Ứng dụng của tích phân trong các bài toán thực tế và toán sơ cấp

Header Page of 161 ✬ ✩ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————————o0o———————— NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ✫ Footer Page of 161 Hà Nội – Năm 2016 ✪ Header Page of 161 ✬ ✩ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————————o0o———————— NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: GIẢI TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN Hà Nội – Năm 2016 ✫ Footer Page of 161 ✪ Header Page of 161 i LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian theo học khoa suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.s Nguyễn Quốc Tuấn giảng viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng suốt trình làm khóa luận để có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy giáo Th.s Nguyễn Quốc Tuấn Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định đề tài “Ứng dụng tích phân toán thực tế toán sơ cấp” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với khóa luận trước Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Footer Page of 161 i Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Định nghĩa tích phân 1.2 Các tính chất định lý tích phân 1.2.1 Các tính chất 1.2.2 Các định lý tích phân Tích phân xác định nguyên hàm 1.3.1 Tích phân xác định hàm theo cận 1.3.2 Nguyên hàm Tính toán biến đổi tích phân 1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz 1.4.2 Đổi biến tích phân 1.4.3 Công thức tích phân phần 10 1.3 1.4 Ứng dụng tích phân toán thực tế 2.1 11 Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích, độ dài 11 2.1.1 Tính diện tích hình phẳng 11 2.1.2 Tính thể tích vật thể 17 2.1.3 Tính độ dài đường cong phẳng 22 Footer Page of 161 ii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp 2.1.4 2.2 Nguyễn Thị Thùy Dương Tính diện tích vật thể tròn xoay 27 Ứng dụng tích phân vật lý 33 2.2.1 Moment trọng tâm 33 2.2.2 Ứng dụng tích phân tập điện 38 2.2.3 Bài toán tính Công 44 2.2.4 Bài toán Lực-Áp suất 47 2.2.5 Bài toán Phân hủy-Phóng xạ 49 Ứng dụng tích phân toán sơ cấp 3.1 Ứng dụng tích phân toán chứng minh đẳng thức 3.2 52 52 Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh tồn nghiệm 54 3.3 Ứng dụng phép tính tích phân toán cực trị 59 3.4 Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức 3.5 61 Ứng dụng phép tính tích phân để tính giới hạn dãy 65 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 Footer Page of 161 iii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Lời mở đầu Lĩnh vực Tích phân có vị trí đặc biệt toán học, không đối tượng nghiên cứu trọng tâm Giải tích mà công cụ đắc lực nhiều lĩnh vực lý thuyết hàm số ứng dụng liên quan Bản thân phép tính tích phân thường sử dụng nghiên cứu Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Y học giải pháp hữu hiệu mô hình toán học cụ thể hoạt động thực tiễn Những phép tính tích phân thực từ cách 2.000 năm Archimedes (287–212 trước Công nguyên), ông tính diện tích bề mặt thể tích vài hình cầu, hình parabol hình nón Phương pháp tính Archimedes đại dù vào thời chưa có khái niệm đại số, hàm số hay chí cách viết số dạng thập phân Tích phân thức khám phá Isaac Newton (1642–1727) Leibniz (1646–1716) với ý tưởng chủ đạo tích phân vi phân hai phép tính nghịch đảo Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học giải số lượng khổng lồ toán quan trọng toán học, vật lý thiên văn học Trong định nghĩa tích phân xác định sử dụng chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích hình phẳng chia nhỏ vật thể để tính khối lượng vật thể biết hàm mật độ khối Vì thế, tích phân xác định từ nội có ứng dụng thực tế Một số ứng dụng tích phân thực tế nghiên cứu tính diện tích, tính thể tích, độ dài đường cong, tính monent, tìm trọng tâm, tính cường độ điện trường, điện trở, từ trường, công, lực áp suất Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Những ứng dụng hình học đề cập nhiều sách giáo khoa, sách chuyên khảo nâng cao, đề thi vào Đại học nhiều năm Nhưng việc sử dụng Toán học có hiệu việc giải toán Vật lý việc khó học sinh phổ thông, kể học sinh khá, giỏi Ứng dụng tính phân toán sơ cấp chứng minh đẳng thức, chứng minh tồn nghiệm, tìm cực trị, chứng minh bất đẳng thức, tính giới hạn dãy đề cập nhiều sách giáo khoa, sách chuyên khảo nâng cao, đề thi vào Đại học đề thi Olympic nhiều năm Khóa luận gồm mở đầu; ba chương nội dung; kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: trình bày sở lý thuyết tích phân xác định Kiến thức chương dựa tài liệu [2], [7] số tài liệu khác Chương 2: trình bày ứng dụng phép tính tích phân Hình học Vật lý Chương 3: trình bày ứng dụng phép tính tích phân toán sơ cấp Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Một số kiến thức Chương trình bày sở lý thuyết tích phân xác định 1.1 Định nghĩa tích phân Định nghĩa 1.1 (xem [2]) Cho hàm f xác định đoạn [a, b] Ta thực phép phân hoạch Π chia đoạn [a, b] thành n đoạn [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, , n) điểm chia tùy ý a = x0 < x1 < < xn = b (1.1) Đặt ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, , n) kí hiệu d = max ∆xi gọi đường 1≤i≤n kính phép phân hoạch Π Trên đoạn [xi−1 , xi ] chọn điểm tùy ý ξi (i = 1, 2, , n) Khi đó, tổng n Sf (Π, ξ) = f (ξi )∆xi = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 + + f (ξn ) ∆xn , i=1 (1.2) Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương gọi tổng tích phân hàm f [a, b] ứng với phép phân hoạch Π cách chọn điểm ξi Nếu d → mà tổng (1.2) tiến giới hạn hữu hạn I không phụ thuộc vào phép phân hoạch Π cách chọn điểm ξi [xi−1 , xi ] ta nói hàm f khả tích đoạn [a, b] giới hạn gọi tích phân hàm số f lấy đoạn [a, b], kí b f (x)dx, hay hiệu a n b f (x)dx = lim d→0 i=1 a f (ξi ) ∆xi (1.3) Nhận xét 1.1 Tích phân xác định không phụ thuộc vào lựa chọn biến lấy tích phân b b f (x)dx = a 1.2 1.2.1 b f (y)dy = a f (t)dt, a Các tính chất định lý tích phân Các tính chất Trong phần này, ký hiệu [a, b] hiểu khoảng a ≤ x ≤ b, a ≥ x ≥ b i Giả sử f , g hàm khả tích [a, b], α, β số thực tùy ý Khi đó, hàm αf (·) + βg(·) khả tích đoạn [a, b] ta có đẳng thức b b [αf (x) + βg(x)]dx = α a b f (x)dx + β a g (x)dx a ii Nếu f khả tích đoạn [a, b] khả tích đoạn [b, a], Footer Page 10 of 161 Header Page 62 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Ngược lại, giả sử phương trình (3.3) có nghiệm x1 , x2 Để ý F (x) =x3 −ax2 +bx + c nguyên hàm f (x) = 3x2 − 2ax + b với c số Khi đó, ta xét hai trường hợp Nếu x1 = x2 ta chọn α = β = γ = x1 Khi đa thức F (x) = (x − x1 )3 có ba nghiệm trùng nên đạo hàm có hai nghiệm có dạng (3.4) Khi x1 = x2 , coi x1 < x2 nguyên hàm F (x) có cực đại, cực tiểu đạo hàm có hai nghiệm phân biệt nên đổi dấu qua nghiệm Chọn c cho điểm uốn đồ thị nằm trục hoành Khi đó, phương trình F (x) = có ba nghiệm, ký hiệu α, β, γ Theo Định lí Viet, ta có biểu diễn dạng dạng (3.4) Ví dụ 3.2.2 (xem [5]) Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0; a, b, c ∈ R) thỏa mãn điều kiện a b c + + = 0, m > m+2 m+1 m Chứng minh rằng, phương trình f (x) = có nghiệm (0, 1) Lời giải Xét hàm số g(x) = axm+1 + bxm + cxm−1 Ta thấy, g hàm liên tục R có nguyên hàm G (x) = a b c xm+2 + xm+1 + xm m+2 m+1 m Ta có G(0) = G (1) = Footer Page 62 of 161 a b c + + = 0, nên theo Định m+2 m+1 m 56 Header Page 63 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương lý 1.2 phương trình g(x) = axm+1 + bxm + cxm−1 có nghiệm (0, 1) Suy ra, phương trình f (x) = có nghiệm (0, 1) Ví dụ 3.2.3 (xem [5]) Giải phương trình x x2 + = ln (x + x2 + 1) (3.5) Lời giải Ta có phương trình (3.5) tương đương với x x2 + − ln (x + x2 + 1) = Xét hàm số F (x) = x x2 + − ln (x + x2 + 1) ta có F (0) = x [t t2 + − ln(t + F (x) = x (t √ = + √t21+1 t2 + − ) dt √ + t2 + t + t2 + x 2t2 = dt √ t +1 Ta thấy, hàm số f (t) = √ t2 + 1)] dt 2t2 hàm liên tục, không âm với t, t2 + nên theo Định lý 1.3 phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 3.2.4 (Đề thi OLP Toán sinh viên toàn quốc-2002, Xem [8]) Footer Page 63 of 161 57 Header Page 64 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Chứng minh tồn số thực x cho x t2000 dt x2001 = (1 + t)(1 + t2 ) (1 + t2001 ) (1 + x)(1 + x2 ) (1 + x2001 ) Lời giải Đặt f (t) = x t2000 dt , t ∈ [0, 1], (1 + t)(1 + t2 ) (1 + t2001 ) xét hàm số f (t)dt, x ∈ [0, 1] F (x) = x x Do f (·) liên tục đoạn [0, 1] nên F (·) có đạo hàm (0, 1), liên tục đoạn [0, 1] f (t)dt − xf (x), x ∈ (0, 1) F (x) = x Mặt khác, ta có F (1) = F (0) = Theo định lý Rolle, tồn số x ∈ (0, 1) cho F (x) = 0, nghĩa f (t)dt = xf (x) Đây điều phải x chứng minh Ví dụ 3.2.5 (Đề thi OLP Toán sinh viên toàn quốc-2005, xem [8]) Cho hàm số f (x) xác định liên tục [a, b](a < b) thỏa mãn điều kiện b f (x)dx = a Chứng minh rằng, tồn c ∈ (a, b) cho c f (c) = 2005 f (x)dx a Footer Page 64 of 161 58 Header Page 65 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Lời giải Xét hàm số t −2005t f (x)dx, ∀t ∈ (a, b) F (t) = e a Khi F (a) = F (b) = F (t) = −2005e t −2005t f (x)dx + e−2005t f (t), ∀t ∈ (a, b) a Theo Định lý Rolle, tồn c ∈ (a, b) cho F (c) = nghĩa c −2005e−2005c f (x)dx + e−2005c f (c) = a Từ đây, suy điều phải chứng minh c f (c) = 2005 f (x)dx a 3.3 Ứng dụng phép tính tích phân toán cực trị Để tìm cực trị hàm số y = f (x) đoạn [a, b], ta sử dụng tích phân theo bước sau: Bước 1: Chọn hàm số g(t) thích hợp, ta chứng minh hàm số hàm liên tục đồng biến (nghịch biến) đoạn [a, b] Bước 2: Sử dụng Định lý 1.5 ta tìm cực trị hàm số Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp phụ thuộc vào hàm số cần tìm cực trị Dưới số ví dụ ứng dụng tích phân toán cực trị Footer Page 65 of 161 59 Header Page 66 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Ví dụ 3.3.1 (xem [5]) Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = (3 + ln 2) x + 2x+1 − x2 ln 2, x ∈ [0, 2] Lời giải Dễ thấy g (t) = −2t − t hàm số liên tục nghịch biến [0, 2] Do đó, với x ∈ [0, 2] ta có x 2 (2t + t) dt ≥ −x (2t + t) dt tương đương x 2t t2 t2 2t −2 ( + )| ≥ −x ( + )| ln 2 ln 2 tức 2x+1 + x2 − ln ln ≤ 4x x + 2x − ln ln hay 2x+1 + x2 ln − ≤ 4x + 2x ln − x (3 + ln 2) x − 2x+1 − x2 ln ≥ Vậy giá trị nhỏ hàm số f max f = đạt x = [0, 2] x = Ví dụ 3.3.2 (xem [5]) Cho hai số x, y (x ≤ y) thuộc khoảng (0, 1) Tìm giá trị lớn hàm số f (x, y) = y (ln Footer Page 66 of 161 1+x 1+y + x2 ) − x (ln + y2) 1−x 1−y 60 Header Page 67 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Lời giải Xét hàm số g (t) = t + , ∀t ∈ (0, 1) , − t2 ta có g (t) = + 2t (1 − t2 )2 > 0, ∀t ∈ (0, 1) Suy ra, hàm số g(t) liên tục đồng biến khoảng (0, 1) Do đó, ta có x y g (t) dt ≤ x y g (t) dt tương đương x y hay (t + ) dt ≤ x − t2 y (t + ) dt − t2 x y t2 1 + t t2 1 + t y ( + ln )| ≤ x ( + ln )| 2 1−t 2 1−t nghĩa y (ln 1+x 1+y + x2 ) − x (ln + y ) ≤ 1−x 1−y Vậy giá tri lớn hàm số f (x, y) max2 f = đạt [0, 1] x = y 3.4 Ứng dụng phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức Xuất phát từ tính chất bản, để chứng minh bất đẳng thức f (x) > g(x) f (x) ≥ g(x) ta tìm bất đẳng thức đơn giản dễ Footer Page 67 of 161 61 Header Page 68 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương chứng minh nhất, hai vế bất đẳng thức hàm số khả tích Thông thường ta chọn bất đẳng thức có hai vế đạo hàm hai vế bất đẳng thức cần chứng minh Sau đó, tích phân nhiều lần chọn cận thích hợp để bất đẳng thức chứng minh Dưới số ví dụ sử dụng phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3.4.1 (Đề thi OLP toán sinh viên toàn quốc-1998, xem [8]) Cho f (x) ∈ C [0, 1] f (0) = Chứng minh 1 |f (t)f (t)|dt ≤ (f (t))2 dt Lời giải Xét hàm số x |f (t)||f (t)|dt, ∀x ∈ [0, 1], F (x) = x G(x) = x [f (t)]2 dt, ∀x ∈ [0, 1] Khi đạo hàm hàm F (x), G(x) F (x) = |f (x)f (x)|; G (x) = x x [f (t)]2 dt + [f (t)]2 , ∀x ∈ [0, 1] Mặt khác, ta có x f (t)dt, ∀x ∈ [0, 1] f (x) = Theo bất đẳng thức Cauchy x |f (x)| = | f (t)dt| ≤ ( Footer Page 68 of 161 x x 62 [f (t)] dt) , ∀x ∈ [0, 1] dx) ( Header Page 69 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Khi đó, ta có |f (x)f (x)| ≤ √ x 2 [f (t)] dt) |f (x)|, ∀x ∈ [0, 1] x( Suy |f (x)f (x)| ≤ x x [f (t)]2 dt + [|f (x)|]2 , hay F (x) ≤ G (x), ∀x ∈ [0, 1] (3.6) Lấy tích phân hai vế (3.6) theo cận từ đến ta 1 |f (t)f (t)|dt ≤ (f (t))2 dt Ví dụ 3.4.2 (Đề thi OLP toán sinh viên toàn quốc-2005, xem [8]) Cho hàm số f liên tục [0, 1] thỏa mãn điều kiện x 1 − x2 f (t)dt ≤ , ∀x ∈ [0, 1] 2 [f (x)] dx ≤ Chứng minh xf (x)dx Lời giải Ta có 0≤ [f (x) − x]2 dx = 0 xf (x)dx + = [f (x)]2 dx − 0 [f (x)]2 dx − x2 dx xf (x)dx + Suy 1 [f (x)] dx ≥ Footer Page 69 of 161 63 xf (x)dx − (3.7) Header Page 70 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đặt A = Nguyễn Thị Thùy Dương ( f (t)dt) dx Ta có x A= f (t)dt) dx ≥ ( x 1 − x2 dx = Mặt khác, ta có 1 f (t)dt) dx = x ( A= 0 x xf (x)dx xf (x)dx = 1f (t)dt| + x 1 0 Do 1 xf (x)dx ≥ (3.8) Thay (3.8) vào (3.7) ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 3.4.3 (IMC-2010, Xem [3]) Cho < a < b Chứng minh b 2 (x2 + 1)e−x dx ≥ e−a − e−b a x Lời giải Đặt f (x) = 2 (t2 + 1)e−t dt, g(x) = −e−x , ∀x ∈ [a, b] Ta thấy hai hàm hàm giảm Áp dụng Định lý giá trị trung bình, tồn số thực x ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) f (x) (x2 + 1)e−x 1 = (x + )≥ = = x g(b) − g(a) g (x) 2xe−x2 x = x Vậy b 2 (x2 + 1)e−x dx = f (b) − f (a) ≥ g(b) − g(a) = e−a − e−b a Footer Page 70 of 161 64 Header Page 71 of 161 Khóa luận tốt nghiệp 3.5 Nguyễn Thị Thùy Dương Ứng dụng phép tính tích phân để tính giới hạn dãy Giả sử f hàm khả tích đoạn [a, b] (có thể đoạn chứa vô cùng) Khi đó, với phép phân hoạch có đường kính phân hoạch d cách chọn điểm ξi ta có giới hạn tổng tích phân hội tụ giá trị tích phân f [a, b] hay ∞ lim d→0 i=1 b f (ξi ) = f (x)dx a Khi phép phân hoạch phép phân hoạch n lim f (ξi ) = n→∞ n i=1 b f (x)dx a Sử dụng định nghĩa tích phân ta tìm giới hạn cách thực bước sau : Bước 1: Chỉ hàm số thích hợp f liên tục [a, b] Bước 2: Xây dựng tổng tích phân hàm số cho tổng tổng cần tìm giới hạn b Bước 3: Khi lim Sn = n→∞ f (x) dx a Dưới số ví dụ sử dụng phép tính tích phân để tính giới hạn dãy Ví dụ 3.5.1 (Đề thi OLP toán sinh viên toàn quốc-2002, xem [8]) Cho f hàm liên tục [0, e] Tìm giới hạn dãy Jn xác định 1+ n1 Jn = n f (xn )dx, n = 1, 2, Footer Page 71 of 161 65 Header Page 72 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương un Lời giải Dùng phép đổi biến t = xn ta thu Jn = n 1 t n f (t) dt t n un = (1 + ) < e Với n ∈ N với t ∈ [1, un ], ta có n 1 ≤ un ≤ e, ≤ t n − ≤ Do n un |Jn − un f (t) f (t) dt| = | dt| (t n − 1) t t 1 un f (t) ≤ | dt| n t un f (t) ≤ | dt | n t e f (t) ≤ | | dt n t Suy un lim |Jn − n→∞ f (t) dt| = t Vì un lim Jn = lim n→∞ n→∞ f (t) dt = t e f (t) dt t Ví dụ 3.5.2 (IMC-1996, xem [8]) ∞ nx = i Chứng minh lim 2 x→+∞ n=1 (n + x) ii Chứng minh tồn số c > cho với x ∈ [1; ∞) ∞ c nx ta có | − | ≤ + x)2 x (n n=1 Lời giải i Đặt f (t) = 1 , t ∈ [0, 1] h = , x ∈ [0, 1] Ta có √ (1 + t2 )2 x ∞ ∞ f (t)dt = Footer Page 72 of 161 1 dt = (1 + t2 )2 66 Header Page 73 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Suy ∞ ∞ nx =h f (nh) 2 n=1 (n + x) n=1 h → ∞ ∞ Mặt khác h f (nh) tổng tích phân tích phân f (t)dt, n=1 ∞ nx = + x)2 x→+∞ (n n=1 ∞ lim f (t)dt = ii Ta có nh+ h2 ∞ ∞ nx − | = | (hf (nh) − | 2 n=1 (n + x) n=1 ≤ f (t)dt) − nh− h2 nh+ h2 ∞ |(hf (nh) − f (t)dt| h f (t)dt| + nh− h2 n=1 h f (t)dt (3.9) Áp dụng tích phân phần ta a+b 2bg(a) − g(t)dt = − a−b b (b − t)2 (g (a + t) + g (a − t))dt (3.10) với g ∈ C [a − b; a + b] Ta có f (0) = 0, f ∈ C [0, h2 ] Suy h f (t)dt = O(h2 ) (3.11) Từ (3.9), (3.10) (3.11) suy ∞ ∞ nx | − |≤ h2 2 n=1 (n + x) n=1 = h2 ∞ nh+ h2 nh− h2 |f (t)|dt + O(h2 ) = O(h2 ) = O(x−1 ) h Footer Page 73 of 161 |f (t)|dt + O(h2 ) 67 Header Page 74 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương Kết luận Khóa luận “Ứng dụng tích phân toán thực tế toán sơ cấp” trình bày vấn đề sau đây: Định nghĩa tích phân xác định, tính chất phương pháp tính tích phân thông dụng Trình bày ứng dụng tích phân thực tế tính diện tích hình phẳng, tính thể tích mặt tròn xoay, tính chiều dài cung phẳng, tính diện tích mặt tròn xoay ứng dụng tích phân vật lý toán moment, lực áp suất, công lượng, điện tích điện trường, điện xoay chiều Trình bày số ứng dụng tích phân toán sơ cấp chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh tồn nghiệm phương trình, tìm cực trị, tính giới hạn dãy Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Footer Page 74 of 161 68 Header Page 75 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Trần Lưu Cường (2000), Toán Olympic cho sinh viên, Tập 1, NXB Giáo Dục, Tp Hồ Chí Minh [2] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hoàng Quốc Toàn (2006), Giải tích toán học, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Lê Phúc Lữ (2013), Tổng hợp đề thi lời giải chi tiết đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc 2006-2012 [4] Nguyễn Văn Mậu - Lê Ngọc Lăng - Phạm Thế Long - Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi Olympic Toán Sinh viên toàn quốc, NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Văn Mậu (2005), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông: Một số vấn đề chọn lọc tích phân, NXB Giáo Dục [6] Đào Thị Hồng Vân (2012), Ứng dụng phép tính tích phân toán sơ cấp, Khóa luận tốt nghiệp trường Đại học Sư phạm Hà Nội [7] Y.Y Liashko , A C Boiachuk, Ia.G Gai, P Golovak (1970), Giải tích Toán học- Các ví dụ tập, Tập 1, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Footer Page 75 of 161 69 Header Page 76 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dương [8] http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/109797tuyển–tập-olympic-toán-sinh-viên-quốc-tế-1994-2014, International Competition in Mathematic for University student 1994-2014 [9] http://www.intmath.com/calculus/calculus-vietnamesetranslation.php, Đạo hàm, tích phân ứng dụng gì? Footer Page 76 of 161 70 ... 2.2.5 Bài toán Phân hủy-Phóng xạ 49 Ứng dụng tích phân toán sơ cấp 3.1 Ứng dụng tích phân toán chứng minh đẳng thức 3.2 52 52 Ứng dụng phép tính tích phân. .. Chương Ứng dụng tích phân toán thực tế Chương trình bày ứng dụng phép tính tích phân Hình học, toán Vật lý 2.1 Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích, độ dài 2.1.1 Tính diện tích hình phẳng Trong. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————————o0o———————— NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: GIẢI TÍCH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI