Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toán sơ cấp

2 Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 4 2.1 Bài toán đường truyền của tia sáng.. 18 Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN SƠ CẤP 21 3.1 Ứng dụng của đạo hàm để xé

Người hướng dẫn khoa học

TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN

HÀ NỘI- 2016

LỜI CẢM ƠN ii

LỜI CAM ĐOAN iii

LỜI NÓI ĐẦU iv

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 Một số định nghĩa 1

1.2 Một số tính chất cơ bản 2

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 4 2.1 Bài toán đường truyền của tia sáng 4

2.2 Bài toán tốc độ tương đối 7

2.3 Bài toán lợi nhuận kinh tế 9

2.4 Bài toán chuyển động cong 15

2.4.1 Các thành phần ngang và dọc của vận tốc 16

2.4.2 Gia tốc của vật thể khi chuyển động cong 17

2.4.3 Nếu x, y không có phương trình tham số 18

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN SƠ CẤP 21 3.1 Ứng dụng của đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của phương trình 21

3.2 Ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình 23

3.2.1 Giải phương trình 23

3.2.2 Giải bất phương trình 29

3.2.3 Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình 32

3.3 Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức 34

3.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 34

3.3.2 Sử dụng định lí Lagrange 38

3.4 Ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 40

3.4.1 Khảo sát trực tiếp 40

3.4.2 Khảo sát gián tiếp 41

3.5 Ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn hàm số 45

3.6 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn dãy số 46

3.7 Ứng dụng đạo hàm để tính tổng trong khai triển nhị thức Newton 49

Kết Luận 52

Tài liệu tham khảo 53

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành tới các thầy giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 ,

đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo trong suốt thời gian tôi theo học tại khoa vàtrong suốt thời gian làm khóa luận

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Nguyễn Quốc Tuấn giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếphướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng trong suốt quá trình làmkhóa luận để tôi có được kết quả như ngày hôm nay

-Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thâncòn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rấtmong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạnđọc

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Đỗ Thị Hòa

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tậntình của thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Tuấn.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toánthực tế và toán phổ thông” là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗlực của bản thân, không có sự trùng lặp với các khóa luận trước đó

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Đỗ Thị Hòa

Trong ngành giải tích toán học, đạo hàm như một nét đẹp tinh túy Có thểnói, đạo hàm xuất hiện trong hầu hết các bài toán lí thuyết cũng như các bàitoán thực tiễn.

Năm 1630, nhà toán học Fermat đã sử dụng một “công cụ” mới mẻ để giảiquyết các bài toán cực trị vô cùng hiệu quả Tuy nhiên, ở thời điểm đó ông

sử công cụ này như một quy tắc và chưa có một cơ sở lí thuyết cho quy tắcnày

Đến những năm 1671 - 1675, hai nhà toán học Newton và Leibniz đã đồngđưa ra khái niệm đạo hàm và vi phân dựa trên phép toán giới hạn Có thểnói, khái niệm đạo hàm này làm sáng tỏ về mặt lí thuyết cho quy tắc Fermat

đã được chúng ta sử dụng trong những năm trước đó Ngoài ra, Newton vàLeibniz sử dụng đạo hàm, vi phân để nghiên cứu các bài toán về tiếp tuyến,các bài toán về chuyển động chất điểm và từ đó thu được những kết quả vôcùng ý nghĩa

Ngày nay, ngoài ứng dụng trong toán học đạo hàm còn được ứng dụng ởnhiều lĩnh vực khác nhau Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tính toántốc độ tăng trưởng nhằm giúp các nhà đầu tư đưa ra quyết định hợp lí, đúngđắn về sự lựa chọn mặt hàng kinh doanh cho lợi nhuận cao nhất hay đầu

tư với số lượng bao nhiêu là hợp lí Hoặc muốn hoạch định chiến lược trongkinh tế vĩ mô liên quan đến tốc độ gia tăng dân số của một quốc gia thì đạohàm là cần thiết Trong giao thông, thật bất ngờ khi không cần điều khiểnphương tiện mà cảnh sát giao thông vẫn biết được tốc độ vận hành của cácphương tiện đang tham gia giao thông trên đường nhờ súng bắn tốc độ Đó

là ứng dụng lí thú của đạo hàm

Chính vì vậy, đạo hàm có ứng dụng vô cùng to lớn trong toán học và nhiều

lĩnh vực khác của cuộc sống.

Với những ứng dụng quan trọng và rộng rãi của đạo hàm, cùng với sự chỉdẫn, động viên của thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn, tôi mạnh dạn lựa chọn,nghiên cứu đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế và toán

sơ cấp” trong khóa luận tốt nghiệp đại học

Khóa luận gồm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số kiến thức về đạohàm, trình bày một số định nghĩa, định lí và một số ứng dụng của đạo hàm

sẽ được sử dụng ở các chương sau

Chương 2 Ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế Mục đích chínhcủa chương này là trình bày những ứng dụng của đạo hàm trong một số bàitoán thực tế Đó là bài toán đường truyền của tia sáng, bài toán tốc độ tươngđối, bài toán lợi nhuận kinh tế và bài toán chuyển động cong

Chương 3 Ứng dụng của đạo hàm trong toán sơ cấp Mục đích của chươngnày trình bày những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toán sơ cấp

Đó là ứng dụng xét sự tồn tại nghiệm của phương trình; giải phương trình,giải bất phương trình, giải hệ phương trình, giải hệ bất phương trình; chứngminh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; tính giới hạn của hàm

số, dãy số; tính tổng trong khai triển nhị thức Newton

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian thực hiện đề tài, vì vậy khóa luậnkhông tránh khỏi những sai sót Rất mong được thầy cô và bạn đọc góp ý để

đề tài này hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.1 (xem [1]) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b)

và x0 thuộc (a; b) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

limx→x 0

f (x) − f (x0)

x − x0 ,thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 và kí hiệu

x0

Đại lượng ∆x = x − x0 được gọi là số gia đối số tại x0

Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0) = f (x0 + ∆x) − f (x0) được gọi là số giatương ứng của hàm số Như vậy

f0(x0) = lim

∆x→0

∆y

∆x.Định nghĩa 1.2 (xem [1]) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải

limx→x+0

f (x) − f (x0)

x − x0 ,

được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f (x) tại x0 và kí hiệu là f0(x−0).Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn - xem [1]).

i Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên (a; b) nếu nó có đạo hàmtại mọi điểm trên khoảng đó

ii Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên [a; b] nếu nó có đạo hàmtại mọi điểm trên khoảng (a; b), có đạo hàm phải tại x = a và đạo hàm tráitại x = b

Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm cấp hai - xem [1]) Giả sử hàm số y = f (x) cóđạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a; b) Khi đó, hệ thức y0 = f0(x) xác định mộthàm số mới trên khoảng (a; b) Nếu hàm số y0 = f0(x) có đạo hàm tại x thì

ta gọi đạo hàm của y0 là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x) và kí hiệu là

b − a .Định lí 1.5 (xem [1]) Giả sử hàm y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứađiểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b) Khi đó

i Nếu f0(x) đổi dấu khi từ âm sang dương khi x qua x0 thì hàm số đạt cựctiểu tại x0

ii Nếu f0(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì hàm số đạt cựcđại tại x0

Định lí 1.6 (xem [1]) Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)chứa x0, f0(x0) = 0 và f (x) có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 Khiđó

i Nếu f00(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

ii Nếu f00(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

2.1 Bài toán đường truyền của tia sáng

Luật phản xạ của một tia sáng đi từ điểm A tới một gương phẳng rồi phản

xạ đến B đã được biết đến từ thời Hi Lạp cổ đại Tuy nhiên, sự thật là tiasáng phản xạ theo con đường ngắn nhất được phát hiện muộn hơn nhiềubởi Heron tại thành Alexandria ở thế kỉ thứ nhất trước công nguyên Ông

đã chứng minh rất đơn giản và khéo léo nhờ bất đẳng thức tam giác để chỉ

ra rằng tia sáng đã chọn đường đi ngắn nhất từ A tới gương rồi tới B Tuynhiên, bài toán này còn được giải nhanh chóng hơn bằng công cụ đạo hàmtrong toán học Để rõ hơn ta xét bài toán 2.1

Hình 2.1

Bài toán 2.1 Giả sử một tia sáng đi từ

điểm A tới một gương phẳng rồi phản xạ

đến điểm B như trong hình 2.1 Thực

nghiệm cho thấy, góc tới α bằng góc phản

xạ β Chứng minh rằng, tia sáng đã chọn

con đường ngắn nhất từ A tới gương rồi

tới B

Chứng minh Giả sử A0, B0 lần lượt là

hình chiếu của A và B lên gương phẳng và P là điểm nằm trên gương phẳngnhư hình 2.1 Đặt AA0 = a, BB0 = b, A0B0 = c, A0P = x suy ra P B0 = c − x.Khi đó, độ dài L(x) của đường đi mà tia sáng từ A tới B là

L(x) = AP + P B,

√

a2+ x2 = c − x

pb2 + (c − x2).

Suy ra, tại điểm P ứng với α = β thì đạo hàm dL(x)

dx = 0 Hơn nữa, lấy đạohàm cấp hai của L(x) ta được

d2L(x)

2p(a2+ x2)3 + b

2p(b2 + (c − x2))3 > 0nên theo Định lý 1.6 suy ra L đạt cực tiểu

Vì vậy, ta đã chỉ ra rằng tia sáng đã chọn con đường ngắn nhất từ A tới

Như ta đã biết, tia sáng đi trong môi trường thuần nhất thì nó được truyềntheo đường thẳng với tốc độ không đổi Tuy nhiên, trong môi trường khácnhau (không khí, nước, thủy tinh) liệu tia sáng còn truyền được theo đườngthẳng và tốc độ như nhau nữa không? Năm 1621, nhà khoa học Hà Lan Snell

đã phát hiện đường truyền thực sự của một tia sáng Tia sáng sẽ lệch hướngkhi đi qua mặt phân cách Tính chất này được gọi là luật khúc xạ Snell Cụthể là bài toán 2.2

Bài toán 2.2 Giả sử tia sáng đi từ điểm A trong không khí với vận tốc Vatới điểm P tại mặt phân cách rồi truyền đến điểm B trong nước với vận tốc

là Vn Chứng tỏ rằng, con đường mà tia sáng đi từ A đến B là con đường mất

ít thời gian nhất Biết rằng góc tới, góc phản xạ lần lượt là α, β và thỏa

sin αsin β =

Va

Hình 2.2

Chứng minh Giả sử A0, B0 lần lượt là hình chiếu của A và B lên mặt phâncách Đặt AA0 = a, BB0 = b, A0B0 = c, A0P = x suy ra P B0 = c − x Khi đó,thời gian T (x) mà tia sáng đi từ A tới B là

sin αsin β =

Vậy ta đã chỉ ra rằng con đường tia sáng đi từ A tới B là ít thời gian

Nhận xét 2.1 Hằng số bên phải của (2.1) là tỉ lệ giữa tốc độ của ánh sángtrong không khí và tốc độ của ánh sáng trong nước Hằng số này gọi là chỉ

số chiết suất của nước

2.2 Bài toán tốc độ tương đối

Giả sử bạn đang đổ nước vào một cái bình Hãy quan sát và mô tả sự dânglên của mực nước trong bình Ở đây, chúng ta đang nói tới tốc độ thay đổicủa mực nước hoặc một cách tương đương là tốc độ thay đổi của chiều sâu.Nếu chiều sâu và thời gian lần lượt được kí hiệu là h và t được tính từ mộtthời điểm phù hợp nào đó, vậy thì dhdt ≈ h(t+∆t)−h(t)∆t là tốc độ thay đổi củachiều sâu tại thời gian t Tương tự như vậy thì thể tích V của nước trongbình cũng thay đổi theo thời gian và dVdt ≈ V (t+∆t)−V (t)∆t là tốc độ thay đổi củathể tích tại thời điểm t

Nói chung, giả sử Q là một đại lượng hình học hay một đại lượng vật líthay đổi theo thời gian, tức Q = Q(t) Khi đó, đạo hàm của nó được cho bởicông thức dQdt = lim

∆t→0

Q(t+∆t)−Q(t)

∆t là tốc độ thay đổi của đại lượng Q tại thờiđiểm t Hơn nữa, nếu đại lượng thay đổi mà đại lượng này quan hệ với đạilượng kia thì tốc độ thay đổi của chúng cũng có quan hệ với nhau

Để rõ hơn ta xét bài toán 2.3 và bài toán 2.4

Bài toán 2.3 Gas được bơm vào khối cầu cao su lớn có bán kính r với tốc

độ 8cm3/s Chứng minh rằng tốc độ tăng của bán kính r bằng 2π1 cm/s khibán kính r của khối cầu bằng 2cm

Chứng minh Thể tích V của khối cầu với bán kính r được cho bởi côngthức

dV

dt = 4πr

2dr

Từ (2.3) suy ra

dr

dt =

14πr2

dV

dt =

24r2 (vì dV

Thay drdt = 2π1 cm/s và r = 2cm vào (2.4) và thấy rằng nó nghiệm đúng phươngtrình

Nhận xét 2.2 Kết quả trên cho thấy mặc dù thể tích của khối cầu tăng vớimột tốc độ không đổi nhưng bán kính tăng tỉ lệ nghịch với thể tích

Bài toán 2.4 Một cái thang dài 13f t đang dựa vào một bức tường thì phầnchân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độ không đổi 6f t/min Chứng minhrằng, đầu trên của chiếc thang chuyển động xuống phía dưới chân tường vớitốc độ là 2, 5f t/min khi chân thang cách tường là 5f t

Hình 2.3

Chứng minh Ta mô tả tình huống trên bằng hình vẽ (hình 2.3) Giả sử x

là khoảng cách từ chân thang tới tường và y là khoảng cách từ đầu trên củathang tới mặt đất Khi đó, ta quy ước dydt là tốc độ mà y thì đang tăng theothời gian t và −dydt là tốc độ mà y thì đang giảm theo thời gian t

Như vậy, trong bài toán này ta cần chứng tỏ rằng −dydt = 2, 5f t/min khi

x = 5

Thật vậy, theo giả thiết chân thang bị đẩy ra cách xa tường với tốc độkhông đổi là 6f t/min nghĩa là dxdt = 6 Mặt khác, từ hình vẽ (2.3) ta có

Lấy vi phân (2.5) theo t, ta có

2xdx

dt + 2y

dy

dt = 0,suy ra

−dy

dt =

xdxydt,nên

2.3 Bài toán lợi nhuận kinh tế

Phép tính vi phân xuất hiện hơn ba thế kỉ trước, đầu tiên chúng được ứngdụng trong vật lí, sau đó nó tiếp tục được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác.Đặc biệt, nó có nhiều ứng dụng trong lí thuyết kinh tế và quản lí kinh doanh.Các ứng dụng này tập trung chủ yếu quanh vấn đề về tổng chi phí, giá cả,lượng hàng tồn kho (dự trữ),

Trong cơ chế thị trường hiện nay ở nước ta, mục tiêu lâu dài bao trùmcủa các doanh nghiệp là kinh doanh có hiệu quả và tối đa hóa lợi nhuận Môitrường kinh doanh luôn biến đổi đòi hỏi mỗi doanh nghiệp phải có chiến lượckinh doanh thích hợp Công việc kinh doanh là một nghệ thuật đòi hỏi sựtính toán nhanh nhạy, biết nhìn nhận vấn đề ở tầm chiến lược Vậy sẽ xuấthiện hai bài toán lớn mà các nhà kinh doanh cần phải giải quyết

Bài toán 2.5 Giả sử một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y Tổng chiphí C = C(x) là một hàm phụ thuộc theo x sản lượng hàng hóa Y Tổng chiphí này thường bao gồm hai loại: thứ nhất là chi phí để xây dựng nhà máy,mua sắm máy móc, nó là một con số cố định a; loại thứ hai là chi phí tiềnlương và chi phí vật liệu thô Vậy làm sao để hoạt động sản xuất đạt hiệu quảtối đa?

Lời giải Ta thấy chi phí tiền lương và vật liệu thô để làm ra một đơn vịsản lượng là cố định, giả sử là b Khi đó, để làm ra x sản phẩm hàng hóa Ycần bx chi phí Trong các mô hình đơn giản, tổng chi phí C được tính nhưsau

Để cho doanh nghiệp sản xuất hiệu quả nhất thì chi phí đạt cực tiểu và lợinhuận đạt cực đại hay chi phí trung bình C(x)x đạt cực tiểu Ta lấy đạo hàmcủa hàm C(x)x ta được

 C(x)x

hoặc nó có thể là hàm phức tạp hơn nữa (Có thể hình dung về hàm chi phínhư vậy trong hình 2.4a) Đạo hàm dCdx cho ta biết tốc độ của tổng chi phí Ctheo x Các nhà kinh tế gọi đạo hàm này là chi phí lề (hay chi phí cận biên).Thực tế nó chính là chi phí gia tăng khi ta muốn tăng sản lượng lên một đơn

Một vấn đề quan tâm hàng đầu nữa của nhà sản xuất đó là làm ra lợinhuận và sao cho tối đa hóa nó Vậy làm sao để lợi nhuận của nhà sản xuấtđạt giá trị lớn nhất? Ta xét bài toán 2.6

Bài toán 2.6 Giả sử một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y Biết rằng

C = C(x) là hàm tổng chi phí tính theo x sản lượng hàng hóa Y Hãy tínhtoán sao cho hoạt động sản xuất của doanh nghiệp này đạt lợi nhuận tối đa

Lời giải Ta thấy rằng mức lợi nhuận của nhà sản xuất phụ thuộc vào giábán p Nhà sản xuất luôn mong muốn rằng có thể bán được x đơn vị sảnphẩm với giá đặc biệt p Nói chung, với giá p giảm thì thường phải giảm sảnlượng x (xem hình 2.5b biểu thị sản lượng x như một hàm của giá bán p) Đểcho tiện, ta thường biểu thị các yếu tố liên quan qua sản lượng x, nên hình2.5a cho ta hình dung về p như là một hàm của x Nhiều khi giá bán và sảnlượng cũng không biến đổi tỉ lệ thuận Đối với mặt hàng thiết yếu như gạo vàxăng dầu con người vẫn phải mua thường xuyên với mức khá ổn định bất kể

giá cả thế nào Ngược lại, đối với những mặt hàng không thiết yếu như bánhkẹo thì ngày càng nhiều người mua nó khi giá của nó thấp, có nghĩa là hànghóa càng nhiều thì giá thành càng giảm Vì vậy, nhiều khi hàm giá p = p(x)

mô tả liên hệ giữa giá p và nhu cầu của thị trường về mặt hàng đó Vì vậy,

nó còn được gọi là hàm cầu Giả sử R(x) là hàm tổng doanh thu của nhà sản

Hình 2.5xuất và hàm thu nhập lề là R0(x) - thu nhập gia tăng khi sản lượng tăng lênmột đơn vị từ mức x Khi đó, lợi nhuận P (x) là hiệu giữa doanh thu và tổngchi phí

R0(x) = C0(x)

Vì vậy, ta kết luận được rằng lợi nhuận của doanh nghiệp đạt giá trị lớnnhất khi mà sản lượng được điều chỉnh sao cho thu nhập lề bằng chi phí lề

Nhận xét 2.4 Giả sử p(x) là giá bán của đơn vị sản phẩm Khi đó, thunhập R(x) = xp(x) và (2.10) trở thành

Áp dụng lí thuyết trên vào các ví dụ sau

Ví dụ 2.1 Một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y Biết rằng lợi nhuận

P của doanh nghiệp là một hàm phụ thuộc vào mức sản lượng Q như sau

P = −1

3Q

3 + 14Q2+ 60Q − 54

Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

Lời giải Thực ra ta chỉ cần khảo sát để tìm giá trị lớn nhất của P Dễ thấy

P xác định trên (0; +∞) Đạo hàm của hàm số P ta được

Từ bảng biến thiên thấy P đạt giá trị lớn nhất khi Q = 20

Vậy mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa của nhà sản xuất là 20

Nhận xét 2.5 Vậy bài toán đã được giải quyết bằng công cụ giải tích mộtcách nhanh chóng.

Ví dụ 2.2 Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm trên thị trường cạnh tranhvới giá P = 200000 VNĐ Cho biết hàm sản xuất Q = 12√3

L2 và giá trị thuêlao động là WL = 40000 VNĐ Xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuậntối đa

Lời giải Hàm lợi nhuận P của nhà sản xuất là

Theo bảng biến thiên thì P đạt giá trị lớn nhất tại L = 64000

Vậy mức sử dụng lao động tối đa là 64000

Ví dụ 2.3 Một doanh nghiệp X sản xuất mặt hàng Y Biết rằng doanh thu

P và chi phí C là các hàm phụ thuộc vào mức sản lượng Q lần lượt được chonhư sau

P = 4000Q − 33Q2và

C = 2Q3− 3Q2+ 400Q + 5000

Xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất

Lời giải Hàm lợi nhuận P của doanh nghiệp được tính như sau

Theo bảng biến thiên, ta suy ra P đạt giá trị lớn nhất tại Q = 20

Vậy mức sản lượng để tối ưu (sản lượng cho lợi nhuận tối đa) là Q = 20

2.4 Bài toán chuyển động cong

Như ta đã biết, vận tốc chính là thương số giữa quãng đường và thời gianvật đi hết quãng đường đó, nhưng điều này chỉ đúng khi vận tốc là hằng số

cố định (hay vật chuyển động đều) Ta cần một công thức khác khi vận tốcthay đổi theo thời gian

Nếu ta có biểu thức S (quãng đường) theo t (thời gian) thì vận tốc ở bất

kì thời điểm nhỏ t nào được xác định bởi

v = lim

∆x→0

∆S

∆t,hay

Công thức trên chỉ thích hợp với chuyển động thẳng, điều này chưa phù hợpvới nhiều vấn đề trong cuộc sống Vì vậy, ta nghiên cứu khái niệm về chuyểnđộng cong khi một vật thể di chuyển trên đường cong cho trước.

Thông thường ta biểu diễn thành phần chuyển động là x và y là hàm sốtheo thời gian, gọi là dạng tham số

2.4.1 Các thành phần ngang và dọc của vận tốc

Thành phần ngang của vận tốc được xác định bởi

vx = dxdt

tan θv = vy

vx.

Ví dụ 2.4 Một chiếc xe hơi chuyển động với biểu thức đường đi là x = 5t3

và y = 4t2 với thời gian t, tìm độ lớn và phương vị của vận tốc của chuyểnđộng khi t = 10

Lời giải Khi t = 10 ta được tọa độ điểm (5000; 400) Ta mô tả chuyển độngcủa chiếc xe bằng đồ thị sau

2.4.2 Gia tốc của vật thể khi chuyển động cong

Biểu thức của gia tốc có cách xác định tương tự như cách xác định vận tốc.Thành phần ngang của gia tốc

ax = dvx

dt .Thành phần dọc của gia tốc

tan θa = ay

ax.

Ví dụ 2.5 Một chiếc xe hơi trên đường chạy thử nghiệm đến khúc cua thìchạy với biểu thức đường đi là x = 20 + 0, 2t3, y = 20t − 2t2 với x, y tính theomét (m) và t giây (s).

i Mô tả chuyển động của chiếc xe với 0 ≤ t ≤ 8

ii Tính gia tốc và phương vị của xe khi t = 0, 3s

Lời giải i Đồ thị của đường cong với 0 ≤ t ≤ 8 là

ii Từ biểu thức đường đi của chuyển động ta xác định được ax = 1, 2t

và ay = −4 Khi đó, tại t = 3 thì ax = 3, 6 và y = −4 Suy ra gia tốc a vàphương vị θa của chuyển động lần lượt là

θa = arctanay

ax = 312

o.Vậy gia tốc của xe có độ lớn 5, 38 (m/s2) và phương vị 312o hợp với trục

x theo chiều dương

2.4.3 Nếu x, y không có phương trình tham số

Ví dụ 2.6 Một hạt di chuyển theo đường y = x2+ 4x + 2 tính theo cm, vớivận tốc ngang vx = 3 cm/s Xác định độ lớn và phương vị của vận tốc tạithời điểm (−1; −1)

Lời giải Để xác định độ lớn cũng như phương vị của vận tốc, ta cần biết vx

và vy nhưng trong bài đã cho vx = 3 Vậy ta cần tìm vy Ta đạo hàm phươngtrình đã cho theo t bằng cách sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp

Vì vận tốc ngang của hạt là 3 nên dxdt = 3 và ta muốn biết vận tốc tại x = −1suy ra

Lời giải Ta mô tả chuyển động của tên lửa bởi đồ thị sau

Ta thấy rằng quả tên lửa chạm đất ở gần vị trí x = 9, 5 Tại điểm này vậntốc ngang có giá trị dương và vận tốc dọc có giá trị âm

Theo giả thiết, ta có V (x) = x nghĩa là khi x tăng thì vận tốc ngang cũngtăng với cùng một giá trị Để tính độ lớn của vận tốc khi tên lửa chạm đất,

ta cần xác định các thành phần ngang dọc của vận tốc tại thời điểm đó Tacần giải phương trình sau để tìm chính xác điểm va chạm của tên lửa với mặtđất

x − x3

90 = 0 với x > 0.

Giải phương trình trên ta được x = 3√

10 Bây giờ ta đạo hàm hàm đãcho theo t để tìm vận tốc dọc

dx

dt.Nhưng ta đã biết dxdt và x là như nhau nên ta thay giá trị x tìm được ở bêntrên và được kết quả âm như dự đoán

dy

dt = −18, 973.

Bây giờ ta tính độ lớn vận tốc, bao gồm vận tốc ngang và dọc

= −1, 107

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN SƠ CẤP

3.1 Ứng dụng của đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm

của phương trình

Muốn xét sự tồn tại nghiệm của phương trình f (x) = 0 trên D, D là tập concủa số thực R ta kiểm tra tính liên tục, khả vi của hàm f (x) trên D Sau đó,

sử dụng một trong hai cách sau:

i Chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Chỉ ra được tậpgiá trị của f (x) đổi dấu (dựa vào xét các điểm cực trị của hàm số)

ii Xác định một nguyên hàm của hàm số f (x) là F (x) = R f (x)dx, sau đó

áp dụng định lí Lagrange (Định Lý 1.4)

Đối với bài toán xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình ta thường đưa

về bài toán xét sự tồn tại nghiệm của phương trình

Ví dụ 3.1 (Đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2005-xem[5]) Tìm a để phương trình

sin2 x2(x2)2 = −2a

Xét hàm số

f (t) = sin t

t , ∀t ∈

0;π4



Mà

f (π

4) =

2√2

π ,và

limt→0f (t) = 1

Suy ra

2√2

π < f (t) < 1 hay

8

π2 < sin

2 x 2(x2)2 < 1, ∀t ∈

0;π4



Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc (0;π4) khi và chỉ khi8

π 2 < −2a < 1 hay −12 < a < −π42

Ví dụ 3.2 (Định lí Cauchy-xem[1]) Nếu các hàm số f (·), g(·) đều liên tụctrên [a; b], khả vi trong khoảng (a; b) và g0 6= 0 tại mọi x thuộc khoảng đó thìphương trình sau luôn có nghiệm

f (b) − f (a)g(b) − g(a) =

f0(x)

g0(x).Chứng minh Do g0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a; b) suy ra g(b) − g(a) 6= 0 Thật vậy,giả sử g(b) − g(a) = 0 Theo định lí Lagrange tồn tại c thuộc (a; b) sao cho

g0(c) = g(b) − g(a)

b − a = 0 (mâu thuẫn giả thiết).

Xét hàm số F (x) = f (x) −f (b) − f (a)

g(b) − g(a) g(x) Do các hàm số f (·), g(·) liên tụctrên [a; b], khả vi trong (a; b) nên hàm số F cũng liên tục trên [a; b], khả vitrong (a; b) Áp dụng định lí Lagrange tồn tại c thuộc (a; b) sao cho

F0(c) = f0(c) − f (b) − f (a)

g(b) − g(a)g

0(c) = F (b) − F (a)

b − a = 0

tương đương với

f (b) − f (a)g(b) − g(a) =

f0(c)

g0(c).

Nhận xét 3.1 Giả sử f = h(x)x và g = x1 là các hàm liên tục và có đạo hàmtrên (0; +∞) Cho a, b là hai số thực thỏa mãn 0 < a < b suy ra phương trìnhsau

xh0(x) − h(x) = ah(b) − bh(a)

b − a ,

có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b)

3.2 Ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình, bất

phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

3.2.1 Giải phương trình

Khi sử dụng đạo hàm trong giải phương trình, ta thường chọn hàm số f (·)thích hợp Giả sử hàm số f (·) xác định trên D, ta kiểm tra tính liên tục vàkhảo sát hàm f (·) Sau đó, dựa vào kết quả khảo sát hàm f (·) để kết luận sốnghiệm hoặc chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình Đồng thời sử dụngcác tính chất sau

Tính chất 3.1 Nếu f (·) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a; b) thìphương trình f (x) = k có không quá một nghiệm

Chứng minh Giả sử phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 6= x2)suy ra f (x1) = f (x2) = k nên f (x1) − f (x2) = 0 Nhưng do f (·) là hàm đơnđiệu nên