Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 59 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
59
Dung lượng
1,13 MB
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=====***=====
NG
TH TH
I N
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
C
Đ
HÀ NỘI - 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=====***=====
NG
TH TH
I N
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
C
Đ
N ườ
TS NGU
HÀ NỘI - 2015
ướng dẫn khoa học
N TH
I U NGA
ỜI CẢ
ƠN
Sau
– TS N
T
N
N
N
–
,
,
05 ăm 2015
Sinh viên
Ng T
T
T
ỜI CA
ĐOAN
,
cô
,
,
Tôi
05 ăm 2015
Sinh viên
N
T
T
C
C
........................................................................................................... 1
........................................................................................... 1
..................................................................................... 1
.................................................................................... 1
............................................................................... 1
......................................................... 2
1.1. M t phẳng t
1.1.1. Tr c t
........................................................................................ 2
.............................................................................................. 2
1.1.2. H tr c t
......................................................................................... 2
1.1.3. T
c
i v i h tr c t
.................................................. 2
1.1.4. T
c
i v i h tr c t
.................................................. 2
ẳ
.......................................................... 3
................................................................ 3
..................................................................... 3
......................................................................................... 3
......................................................................................... 3
1.2.3. Nhân v
.................................................................... 3
...................................................................... 4
1.4. Các b
ẳng th c hình h c ........................................................................ 4
1.4.1. B
ẳng th
1.4.2. B
ẳng th c tam giác ............................................................................ 5
................................................................................. 5
............................................................................ 5
ẳ
................................................ 5
........................................................................ 5
................................................................................. 5
ẳ
.......................................................... 6
............................................................................. 6
.............................................................................................. 6
ẳ
ẳ
TO
.................................... 6
....................................... 6
................................................................................................. 7
ẳ
..................................... 7
........................................................................................ 7
ẳ
................................. 7
,
............................................................................................... 19
,
......................................... 19
,
........................................................................................ 22
,
........................................................................... 35
.................. 42
..................... 45
..................................................................................................... 51
............................................................................... 52
Ở ĐẦU
ọ
1.
,
,
ta
:
2.
,
,
3. Nh
.
4. P ư
,
,
,
1
IẾN THỨC CHUẨN B
CHƯƠNG 1.
ặ
1.1.
ẳ
ọ
ọ
ộ
1.1.1. Tr
ộ
a. Khái ni m tr c t
Tr c t
(còn g i là tr c, hay tr c s ) là m
nh m
m O và m
i g
ng thẳ
dài b ng 1.
i
c a tr c t
m O g i là g c t
,
.
Kí hi u: O; i
b. T
c
m trên tr c
u n m trên tr c O; i .
g i là t
u
c
u ai . S a
a
i v i tr c O; i .
m M n m trên tr c O; i
OM = m. i . S
1.1.2. H
r
g i là t
ọ
i v i tr c O; i
c
ộ
O; i và O; j vuông góc v
Ký hi u: Oxy hay O; i, j .
Hai tr c t
Khi m t phẳ
(
t phẳng t
1.1.3. Tọ
ộ ủ
i nhau g i là h tr c t
n) 1 h tr c t
.
ta s g i m t phẳng
.
e
ớ
O; i, j , n u
i v i h tr c t
r
ọ
ộ
a xi y j thì x, y
c g i là t
c a a . Kí hi u: a x, y hay a x; y .
1.1.4. Tọ
ộ ủ
Trong m t phẳng t
ể
ớ
Oxy, t
r
ọ
c
2
ộ
OM
c g i là t
c a
m M.
1.1.5. Tọ
ộ r
ể
ủ
Trong m t phẳng t
ẳ
B xB ; yB . Khi
A xA ; y A
A, B
Oxy c
M xM ; yM
AB
x A xB
x
M
2
y y A yB
M
2
1.1.6. Tọ
ộ rọ
ủ
A xA ; y A ,
ABC
Trong m t phẳng t
B xB ; yB , C xC ; yC
G xG ; yG
ABC
x A xB xC
x
G
3
y y A yB yC
G
3
r
1.2. C
1.2.1. T
e
e
u
AC
i
u
1.2.2. H
,
A
v
u
v.
v
uv
AB u
AC v
AC u v .
e
u
Ch
v
u
v
u v .
u v.
1.2.3. N
k 0
e
ớ
ộ
u0
u
3
k
,
ku ,
k 0,
u
u
u k 0
k .u.
1.3. T
ướ
ủ
e
u
v
0
u.v
u, v
u.v u . v .cos u, v .
T
u, v, w
k
i. u.v v.u
ii. u. v w u.v u.w
iii. ku v k u.v u. kv
2
2
iv. u 0 , u 0 u 0 .
ẳ
u.v = u1v1 u2v2 .
u.v
1.4. C
bấ
u u1; u2 , v v1 ; v2
(O; i , j ),
ẳ
ì
ọ
ẳ
" A B ", " A B ",
" A B ", " A B "
ẳ
ẳ
i.
ab
ii.
ab
iii.
b c suy ra a c
c0
ac bc
ab
ac bc
4
c0
iv.
1.4.1. Bấ
a b khi
ẳ
e
a
a)
ac bc
a.
a
u v uv u v
b) u . v u.v u . v
u1 , u2 ,..., un
c)
u1 u2 ... un u1 u2 .... un .
1.4.2. Bấ
V
ẳ
c tam giác
m A, B, C b t kì ta luôn có
a) AB + BC AC
ẳng th c x y ra khi và ch khi B n
nt ẳ
AC.
ẳ
AC.
b) | AC AB | BC
ẳng th c x y ra khi và ch khi C n
n
A1 , A2 ,......., An
A1 An A1 A2 A2 A3 ..... An1 An .
1.5. P ư
rì
1.5.1. P ư
ườ
rì
ủ
ườ
ẳ
ẳ
1.5.2. P ư
rì
ườ
ax by c 0 a 2 b2 0 .
r
tâm I a; b ,
x a y b
2
1.6. P ư
rì
ặ
5
2
R2
R:
1.6.1. P ư
rì
ặ
ẳ
ax by cz d 0 a 2 b2 c2 0 .
1.6.2. P ư
rì
ặ
I a; b; c ,
x a y b z c
2
2
2
R:
R2
1.7.
ộ
1.7.1.
ẳ
a
2
ộ
ườ
ẳ
ax by c 0
ẳ
Oxy
b2 0
ẳ
ể
M 0 x0 ; y0
M0
d M0 , ,
d M0 ,
ộ
1.7.2.
Trong không gian Oxyz
ax0 by0 c
2
a
ộ
ặ
a b
2
ể
2
b2 0
ẳ
M 0 x0 ; y0 ; Z0
Ax By Cz D 0 A2 B 2 C 2 0
M0
ẳ
P
d M 0 , P
d M 0 , P ,
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
6
A
2
B2 C 2 0
ẳ
P
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI
CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
,
P ư
ọ
ộ r
b
bấ
ẳ
ẳ
,
ẳ
ẳ
ẳ
2.1.1. C
ở
u 0
v 0
u kv k 0
u v uv ,
u kv k 0 .
u.v u . v ,
2.1.2. P ư
B
ọ
ộ r
b
bấ
a2 a 1 a2 a 1 2
1:
2
1 3
a a 1 a
2 2
2
2
2
1 3
a a 1 a
2 2
2
2
7
ẳ
a
.
1 3
u a ;
,
2 2
1
3
v a;
.
2
2
u v 1; 3 .
u v uv .
Suy ra
a 2 a 1 a 2 a 1 2.
1
2 1 a 0.
1
a
2
a
B
a 2 6a 4b2 9 a2 4b2 2a 12b 10 5 .
2:
ẳ
a 3 2b
2
2
1 a 3 2b
2
2
5.
u a 3; 2b , v 1 a;3 2b .
a 3 2b
uv=
2
2
1 a 3 2b
2
2
.
u v uv .
Suy ra
a 3 2b
2
2
1 a 3 2b
2
2
5.
a3
2b
1 a 3 2b
hay 3a 8b 9 0
.
B
3:
a 2 ab b2 b2 bc c 2 c 2 ca a 2 3 a b c .
8
2
b 3
a ab b a
b
2 2
2
2
2
2
c 3
2
2
b bc c b
c
2 2
2
a 3
c ca a c
a
2 2
2
2
2
2
b 3
u a ;
b ,
2
2
c 3
v b ;
c , w c a ; 3 a .
2 2
2 2
3
3
u v w a b c ,
a b c .
2
2
u v w u v w suy ra
a 2 ab b2 b2 bc c 2 c 2 ca a 2 3 a b c
B
a, b
4:
4cos2 a cos2 b sin 2 a b 4sin 2 a sin 2 b sin 2 a b 2
ẳ
2cos a cos b
2
sin 2 a b
2sin a sin b
2
sin 2 a b 2 .
u 2cos a cos b;sin a b , v 2sin a sin b;sin a b .
Khi
uv
2
2
2cos a cos b sin 2 a b 2sin a sin b sin 2 a b u v 2 .
u v uv
9
Suy ra
2
2
2cos a cos b sin 2 a b 2sin a sin b sin 2 a b 2
cos a cos b sin x y
sin a sin b sin x y
Hay cot x.cot y 1 .
B 5: Cho a1 , a2 ,...., an
b1 , b2 ,...., bn
2n
a12 b12 a22 b22 ... an 2 bn 2 a1 a2 ... an 2 b1 b2 ... bn 2
t M1 a1; b1 , M 2 a1 a2 ; b1 b2 , M n a1 a2 ... an ;b1 b2 ... bn .
OM1 a1; b1
M1M 2 a2 ; b2
………
M n1M n an ; bn
OM 1 + M1M 2 + … + M n1M n = OM n
Suy ra OM n a1 a2 ... an ; b1 b2 ... bn .
OM n OM1 M1M 2 ... M n1M n OM1 M1M 2 ... M n1M n
a1 a2 ... an b1 b2 ... bn
2
2
a12 b12 a2 2 b2 2 ... an 2 bn 2
hi: OM1 , M1M 2 ,..., M n1M n
Hay
a
a1 a2
... n
b1 b2
bn
10
i ch ng minh.
B
6: Cho a, b, c 0
ab bc ca abc.
g
b 2 2a 2
c 2 2b2
a 2 2c 2
3.
ab
bc
ca
ẳ
1 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 3
2
a b
b c
c a
1 2
u ;
,
a b
1 2
1 2
v ;
, w ;
c a
b c
1 1 1
1 1 1
u v w ; 2 1; 2 (
a b c
a b c
u v w u v w suy ra
1 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2 3
2
a b
b c
c a
B
ac
7: Cho a, b, c 0,
b c.
c a c c b c ab .
:
u
a c; c , v
c; b c .
u.v c a c c b c
u.v u . v
Suy ra
c a c c b c ab .
11
1 1 1
1)
a b c
ac
c
(do c 0, a c 0, b c 0)
c
bc
B
a c b c c2
ab c a b
1 1 1
.
a b c
a 2 ab b 2 3
2
2
b bc c 16
8:
ab bc ca 8.
a 3 3
c
u b ;
a , v
c
;
b
.
2
2
2
2
2
a 3 2
u b b a 2 ab b 2 3
2 4
2
3 2
c
c b b 2 bc c 2 4
v
4
2
u.v
T
3
ab bc ca
2
u.v 4 3
u.v u . v
Suy ra ab bc ca 8
B
a, b, c
9:
abc a b c a 4 b4 c 4
ẳ
(*)
a2bc ab2c abc2
(*)
u ab; bc; ca , v ca; ab; bc
12
u a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2
v c 2 a 2 a 2b 2 b 2 c 2
u.v a 2bc ab2c abc 2
u.v u . v
abc a b c a 2b2 b2c 2 c 2 a 2
(1)
x a 2 ; b2 ; c 2 ; y b2 ; c 2 ; a 2
x a 4 b4 c 4
y b4 c 4 a 4
x. y x . y a2b2 b2c2 c2 a2 a4 b4 c4
( )
(2)
abc a b c a 4 b4 c4
( )
a 2 kb 2
2
2
b kc a b c.
c 2 ka 2
.
B
10:
Cho
abc 2;
ax by cz 6.
16a 2 a 2 x2 16b2 b2 y 2 16c 2 c 2 z 2 10
Tro
ẳ
Oxy
A 4a; ax , B 4b; by , C 4c; cz
OA OB OC 4a 4b 4c; ax by cz 8;6
OA OB OC 10.
13
OA OB OC OA OB OC
10 16a a x 16b b y 16c c z
2
2
2
2
2
2
2
2 2
OA, OB, OC
i. Trong 3 vec
OA, OB, OC
0
4a 0
OA 0
ax 0
OC OB OB OC OC kOB k 0
4c 4kb
c kb
c kb
4cz 4kby
cz kby
z y
abc 2 bc 2
b0
c0
k
c kb
k 0 b, c
b c 2
b, c 0
2
1.
b
y z
by cz 6. Do
y z 3
b c 2
a 0
b c 2
y z 3
ii.
0
OA, OB, OC
a b 0
c 2
OA OB 0
ax by cz 6 z 3
14
a b 0
c 2
z 3
OA, OB, OC
iii.
OA kOB
OB mOC
B
0.
a kb
x y z 3
a kby
m, k 0 b mc a b c 2
a, b, c 0
by mcz
11: Cho a, b, c
a 2 ab c 2 a 2 ac c 2 b2 bc c 2
b 3
3
3
b c
c
b , C ;0 .
A a ;
b , B 0;
2
2 2
2 2
2
b
3
BA a ;
c
2
2
c
3
AC a;
b
2
2
b c
3
3
BC ;
c
b
2
2
2
2
BA AC BA AC BC
2
2
2
b 3
2
c
3
b c 3
a b2 a c 2 c b
2 4
2
4
2 2 4
a 2 ab b2 a 2 ac c 2 b2 bc c 2
15
BA , AC
Hay BA
b
c
a 2 k 2 a
3
3
c
k AC k 0 b k
2
2
k 0
b kc
2a b b c
a
ab bc cz 0.
2 2
2
k 0
B
a, b, c
12: Cho b
a b
1 a 2 . 1 b2
ẳ
bc
1 b2 . 1 c 2
a c
(I)
1 a2 . 1 c2
()
a b . 1 c 2 b c . 1 a 2 a c . 1 b2
1 c b c 1 a a c ab bc
a b
a b ac bc
2
2
2
2
2
2
2
b c ba ca
2
2
2
a c ab bc
2
A a; bc , B b; ac , C c; ab .
AB BC AC.
