Một số lớp phương trình parabolic suy biến với nguồn logarit tính chất bùng nổ, nghiệm toàn cục và tính chất tắt dần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ CÔNG NHÀN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN VỚI NGUỒN LOGARIT: TÍNH CHẤT BÙNG NỔ, NGHIỆM TỒN CỤC VÀ TÍNH CHẤT TẮT DẦN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ CÔNG NHÀN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN VỚI NGUỒN LOGARIT: TÍNH CHẤT BÙNG NỔ, NGHIỆM TỒN CỤC VÀ TÍNH CHẤT TẮT DẦN Ngành: Tốn Giải tích Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: TS Hồ Ngọc Kỳ Phản biện 2: TS Trần Trí Dũng Phản biện 3: TS Đỗ Đức Tân Phản biện độc lập 1: TS Nguyễn Minh Quân Phản biện độc lập 2: TS Hồ Ngọc Kỳ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Lê Xuân Trường TS Huỳnh Quang Vũ TP Hồ Chí Minh - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Lê Cơng Nhàn i LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Xuân Trường TS Huỳnh Quang Vũ giới thiệu đề tài, gợi ý cho nhiều vấn đề ý tưởng mới, góp phần quan trọng hình thành nên luận án tận tình giúp đỡ tơi nhiều mặt nghiên cứu khoa học sống Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thành viên nhóm seminar đọc đưa nhiều ý kiến hữu ích giúp tơi hồn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn tác giả báo mà tơi trích dẫn, nhờ cơng trình họ mà tơi định hướng giải vấn đề luận án Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Viện nghiên cứu cao cấp Toán tạo điều kiện cho tơi có thời gian làm việc hoàn thành luận án thời gian làm việc Viện Tôi xin chân thành cảm ơn nhà khoa học thành viên Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn cấp Cơ sở đào tạo, chuyên gia phản biện độc lập thức luận án, nhận xét đánh giá bình luận quý báu với đề nghị quan trọng tạo điều kiện để hồn thành tốt luận án Tơi trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn – Tin học, Bộ mơn Tốn Giải tích Phịng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tơi học tập hồn thành luận án Qua luận án bày tỏ lời cảm ơn đồng nghiệp thân thiết Bộ mơn Tốn, Trường Đại học An Giang đồng nghiệp Khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh động viên giúp đỡ chia sẻ họ q trình tơi ii iii hồn thành luận án Cuối cùng, tơi xin dành tất tình u thương cho gia đình, bạn bè người thân tôi, quan tâm động viên họ động lực để tiếp tục học tập nghiên cứu hoàn thành luận án ****************************** MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC v DANH SÁCH KÝ HIỆU TỔNG QUAN Chương Kiến thức chuẩn bị 16 1.1 Không gian Sobolev 16 1.2 Toán tử đơn điệu 21 1.3 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 22 1.4 Một số bất đẳng thức 25 Chương Phương trình parabolic chứa tốn tử p-Laplace với thành phần phi tuyến dạng logarit 28 2.1 Giới thiệu 28 2.2 Potential well đặc trưng 31 2.3 Sự tồn nghiệm địa phương 39 2.4 Tính chất tồn tồn cục tính tắt dần 44 2.4.1 Tính chất tồn tồn cục 45 2.4.2 Tính chất tắt dần 47 Tính chất bùng nổ thời gian hữu hạn 49 2.5 Chương Phương trình giả parabolic chứa tốn tử p-Laplace với thành phần phi tuyến dạng logarit 54 3.1 Giới thiệu 54 3.2 Potential well đặc trưng 57 3.3 Nghiệm địa phương nghiệm toàn cục 62 iv v 3.4 3.5 Tính chất tắt dần nghiệm toàn cục 68 3.4.1 Tính chất tồn toàn cục 69 3.4.2 Tính chất tắt dần 72 Tính chất bùng nổ thời gian hữu hạn 75 Chương Phương trình khuếch tán phi tuyến kép với thành phần phi tuyến dạng logarit 81 4.1 Giới thiệu 81 4.2 Potential well không gian hàm 84 4.3 Nghiệm địa phương nghiệm toàn cục 88 4.4 Tính chất tắt dần nghiệm toàn cục 95 4.4.1 Tính chất tồn tồn cục 96 4.4.2 Tính chất tắt dần 97 4.5 Tính chất bùng nổ thời gian hữu hạn 99 4.6 Trường hợp lượng đầu tới hạn 102 KẾT LUẬN 106 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO 111 DANH SÁCH KÝ HIỆU Ký hiệu tập hợp N = {0, 1, 2, } Tập hợp số tự nhiên Z = {0, ±1, ±2, } Tập hợp số nguyên Z+ = {1, 2, 3, } Tập hợp số nguyên dương Z− = {−1, −2, } Tập hợp số nguyên âm Z0+ = {0, 1, 2, } Tập hợp số nguyên không âm Z0− = {0, −1, −2, } Tập hợp số nguyên không dương Q Tập hợp số hữu tỉ R Tập hợp số thực Ký hiệu đa số α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn Đa số α với α1 , , αn ∈ N | α | = α1 + α2 + · · · + α N Bậc đa số α = (α1 , α2 , , αn ) α x α = x1 x2α2 xnαn Đơn thức bậc |α| theo n biến x1 , x2 , , xn , với x = ( x1 , x2 , , xn ) Ký hiệu đạo hàm u ( x, t) = ut ( x, t) = ∂u ∂t ( x, t ) Đạo hàm riêng bậc hàm u( x, t) theo biến t ∇u( x, t) = n ∂u ∂xi ( x, t ) i =1 Gradient u( x, t) theo biến x, với x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Dα f Đạo hàm riêng ∂|α| f α1 ∂x1 ···∂xnαn , với α = (α1 , , αn ) ∈ Nn đa số Các không gian hàm Không gian Banach X đối ngẫu X X, X · Chuẩn khơng gian X X Tích đối ngẫu tích vơ hướng L2 (Ω) ·, · C0 (Ω) ≡ C (Ω) Không gian hàm số u : Ω → R liên tục Ω C m (Ω) Không gian hàm u ∈ C0 (Ω) cho Di u ∈ C0 (Ω) với i = 1, 2, , m C m (Ω) Không gian hàm u ∈ C m (Ω) cho Di u bị chặn liên tục Ω ∞ m m =0 C ( Ω ) C ∞ (Ω) Cc∞ (Ω) Không gian hàm u ∈ C ∞ (Ω) có giá compắc L p = L p (Ω) Không gian hàm đo Lebesgue u : Ω → R u L∞ = L∞ (Ω) p Ω | u ( x )| = p dx 1/p < ∞, với ≤ p < ∞ Không gian hàm đo Lebesgue, bị chặn hầu khắp nơi u : Ω → R với chuẩn u W m,p = W m,p (Ω) L∞ = ess sup |u( x )| < ∞ x ∈Ω Không gian Sobolev gồm hàm u ∈ L p cho đạo hàm suy rộng Di u ∈ L p , ≤ i ≤ m m,p W0 m,p = W0 (Ω) Bao đóng C0∞ (Ω) không gian W m,p H m = H m (Ω) W m,2 (Ω) C ([0, T ]; X ) Không gian hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn u L p (0, T; X ) C ([0,T ];X ) = max0≤t≤T u(t) X Các kết chương bao gồm: (i) Tính chất tồn nghiệm địa phương kiện đầu 1,p u0 ∈ W0 (Ω), Định lý 2.7 (ii) Tính chất tồn nghiệm tồn cục u0 ∈ W tính tắt dần đại số nghiệm J (u0 ) ≤ M < d, Định lý 2.8 (iii) Tính chất bùng nổ thời gian hữu hạn nghiệm u0 ∈ U J (u0 ) ≤ M < d, Định lý 2.9 Tiếp theo chương 3, xét tốn biên–giá trị đầu cho phương trình giả parabolic chứa toán tử p-Laplace    u − ∆ut − ∆ p u = f q (u) , ( x, t) ∈ Ω × R+ ,   t ( x, t) ∈ ∂Ω × R+ , u( x, t) = 0,     u( x, 0) = u ( x ), (4.6.3) x ∈ Ω, f q (s) = |s|q−2 s log (|s|) với q > Các kết chương bao gồm: 1,p (i) Với kiện đầu u0 ∈ W0 (Ω), tính chất tồn tồn cục khơng toàn cục nghiệm phụ thuộc vào tham số p q, Định lý 3.5 (ii) Tính chất tắt dần nghiệm toàn cục u0 ∈ W thỏa J (u0 ) ≤ d, Định lý 3.6 (iii) Tính chất bùng nổ thời gian hữu hạn nghiệm u0 ∈ U thỏa J (u0 ) ≤ d, Định lý 3.8 107 Cuối cùng, Chương nghiên cứu tốn biên–giá trị đầu cho phương trình khuếch tán phi tuyến kép    u − ∆ p |u|m−2 u = f q (u) , ( x, t) ∈ Ω × R+ ,   t ( x, t) ∈ ∂Ω × R+ , u( x, t) = 0,     u( x, 0) = u ( x ), x ∈ Ω, f q (s) = |s|q−2 s log (|s|) với q > Bằng cách xét toán tương đương    ∂ |w|m −2 w − ∆ p (w) = (m − 1) f γ (w) , x ∈ Ω, t > 0,   t x ∈ ∂Ω, t > 0, w( x, t) = 0,     w( x, 0) = w ( x ), x ∈ Ω, 1,p với w0 ∈ W0 (Ω) γ = (m − 1) (q − 1) + > Các kết đạt sau: (i) Tính chất tồn nghiệm địa phương nghiệm toàn cục w0 ∈ 1,p W0 (Ω), Định lý 4.7 (ii) Tính chất tắt dần nghiệm tồn cục w0 ∈ W , Định lý 4.10 (iii) Tính chất bùng nổ thời gian hữu hạn nghiệm w0 ∈ U , Định lý 4.12 (iv) Trong trường hợp J (w0 ) = d nghiệm yếu địa phương tồn toàn cục tắt dần I (w0 ) > bùng nổ thời gian hữu hạn I (w0 ) < 0, Định lý 4.14 Trên sở kết có, để kết thúc, nêu số vấn đề nghiên cứu mở rộng sau: Các kết luận án nghiên cứu tính chất bùng nổ, tồn tồn cục tính