =b

F [u](ξ) Toán tử A được xác định bởi công thức :

(Au)(x) := F−1[A(ξ)u(ξ)] (x), x ∈b R, (1.39)trong đó A(ξ) = kaj(ξ)k2×2 là ma trận vuông cấp 2, u = (u1, u2)T là vectơchuyển vị của vectơ dòng (u1, u2) và u(ξ) := Fb −1(ξ) = (F [u1], F [u2])Tđược gọi là toán tử giả vi phân vectơ và ma trận A(ξ) được gọi là biểutrưng của toán tử A

Định nghĩa 1.17 [10], [11] Giả sử A(ξ) = kaijk2×2, ξ ∈ R là ma trậnvuông cấp 2, trong đó aij(ξ) là hàm số liên tục trên R, αj ∈ R, (j =

1, 2), −→α = (α

1, α2)T Ta nói rằng A(ξ) = kaij(ξ)k2×2thuộc vào lớp P− →α

(R)nếu

P− →α

+(R) Khi đó tích vô hướng và chuẩn trong H−→α /2(R) được xác định bởicác công thức: