Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toán sơ cấp

Header Page of 161 ✬ ✩ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ——————————o0o—————————— ĐỖ THỊ HÒA ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN HÀ NỘI- 2016 ✫ Footer Page of 161 ✪ Header Page of 161 Mục lục LỜI CẢM ƠN ii LỜI CAM ĐOAN iii LỜI NÓI ĐẦU iv Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Một số tính chất Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 2.1 Bài toán đường truyền tia sáng 2.2 Bài toán tốc độ tương đối 2.3 Bài toán lợi nhuận kinh tế 2.4 Bài toán chuyển động cong 15 2.4.1 Các thành phần ngang dọc vận tốc 16 2.4.2 Gia tốc vật thể chuyển động cong 17 2.4.3 Nếu x, y phương trình tham số 18 Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN SƠ CẤP 21 3.1 Ứng dụng đạo hàm để xét tồn nghiệm phương trình 21 3.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình 23 3.2.1 Giải phương trình 23 3.2.2 Giải bất phương trình 29 3.2.3 Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình 32 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp 3.3 3.4 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức 34 3.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 34 3.3.2 Sử dụng định lí Lagrange 38 Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 40 3.4.1 Khảo sát trực tiếp 40 3.4.2 Khảo sát gián tiếp 41 3.5 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn hàm số 45 3.6 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn dãy số 46 3.7 Ứng dụng đạo hàm để tính tổng khai triển nhị thức Newton 49 Kết Luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Đỗ Thị Hòa Footer Page of 161 ii K38B SP Toán Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội , tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian theo học khoa suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Nguyễn Quốc Tuấn giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng suốt trình làm khóa luận để có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đỗ Thị Hòa iii Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Tuấn Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định đề tài “Ứng dụng đạo hàm toán thực tế toán phổ thông” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với khóa luận trước Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đỗ Thị Hòa iv Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI NÓI ĐẦU Trong ngành giải tích toán học, đạo hàm nét đẹp tinh túy Có thể nói, đạo hàm xuất hầu hết toán lí thuyết toán thực tiễn Năm 1630, nhà toán học Fermat sử dụng “công cụ” mẻ để giải toán cực trị vô hiệu Tuy nhiên, thời điểm ông sử công cụ quy tắc chưa có sở lí thuyết cho quy tắc Đến năm 1671 - 1675, hai nhà toán học Newton Leibniz đồng đưa khái niệm đạo hàm vi phân dựa phép toán giới hạn Có thể nói, khái niệm đạo hàm làm sáng tỏ mặt lí thuyết cho quy tắc Fermat sử dụng năm trước Ngoài ra, Newton Leibniz sử dụng đạo hàm, vi phân để nghiên cứu toán tiếp tuyến, toán chuyển động chất điểm từ thu kết vô ý nghĩa Ngày nay, ứng dụng toán học đạo hàm ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Trong kinh tế, đạo hàm sử dụng để tính toán tốc độ tăng trưởng nhằm giúp nhà đầu tư đưa định hợp lí, đắn lựa chọn mặt hàng kinh doanh cho lợi nhuận cao hay đầu tư với số lượng hợp lí Hoặc muốn hoạch định chiến lược kinh tế vĩ mô liên quan đến tốc độ gia tăng dân số quốc gia đạo hàm cần thiết Trong giao thông, thật bất ngờ không cần điều khiển phương tiện mà cảnh sát giao thông biết tốc độ vận hành phương tiện tham gia giao thông đường nhờ súng bắn tốc độ Đó ứng dụng lí thú đạo hàm Chính vậy, đạo hàm có ứng dụng vô to lớn toán học nhiều v Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp lĩnh vực khác sống Với ứng dụng quan trọng rộng rãi đạo hàm, với dẫn, động viên thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn, mạnh dạn lựa chọn, nghiên cứu đề tài “Ứng dụng đạo hàm toán thực tế toán sơ cấp” khóa luận tốt nghiệp đại học Khóa luận gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức đạo hàm, trình bày số định nghĩa, định lí số ứng dụng đạo hàm sử dụng chương sau Chương Ứng dụng đạo hàm toán thực tế Mục đích chương trình bày ứng dụng đạo hàm số toán thực tế Đó toán đường truyền tia sáng, toán tốc độ tương đối, toán lợi nhuận kinh tế toán chuyển động cong Chương Ứng dụng đạo hàm toán sơ cấp Mục đích chương trình bày ứng dụng đạo hàm để giải số toán sơ cấp Đó ứng dụng xét tồn nghiệm phương trình; giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ phương trình, giải hệ bất phương trình; chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; tính giới hạn hàm số, dãy số; tính tổng khai triển nhị thức Newton Do hạn chế trình độ thời gian thực đề tài, khóa luận không tránh khỏi sai sót Rất mong thầy cô bạn đọc góp ý để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Đỗ Thị Hòa Footer Page of 161 vi K38B SP Toán Header Page of 161 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 (xem [1]) Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) x0 thuộc (a; b) Nếu tồn giới hạn hữu hạn f (x) − f (x0 ) , lim x→x0 x − x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 kí hiệu f (x0 ) y (x0 ), tức f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 f (x0 ) = lim Chú ý 1.1 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 hàm số liên tục x0 Đại lượng ∆x = x − x0 gọi số gia đối số x0 Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) gọi số gia tương ứng hàm số Như ∆y ∆x→0 ∆x Định nghĩa 1.2 (xem [1]) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên phải f (x) − f (x0 ) lim+ , x − x0 x→x0 f (x0 ) = lim ta gọi giới hạn đạo hàm bên phải hàm số y = f (x) x0 kí hiệu f (x+ ) Tương tự giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) f (x) − f (x0 ) lim− , x − x0 x→x0 Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp gọi đạo hàm bên trái hàm số y = f (x) x0 kí hiệu f (x− ) Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm khoảng, đoạn - xem [1]) i Hàm số y = f (x) gọi có đạo hàm (a; b) có đạo hàm điểm khoảng ii Hàm số y = f (x) gọi có đạo hàm [a; b] có đạo hàm điểm khoảng (a; b), có đạo hàm phải x = a đạo hàm trái x = b Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm cấp hai - xem [1]) Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm điểm x ∈ (a; b) Khi đó, hệ thức y = f (x) xác định hàm số khoảng (a; b) Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y đạo hàm cấp hai hàm số y = f (x) kí hiệu y f (x) 1.2 Một số tính chất Định lí 1.1 (xem [1]) Hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 đạo hàm trái đạo hàm phải tồn Định lí 1.2 (Định lí Fermat - xem [1]) Cho hàm f (x) xác định khoảng (a; b) Nếu f (x) đạt cực trị x0 khả vi x0 f (x0 ) = Định lí 1.3 (Định lí Roll - xem [1]) Giả sử hàm f : [a; b] → R liên tục khả vi (a; b) Nếu f (a) = f (b) tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = Định lí 1.4 (Định lí Lagrange - xem [1]) Nếu hàm số y = f (x) liên tục [a; b], có đạo hàm (a; b) Khi đó, tồn điểm c thuộc (a; b) f (b) − f (a) cho f (c) = b−a Định lí 1.5 (xem [1]) Giả sử hàm y = f (x) liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) (x0 ; b) Khi i Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 hàm số đạt cực tiểu x0 ii Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 hàm số đạt cực đại x0 Đỗ Thị Hòa Footer Page of 161 K38B SP Toán Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Định lí 1.6 (xem [1]) Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) chứa x0 , f (x0 ) = f (x) có đạo hàm cấp hai khác không điểm x0 Khi i Nếu f (x0 ) < hàm số đạt cực đại x0 ii Nếu f (x0 ) > hàm số đạt cực tiểu x0 Đỗ Thị Hòa Footer Page 10 of 161 K38B SP Toán Header Page 46 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Từ định lí Lagrange, m ≤ F (c) ≤ M m(b − a) ≤ F (b) − F (a) ≤ M (b − a) Vậy để áp dụng kết vào chứng minh bất đẳng thức, điều quan trọng nhận hàm F (x) Ví dụ 3.18 (Đề 81 câu Va - 150 đề tuyển sinh-xem[4]) Chứng minh √ xn − x < √ , ∀x ∈ (0; 1) n ∈ N∗ 2ne (3.26) Chứng minh Bất đẳng thức (3.26) tương đương x2n (n − 1) < hay , 2ne 2n(1 − x)x2n < e Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho số dương 2n − 2nx 2n số dương x ta 2n − 2nx + 2nx 2nx (1 − x) = (2n − 2nx) x x ≤ 2n + 2n 2n 2n+1 2n = 2n + 2n+1 (3.27) Ta thấy 2n 2n + 2n+1 < , e 2n ln 2n + 2n+1 < ln , e tương đương hay ln(2n + 1) − ln 2n > 2n + − 2n 2n + (3.28) Xét hàm số f (x) = ln x có đạo hàm liên tục [2n; 2n + 1] Theo định lí Lagrange tồn c ∈ (2n; 2n + 1) cho f (c) = Đỗ Thị Hòa Footer Page 46 of 161 f (2n + 1) − f (2n) , (2n + 1) − 2n 39 K38B SP Toán Header Page 47 of 161 Khóa luận tốt nghiệp hay = ln(2n + 1) − ln 2n c Do 2n < c < 2n + nên 1 > , c 2n + 2n + Vì (3.28) đúng, kết hợp với (3.27) suy (3.26) ln(2n + 1) − ln 2n > ∇ 3.4 Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 3.4.1 Khảo sát trực tiếp Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm f (·) ta khảo sát hàm số dựa vào kết khảo sát để kết luận Nếu hàm f (·) xác định [a; b] cách ta làm theo cách sau i Tính đạo hàm f (x) xác định điểm tới hạn x1 , x2 , , xn f (x) [a; b] ii Tính so sánh giá trị f (a), f (x1 ), f (x2 ), , f (xn ), f (b) iii Tìm số lớn M số nhỏ m số Ví dụ 3.19 (xem[4]) Cho hàm số f (x) = sinn x+cosn x với n số tự nhiên lớn x ∈ (0; π2 ) Tìm giá trị nhỏ f (x) π (0; ) Lời giải Lấy đạo hàm hàm f (·) ta f (x) = n sinn−1 x cos x − n cosn−1 x sin x = n sin x cos x(sinn−2 x − cosn−2 x) Cho f (x) = ta suy n sin x cos x(sinn−2 x − cosn−2 x) = 0, tương đương tann−2 x = 1, Đỗ Thị Hòa Footer Page 47 of 161 40 K38B SP Toán Header Page 48 of 161 Khóa luận tốt nghiệp nên x= π Ta có, bảng biến thiên x π − f (x) f (x) π + π f( ) Vậy từ bảng biến thiên, ta suy giá trị nhỏ f (x) (0; π2 ) f (x) = f ( π4 ) = π 2−n (0; ) 3.4.2 Khảo sát gián tiếp Ví dụ 3.20 (Đại học khối B năm 2007-xem[8]) Cho số thực không âm thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ac) + a2 + b2 + c2 Lời giải Đặt ab + bc + ac = x Do a, b, c không âm a + b + c = nên (a + b + c)2 = ≥ ab + bc + ac ≥ suy x ∈ 0; 3 Ta có A ≥ 3(ab + bc + ac) + (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ac) Xét hàm số √ π f (x) = 3x + − 2x với x ∈ : Lấy đạo hàm hai vế hàm f (·) ta f (x) = − √ Cho f (x) = ta x = Đỗ Thị Hòa Footer Page 48 of 161 18 π , ∀x ∈ 0; − 2x Ta có, bảng biến thiên 41 K38B SP Toán Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp x 18 + f (x) + f (x) Dựa vào bảng biến thiên, ta f (x) ≥ f (0), ∀x ∈ [0; π3 ] Suy A ≥ f (x) = f (0) = Vậy giá trị nhỏ A Đẳng thức xảy (a, b, c) nhận hoán vị (0; 0; 1) Ví dụ 3.21 (Đại học khối B năm 2011-xem[8]) Cho a, b hai số thực dương thỏa 2(a2 + b2 + ab) = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 a3 b3 P =4 + −9 + b a b a Lời giải Từ giả thiết, ta có 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2), tương đương a b 1 + + = (a + b) + + b a b a Theo bất đẳng thức AM-GM, có a+b+2 1 1 a b + ≥ 2(a + b) + =2 + +2 , a b a b b a tương đương với 1 a b + +1≥2 + +2 , a b b a a b + ≥ b a Đặt t= Đỗ Thị Hòa Footer Page 49 of 161 a b + b a 42 K38B SP Toán Header Page 50 of 161 Khóa luận tốt nghiệp P = 4(t3 − 3t) − 9(t2 − 2) = 4t3 − 9t2 − 12t + 18 Xét hàm f (t) = 4t3 − 9t2 − 12t + 18 với t ≥ Lấy đạo hàm hàm f (·), ta f (t) = 6(2t2 − 3t − 2) > với t ≥ 23 Suy 5min f (t) = f ( ) = − [ ;+∞) Vậy P = − 23 Dấu đẳng thức xảy a, b thỏa a+b=2 a + b a b + b a = , suy (a; b) = (1; 2) (a, b) = (2; 1) Ví dụ 3.22 (Đại học khối B năm 2013-xem[8]) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =√ − a2 + b2 + c2 + (a + b) (a + 2c)(b + 2c) Lời giải Với số a, b, c số thực dương ta có b + 4c (a + b) (a + 2c)(b + 2c) ≤ (a + b) ≤ 2(a2 + b2 + c2 ) √ Đặt t = a2 + b2 + c2 + P ≤ − Xét hàm t 2(t − 4) với t > f (t) = − t 2(t2 − 4) Lấy đạo hàm hàm f (·) ta −4 9t −(t − 4)(4t3 + 7t2 − 4t − 16) f (t) = + = , ∀t > t (t − 4)2 t2 (t2 − 4)2 Suy 4t3 + 7t2 − 4t − 16 = 4(t3 − 4) + t(7t − 4) > Do f (t) = suy t = Ta có bảng biến thiên t −2 + f (t) +∞ − f (4) f (t) −∞ Đỗ Thị Hòa Footer Page 50 of 161 43 K38B SP Toán Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Từ bảng ta có P ≤ 58 Vậy giá trị nhỏ P 58 Dấu xảy a = b = c = Ví dụ 3.23 (Việt Nam TST 2001 - xem [2]) Xét số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 12 ≥ 21ab + 2bc + 8ac Tìm giá trị nhỏ biểu thức P (a, b, c) = + + a b c Lời giải Đặt x = a1 , y = 2b , z = 3c Khi đó, toán trở thành: "xét số thực dương x, y, z thỏa 12xyz ≥ 2x + 8y + 21z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P (x, y, z) = x + 2y + 3z.” Từ giả thiết, ta