tắt dần nghiệm toàn cục trường hợp lượng đầu nhỏ potential depth d, J (u0 ) ≤ d Do vấn đề nghiên cứu tính chất nghiệm tốn trường hợp J (u0 ) > d? Với nguồn dạng lũy thừa, kết nghiên cứu cho phương trình nhiệt, xem Gazzola [45, 46], Xu Su [102] 108 Nghiên cứu trường hợp kỳ dị toán luận án? Trong kết gần đây, Cao Liu [17] nghiên cứu trường hợp kỳ dị toán Chương 3 Bên cạnh vấn đề nghiên cứu luận án, liên quan đến tính chất bùng nổ nghiệm cịn có vấn đề khác như: • Chặn chặn cho thời gian bùng nổ? • Điểm bùng nổ, tức là, nghiệm bùng nổ đâu? • Tốc độ bùng nổ nghiệm nào? Dáng điệu nghiệm thời gian bùng nổ? • Có thể mở rộng nghiệm (theo nghĩa đó) sau thời gian bùng nổ hay khơng? Một số kết có liên quan đến vấn đề nêu cho lớp phương trình nhiệt tham khảo [7, 26, 71, 91] 109 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ (N1) L X Truong, L C Nhan (2016), "Existence of solutions for p-Laplacianlike differential equation with multi-point nonlinear Neumann type boundary conditions at resonance", Electron J Differ Equ., 2016(206), 1–17 (N2) D H Hoang, L C Nhan, L X Truong (2017), "Solvability of Fractional Differential Equation with Nonlocal Boundary Conditions at Resonance", Vietnam J Math., 45(4), 625–638 (N3) L C Nhan, D H Hoang, L X Truong (2017), "Existence results for a class of high order differential equation associated with integral boundary conditions at resonance", Arch Math., Brno, 53(2), 111–130 (N4) L C Nhan, L X Truong (2017), "Global Solution and Blow-up for a Class of p-Laplacian Evolution Equations with Logarithmic Nonlinearity", Acta Appl Math., 151(1), 149–169 (N5) L C Nhan, L X Truong (2017), "Global solution and blow-up for a class of pseudo p-Laplacian evolution equations with logarithmic nonlinearity", Comput Math Appl., 73(9), 2076–2091 (N6) L C Nhan, L X Truong (2018), "Existence and nonexistence of global solutions for doubly nonlinear diffusion equations with logarithmic nonlinearity", Electron J Qual Theory Differ Equ., 2018(67), 1–25 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adams R A (1975), Sobolev spaces, Academic press, New York [2] Akagi G (2007), "Local existence of solutions to some degenerate parabolic equation associated with the p-Laplacian", J Differ Equations, 241(2), 359–385 [3] Akagi G., Ôtani M (2005), "Evolution inclusions governed by the difference of two subdifferentials in reflexive Banach spaces", J Differ Equations, 209(2), 392–415 [4] Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G (2011), Blow-up in nonlinear sobolev type equations, De Gruyter, Berlin [5] Aronson D.G., Weinberger H.F (1978), "Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics", Adv Math., 30(1), 33–76 [6] Ball J.M (1977), "Remarks on blow-up and nonexistence theorems for nonlinear evolution equations", Q J Math., Oxf Ser., 28(4), 473–486 [7] Bandle C., Brunner H (1998), "Blowup in diffusion equations: A survey", J Comput Appl Math., 97(1–2), 3–22 [8] Barenblatt G., Bertsch M., Passo R.D., Ughi M (1993), "A degenerate pseudoparabolic regularization of a nonlinear forward backward heat equation arising in the theory of heat and mass exchange in stably stratified turbulent shear flow", SIAM J Math Anal., 24(6), 1414–1439 [9] Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J (1972), "Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems", Philos Trans R Soc Lond Ser A, 272(1220), 47–78 111 [10] Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M (1991), Theory of Fluid Flow Through Natural Rocks, Kluwer, Dordrecht [11] Barenblat G., Zheltov I., Kochiva I (1960), "Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks", J Appl Math Mech., 24(5), 1286–1303 [12] Bear J (1988), Dynamics of Fluids in Porous Media, Dover Publications Inc., New York [13] Brézis H (1973), Operateurs Maximaux Monotones et Semi-Groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert, 5, North-Holland, Amsterdam/New York [14] Brézis H., Cazenave T (1996), "A nonlinear heat equation with singular initial data", J Anal Math., 68(1), 277–304 [15] Caffarelli L.A., Friedman A (1985), "Differentiability of the blow-up curve for onedimensional nonlinear wave equations", Arch Ration Mech Anal., 91(1), 83–98 [16] Caffarelli L.A., Friedman A (1986), "The blow-up boundary for nonlinear wave equations", Trans Am Math Soc., 297(1), 223–241 [17] Cao Y Liu C (2018), "Initial boundary value problem for a mixed pseudo-parabolic p-Laplacian type equation with logarithmic nonlinearity", Electron J Differ Equ., 2018(116), 1–19 [18] Cao Y., Yin J.X., Wang C.P (2009), "Cauchy problems of semilinear pseudo-parabolic equations", J Differ Equations, 246(12), 4568–4590 [19] Chen P.J., Gurtin M.E (1968), "On a theory of heat conduction involving two temperatures", Z Angew Math Phys., 19(4), 614–627 [20] Chen H., Luo P., Liu G (2015), "Global solution and blow-up of a semilinear heat equation with logarithmic nonlinearity", J Math Anal Appl., 422(1), 84–98 112 [21] Chen H., Tian S (2015), "Initial boundary value problem for a class of semilinear pseudo-parabolic equations with logarithmic nonlinearity", J Differ Equations, 258(12), 4424–4442 [22] David C., Jet W (1979), "Asymptotic behaviour of the fundamental solution to the equation of heat conduction in two temperatures", J Math Anal Appl., 69(2), 411–418 [23] Del Pino M., Dolbeault J (2002), "Nonlinear diffusions and optimal constants in Sobolev type inequalities: asymptotic behaviour of equations involving the p-Laplacian", C R Acad Sci., Paris, Sér I, 334(5), 365–370 [24] Del Pino M., Dolbeault J (2003), "The Optimal Euclidean L p -Sobolev logarithmic inequality", J Funct Anal., 197(1), 151–161 [25] Del Pino M., Dolbeault J., Gentil I (2004), "Nonlinear diffusions, hypercontractivity and the optimal L p -Euclidean logarithmic Sobolev inequality", J Math Anal Appl., 239(2), 375–388 [26] Deng K., Levine H.A (2000), "The role of critical exponents in blow-up theorems: the sequel", J Math Anal Appl., 243(1), 85–126 [27] DiBenedetto E (1993), Degenerate Parabolic Equations, Springer-Verlag, New York [28] DiBenedetto E., Friedman A (1985), "Holder estimates for nonlinear ă degenerate parabolic systems", J Reine Angew Math., 1985(357), 1–22 [29] DiBenedetto E., Herrero M.A (1989), "On the Cauchy problem and initial trace for a degenerate parabolic equation", Trans Am Math Soc., 1989(314), 187–224 [30] DiBenedetto E., Pierre M (1981), "On the maximum principle for pseudoparabolic equations", Indiana Univ Math J., 30(6), 821–854 113 [31] Drábek P., Pohozaev S.I (1997), "Positive solutions for the p-Laplacian: application of the fibrering method", Proc R Soc Edinb., Sect A, Math 127(4), 703–726 [32] Esquivel-Avila J.A (2003), "The dynamics of a nonlinear wave equation", J Math Anal Appl., 279(1), 135–150 [33] Esteban J.R., Vazquez J.L (1986), "On the equation of turbulent filtration in onedimensional porous media", Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 10(11), 1303–1325 [34] Evans L.C (1998), Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, 19, Amer Math Soc., Providence [35] Favini A., Yagi A (1999), Degenerate Differential Equations in Banach Spaces, Pure Appl Math., 215, Marcel Dekker, New York [36] Fila M (1992), "Boundedness of Global Solutions of Nonlinear Diffusion Equations", J Differ Equations, 98(2), 226–240 [37] Fila M., Filo J (1989), "A blow–up result for nonlinear diffusion equations", Math Slovaca, 39(3), 331–346 [38] Filo J (1987), "On solutions of a perturbed fast diffusion equation", Apl Mat., 32(5), 364–380 [39] Friedman A (1964), Partial differential equations of parabolic type, Prentice–Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey [40] Fujii A., Ohta M (1996), "Asymptotic behavior of blow-up solutions of a parabolic equation with p-Laplacian", Publ Res Inst Math Sci., 32(3), 503–515 [41] Fujita H (1966), "On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ut = ∆u + u1+α ", J Fac Sci Univ Tokyo Sect I., 13(2), 109–124 114 [42] Galaktionov V.A (1983), "Conditions for global nonexistence and localization for a class of nonlinear parabolic equations", Zh Vychisl Mat Mat Fiz., 23(6), 1341–1354 [43] Galaktionov V.A (1994), "Blow-up for quasilinear heat equations with critical Fujita’s exponents", Proc R Soc Edinb., Sect A, Math., 124(3), 517–525 [44] Galaktionov V.A., Vazquez J.L (2002), "The problem of blow–up in nonlinear parabolic equations", Discrete Contin Dyn Syst., 8(2), 399– 433 [45] Gazzola F (2004), "Finite-time blow-up and global solutions for some nonlinear parabolic equations", Differ Integral Equ., 17(9–10), 983–1012 [46] Gazzola F., Weth T (2005), "Finite time blow-up and global solutions for semilinear parabolic equations with initial data at high energy level", Differ Integral Equ., 18(9), 961–990 [47] Gazzola F., Squassina M (2006), "Global solutions and finite time blow up for damped semilinear wave equations", Ann Inst Henri Poincaré, Anal Non Linéaire, 23(2), 185–207 [48] Glassey R.T (1973), "Blow-up theorems for nonlinear wave equations", Math Z., 132(3), 183–203 [49] Glassey R.T (1981), "Finite-time blow-up for solutions of nonlinear wave equations", Math Z., 177(3), 323–340 [50] Gross L (1975), "Logarithmic Sobolev inequalities", Amer J Math., 97(4), 1061–1083 [51] Gurtin M.E., Maccamy R.C (1977), "On the diffusion of biological populations", Math Biosci., 33(1-2), 35–49 [52] Hassanizadeh S.M., Gray W.G (1993), "Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media", Water Resour Res., 29(10), 3389–3405 115 [53] Hayakawa K (1973), "On nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic differential equations", Proc Japan Acad., 49(7), 503–505 [54] Ikehata R., Suzuki T (1996), "Stable and unstable sets for evolution equations of parabolic and hyperbolic type", Hiroshima Math J., 26(3), 475–491 [55] Ishige K (1996), "On the existence of weak solutions of the Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic equation", SIAM J Math Anal., 27(5), 1235–1260 [56] Ishii H (1977), "Asymptotic stability and blowing up of solutions of some nonlinear equations", J Differ Equations, 26(2), 291–319 [57] John F (1979), "Blow-up of solutions of nonlinear wave equations in three space dimensions", Manuscr Math., 28(1–3), 235–268 [58] Kalashnikov A.S (1987), "Some problems of the qualitative theory of nonlinear degenerate second-order parabolic equations", Russ Math Surv., 42(2), 169–222 [59] Kaplan S (1963), "On the growth of solutions of quasilinear parabolic equations", Commun Pure Appl Math., 16(3), 305–330 [60] Karch G (1997), "Asymptotic behaviour of solutions to some pesudoparabolic equations", Math Methods Appl Sci., 20(3), 271–289 [61] Kato T (1980), "Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations", Commun Pure Appl Math., 33(4), 501–505 [62] Keller J.B (1957), "On solutions of nonlinear wave equations", Commun Pure Appl Math., 10(4), 523–530 [63] Kichenassamy S., Littman W (1993), "Blow-up surfaces for nonlinear wave equations, I", Commun Partial Differ Equations, 18(3–4), 431–452 116 [64] Kichenassamy S., Littman W (1993), "Blow-up surfaces for nonlinear wave equations, II", Commun Partial Differ Equations, 18(11), 1869– 1899 [65] Korpusov M.O., Sveshnikov A.G (2008), "Blow-up of solutions of strongly nonlinear equations of pseudoparabolic type", J Math Sci., 148(1), 1–142 [66] Khomrutai S (2015), "Global and blow-up solutions of superlinear pseudoparabolic equations with unbounded coefficient", Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 122, 192–214 [67] Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N (1968), Linear and quasi-linear equations of parabolic type, Nauka, Moskow 1967; English transl., Transl Math Monogr., Vol 23, Amer Math Soc., Providence, RI 1968 [68] Leibenzon L.S (1945), "General problem of the movement of a compressible fluid in a porous medium", Izv Akad Nauk SSSR, Geography and Geophysics 9, 7–10 (Russian) [69] Levine H.A (1973), "Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Put = − Au + F (u)", Arch Ration Mech Anal., 51(5), 371–386 [70] Levine H.A (1974), "Instability and nonexistence of global solutions to nonlinear wave equations of the form Putt = − Au + F (u)", Trans Am Math Soc., 192, 1–21 [71] Levine H.A (1990), "The role of critical exponents in blow-up theorems", SIAM Rev., 32(2), 262–288 [72] Levine H.A., Sacks P.E (1984), "Some existence and nonexistence theorems for solutions of degenerate parabolic equations", J Differ Equations, 52(2), 135–161 117 [73] Levine H.A., Payne L.E (1976), "Nonexistence of global weak solutions of classes of nonlinear wave and parabolic equations", J Math Anal Appl., 55(2), 329–334 [74] Lions J.L (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires (in French), Dunod, Paris [75] Martinez P (1999), "A new method to obtain decay rate estimates for dissipative systems", ESAIM, Control Optim Calc Var., 4, 419–444 [76] Matas A., Merker J (2012), "Existence of weak solutions to doubly degenerate diffusion equations", Appl Math., 57(1), 43–69 [77] Mikelíc A (2010), "A global existence result for the equations describing unsaturated flow in porous media with dynamic capillary pressure", J Differ Equations, 248(6), 1561–1577 [78] Merker J (2008), "Generalizations of logarithmic Sobolev inequalities", Discrete Contin Dyn Syst., Ser S, 1(2), 329–338 [79] Novick-Cohen A., Pego R.L (1991), "Stable patterns in a viscous diffusion equation", Trans Am Math Soc., 324(1), 331–351 [80] Mitidieri E.L., Pokhozhaev S.I (2001), "A priori estimates and blowup of solutions of nonlinear partial differential equations and inequalities", Tr Mat Inst Steklova, 234, 3–383; Proc Steklov Inst Math., 234, 1–362 [81] Le Cong Nhan, Le Xuan Truong (2017), "Global Solution and Blowup for a Class of p-Laplacian Evolution Equations with Logarithmic Nonlinearity", Acta Appl Math., 151(1), 149–169 [82] Le Cong Nhan, Le Xuan Truong (2017), "Global solution and blow-up for a class of pseudo -Laplacian evolution equations with logarithmic nonlinearity", Comput Math Appl., 73(9), 2076–2091 118 [83] Le Cong Nhan, Le Xuan Truong (2018), "Existence and nonexistence of global solutions for doubly nonlinear diffusion equations with logarithmic nonlinearity", Electron J Qual Theory Differ Equ., 2018(67), 1–25 [84] Ôtani M, (1982), "Nonmonotone perturbations for nonlinear parabolic equations associated with subdifferential operators, Cauchy problems", J Differ Equations, 46(2), 268–299 [85] Payne L.E., Sattinger D.H (1975), "Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations", Isr J Math., 22(3–4), 273–303 [86] Padron V (2004), "Effect of aggregation on population recovery modeled by a forward-backward pseudoparabolic equation", Trans Am Math Soc., 356(7), 2739–2756 [87] Pohozaev S.I (1979), "On an approach to nonlinear equations", Sov Math., Dokl., 20(4), 912–916 [88] Pohozaev S.I (2013), "Critical nonlinearities in partial differential equations", Russ J Math Phys 20(4), 476–491 [89] Pohozaev S.I., Veron L (2000), "Blow-up results for nonlinear hyperbolic inequalities", Ann Sc Norm Super Pisa, Cl Sci., IV Ser., 29(2), 393–420 [90] Ptashnyk M (2007), "Degenerate quasilinear pseudoparabolic equations with memory terms and variational inequalities", Nonlinear Anal., 66(12), 2653–2675 [91] Quittner P., Souplet P (2007), Superlinear Parabolic Problems, Birkhăauser, Berlin [92] Rao V.R.G., Ting T.W (1972), "Solutions of pseudo-heat equations in the whole space", Arch Ration Mech Anal., 49(1), 57–78 119 [93] Raviart P.A (1970), "Sur la résolution de certaines équations paraboliques non linéaires", J Funct Anal., 5(2), 299–328 [94] Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P (1995), Blow-up in quasilinear parabolic equations, 19, De Gruyter, Berlin [95] Sattinger D.H (1968), "On global solution of nonlinear hyperbolic equations", Arch Ration Mech Anal., 30(2), 148–172 [96] Showalter R.E (1997), Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations, Math Surv Monogr., 49, AMS [97] Showalter R.E., Ting T.W (1970), "Pseudoparabolic partial differential equations", SIAM J Math Anal., 1(1), 1–26 [98] Sideris T.C (1984), "Nonexistence of global solutions to semilinear wave equations in high dimensions", J Differ Equations, 52(3), 378–406 [99] Tsutsumi M (1972), "Existence and nonexistence of global solutions for nonlinear parabolic equations", Publ Res Inst Math Sci., 8(2), 211–229 [100] Tsutsumi M (1988), "On solutions of some doubly nonlinear degenerate parabolic equations with absorption", J Math Anal Appl., 132(1), 187–212 [101] Ting T.W (1969), "Parabolic and pseudo-parabolic partial differential equations", J Math Soc Japan, 21(3), 440–453 [102] Xu R.Z., Su J (2013), "Global existence and finite time blow-up for a class of semilinear pseudo-parabolic equations", J Funct Anal., 264(12), 2732–2763 [103] Liu Y., Zhao J (2006), "On potential wells and applications to semilinear hyperbolic equations and parabolic equations", Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 64(12), 2665–2687 [104] Weissler F.B (1979), "Semilinear evolution equations in Banach spaces", J Funct Anal., 32(3), 277–296 120 [105] Weissler F.B (1980), "Local existence and nonexistence for semilinear parabolic equations in L p ", Indiana Univ Math J., 29(1), 79–102 [106] Wu Z., Zhao J., Yin J., Li H (2001), Nonlinear diffusion equations, World Scientific, Singapore [107] Yang C., Cao Y., Zheng S (2012), "Second critical exponent and life span for pseudo-parabolic equation", J Differ Equations, 253(12), 3286– 3303 [108] Zhao N J (1993), "Existence and nonexistence of solutions for ut = div |∇u| p−2 ∇u + f ( x, t, u, ∇u)", J Math Anal Appl., 172(1), 130– 146 121 ... HỌC TỰ NHIÊN LÊ CÔNG NHÀN MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN VỚI NGUỒN LOGARIT: TÍNH CHẤT BÙNG NỔ, NGHIỆM TỒN CỤC VÀ TÍNH CHẤT TẮT DẦN Ngành: Tốn Giải tích Mã số ngành: 62460102 Phản biện... gọi: Một số lớp phương trình parabolic suy biến với nguồn logarit: tính chất bùng nổ, nghiệm tồn cục tính chất tắt dần Để thu kết luận án sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến phương pháp... 2.3 trình bày kết tồn nghiệm yếu địa phương tốn; kết tính chất tồn tồn cục bùng nổ nghiệm trình bày phần cịn lại, tính chất tồn tồn cục tính tắt dần nghiệm trình bày Phần 2.4 tính chất bùng nổ nghiệm