Ứng dụng của tích phân trong các bài toán thực tế và toán sơ cấp

543.3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong bài toán cực trị 593.4 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức... Trong định nghĩa của tích phân xác định đã sử dụng chi

& %

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

————————o0o————————

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

& %

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

————————o0o————————

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC

BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN

Hà Nội – Năm 2016

-Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thâncòn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rấtmong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạnđọc.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫntận tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Quốc Tuấn

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài này tôi đã tham khảo một số tàiliệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định đề tài “Ứng dụng của tích phân trong các bàitoán thực tế và toán sơ cấp” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và

nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với khóa luận trước đó

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

Lời mở đầu 1

1.1 Định nghĩa tích phân 3

1.2 Các tính chất và định lý của tích phân 4

1.2.1 Các tính chất cơ bản 4

1.2.2 Các định lý tích phân 6

1.3 Tích phân xác định và nguyên hàm 8

1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên 8

1.3.2 Nguyên hàm 8

1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân 9

1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz 9

1.4.2 Đổi biến trong tích phân 9

1.4.3 Công thức tích phân từng phần 10

2 Ứng dụng của tích phân trong bài toán thực tế 11 2.1 Ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích, độ dài 11 2.1.1 Tính diện tích hình phẳng 11

2.1.2 Tính thể tích vật thể 17

2.1.3 Tính độ dài đường cong phẳng 22

2.1.4 Tính diện tích của vật thể tròn xoay 272.2 Ứng dụng của tích phân trong vật lý 332.2.1 Moment và trọng tâm 332.2.2 Ứng dụng tích phân trong các bài tập điện 382.2.3 Bài toán tính Công 442.2.4 Bài toán Lực-Áp suất 472.2.5 Bài toán Phân hủy-Phóng xạ 49

3.1 Ứng dụng của tích phân trong bài toán chứng minh đẳng

thức 523.2 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh sự tồn

tại nghiệm 543.3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong bài toán cực trị 593.4 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh bất

đẳng thức 613.5 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính giới hạn của dãy 65

và hình nón Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời

ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạngthập phân Tích phân đã chính thức được khám phá bởi Isaac Newton(1642–1727) và Leibniz (1646–1716) với ý tưởng chủ đạo là tích phân và

vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau Sử dụng mối liên hệ hìnhthức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bàitoán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học

Trong định nghĩa của tích phân xác định đã sử dụng chia nhỏ hìnhphẳng để tính diện tích của một hình phẳng đó cũng như chia nhỏ vậtthể để tính khối lượng của một vật thể đó khi biết hàm mật độ khối Vìthế, tích phân xác định từ nội tại đã có những ứng dụng trong thực tế.Một số ứng dụng tích phân trong thực tế đã được nghiên cứu nhưtính diện tích, tính thể tích, độ dài đường cong, tính monent, tìm trọngtâm, tính cường độ điện trường, điện trở, từ trường, công, lực áp suất

Những ứng dụng trong hình học đã được đề cập khá nhiều trong cácsách giáo khoa, sách chuyên khảo nâng cao, cũng như trong các đề thivào Đại học nhiều năm Nhưng việc sử dụng Toán học có hiệu quả trongviệc giải các bài toán của Vật lý là việc rất khó đối với học sinh phổthông, kể cả các học sinh khá, giỏi.

Ứng dụng tính phân trong toán sơ cấp như chứng minh đẳng thức,chứng minh sự tồn tại nghiệm, tìm cực trị, chứng minh bất đẳng thức,tính giới hạn của dãy đã được đề cập khá nhiều trong các sách giáo khoa,sách chuyên khảo nâng cao, cũng như trong các đề thi vào Đại học và

đề thi Olympic nhiều năm

Khóa luận này gồm mở đầu; ba chương nội dung; kết luận và tài liệutham khảo

Chương 1: trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Kiếnthức của chương này dựa trên các tài liệu [2], [7] và một số tài liệu khác.Chương 2: trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hìnhhọc và Vật lý

Chương 3: trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong toán sơcấp

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016

Tác giả khóa luận

NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

a = x0 < x1 < < xn = b (1.1)

Đặt ∆xi = xi− xi−1 (i = 1, 2, , n) và kí hiệu d = max

1≤i≤n∆xi gọi là đườngkính của phép phân hoạch Π Trên mỗi đoạn [xi−1, xi] chọn một điểmtùy ý ξi (i = 1, 2, , n) Khi đó, tổng

được gọi là tổng tích phân của hàm f trên [a, b] ứng với phép phân hoạch

Π và cách chọn các điểm ξi Nếu khi d → 0 mà tổng (1.2) tiến về mộtgiới hạn hữu hạn I không phụ thuộc vào phép phân hoạch Π và cáchchọn điểm ξi trên [xi−1, xi] thì ta nói hàm f khả tích trên đoạn [a, b] vàgiới hạn đó được gọi là tích phân của hàm số f lấy trên đoạn [a, b], kíhiệu là

Z b

a

f (x)dx, hay

Z b a

f (x)dx =

Z b a

f (y)dy =

Z b a

Trong phần này, ký hiệu [a, b] là khoảng mà a < b.

iv Nếu f (x) ≥ 0 trên khoảng [a, b] (a < b), f 6≡ 0 thì

Z x 2

x 1

f (x) dx = 0 thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong (x1, x2).Định lý 1.3 (xem [5]) Cho hai số thực a, b trái dấu (a < 0 < b) và f làmột hàm số liên tục, không đổi dấu (có thể bằng 0 tại một số hữu hạnđiểm) trên [a, b] Khi đó, trong [a, b] phương trình F (x) =

Z x 0

f (t)dt = 0

có nghiệm duy nhất x = 0

Định lý 1.4 (xem [5]) Cho ba số thực a, b, c (a ≤ c ≤ b, a < b) và f làmột hàm số liên tục, không đổi dấu (có thể bằng 0 tại một số hữu hạnđiểm) trên [a, b] Khi đó, trong đoạn [a, b] phương trình

F (x) =

Z x c

f (x)dx ≥ a

Z b 0

Tương tự, khi f liên tục và nghịch biến trên [0, b], với mọi a ∈ [0, b] thì

b

Z a 0

f (x)dx ≤ a

Z b 0

Định lý 1.6 (Định lý trung bình tích phân thứ nhất, xem [7]) Giả sử

f khả tích trên [a, b] (a < b hoặc a > b) và m ≤ f (x) ≤ M , với mọi

x ∈ [a, b] Khi đó, tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho

Z b a

f (x)dx = µ (b − a)

Định lý 1.7 (Định lý trung bình tích phân thứ nhất mở rộng, xem [7]).Nếu hàm số f, ϕ khả tích trên đoạn [a, b], ϕ (x) không thay đổi trongkhoảng (a, b); kí hiệu M = sup

f (x)ϕ (x) dx = µ

Z b a

Hệ quả 1.1 Nếu f là hàm liên tục trong đoạn [a, b] thì tồn tại một số

c, a ≤ c ≤ b sao cho

Z b a

f (x) ϕ (x) dx = f (c)

Z b a

Định lý 1.8 (Định lý trung bình tích phân thứ hai, xem [7])

i Nếu trong đoạn [a, b] (a < b); hàm f liên tục, không âm và đơn điệugiảm, còn hàm g khả tích trên [a, b], thì

Z b a

f (x)g (x) dx = f (a)

Z ξ a

g (x)dx, ξ ∈ [a, b] (1.8)

ii Nếu trong đoạn [a, b] (a < b); hàm f liên tục, không âm và đơnđiệu tăng, còn hàm g khả tích trên [a, b], thì

Z b a

f (x)g (x) dx = f (b)

Z b ξ

g (x)dx, ξ ∈ [a, b] (1.9)

iii Nếu trong đoạn [a, b] (a < b); hàm f liên tục, không âm và đơnđiệu giảm, còn hàm g khả tích trên [a, b], thì

Z b

a

f (x) g (x) dx =f (a)

Z ξ a

g (x) dx + f (b)

Z b ξ

g (x) dx, ξ ∈ [a, b] (1.10)

1.3 Tích phân xác định và nguyên hàm

1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên

Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó, tồn tại tích phân xácđịnh với cận trên biến đổi trong đoạn [a, b]

F (x) =

Z x a

F0(x) = f (x), với mọi x ∈ (a, b)

Nhận xét 1.2 Nếu f có nguyên hàm là F trên khoảng mở (a, b) thì

f có vô số nguyên hàm trên khoảng (a, b) và hơn nữa, các nguyên hàmđều có dạng

F (x) + C, ∀x ∈ (a, b)

với C là hằng số tùy ý

Định lý 1.10 (xem [2]) Cho hàm f xác định trên khoảng (a, b) Khi

đó, tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f xác định trong khoảng(a, b) được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu là

1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân

1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz

Định lý 1.11 (xem [2]) Nếu hàm f xác định và liên tục trên đoạn [a, b],

F là một nguyên hàm của hàm f trên đoạn [a, b] thì

Z b a

f (x)dx = F (x)|

b a

1.4.2 Đổi biến trong tích phân

Định lý 1.12 (xem [2]) Với cách đặt biến phụ x = ϕ (t), trong đó ϕ (t)

là một hàm khả vi, đơn điệu đối với t, thì ta có công thức

f (x) dx,trong đó f là hàm liên tục trong khoảng [a, b] Thực hiện đổi biến

x = ϕ (t) với ϕ(t) xác định và liên tục trong khoảng [α, β] và ϕ (α) = a,

ϕ (β) = b Khi đó, nếu tồn tại trong [α, β] đạo hàm liên tục ϕ0(·) thì ta

có đẳng thức

Z b a

f (x)dx =

Z β α

udv = uv|ba −

Z b a

Ứng dụng của tích phân trong bài toán thực tế

Chương này trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hìnhhọc, các bài toán của Vật lý

2.1 Ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích,

độ dài

2.1.1 Tính diện tích hình phẳng

Trong cuộc sống cũng như trong sinh hoạt loài người chúng ta luôn gặpcác bài toán về diện tích như chia ruộng đất, trong xây dựng các côngtrình Cụ thể, ta xét bài toán 2.1.1

Bài toán 2.1.1 (xem [2]) Cho hình H được giới hạn bởi hàm số

f (x) ≥ 0 (liên tục trên [a, b]); các đường x = a; x = b và trục Ox Ta sẽđịnh nghĩa và tính diện tích S của hình H

Lời giải Trước đây, chúng ta đã biết công thức tính diện tích các hìnhtam giác, hình chữ nhật, hình thang và tính gần đúng diện tích hình tròn

Để tính diện tích hình H, chúng ta phải dùng phép xấp xỉ, đưa ra giá trị

Hình 2.1:

diện tích tương đối bằng cách chia

hình ban đầu thành nhiều hình chữ

nhật nhỏ Sau đó, cộng tất cả các

diện tích hình chữ nhật nhỏ với

nhau Khi ta chia càng nhỏ thì giá

trị diện tích đó càng tiến dần về

diện tích hình H cần tính Bây giờ,

chúng ta sẽ xây dựng khái niệm và

Z b a

f (x) dx

Vậy công thức diện tích của hình H là

SH =

Z b a

f (x) dx

Với cách xây dựng trên, chúng ta cũng xây dựng được khái niệm vàcông thức tính diện tích của các bài boán sau (gọi S là diện tích hìnhphẳng cần tính)

