Phương pháp biến đổi tích phân giải các phương trình đạo hàm riêng (LV01223)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC XUÂN HÒA, 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC XUÂN HÒA, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Hoàng Thị Thu Huyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Tôi xin cam đoan nội dung luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Hoàng Thị Thu Huyền Mục lục Mở đầu 1 Biến đổi Fourier 1.1 Biến đổi Fourier L1 (R) 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Các tính chất biến đổi Fourier 1.2 Biến đổi Fourier Lp 1.3 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng 1.4 Một số toán biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải 1.4.1 Bài toán biên thứ 1.4.2 Bài toán biên thứ hai 1.5 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt dài vơ hạn 1.5.1 Công thức Poisson 1.5.2 Nghiệm phương trình truyền nhiệt 1.6 Bài toán Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng 3 Biến đổi tích phân Hankel 2.1 Khái niệm hàm Gamma, hàm Beta hàm Bessel 2.1.1 Hàm Gamma hàm Beta 2.1.2 Hàm Bessel loại một, loại hai loại ba 2.1.3 Hàm Bessel đối số ảo 2.1.4 Biến đổi tích phân Hankel 2.2 Bài tốn Dirichlet cho nửa khơng gian đối xứng trục 2.3 Phương trình truyền nhiệt mặt phẳng đối xứng trục 2.4 Bài tốn Robin phương trình Laplace nửa không gian đối xứng trục 11 11 12 14 14 19 19 23 23 23 24 25 25 27 29 30 2.5 2.6 2.7 2.8 Bài tốn Dirichlet phương trình Poisson lớp vô hạn đối xứng trục Bài toán rung tự màng lớn Phương trình khuếch tán mặt phẳng đối xứng trục Phương trình song điều hịa nửa khơng gian đối trục Biến đổi tích phân Mellin 3.1 Biến đổi Mellin thuận ngược 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Ví dụ 3.2 Một số tính chất phép biến đổi Mellin 3.3 Một số toán Dirichlet vị chêm vơ hạn 3.3.1 Bài tốn thứ 3.3.2 Bài toán thứ hai 3.4 Bài toán biên Dirichlet phương trình đạo hàm riêng cấp hai hệ số biến thiên miền nửa dải 32 35 36 37 39 39 39 40 40 43 43 44 46 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp biến đổi tích phân phương pháp giải tích hữu hiệu giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi quan trọng biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin v.v từ lâu sử dụng việc giải phương trình vi phân phương trình tích phân tuyến tính hệ số số Nhờ tính chất đặc thù phép biến đổi tích phân kể trên, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân có dạng miền khảo sát thích hợp chuyển phương trình đại số tương ứng Từ đó, sử dụng cơng thức nghịch đảo, ta tìm ẩn hàm mong muốn Hệ thống hóa phân loại tốn giải phương trình đạo hàm riêng phương pháp biến đổi tích phân việc làm thiết thực cho cơng việc học tập, giảng dạy hay nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Vì vậy, đề tài luận văn lựa chọn “Phương pháp biến đổi tích phân giải phương trình đạo hàm riêng” Luận văn gồm có: mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Nội dung chủ yếu luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi tích phân sau đây: biến đổi tích phân Fourier, biến đổi Hankel biến đổi Mellin Đối với phép biến đổi tích phân nói trên, luận văn xét số ứng dụng giải toán biên hay tốn Cauchy cho phương trình đạọ hàm riêng bản, đặc biệt phương trình truyền sóng truyền nhiệt Bản luận văn hình thành chủ yếu từ tài liệu [2] 2 Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa dạng tốn giải phương trình đạo hàm riêng phương pháp biến đổi tích phân Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý thuyết biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin Trong chương 1, luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi Fourier số ứng dụng giải tốn biên phương trình điều hịa song điều hịa miền vơ hạn nửa mặt phẳng miền hình dải, giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng dài vô hạn Trong chương 2, luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi Hankel xét số ứng dụng giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng hệ tọa độ cực tọa độ trụ Trong chương 3, luận văn trình bày biến đổi Mellin số ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng miền hình nêm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bản luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi tích phân sau đây: biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin số ứng dụng chúng giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận phương pháp tổng kết kinh nghiệm Những đóng góp đề tài Giải số toán biên học vật lý khác mà chưa có tài liệu tham khảo Chương Biến đổi Fourier Chương trình bày sở lý thuyết biến đổi Fourier số ứng dụng giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng miền vô hạn Nội dung chương hình thành từ tài liệu [1, 2, 3] 1.1 1.1.1 Biến đổi Fourier L1(R) Khái niệm ˆ Định nghĩa 1.1 Cho f ∈ L1 (R), λ ∈ R, hàm f định ∞ ˆ f (λ) = F [f ](λ) = √ 2π f (t) eiλt dt (1.1) ∞ gọi biến đổi Fourier f Biến đổi Fourier ngược hàm f xác định công thức ∞ ˘ f (λ) = F −1 [f ](λ) √ 2π f (t) e−iλt dt (1.2) −∞ Biến đổi Fourier thuận ngược định nghĩa theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt công thức sau ∞ ˆ f (λ) = F [f ](λ) = f (t) eiλt dt, (1.3) ∞ ∞ ˘ f (λ) = F −1 [f ](λ) = 2π f (t) e−iλt dt −∞ (1.4) ˆ Định lý 1.1 (Định lý Riemann - Lebegues) Giả sử f ∈ L1 (R) f ∈ C0 , với C0 không gian hàm số liên tục tiến dần vô cực Hơn nữa, ˆ f ∞ ≤ f (1.5) Định lý 1.2 (Định lý công thức Fourier ngược) Giả sử f ∈ L1 (R) ˆ f ∈ L1 (R) Đặt ∞ g (x) = √ 2π ˆ f (λ) e−iλx dλ, (1.6) −∞ đó, g (x) = f (x) hầu hết R 1.1.2 Các tính chất biến đổi Fourier Tính chất 1.1 fr (x) = f (rx) Ta có 1ˆ λ ˆ f (λ) = f r r Chứng minh ∞ ˆ f (λ) = √ 2π f (rx) eiλx dx ∞ ∞ = √ r 2π f (t) eiλt/r dt −∞ = 1ˆ λ f r r Tính chất 1.2 Với y ∈ R, đặt fy (x) = f (x + y) Ta có ˆ ˆ fy (λ) = e−iλy f (λ) Chứng minh ∞ ˆ fy (λ) = √ 2π ∞ f (x + y) e−iλx dx = √ 2π ∞ = e −iλy