có z(12xy − 21) ≥ 2x + 8y > nên z≥ 2x + 8y 12xy − 21 (3.29) Suy P ≥ x + 2y + Xét hàm số với biến x > 2x + 8y 4xy − (3.30) 4x2 y − 5x + 8y 2x + 8y = , f (x) = x + 4xy − 4xy − 7 4y y tham số thực dương Ta có 16x2 y − 56xy − 32y + 35 (4xy − 7)2 √ 32y +1 Trên [ 4y ; +∞] f (x) = ta x = x0 = + , qua x0 f (·) 4y 4y đổi dấu từ âm sang dương nên f (·) đạt cực tiểu x0 Suy f (x) = P ≥ f (x) + 2y ≥ f (x0 ) + 2y = g(y) (3.31) Xét hàm g(·) với y > 0, ta tính g (y) = (8y − 9) 32y + 14 − 28 Cho g (y) = ta y = 54 Với y > qua y g (·) đổi dấu từ âm sang dương nên g(·) đạt cực tiểu y = 54 Kết hợp với (3.30) ta có P ≥ thức xảy với x = 3, y = 54 , z = Footer Page 51 of 161 đẳng hay a = 31 , b = 45 , c = 23 Vì vậy, giá trị nhỏ P Đỗ Thị Hòa 15 2, 15 44 a = 31 , b = 45 , c = 32 K38B SP Toán Header Page 52 of 161 Khóa luận tốt nghiệp 3.5 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn hàm số Giả sử cần tính giới hạn P (x) x→x0 Q(x) L = lim có dạng Ta biến đổi giới hạn giới hạn sau: f (x) − f (x0 ) = f (x0 ) Dạng Ta biến đổi L = lim x→x0 x − x0 f (x) − f (x0 ) P (x) = f (x0 )P (x0 ) x→x0 x − x0 Dạng Ta biến đổi L = lim f (x) − f (x0 ) f (x0 ) x − x0 = Dạng Ta biến đổi L = lim x→x0 g(x) − g(x0 ) g (x0 ) x − x0 Ví dụ 3.24 (xem[4]) Tìm giới hạn sau √ x3 − 3x − L = lim x→1 x−1 Lời giải Đặt f (x) = x3 − √ (3.32) 3x − nên f (x) − f (1) L = lim = f (1) = x→1 x−1 lân cận x = Ta có f (1) = 0, f (1) = Vậy giới hạn L = Ví dụ 3.25 (xem[4]) Tìm giới hạn √ √ − x3 − x2 + L = lim x→1 x2 − (3.33) Lời giải Ta viết lại biểu thức (3.33) dạng √ √ − x3 − x2 + L = lim x→1 x−1 x+1 Đặt f (x) = Đỗ Thị Hòa Footer Page 52 of 161 − x3 − 45 x2 + K38B SP Toán Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp 11 , nên 12 f (x) − f (1) 1 11 L = lim = f (1) = − x→1 x−1 x+1 24 11 Vậy giới hạn L = − 24 lân cận x = Ta có f (1) = 0, f (1) = − Ví dụ 3.26 (xem[4]) Tính giới hạn √ − 2x + + sin x L = lim √ x→0 3x + − − x (3.34) Lời giải Viết lại biểu thức (3.34) dạng √ − 2x + + sin x x L = lim √ x→0 3x + − − x x Đặt f (x) = − √ 2x + + sin x lân cận x = Ta có f (0) = 0, f (0) = Đặt g(x) = √ 3x + − − x lân cận x = Ta có g(0) = 0, g (0) = − 14 = Khi f (x) − f (0) f (0) x−0 = L = lim = x→0 g(x) − g(0) g (0) x−0 Vậy giới hạn L = 3.6 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn dãy số Dãy số chương trình quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trường Trung học phổ thông chuyên Các toán liên quan đến dãy số thường tập khó, thường gặp kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế, olimpic 30/4 olimpic sinh viên Một công cụ đắc lực thường gặp toán dãy số đạo hàm Đỗ Thị Hòa Footer Page 53 of 161 46 K38B SP Toán Header Page 54 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Bài toán 3.1 (HSG quốc gia 2013-xem[2]) Cho dãy số (an ) sau a1 = an + , ∀n ≥ 2an Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn an+1 = − Lời giải Để chứng minh dãy số có giới hạn ta sử dụng nguyên lí Weierstrass Trước hết, quy nạp ta chứng minh < an < 2, ∀n > (3.35) Ta có a2 = 32 , (3.35) n = 1, n = Giả sử (3.35) với n = k > 1, tức < ak < 2, ta cần chứng minh 1 g(1) nên 2ak − ak +2 ak > Vậy (3.35) với n ∈ N∗ Tiếp theo ta chứng minh (an ) dãy tăng Thật vậy, ta xét hàm số h(x) = − 2+x , < x < 2x Ta có đạo hàm hàm h(·) h(x) = ln + x ln − > 0, ∀x ∈ (1; 2) 2x Nên hàm f đồng biến (1; 2) Kết hợp với a2 = > a1 , phương pháp quy nạp suy (an ) dãy tăng Dãy (an ) cho tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Giả sử, giới hạn L ∈ [1; 2], ta có Đỗ Thị Hòa Footer Page 54 of 161 47 K38B SP Toán Header Page 55 of 161 Khóa luận tốt nghiệp L = 3− L+2 2L Ta chứng minh phương trình có nghiệm (1; 2] Thật vậy, xét hàm số m(x) = − x+2 − x, ∀x ∈ (1; 2] 2x ln + x ln − − 2x m (x) = , ∀x ∈ (1; 2] 2x Ta xét tiếp hàm số p(x) = ln + x ln − − 2x , ∀x ∈ (1; 2], ta có đạo hàm hàm p(·) p (x) = ln 2(1 − 2x ) < 0, x ∈ (1; 2] Nên p hàm nghịch biến (1; 2] Suy p(x) < p(1) = ln + ln − < Hay ln + x ln − − 2x < với x ∈ (1; 2] Do đó, hàm số m(·) nghịch biến (1; 2] phương trình m(x) = có không nghiệm Hơn nữa, m(2) = nên x = nghiệm phương trình Vậy dãy số cho có giới hạn Bài toán 3.2 (Đề nghị olimpic 30/4/2002-xem[2]) Cho dãy số (xn )n≥0 sau   x0 = 2,  x3 − 3x n+1 n+1 (xn+1 − 1) = xn + 1, ∀n = 0, 1, Chứng minh dãy số cho có giới hạn hữu hạn Chứng minh Từ x3n+1 − 3xn+1 (xn+1 − 1) = xn + ta có (xn+1 − 1)3 = xn , tương đương với xn+1 = √ xn + Do x0 = 2, nên xn > 2, ∀n = 0, 1, Xét hàm số √ f (x) = + x, ∀x ∈ (2; +∞) Đỗ Thị Hòa Footer Page 55 of 161 48 K38B SP Toán Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Ta có xn+1 = f (xn ), ∀n = 0, 1, 1 , < f (x) < √ f (x) = √ = q < 1, ∀x > 344 x2 Ta có phương trình x = f (x) tương đương với √ x = x + 1, tương đương với x3 − 2x2 + 2x − = Đặt g(x) = x3 − 2x2 + 2x − 1, ta có g (x) = 3x2 − 6x + > 0, ∀x > Vì hàm số g(·) liên tục, đồng biến (3; +∞) g(2)g(3) < nên phương trình g(x) = có nghiệm khoảng (2; 3), ta gọi nghiệm L Vậy L số thuộc khoảng (2; 3) cho L = f (L) Theo định lí Lagrangre tồn qn nằm xn L cho f (xn ) − f (L) = f (qn )(xn − L), ∀n = 1, 2, Do |xn+1 − L| = |f (xn ) − L| = f (qn )|xn − L| ≤ q|xn − n|, ∀n = 1, 2, Từ ≤ |xn+1 − L| ≤ q n−1 |b − L| ≤ q |xn+1 − L| ≤ · · · ≤ q n |x1 − L| = q n |b − L| Từ ≤ |xn − L| ≤ q n−1 |b − L| cho n → +∞ sử dụng nguyên lí kẹp ta lim |xn − L| = hay lim xn = L n→+∞ n→+∞ ∇ Vậy dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn 3.7 Ứng dụng đạo hàm để tính tổng khai triển nhị thức Newton Ví dụ 3.27 (xem[9]) Tính tổng S = 1.20 Cn1 + 2Cn2 + 3.22 Cn3 + · · · + n2n−1 Cnn với n ∈ Z+ Đỗ Thị Hòa Footer Page 56 of 161 49 K38B SP Toán Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Lời giải Với x ∈ R n ∈ Z+ , ta có (1 + x)n = c0n + xCn1 + x2 Cn2 + · · · + xn Cnn , ∀x ∈ R Đạo hàm hai vế đẳng thức ta n(1 + x)n−1 = c1n + 2xCn2 + · · · + nxn−1 Cnn Thay x = ta S = n · 3n−1 Ví dụ 3.28 (Đại học khối A 2005-xem[8]) Tìm n ∈ Z+ thỏa mãn 2n+1 1.20 C2n+1 − 2.21 C2n+1 + 3.22 C2n+1 + · · · + (2n + 1)22n C2n+1 = 2005 Lời giải Với x ∈ R n ∈ Z+ , ta có 2n+1 (1 + x)2n+1 = C2n+1 + xC2n+1 + x2 C2n+1 + · · · + x2n+1 C2n+1 Đạo hàm hai vế đẳng thức, ta 2n+1 (2n + 1)(1 + x)2n = C2n+1 + 2xC2n+1 + 3x2 C2n+1 + · · · + (2n + 1)C2n+1 Thay x = −2 vào ta 2n+1 C2n+1 − · 2C2n+1 + · · · + (2n + 1)22n C2n+1 = 2n + Theo giả thiết có 2n + = 2005 suy n = 1002 Ví dụ 3.29 (xem[9]) Tính tổng S = 1.2Cn2 + 2.3Cn3 + · · · + (n − 1)nC − nn với n ∈ Z+ Lời giải Với x ∈ R n ∈ Z+ , ta có (1 + x)n = C0n + xCn1 + x2 Cn2 + · · · + xn Cnn Đạo hàm hai vế đẳng thức ta n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2xCn2 + 3x2 Cn3 + · · · + nxn−1 Cnn Tiếp tục đạo hàm hai vế đẳng thức, ta n(n − 1)(1 + x)n−2 = 2Cn2 + · 3xCn3 + · · · + (n − 1)nxn−2 Cnn Thay x = vào ta S = n(n − 1)2n−2 Đỗ Thị Hòa Footer Page 57 of 161 50 K38B SP Toán Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 3.30 (xem[9]) Chứng minh Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + · · · + nCnn = n 2n−1 với n ∈ Z+ Chứng minh Với x ∈ R n ∈ Z+ , ta có (1 + x)n = Cn0 + xCn1 + x2 Cn2 + · · · + xn Cnn Đạo hàm hai vế đẳng thức ta n(1 + x)n+1 = Cn1 + 2xCn2 + · · · + nxn Cnn Thay x = ta n 2n−1 = Cn1 + 2CCn2 + 3Cn3 + · · · + nCnn ∇ Vậy ta có điều phải chứng minh Đỗ Thị Hòa Footer Page 58 of 161 51 K38B SP Toán Header Page 59 of 161 Kết luận Khóa luận "Ứng dụng đạo hàm toán thực tế toán sơ cấp" trình bày vấn đề sau đây: i Định nghĩa đạo hàm số tính chất ii Trình bày ứng dụng đạo hàm số toán thực tế toán đường truyền tia sáng, toán tốc độ tương đối, toán lợi nhuận kinh tế toán chuyển động cong iii Trình bày số ứng dụng tích phân toán sơ cấp: xét tồn nghiệm phương trình, giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, giải hệ bất phương trình; chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; tính giới hạn hàm số, dãy số; tính tổng khai triển nhị thức Newton Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đỗ Thị Hòa 52 Footer Page 59 of 161 Header Page 60 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Tô Văn Ban, (2005), Giải tích tập nâng cao, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Tài Chung, (2013), Chuyên khảo dãy số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Kim Hùng, (2013), Sáng tạo giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, NXB Tổng Hợp TP.HCM [4] Tống Văn Kí, (2008), Ứng dụng phép tính đạo hàm vào giải số toán THPT, NXB Tổng Hợp TPHCM [5] Nguyễn Tất Thu, (2013), Chuyên đề ứng dụng đạo hàm toán hàm số , NXB Hà Nội [6] Website https://www.intmath.com/calculus/dao-ham-tich-phan-ungdung-duoc-gi.pdf [7] Website http://www.slideshare.net/duongbaongoc2/60-thi-th-ton-ca-cctrng-thpt-2015-c-p-n-chi-tit [8] Website http://thaytoan.net/de-thi-dai-hoc/tong-hop-de-thi-dai-hocmon-toan-tu-2002-den-2014 [9] Webiste http://d.violet.vn//uploads/resources/511/1856204/preview.swf 53 Footer Page 60 of 161 ... thức đạo hàm, trình bày số định nghĩa, định lí số ứng dụng đạo hàm sử dụng chương sau Chương Ứng dụng đạo hàm toán thực tế Mục đích chương trình bày ứng dụng đạo hàm số toán thực tế Đó toán đường... tia sáng, toán tốc độ tương đối, toán lợi nhuận kinh tế toán chuyển động cong Chương Ứng dụng đạo hàm toán sơ cấp Mục đích chương trình bày ứng dụng đạo hàm để giải số toán sơ cấp Đó ứng dụng xét... Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 2.1 Bài toán đường truyền tia sáng 2.2 Bài toán tốc độ tương đối 2.3 Bài toán lợi nhuận kinh tế