AC AB BC
AB b a; ac bc , BC c b; ab ac
AB , BC
16
2
b a k c b
ac bc k ab ac
Hay AB = k BC k 0
ck b c ka b c
c a
k c a b c 0
(
b c
).
u
B
ma nb c
a, b, c, m, n
13:
m 2 n 1
2
a 2 b2 0
T
2
a 2 b2
ẳ
Oxy
2a b c
2
ma nb c
I 2; 1 .
ax by c 0 ( a 2 b2 0 )
M m; n
ẳ
ma nb c (
I 2; 1
ẳ
d I , =
2a b 1 c
a 2 b2
I
H
IM d I , nên m 2 n 1
2
2
2a b c
M H.
17
a 2 b2
2
)
B
2
2
a b a
2
2
c d 0
14: Cho a, b, c, d
a c b d
2
2
1
2
2 2.
(II)
M a; b , N c; d
2
2
1
1
1
a b
2
2
2
1
1 1
I ;
2 2
M
2
1 1
K ;
2 2
N
M*
IK
a c b d
2
2
1
1 1
c d
2
2
2
2
2
2
R
2
R
N * suy ra MN M * N *
2 2
y
M*
1
-1
1
O
N*
x
-1
M M*
18
N N*
2
2
M * x* ; y* . Do M *
()
2
M * I ;
2
( ) nên x* y* .
2
* 1 1
x x* 1
2 4
M M * 1;1 hay a b 1
N N * 1; 1 hay c d 1 .
P ư
ấ
ộ r
b
r
ấ
ì
r ớ
ấ
r
ủ
2.2.1. G
r ớ
ấ
ủ
a)
y f x x
y f x trên D
M
M x D
D.
x D sao cho f x M .
M = max f x .
y f x trên D
m
f x m x D
x D sao cho f x m .
m min f x .
,
b.
y f x
D , x0 D
y f x
V x0 sao cho
x0
f x f x0 , x D V x0 .
f x, y
x0 ; y0
f x
D
V x0 ; y0 sao cho
19
f x, y f x0 , y0 , x; y D V x0 ; y0 .
f x
x0 D
m min f x .
f x0 m ,
xD
f x
x0 D
M max f x .
f x0 M ,
xD
(
)
(
)
D
c)
.(
)
x0 a; b
f x
i.
f x
ii.
f x
x0
x0
a; b
f x
a; b (
i.
ii.
x
x
f x0 0
x0
x0 )
x0
x0
f ' x0
f x
f ' x0
f x
20
f ' x0
x0
x
iii.
f x
x0 .
f x
x0
i. Khi f ' x0 0 ; f " x0 0
f x
x0
ii. Khi f ' x0 0 ; f " x0 0
f x
x0
,
d)
Đ
a; b
f x
.
,
n
Đ
f x
.
D
max f x min f x .
xD
xD
Đ
f x , g x
4.
D
f x g x , x D
max f x max g x
xD
xD
Đ
.(
)
f x
D
D
D D1 D2 ... Dn .
max f x , min f x , i 1, n .
xDi
xDi
max f x = max max f x , max f x ,..., max f x
xD
xD1
xD2
21
xDn
min f x = min min f x , min f x ,..., min f x
xD
xD1
xD2
xDn
,
,
2.2.2. S
r
ư
ấ
ọ
ộ
b
ì
r ớ
ấ
ủ
a)
A xA ; y A , B xB ; yB , M u x ; v x
A, B, M
Cho
u x, v x
y f x
y AM BM .
AM BM AB .
min f x AB
A, B, M
a a1; a2
ẳ
b b1 ; b2
a.b a . b
a1b2 a2b1 0
a1b2 a2b1 0
a1b1 0
a b 0
2 2
ab a b
,
Nh
,
b)
b1. P ư
ấ
ủ
ọ
ộ r
b
ì
b
22
r ớ
ấ
r
B i1
y f x x 2 4 x 13 x 2 2 x 5
D .
y
2 x
2
9
x 1
2
4.
u 2 x;3 , v x 1; 2
u v uv =
y u v
34.
2 x 3
1
x
x 1 2
5
min f x 34 ,
B
2
y f x x 2 2 x 5 x 2 4 x 40
y
A 1; 2 , B 2;6
x 1
2
4
x 2
2
36
M x;0 ,
y AM BM
AM BM AB 5 .
min f x 5 ,
Hay
A, B, M
x 1 2
5
x .
3
4
2
B
y f x x 2 x 1 x 2 3x 1 .
D
23
ẳ
2
2
2
2
3 1
1
3
y f x x
x
2
2
2
2
1
3
3 1
a x;
; .
, b x
2
2
2
2
y f x a b
a b ab
Suy ra y f x 2
min f x 2 ,
1
x
2
3 x 3 1.
3
x
2
B
4:
y x 1 5 5x 2 14 x 13.
D
y 5 x 1
2
x 3 2 x 2
2
2
x 1 2 x 2
2
2
1; 2 , B 3, 2 , M x; 2 x .