ˆ fy (λ) f (t) eiλ(t−y) dt −∞ 35 2.6 Bài toán rung tự màng lớn Xét toán rung màng đủ lớn xem toán dao động mặt phẳng đối xứng trục cho phương trình điều kiện sau c2 ∂ u ∂u + ∂r2 r ∂r = ∂ 2u , < r < ∞, t > 0, ∂t2 u(r, 0) = f (r), ut (r, 0) = g (r) , đó, c2 = T ρ r < ∞, (2.55) (2.56) = const, T căng màng ρ mật độ diện tích màng Áp dụng biến đổi Hankel bậc theo r ∞ u(κ, t) = ˜ (2.57) rJ0 (κr)u(r, t)dr, vào (2.55) - (2.56), ta d2 u ˜ + c2 κ2 u = 0, ˜ dt ˜ u(κ, 0) = f (κ), ut (κ, 0) = g (κ) ˜ ˜ ˜ (2.58) (2.59) Nghiệm tổng quát hệ là: ˜ u(κ, t) = f (κ)cos(cκt) + (cκ)−1 g (κ) sin(cκt) ˜ ˜ (2.60) Lấy biến đổi Hankel ngược, ta nghiệm ∞ ˜ κf (κ)cos(cκt)J0 (κr)dκ u(r, t) = (2.61) ∞ + c g (κ) sin(cκt)J0 (κr)dκ ˜ Trường hợp đặc biệt, ta xét u(r, 0) = f (r) = Aa(r2 + a2 )− , ut (r, 0) = g(r) = 0, (2.62) cho g (κ) ≡ ˜ ∞ ˜ f (κ) = Aa r(a2 + r2 ) −1 J0 (κr)dr = Aa κ e−aκ (2.63) 36 Vì vậy, cơng thức nghiệm (2.61) trở thành ∞ ∞ −ak u(r, t) = Aa e 0 = Aa Re {r2 + (a + ict)2 } 2.7 e−κ(a+ict) J0 (κr)dκ J0 (κr)cos(cκt)dk = AaRe −2 Phương trình khuếch tán mặt phẳng đối xứng trục Tìm nghiệm phương trình khuếch tán đối xứng qua đường chéo: ut = κ(urr + ur ), < r < ∞, t > 0, r (2.64) đó, κ(> 0) số khuếch tán u(r, 0) = f (r), < r < ∞ (2.65) Áp dụng (2.57) vào toán, ta d˜ u ˜ + k κ˜ = 0, u(k, 0) = f (k), u ˜ dt đó, k biến biến đổi Hanken Nghiệm hệ ˜ u(k, t) = f (k) exp(−κk t) ˜ (2.66) Lấy biến đổi Hanken ngược, ta ∞ ∞ ˜ k f (k)J0 (kr)e−κk t dk = u(r, t) = ∞ =  ∞ lJ0 (kl)f (l)dl e−κk t J0 (kr)dk k  (2.67) ∞ kJ0 (kl)J0 (kr)e−κk t dk lf (l)dl 0 Dùng bảng tiêu chuẩn tích phân nâng lên lũy thừa hàm Bessel, ta phát biểu r2 + l2 −  4κt  ∞ kJ0 (kl)J0 (kr)e−κk t dk = e 2κt  I0 rl , 2κt (2.68) 37 đó, I0 (x) hàm Bessel cải biên I0 (0) = Trường hợp đặc biệt, l = 0, J0 (0) = tích phân (2.68) trở thành ∞ r2 kJ0 (kr)e−k κt dk = e 4κt 2κt − (2.69) Tiếp theo, thay (2.68) vào (2.67), ta ∞ u(r, t) = 2κt rl 2κt lf (l)I0 (r2 + l2 ) 4κt dl e − (2.70) Bây giờ, ta giả sử f (r) biểu diễn cho nguồn nhiệt tập trung vòng tròn bán kính a cho a → cho nguồn nhiệt tập trung r = a lim 2π rf (r)dr = a→0 tương đương, δ(r) , 2π r f (r) = đó, δ(r) hàm delta Dirac Vậy, nghiệm cuối để nguồn nhiệt tập trung r = r2 + l2 −  4κt  ∞ u(r, t) = 4πκt  = e 4πκt 2.8 rl 2κt δ(l)I0 − r2 dl (2.71)  4κt e   Phương trình song điều hịa nửa khơng gian đối trục Ta giải tốn giá trị biên đối xứng qua đường chéo r < ∞, z > 0, (2.72) u(r, 0) = f (r), r < ∞, ∂u = z = 0, r < ∞, ∂z u(r, z) → r → ∞, (2.73) u(r, z) = 0, với kiện biên 38 đó, tốn tử song điều hòa đối xứng qua đường chéo là: = ( )= ∂2 ∂2 ∂ + + ∂r2 r ∂r ∂z ∂2 ∂2 ∂ + + ∂r2 r ∂r ∂z (2.74) Sử dụng biến đổi Hankel H0 { u(r, z)} = u(k, z) vào toán, ta ˜ d2 − k2 dz 2 u(k, z) = 0, z > 0, ˜ d˜ u ˜ u(k, 0) = f (k), ˜ = z = dz (2.75) (2.76) Các nghiệm bị chặn (2.75) u(k, z) = (A + zB)e−kz , ˜ (2.77) ˜ đó, A B tích phân khơng đổi xác định (2.76) với A = f (k) ˜ B = k f (k) Vậy, nghiệm (2.77) trở thành ˜ u(k, z) = (1 + kz)f (k)e−kz ˜ (2.78) Lấy biến đổi Hankel ngược, ta cơng thực nghiệm cần tìm ∞ ˜ k(1 + kz)f (k)J0 (kr)e−kz dk u(r, z) = (2.79) 39 Chương Biến đổi tích phân Mellin 3.1 3.1.1 Biến đổi Mellin thuận ngược Định nghĩa Định nghĩa 3.1 Cho f (t) hàm thực dương với t ∈ (0 ; +∞) Biến đổi Mellin M f phép toán ánh xạ hàm f vào hàm F xác định tập số phức cho công thức +∞ f (t)ts−1 dt, M [f ; s] = F (s) = s = a + ib (3.1) Hàm F (s) gọi biến đổi Mellin hàm f Công thức biến đổi Mellin ngược xác định theo công thức f (t) = 2πi a+i∞ F (s)t−p dp, t > (3.2) a−i∞ Nhìn chung, tích phân tồn s = a + ib với a1 < a < a2 , đó, i đơn vị số ảo i2 = −1, a1 a2 phụ thuộc vào f (t) Đây miền xác định biến đổi Mellin, kí hiệu S(a1 , a2 ) Trong vài trường hợp, miền mở rộng tới nửa mặt phẳng (a1 = −∞ a2 = +∞) mặt phẳng (a1 = −∞ a2 = +∞) Định lý 3.1 Nếu F (s) giải tích miền (a1 ; a2 ) thỏa mãn điều kiện |F (s)| ≤ k|s|−2 , k − const hàm f (t) cho (3.2) hàm liên tục với t ∈ (0 ; +∞) F (s) biến đổi Mellin hàm f (t) 40 3.1.2 Ví dụ Ví dụ 3.1 Xét f (t) = H(t−t0 )tz với H hàm bậc thang Heaviside, t0 > 0, z ∈ C Biến đổi Mellin f (t) +∞ tz+s−1 dt = − M [f, s] = t0 z+s z+s t0 Nếu Re(s) < −Re(z) hàm F (s) hàm chỉnh hình nửa phẳng Ví dụ 3.2 Biến đổi Mellin hàm f (t) = e−pt , p > M [f, s] = p−s Γ(s) Hàm Gamma giải tích miền Re(s) > 0, ta kết luận dải chỉnh hình nửa phẳng ví dụ Ví dụ 3.3 Xét hàm f (t) = (1 + t)−1 (3.3) Ta đổi biến (3.3) từ t thành x t+1= t dt , x= , dx = 1−x t+1 (t + 1)2 (3.4) Biến đổi Mellin (3.3) xs−1 (1 − x)−s dx, M [f, s] = (3.5) với < Re(s) < Tích phân hàm Beta B(s) Do đó, ta có kết quả: M [f, s] = B(s) = Γ(s)Γ(1 − s) = 3.2 π sin πs Một số tính chất phép biến đổi Mellin Đặt F (s) = M [f, s] biến đổi Mellin hàm f (x), x ∈ R+ , có dải chỉnh hình Sf = {s : σ1 < Re(s) < σ2 } Sau số tính chất biến đổi Mellin 1) (Scaling): M [f (rt); s] = r−s F (s), s ∈ Sf , r > (3.6) 41 Chứng minh Theo định nghĩa ta có ∞ ts−1 f (rt)dt M [f (rt); s] = Đổi biến rt = x, ta có ∞ ∞ ts−1 f (rt)dt = s r xs−1 f (x)dx = F (s) rs 2) Lũy thừa biến số: s M [f (xr ); s] = F r r (3.7) ) Nhân với hàm ln t M [(ln t)n f (t), s] = dn F (s) dsn (3.8) 4) Dịch chuyển (Shifting): M [tz f (t); s] = F (s + z) Chứng minh Theo định nghĩa, ta có ∞ M [tz f (t), s] = t(z+s)−1 f (t)dt = F (z + s) 5) Biến đổi Melin đạo hàm M[ t d dt n f (t); s] = (−1)n sn F (s) 6) Biến đổi Melin đạo hàm nhân với lũy thừa M dk k t f (t); s = (−1)k (s − k)k F (s), dtk M tk dk f (t); s = (−1)k (s)k F (s), dtk đó, k ∈ Z+ (s)k ≡ (s)(s + 1) (s + k − 1) (3.9) 42 7) Biến đổi Mellin nguyên hàm x f (t)dt, s = − F (s + 1) s M (3.10) 8) Tích chập ∞ M [f ∗ g] = M x dξ = F (s)G(s), ξ ξ f (ξ)g (3.11) ∞ M [f ◦ g] = M f (xξ)g(ξ)dξ = F (s)G(1 − s) Chứng minh Theo định nghĩa, ta có ∞ M [f ∗ g] = ∞ x s−1 ∞ dx f (ξ)g(x/ξ)dξ/ξ ∞ xs−1 g(x/ξ)dx f (ξ)dξ/ξ = ∞ = ∞ (ξη)s−1 g(η)ξdη f (ξ)dξ/ξ ∞ ∞ ξ s−1 f (ξ)dξ = (x/ξ = η) η s−1 g(η)dη = F (s)G(s) Tương