Bài toán 2.1.2 Giả sử hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y = f (x) và các đường thẳng x = a; x = b; y = 0 Khi đó, diện tích của

hình phẳng được tính theo công thức

S =

Z b a

Bài toán 2.1.3 Giả sử hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y = f (x); y = g(x) và các đường thẳng x = a; x = b, trong đó f, g liêntục từng khúc trên đoạn [a, b] Khi đó, diện tích của hình phẳng đượctính theo công thức

S =

Z b a

|f (x) − g (x)|dx

Bài toán 2.1.4 Giả sử hình phẳng giới hạn bởi đường cong x =ϕ(y),ϕ(y) liên tục trên đoạn [a, b] và các đường y = a; y = b; x = 0 Khi đó,diện tích của hình phẳng được tính theo công thức

S =

Z b a

trong đó t1, t2 lần lượt là nghiệm của các phương trình a =ϕ(t), b =ϕ(t)

và ϕ (t) , ψ (t) , ϕ0(t) là các hàm số liên tục trên đoạn [t1, t2]

Bài toán 2.1.6 Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = c;

y = d (c ≤ d); x = g1(x); x = g2(x) trong đó g1, g2 liên tục từng khúc

trên [c, d] Khi đó, diện tích của hình phẳng được tính theo công thức

S =

Z d c

Z β α

r2(ϕ)dϕ

Trong ví dụ 2.1.1., chúng ta xây dựng công thức tính diện tích củamột hình cụ thể

Ví dụ 2.1.1 (xem [2]) Tính diện tích của đường tròn có bán kính R

Lời giải Do tính chất đối xứng của đường tròn qua các trục tọa độ nêndiện tích của hình đường tròn bằng bốn diện tích hình quạt giới hạn bởihai tia Ox, Oy và cung

_

AB của đường cong r = r (ϕ) = R trong đó r(·)

là một hàm số liên tục trong [0,π2] Ta chia góc [OAB thành n góc nhỏ,

Suy ra, diện tích của hình quạt bẳng tổng diện tích của tất cả các hìnhquạt nhỏ nghĩa là

Vì vậy, diện tích hình quạt là

Khi n → +∞ thì giới hạn của Pn

i=1

1

2R

2sin π2n được gọi là diện tích củahình quạt, hay diện tích hình quạt giới hạn bởi hai tia Ox, Oy và cung

Vì vậy, diện tích của đường tròn bán kính R là

{ x = 1

y = 1

Do đó, diện tích hình phẳng cần tìm được giới hạn bởi các đường y = x2,

Hình 2.2:

Lời giải Trước đây, chúng ta đã biết công thức tính thể tích của hình

trụ, hình hộp chữ nhật, hình nón Để tính thể tích vật thể bất kì, chúng

ta phải dùng phép xấp xỉ, đưa ra giá trị thể tích tương đối bằng cáchchia hình ban đầu thành nhiều hình trụ nhỏ Sau đó cộng tất cả thể tíchcủa hình trụ nhỏ với nhau Khi ta chia càng nhỏ thì giá trị thể tích đócàng tiến dần về thể tích vật thể cần tính Bây giờ, chúng ta sẽ xây dựngkhái niệm và công thức tính thể tích vật thể dựa trên ý tưởng đó Cụthể, ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia

Kết hợp với định nghĩa tích phân xác định giới hạn đó chính là

Z b a

S (x) dx

Vậy công thức thể tích vật thể bất kì là

V =

Z b a

Vx = π

Z b a

f2(x)dx

Bài toán 2.1.10 Giả sử vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hìnhthang cong giới hạn bởi đường y = f (x), x = a, x = b và y = 0 quanhtrục Oy Khi đó, thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức

Vy = 2π

Z b a

vật thể tròn xoay được tính theo công thức

Vy = π

Z d c

ϕ2(y)dy

Bài toán 2.1.12 Giả sử vật thể sinh bởi đồ thị của hàm số y = f (x);

y = g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và các đường thẳng x = a; x = b quayquanh trục Ox Khi đó, thể tích của vật thể được tính theo công thức

Vx = π

Z b a

|[f−1(y)]2 − [g−1(y)]2|dy

Trong ví dụ 2.1.3., chúng ta áp dụng công thức tính thể tích của bàitoán 2.1.9 và 2.1.10 vào bài tập cụ thể

Ví dụ 2.1.3 (xem [5]) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳnggiới hạn bởi đường y = 2x − x2 và y = 0 khi:

i xoay quanh trục Ox

ii xoay quanh trục Oy

Lời giải Chúng ta thấy đường y = 2x − x2 cắt trục Ox tại x = 0 và

x = 2 nên vật thể cần tìm được giới hạn bởi các đường y = 2x − x2;

y = 0; x = 0; x = 2

i Thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi xoay nó quanh trục Ox là

(2x − x2)2dx = π

Z 2 0

xf (x)dx = 2π

Z 2 0

x (2x − x2)dx = 2π

Z 2 0

Lời giải Để thuận lợi trong việc tính toán ta sẽ để thùng rượu nằm ngang

Ta cần tìm phương trình parabol đi qua đỉnh là điểm (0; 40) và qua điểm(50; 30) Dựa vào công thức (x − h)2 = 4a (y − k) với h = 0; k = 40 vàparabol đi qua điểm (50; 30) ta được

502 = 4a (30 − 40)tương đương

2500 = 4a (−10)

2.1.3 Tính độ dài đường cong phẳng

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét cung AB được cho bởi đồ thị hàm số–

y = f (x) liên tục trên [a, b] Để thiết lập công thức tính chiều dài của

cung, trước hết chúng ta dùng phương pháp vi phân để xấp xỉ cung AB–

bằng đường gấp khúc là tổng của vô số các đoạn thẳng đặt kế tiếp nhau,

ta làm như sau: Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi cácđiểm xi, i = 1, 2, , n tuân theo thứ tự

∆xi = xi − xi−1 = b − a

n , ∆yi = yi − yi−1, (i = 1, 2, , n) (2.5)thì theo Định lý Pythago, ta có độ dài của cung thứ i xấp xỉ bằng

Lagrange, tồn tại ít nhất x∗i ∈ (xi, xi−1) sao cho

q

1 + [f0(x∗i)]2

Kết hợp với định nghĩa tích phân xác định giới hạn đó chính là

Z b a

q

Với cách xây dựng trên, chúng ta cũng xây dựng được khái niệm vàcông thức tính thể tích của các bài boán sau:

Bài toán 2.1.14 Giả sử đường cong có phương trình x = ϕ (t), y = ψ (t),(a ≤ t ≤ b) trong đó ϕ(·) và ψ (·) là các hàm số có đạo hàm liên tục trênđoạn [a, b] Khi đó, độ dài cungAB với A (ϕ (a) , ψ (a)) và B (ϕ (b) , ψ (b))–

được tính theo công thức

L =

Z b a

q

[ϕ0(t)]2 + [ψ0(t)]2dt (2.9)

Bài toán 2.1.15 Giả sử cung AB được cho bởi phương trình trong–

dạng tọa độ cực r = r (ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β Khi đó độ dài của cung AB được–

cho bởi công thức

L =

Z β α

Vậy độ dài cung cần tìm là

= 8a

Trong ví dụ 2.1.6, chúng ta áp dụng công thức của bài 2.1.15

Ví dụ 2.1.6 (Đường xoắn ốc Archimedes, xem [7]) Tìm độ dài của lò

xo trong đồng hồ phẳng, biết hình dạng đường xoắn ốc của lò xo là 7, 5vòng, bán kính trong là 5 mm và bán kính ngoài là 15, 5 mm

Lời giải Đường xoắn ốc Archimedes có công thức tổng quát trong tọa

độ cực là r = a + bϕ với r là bán kính vector, a là điểm bắt đầu củađường xoắn ốc và b là hệ số khoảng cách giữa mỗi nhánh (khoảng cách

là 2πb) Theo đề bài ta có a = 5 (vì đây là điểm bắt đầu của đường xoắnốc) Khoảng cách giữa mỗi nhánh là

Vậy, công thức đường xoắn ốc là r = 5 + 0, 22282ϕ

Mặt khác, góc quay ban đầu của ϕ là a = 0 và sau khi quay 7, 5 vòng,điểm kết thúc là b = 7, 52π = 15π = 47, 12389

Thay vào công thức (2.4), ta được

L =

Z 15π 0

q

(5 + 0, 22282ϕ)2 + (0, 22282)2dϕ

= 483, 1 (mm)

Vậy, lò xo đồng hồ dài 483, 1 (mm)

2.1.4 Tính diện tích của vật thể tròn xoay

Cho đường cong trơn nằm phía trên trục hoành, như ở hình trái củaHình (2.3) Khi đường cong này quay xung quanh trục hoành, nó sẽ tạo

ra một mặt tròn xoay Chúng ta hãy tính diện tích mặt này

Hình 2.3:

Trước hết, chúng ta xét mặt tròn xoay rất đơn giản: mặt nón có bánkính đáy r và đường sinh L Nếu cắt mặt nón từ đỉnh xuống đáy và trảimặt nón ra (như Hình (2.3)), chúng ra sẽ có một hình quạt bán kính L

và cung quạt có chiều dài là 2πr và diện tích A của mặt nón bằng diệntích hình quạt Về mặt hình học, có thể thấy rõ ràng rằng: tỷ số giữadiện tích hình quạt và hình tròn bằng tỷ số giữa chiều dài cung quạt vàchu vi hình tròn là A

πL2 = 2πr

2πL nên A = πrL.

Diện tích xung quanh của mặt nón được xem là diện tích mặt trònxoay được tạo nên do một đường sinh quay xung quanh trục của hìnhnón Nếu ta viết A = L2π (1

2r) thì diện tích xung quanh của mặt nónbằng tích của đường sinh với chu vi đường tròn bán kính r

2 Tiếp đến,chúng ta tổng quát hoá và tính diện tích mặt tròn xoay do một đoạnthẳng dài L quay quanh một trục cách trục một khoảng r kể từ trungđiểm Mặt tròn xoay được tạo thành là một mặt nón cụt (xem hình (2.4))

Hình 2.4:

Gọi diện tích cần tìm là A thì A là hiệu

giữa diện tích xung quanh của hai mặt

Bây giờ, chúng ta sẽ xây dựng công thức tính diện tích mặt tròn xoaytổng quát Cụ thể, ta xét bài toán 2.1.16

Bài toán 2.1.16 (xem [2]) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét cung AB–

của đồ thị hàm số y = f (x), x ∈ [a, b], với f (·), f0(·) liên tục trong [a, b]

Ta tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi cho cung AB quay quanh–

q

1 + f02(xi)b − a

n .

Do đó, diện tích của mặt tròn xoay sinh ra bởi đường gấp khúc khi quay

|f (y)|

q

1 + f02(y)dy

Bài toán 2.1.18 Giả sử cung AB cho bởi phương trình tham số–

Bài toán 2.1.19 Giả sử cung AB cho bởi phương trình trong hệ tọa–

độ cực r = r (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β Khi đó, diện tích mặt tròn xoay sinh rađược tính theo công thức

S = 2π

Z β α

Ví dụ 2.1.7 (xem [5]) Tính diện tích của mặt cầu bán kính r

Lời giải Bề mặt của hình cầu có thể xem như mặt tròn xoay tạo thànhkhi quay một nửa đường tròn y = √

r2 − x2 quanh trục x

1 + x02(y) =

q

1 + 4y2.Vậy diện tích cần tìm là

S = 2π

Z 1 0

q

1 + 4y2d (1 + 4y2)

= π4

(1+4y 2)3

3 2