2
2
2
2
x 1 2 x 2 , BM = x 3 2 x 2
AM =
Suy ra y AM + BM AB 4 2
min f x 4 2 ,
x 1 2x 2
x 1
4
4
B
5:
y 4 1 cos x 4 2 cos x
2
,
2
24
,
ẳ
D .
a 2;1 cos x , b 2; 2 cos x . Khi
y ab
a b ab 5
min f x 5 ,
2
x
k 2
3
2 1 cos x
1
k
cos x
2
2 2 cos x
2
x
k 2
3
B
6
y f x cos2 x 6cos x 13 cos2 x 2cos x 2 .
D .
y
3 cos x
2
4
cos x 1
2
1
u 3 cos x; 2 , v 1 cos x;1 .
y u v.
u v u v 5.
min f x 5 ,
1
x arccos 3 k 2
3 cos x
1
k
2 cos x
x arccos 1 k 2
1 cos x
3
3
B
7:
y f x x 1 2 3 x.
25
1 x 3
u
x 1; 3 x , v 1; 2 . Khi
y u.v ; u . v 10.
u.v u . v 10
max f x 10 ,
2 x 1 3 x x
B
7
5
8:
y f x x 2 2 px 2 p 2 x 2 2qx 2 p 2
p q.
p, q
p q 0
ẳ
f x
A x p; p , B x q; q
Oxy
x p
2
x q
p
2
2
q OA OB ( O
2
OA OB AB .
AB
p q p q
2
f x
min f x
2
(
)
p q p q
2
2
2
p q p q ,
2
p q q p
x p p
x
qx q
pq
p q 0 pq0
26
)
f x 2 x
Hay ymin 0 ,
x0
ymin p q 2 p q
p, q
B
2
,
:
y f x x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 trên ;1
2
1
y f x
ẳ
x 1
2
2
1
N 2; 2 , M 1;1 x
Oxy
1
Khi x 1
2
x 1
1
0 1 x
3
.
2
ẳ
M
3
M 0 1;0 ; M 1 1;
2
M 0 M1
OM 1 x 1 , MN
2
x 1
2
1
y f x OM MN
OM MN MN 2
min f x ,
O, M , N
1
2 ;1
Hay
ẳ
1
1 x 1
x 0 ;1
2
2
2
max f x max OM ON max OM 0 M 0 N ; OM1 M1 N 1 5
1
2 ;1
1
x 1 ;1
2
27
max f x f 1 1 5
1
;1
2
min f x f 0 2 .
1
2 ;1
B
y f x a2 x2 a2 c x
2
D .
u a; x , v a; c x .
nh y u v .
u v uv =
4a 2 c 2
x
c
1 x
cx
2
min f x 4a 2 c 2 ,
y f x x 1
B
x
2
x 0
x
0 x 2.
1 0
2
y f x x
u
x ; 2 x , v 1;
2 x
2
4
2
y u.v.
u.v u . v 3 2.
max f x 3 2,
hay
B
x
u ,v
2
2 x. 2
x
9
4
,
28
y f x a sin x b cos x , x 0; 2
a, b
u cos x;sin x , v a; b .
y u.v.
u . v a 2 b2 .
u . v u.v u . v
max f x a 2 b2 ,
u ,v
min f x a 2 b2 ,
b2. P ư
ấ
B
ủ
u ,v
ọ
nhi
ộ r
b
b
ì
.
r ớ
ấ
.
1:
f x, y x 2 y 2 2 x 4 y 5 x 2 y 2 6 x 4 y 13
f x, y
x 1 y 2
2
2
3 x 2 y
2
f x, y a b
a x 1; y 2 , b 3 x; 2 y .
a b ab 4
min f x; y 4,
x 1 2 y y 2 3 x
x 1 3 x 0
y 2 2 y 0
1 x 3
Hay
y 2
B
2
:
29
r
f x, y cos4 x cos 4 y sin 2 x sin 2 y.
a cos2 x;cos2 y , b sin 2 x;0 , b 0;sin 2 y .
f x, y a b c .
a b c a b c 2.
min f x, y 2,
a, b, c c
y k
sin x sin y 0
y l
B
k, l .
: Cho x y z 1,
f x, y, z x 2 y 2 z 2
a x; y; z , b z; x; y
f x, y, z a . b
a . b a.b x2 y 2 z 2 xy yz zx
2 x y z
2
2
2
2 xy 2 yz 2 zx
3 x2 y 2 z 2 x y y
2
2
2
x y z 1 nên x y z
2
1
3
1
x y z
x y z (do x y z 1 )
3
z x y
1
min f x, y, z ,
3
B
:
x yz
1
3
f x, y y 2 x 5
,
30
x
36 x2 16 y 2 9.
y
1
1
f x, y 5 4 y. 6 x.
4
3
1 1
a 4 y;6 x , b ;
4 3
a.b a . b
2
y 2x
2
2
2
1 1
y 2 x 16 y 2 36 x 2
9 16
25
5
5
y 2x
16
4
4
25
f x, y 4
Suy ra
f x, y 15
4
6
x 15
36
2
y 9
16 y 2 36 x 2 9
x
20
225
4
3
x 6
y x
y 9 x
2
3
8
15
y 9
20
min f x, y
max f x, y
B
:
15
,
4
x
25
,
4
x
6
9
,y
15
20
6
9
,y
15
20
xy yz zx 4
x, y, z
f x, y, z x 4 y 4 z 4
31
a x 2 ; y 2 ; z 2 , b 1;1;1
u.v x2 y 2 z 2
u . v u.v
2
2
3 x y z
ẳ
The
4
4
4
x
2
y2 z2
-si ta c
x 2 y 2 2 xy
2
2
2
x y z xy yz zx
y 2 z 2 2 yz
z 2 x2 2 zx
xy yz zx 4
3 x 4 y 4 z 4 16 x 4 y 4 z 4
16
3
Suy ra min f x, y, z 16 ,
x yz
2 3
3
B
,
D x; y : x 2 y 2 16 8x 6 y
f x, y 4 x 3 y.
x; y D
x 4 y 3
2
9
I 4;3 ,
D
Khi x; y D
2
R3
x2 y 2
f x, y 4 x 3 y
8
2
Hay f x, y
x2 y 2
f x, y
x2 y 2
M x; y D
32
OM 2 x2 y 2
M2
y
I
3
M1
x
O
4
min OM OM1
max OM OM 2
M1 , M 2
I .
OI
ẳ
OI
3x 4 y 0
2
2
x y 8 x 6 y 16 0
OI
3x 4 y 0
I
4
x
y
3
2
16 y y 2 32 y 6 y 16 0
9
3
32
x1
5
y 24
1
5
8
x2
5
y2 6
5
33
2
OM OM
2
2
1
2
OM OM 2
2
2
2
6
8
4
5
5
2
32
24
64
5
5
6 8
min f x, y f , 10
5 5
25 32
max f x, y f , 40
5 5
B
f x, y, z, t 5 x 2 y 5 z 2t 5 xz yt
D x; y; z; t : x 2 y 2 z 2 t 2 5.
f x, y , z , t
x 1 y 2
2
2
2
2
M x; y N x; y D
z 1 t 2
2
2
x z y z
2
M,N
R 5
P 1; 2
MP
x 1 y 2
NP
z 1 t 2
MN
x z y t
2
2
f x, y, z, t
2
2
2
2
1
MN NP MP x; y; z; t D .
2
34
2
2
O 0;0 ,
O; 5
Do MNP
MNP
MN NP MP
5
a 3. 5 15 (
Nên MNP
f x, y, z, t
1
3
.3 15
30
2
2
Hay max f x, y, z, t
P ư
ư
ọ
rì
)
x; y; z; t D
3
30
2
ộ r
b
ư
ư
rì
bấ
rì
,
,
cho ta
,
.
2.3
a)
u.v u . v
u v uv
u, v
u, v
0
u v u v
u, v
v
b)
B
1
x 3x 2 4 x 2( x 2 1)( x 3)
(1)
35
0
2
x ; 4 .
3
u x;1 , v
3x 2; 4 x
u.v u . v
( )
u.v u . v
u, v
k 0 sao cho u kv
Hay
( )
x
k 0
x k 3x 2
x 2
x 0
x 4 x 3x 2 3
2
1 k 4 x
x 4 x 3x 2 0
x 1 2
S = 2;1 2 .
B
x 1 x 3 2 x 3 2 x 1 (2)
2
2:
x 1
u
x 1; x 3 , v 1;1
( )
u.v u . v
u.v u . v
u, v
k 0 sao cho u kv .
( )
x l
x 1 k
x 3 k
k 0
x 3
x 1 x 3 2
x5
x 7 x 10 0
x 5.
B
3 x
x 1 5 2 x 40 34 x 10 x 2 x3 (3)
36
x 1 0
x 1
5 2 x 0
5
x
40 34 x 10 x 2 x3 0
2
u 3 x;1 , v
x 1; 5 2 x
u.v u . v
( )
u.v u . v
u, v
k 0 sao cho v ku
k 0
( )
x
x 1 k 3 x
x 1
5 2x
3
x
5 2 x k
3
2
2 x 17 x 49 x 46 0 x 2
x 2.
x 2 4 x x2 6 x 11 x2 6 x 11
B
x 2
x 2 0
x 4
4 x 0
x2 4 x
VP = x2 6 x 11
VP = x 3 2 2 x 2; 4
2
u 1;1 , v
x 2; 4 x
u.v
u.v u . v 2 nên VT 2
()
(I)
(II)
( )
37
x 2 4 x
2
x 3 2 2
x3
x 3.
B
5:
x 2 4 y 2 6 x 9 x 2 4 y 2 2 x 12 y 10 5 (5)
D
x 3 2 y
2
2
.
1 x 3 2 y
2
2
5
(5’)
u x 3; 2 y , v 1 x;3 2 y .
( ’)
u v uv .
u v uv
u, v
0.
x; y
(5)
x 3 k 1 x
2y
x3
0
2 y k 3 2 y 1 x 3 2 y
1 x 3 2 y 0
1 x 3 2 y 0
38
k 0
3 x 1
3 x 1
x x0
1 4 1 3
3x 8 y 9 0
1 x
3 2y
1
x 1
y 3 x0 9
8
x 1
3
3 x0 1
3
y 2
y
2
1
= x0 ; 3x0 9 : 3 x0 1 .
8
B
6:
x2 2 x 2 x2 2 x 2 2 2
(6)
D .
x 1
2
1
x 1
u x 1;1 , v 1 x;1
u v uv
2
1 2 2
(6’)
( ’)
u v uv .
u, v
(
0)
k 0
( )
x l
x 1 k 1 x
x0
1 k
x 0.
B
x2 2 x 5 x 2 6 x 10 5
7:
(7)
i:
D .
x 1
2
4
u x 1; 2 , v x 3;1 .
39
x 3
2
1 5
(7’)
u v u v
nh (7’)
u v u v
(
u, v
0 ).
k 0
( ’)
x l
x 1 2k
x5
x 3 k
x 5.
B
x2 4 x 13 x2 2 x 5 10
8:
(8)
D .
x 2
2
9
x 1
2
4 10 (8’)
u x 2;3 , v x 1; 2 .
u v u v
( ’)
u v u v
u, v
(
0 ).
x 1 k x 2
2 3k
k 0
( ’)
x l
D
x 7 .
x 7 .
B
9:
x2 2 x 5 x 2 2 x 10 29
40
(9)
D .
1 x
2
4
x 1
2
9 29
(9’)
u 1 x; 2 , v x 1;3 .
u v uv .
(9’)
uv u v
u, v
0
1 x k x 1
2 3k
x
1
5
x
B
k 0
(9’)
x
1
5
10:
x 3 4 x 1 x 24 6 x 1 17
D
2
x 1
u 2
.
x 1 3 16
x 1;0 , v x 1 3; 4
2
(10)
2
17
(10’)
(
u v uv
uv u v
u, v
0.
v
x l
(10’)
41
u 0.
’)
2 x 1 0 x 5
x5
V
uv u v
2.3.2. P ư
ọ
ộ r
b
bấ
,
ư
rì
c
ẳ
mc
.
a)
u.v u . v u, v
u v u v u, v
)
B
1:
x 1 x 3 2 x 2 10 x 16
(1)
x 1.
x 1 x 3 2 x 3 2 x 2 ( ’)
2
u
x 1; x 3 , b 1;1
u.v u . v
( ’)
u.v u . v
u, v
( ’)
x
42
k 0
x 1 k
x 3 k
x 1 x 3
x 3
2
x 1 x 6x 9
x5
x 5.
B
2:
x2 8x 816 x2 10 x 267 2003
(2)
4 x
( ’)
2
800
x 5
2
242 2003
u 4 x; 20 2 , v x 5;11 2 .
uv u v .
( ’)
uv u v (
u , v ).
x .
a x a x 2
B
x 0
a x 0
a x 0
(3)
x 0
x 0
a x
a x
a
x
a 0.
u a x
v a x
( )
u 2 a
2
v a
x
x
u v 2a
u v 2
2 2
u v 2a (*)
u, v 0
43
2
2
u, v 0 .
M u; v
(*)
O 0;0 ,
R 2a
v
2a
2
O
2
u
2a
2a 2 a 2
2a d O, 2 0 a 1
0 u 2a 0 a x 2a
0 a x 2a
0 xa
d O, 2a 2
0 u u1
u2 u 2a
(
u 2 2 u 2a )
2
u1 , u2
u1 1 a 1
u2 1 a 1
0 a x 1 a 1
1 a 1 a x 2a
44
0 a x a 2 a 1
a 2 a 1 a x 2a
0 x 2 a 1
2 a 1 x a
4 a 1 x a 2 .
2.3.3 P ư
ộ r
ọ
b
ư
rì
)
ẳ ,
ẳ
ẳ ,
trong không gian
b)
B
1:
x2 y 2 z 2 1
2 x y 2 z 3 0
1
2
1
Oxyz ,
S
tâm O 0;0;0
ẳ
P.
d O; P 1 R nên
ẳ
P
S
P
ẳ
2
R 1
O 0;0;0
45
S .
ẳ
x 2t
P : y t
z 2t
t .
2 x y 2 z 3 0
x 2t
y t
z 2t
2
x 3
1
y 3
2
z 3
x; y; z
2 1 2
; ; .
3
3 3
B
2:
2007 x 2008 2008 y 2009 2009 z 2010 2008
2
2
2
x y z 2x 4 y 6z 7 0
2 x y 4 z 5 0
1
2
3
nh 2
Oxyz ,
S
tâm I 1; 2; 3
3
P .
ẳ
d O; P 21 R
ẳ
P
S
P
ẳ
ẳ
x 1 2t
P : y 2 t
z 3 4t
R 21
I 1; 2; 3
t
46
S .