tự, ta có ∞ ∞ xs−1 dx M [f ◦ g] = ∞ = f (xξ)g(ξ)dξ ∞ η s−1 ξ 1−s f (η)dξ/ξ g(ξ)dξ ∞ ∞ ξ (1−s)−1 g(ξ)dξ = (xξ = η) = G(1 − s)F (s) η s−1 f (η)dη (3.12) 43 9) Đẳng thức Parseval ∞ a+i∞ xs−1 f (x)g(x)dx = 2πi F (p)G(s − p)dp (3.13) a−i∞ Trong trường hợp riêng, s = 1, ta có cơng thức ∞ a+i∞ f (x)g(x)dx = 2πi 3.3 3.3.1 F (p)G(1 − p)dp (3.14) a−i∞ Một số toán Dirichlet vị chêm vơ hạn Bài tốn thứ Đây tốn giải phương trình Laplace chêm hai chiều vô hạn với điều kiện biên Dirichlet Ta chọn tọa độ cực có gốc đỉnh chêm cạnh xác định theo nhánh θ = ±α Hàm ẩn u(r, θ) giả sử thỏa mãn: ∆u = 0, < r < ∞, −α < θ < α, (3.15) với điều kiện biên sau i) Trên cạnh chêm, R số dương cho trước u(r, ±α) = < r < R r > R (3.16) Hay u(r, ±α) = H(R − r) (3.17) ii) u(r, θ) bị chặn r hữu hạn iii) u(r, θ) ∼ r−β , β > r → ∞ Trong tọa độ cực, nhân phương trình (3.15) với r2 , ta ∂u ∂ u +r + = r ∂r2 ∂r ∂θ 2∂ 2u (3.18) Các điều kiện u(r, θ) đảm bảo biến đổi Mellin U (s, θ) tương ứng với r tồn hàm chỉnh hình miền < Re(s) < β 44 Từ (3.18) sử dụng tính chất biến đổi Mellin, ta thu phương trình U : d2 U (s, θ) + s2 U (s, θ) = (3.19) dθ Nghiệm tổng quát phương trình U (s, θ) = A(s)ejsθ + B(s)e−jsθ (3.20) Các hàm A, B xác định theo điều kiện biên (3.17) dẫn đến điều kiện U sau: U (s, ±α) = Rs s−1 , Re(s) > (3.21) Từ đó, ta có A(s)ejsa + B(s)e−jsa = as s−1 , A(s)e−jsa + B(s)ejsa = as s−1 , suy ra, A(s) = B(s) = (3.22) Rs 2s cos(sα) Do đó, nghiệm dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) U (s, θ) = Rs cos(sθ) s cos(sθ) Hàm U chỉnh hình dải < Re(s) < 3.3.2 (3.23) π 2α Bài tốn thứ hai Tìm vị φ(r, θ) thỏa mãn phương trình Laplace r2 φrr + rφr + φθθ = (3.24) chêm vô hạn < r < ∞, −α < θ < α với điều kiện biên φ(r, α) = f (r), φ(r, −α) = g(r), r < ∞, φ(r, θ) → r → ∞, −α < θ < α (3.25) (3.26) Ta áp dụng biến đổi Mellin vị φ(r, θ) có dạng ∞ ˜ M [φ(r, θ)] = φ(p, θ) = rp−1 φ(r, θ)dr vào hệ (3.24) - (3.26), ta ˜ d2 φ ˜ + p2 φ = 0, dθ2 (3.27) 45 ˜ ˜ ˜ φ(p, α) = f (p), φ(p, −α) = g (p) ˜ (3.28) Nghiệm tổng quát hệ ˜ φ(p, θ) = A cos pθ + B sin pθ, (3.29) đó, A B hàm p α Các điều kiện biên (3.28) xác định A B thỏa mãn ˜ A cos pα + B sin pα = f (p), A cos pα − B sin pα = g (p) ˜ Từ đó, A= ˜ ˜ f (p) + g (p) ˜ f (p) − g (p) ˜ , B= cos pα sin pα Vậy, nghiệm (3.29) trở thành sin p(α + θ) sin p(α − θ) ˜ ˜ φ(p, θ) = f (p) + g (p) ˜ sin(2pα) sin(2pα) ˜ ˜ = f (p)h(p, α + θ) + g (p)h(p, α − θ), ˜ ˜ (3.30) sin pθ ˜ đó, h(p, θ) = sin(2pα) Hoặc tương đương, h(r, θ) = M −1 sin pθ sin 2pα đó, = 2α rn sin nθ , (1 + 2rn cos nθ + r2n ) (3.31) π π hay 2α = 2α n n= Áp dụng biến đổi Mellin ngược vào (3.30), ta ˜ ˜ φ(r, θ) = M −1 f (p)h(p, α + θ + M −1 g (p)h(p, α − θ) , ˜ ˜ theo tính chất tính chập, ta có ∞  rn cos nθ  φ(r, θ) = 2α ξ n−1 f (ξ)dξ ξ 2n − 2(rξ)n sin nθ + r2n ∞ + ξ 2n n + 2(rξ) sin nθ Đây công thức nghiệm toán (3.32)  ξ n−1 g(ξ)dξ + r2n  , |α| < π 2n 46 Trường hợp đặc biệt, f (r) = g(r), nghiệm (3.30) trở thành ˜ ˜ cos pθ = f (p)h(p, θ), ˜ ˜ φ(p, θ) = f (p) cos pα (3.33) đó, cos pθ ˜ h(p, θ) = = M {h(r, θ)} cos pα Áp dụng biến đổi Mellin ngược vào (3.33) kết hợp với tính chất tích chập, ta kết ∞ r dξ ,θ , ξ ξ (3.34) (1 + r2n ) cos(nθ) (1 + 2r2n cos 2nθ + r2n ) f (ξ)h φ(r, θ) = (3.35) đó, h(r, θ) = M n = 3.4 −1 cos pθ cos pα rn α = π 2α Bài toán biên Dirichlet phương trình đạo hàm riêng cấp hai hệ số biến thiên miền nửa dải Tìm nghiệm tốn giá trị biên x2 uxx + xux + uyy = 0, u(x, 0) = 0, u(x, 1) = x < ∞, < y < A, x 0, x>1 , (3.36) (3.37) đó, A số Ta áp dụng biến đổi Mellin u(x, y) theo x có dạng ∞ xp−1 u(x, y)dx, u(p, y) = ˜ rút gọn toán cho dạng uyy + p2 u = 0, < y < 1, ˜ ˜ xp−1 dx = u(p, 0) = 0, u(p, 1) = A ˜ ˜ A p 47 Nghiệm toán rút gọn u(p, y) = ˜ A sin py , < Re p < p sin p Lấy biến đổi Mellin ngược, ta c+i∞ A u(x, y) = 2πi x−p sin py dp, p sin p (3.38) c−i∞ đó, u(p, y) giải tích dải dọc < Re(p) = c < π Tích phân ˜ (3.38) có cực đơn p = nπ, n = 1, 2, 3, nằm bên chu tuyến hình bán nguyệt bên phải nửa mặt phẳng Biểu thị (3.38) lý thuyết thặng dư nghiệm (x > 1) A u(x, y) = π ∞ n=1 (−1)n x−nπ sin nπy n (3.39) 48 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tơi trình bày cách có hệ thống tổng quan phương pháp biến đổi tích phân giải phương trình đạo hàm riêng với vấn đề sau đây: Lý thuyết biến đổi tích phân Fourier, biến đổi tích phân Hankel biến đổi tích phân Mellin Đối với phép biến đổi tích phân nói trên, luận văn trình bày ứng dụng giải toán biên, toán Cauchy phương trình đạo hàm riêng phương trình điều hịa, phương trình song điều hịa, phương trình truyền nhiệt phương trình truyền sóng 49 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Trần Hữu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2009), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Tp Hồ Chí Minh [2] Dean G Duffy (2004), Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, Chapman and Hall/crc, A CRC Press Company Boca Raton London New York Washington, D.C [3] E.C Titchmararsh (2003), Introduction to the theory of Fourier Integrals, Oxford at the clarendon press [4] Paul Duchateau and Davi W Zachmann (1986), Theory and Problems of Partial Differential Equations, New York Mc Graw - Hill [5] Lokenath Debnath Dambaru Bhata (2007, Integral Transforms and their Applications, Taylor and Francis Group LLC, Boca Rata, London New York ... đổi tích phân phương pháp giải tích hữu hiệu giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi quan trọng biến đổi Fourier, biến. .. đổi Hankel, biến đổi Mellin v.v từ lâu sử dụng việc giải phương trình vi phân phương trình tích phân tuyến tính hệ số số Nhờ tính chất đặc thù phép biến đổi tích phân kể trên, phương trình đạo. .. đạo hàm riêng phương pháp biến đổi tích phân Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý thuyết biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin Trong chương 1, luận văn trình bày