2
3
2 x y 4 z 5 0
x 1
x 1 2t
y 1
y
2
t
z 1
z 3 4t
x; y; z 1; 1;1
1
x; y; z 1; 1;1 .
B
x2 y 2 z 2 6x 2 y 2z 2 0
x 2 y 2z m 0
x 32 y 12 z 12 9
x 2 y 2 z m 0
1
Oxyz ,
S tâm I 3; 1;1
2
ẳ
Hay d I , P R
3 2. 1 2.1 m
12 22 22
3 m 9
3 m 9
3 m 9
m 6
m 12
47
R3
P
P
,
1
2
S
3
m6
m 12
B
x2 y 2 y x z
2
x x y 2 yz
3x 2 8 y 2 8 xy 8 yz 2 x 4 z 2
(I)
x x y y y z 0
x x 1 y 2 z 1 0
2
2
2
2
4 x y 4 y z x 1 2 z 1
(II)
u x; y , v x y; y z , w x 1;2 z 1
( )
u.v 0
u.w 0
2
2
4. v w
u 0
2
2
4. v w
u kv
2
2
4.
v
w
u0
u 0
x y 0
2
2
2
2
2
2
4 x y 4 y z x 1 2 z 1
4. v w
x y 0
x y 0
x y 0
1
2
2
2
2
4 z 1 2 z 1
z 2
4 z 1 2 z 1
u0 t
w 2v
48
x 0
x 1 2 x y
x 2 y 1
y 1
2 z 1 2 y z
2
y
1
2
3 x 2 y 1
Hay x 1 2 x y
y
2 z 1 2 y z
2
y
4
z
1
3 x 4 z 0
B
x y z 9
1 1 1
1 (5)
x y z
xy z zx 27
x0 ; y0 ; z0
x y z 9
xy z zx 27
1 1 1
1
x y z
( )(
)
i
ii
iii
u x0 ; y0 ; z0 , v y0 ; z0 ; x0
u.v x0 y0 y0 z0 z0 x0 27 iv
Theo ii
Theo i , ii
u . v x02 y02 z02 x0 y0 z0 2 x0 y0 y0 z0 z0 x0 27 v
2
iv
v suy ra u.v u . v
u 0, v 0 ( do x0 , y0 , z0 0 ) nên u , v
u kv k 0
49
x0 ky0
y kz
0
0
z kx
0
0
k 0
(
)
3;3;3 .
( )
x 3
y 3
z 3
B
4
4
4
x y z 1
2
(6)
2
2
x y 2z 7
x0 ; y0 ; z0
( )(
)
u x0 2 ; y0 2 ; z0 2 , u 1;1; 2 .
u x0 2 y0 2 z0 2 1 , v 6
2
2
2
u.v x0 y0 2 z0 7.
u.v u . v
7 6 (
).
50
ẾT UẬN
,
,
,
trong khoa
,
-
51
TÀI IỆU THA
1.
HẢO
(2014),
”,
,
2.
,
(2011),
ec ”, NXB
(
3.
),
,
,
,
,
c
,
4.
,
(2013),
c, Nxb GD.
c
ec
”, NXB GD,
5.
),
(T
,
,
(
(
6.
,
(
),
c 12
),
(
),
),
”, NXB GD.
(
c 10
52
”, NXB GD.
),
[...]... y0 M0 d M0 , , d M0 , ộ 1.7.2 Trong không gian Oxyz ax0 by0 c 2 a ộ ặ a b 2 ể 2 b2 0 ẳ M 0 x0 ; y0 ; Z0 Ax By Cz D 0 A2 B 2 C 2 0 M0 ẳ P d M 0 , P d M 0 , P , Ax0 By0 Cz0 D A2 B 2 C 2 6 A 2 B2 C 2 0 ẳ P CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ , P ư ọ ộ r b bấ ẳ ẳ , ẳ ẳ ẳ 2.1.1 C ở u ... 4b; by , C 4c; cz OA OB OC 4a 4b 4c; ax by cz 8;6 OA OB OC 10 13 OA OB OC OA OB OC 10 16a a x 16b b y 16c c z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OA, OB, OC i Trong 3 vec OA, OB, OC 0 4a 0 OA 0 ax 0 OC OB OB OC OC kOB k 0 4c 4kb c kb c kb 4cz 4kby cz kby z y abc 2 bc 2 b0 c0 k c kb k ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN =====***===== NG TH TH I N PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC C Đ N ườ TS NGU HÀ NỘI... P , Ax0 By0 Cz0 D A2 B C A B2 C 0 ẳ P CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ , P ọ ộ r b bấ ẳ ẳ , ẳ ẳ ẳ 2.1.1 C u v u kv k u... c a a Kí hi u: a x, y hay a x; y 1.1.4 Tọ ộ ủ Trong m t phẳng t ể Oxy, t r ọ c ộ OM c g i t c a m M 1.1.5 Tọ ộ r ể ủ Trong m t phẳng t ẳ B xB ; yB Khi A xA ; y A A, B Oxy