Phương pháp biến đổi tích phân giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRIỆU THỊ MẬN PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRIỆU THỊ MẬN

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH

PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRIỆU THỊ MẬN

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH

PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số : 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Giáo viên hướng dẫn:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Thái Nguyên - 2013

Mục lục

1.1 Một số kiến thức bổ trợ 5

1.1.1 Không gian Lp 5

1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân 6

1.1.3 Biến phân bị chặn 6

1.1.4 Tích phân Riemann và tích phân Dirichlet 7

1.2 Biến đổi Fourier trong L1(R) 7

1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier trong L1(R) 7

1.2.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier 8

1.2.3 Công thức ngược trong L1(R) 12

1.3 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L1(R) ∩ L∞(R) 14

1.4 Biến đổi Fourier trong L2(R) 17

1.5 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng 23

1.6 Sự truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn Công thức Poisson 25

1.7 Phương trình tích phân dạng chập 29

1.8 Các bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình Laplace trên mặt phẳng 31 1.8.1 Bài toán biên hỗn hợp 1 đối với nửa mặt phẳng 31

1.8.2 Bài toán biên hỗn hợp 2 đối với nửa mặt phẳng 33

1.9 Biến đổi Fourier-cosin và Fourier-sin 34

1.9.1 Định nghĩa và các tính chất 34

1.9.2 Phương trình Laplace trong miền nửa dải 36

1.9.3 Phương trình Laplace trong góc phần tư của mặt phẳng 37

2 BIẾN ĐỔI HANKEL 39 2.1 Định nghĩa và các tính chất 39

2.1.1 Khái niệm về hàm Bessel 39

2.1.2 Biến đổi tích phân Hankel 40

2.2 Các bài toán áp dụng 40

2.2.1 Bài toán Dirichlet cho nửa không gian đối xứng trục 40

2.2.2 Phương trình truyền nhiệt 41

2.2.3 Phương trình Laplace 43

2.2.4 Phương trình Poisson 44

2.2.5 Bài toán biên hỗn hợp 47

3 BIẾN ĐỔI LAPLACE 50 3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 50

3.1.1 Định nghĩa 50

3.1.2 Các tính chất của biến đổi Laplace 51

3.2 Biến đổi Laplace ngược (Công thức Bromưich) 54

3.3 Một số bài toán áp dụng của biến đổi Laplace 55

3.3.1 Phương trình vi phân 55

3.3.2 Phương trình truyền nhiệt 57

Mở đầu

Nhiều quá trình vật lý trong tự nhiên phát triển theo thời gian trên những miền

mà ta có thể giải được nếu ta coi chúng có kích thước vô hạn hay nửa vô hạn Vì lý

do này, việc sử dụng biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel được coi làcông cụ giải tích mạnh nhất để giải các phương trình đạo hàm riêng được các nhà toánhọc và kỹ sư nghiên cứu Mục đích của luận văn này là để minh họa các cách sử dụngcủa biến đổi Fourier, biến đổi Laplace và biến đổi Hankel vào các bài toán cụ thể Sựhình thành của luận văn được dựa trên sự tham khảo, tổng hợp trên các tài liệu thamkhảo và chủ yếu là cuốn Biến đổi tích phân của nhóm tác giả mà đứng đầu là GS.TSKH Đặng Đình Áng Điều đặc biệt quan trọng phương pháp biến đổi tích phân rấthữu hiệu đối với việc giải các bài toán của phương trình đạo hàm riêng, phương trìnhtruyền nhiệt, phương trình truyền sóng, bài toán biên của phương trình Laplace.Nội dung chính của luận văn bao gồm ba chương mang lại một cách nhìn khái quát

về các phương pháp biển đổi và giải các phương trình đạo hàm riêng Luận văn không

đi sâu vào nghiên cứu lý thuyết về các phép biến đổi Fourier, Laplace hay Hankel màchỉ giới thiệu các định nghĩa và tính chất cơ bản của các phép biến đổi Trên cơ sở đótrình bày các bài toán và việc vận dụng các phép biến đổi trên để giải nghiệm

Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số kiến thức bổ trợ vềcác không gian hàm, giới thiệu về phương pháp biến đổi Fourier thuận và nghịch đểgiải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng Chúng tôi cũng giới thiệu một

số phương pháp giải các bài toán một cách thông thường và giải các bài toán dựa vàophương pháp biến đổi Fourier để so sánh và lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất.Với mục đích tiếp tục mở rộng các phương pháp giải khác nhau cho phương trìnhđạo hàm riêng, trong chương hai chúng tôi giới thiệu phương pháp biến đổi Hankel Nêu

ra một số các bài toán áp dụng biến đổi Hankel vào việc tìm nghiệm của các phươngtrình như phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, phương trình Poisson, cácbài toán biên hỗn hợp

Chương ba của luận văn chúng tôi giới thiệu về biến đổi Laplace Vận dụng biếnđổi Laplace vào tìm nghiệm của các phương trình vi phân, phương trình truyền nhiệt,phương trình đạo hàm riêng

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học - Đại họcThái Nguyên Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Tin,Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều

kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người đã tận tìnhchỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu,tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình,bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô để luận văn được hoànthiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013

Người thực hiệnTriệu Thị Mận

Chương 1

BIẾN ĐỔI FOURIER

Trong chương này trình bày lý thuyết tóm tắt của biến đổi Fourier, Fourier-sin,Fourier-cosin và giải một số phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân dạngchập bằng phương pháp biến đổi tích phân Fourier Nội dung chính của chương nàyđược hình thành từ các tài liệu [1], [2], [3], [4] và [5]

1.1 Một số kiến thức bổ trợ

1.1.1 Không gian Lp

Với p là số thực: 1 6 p < ∞, Ω ∈ Rn ta định nghĩa Lp(Ω) là lớp các hàm f (x) xácđịnh trên Ω, sao cho

Số kf kp được gọi là chuẩn của hàm f (x)

Lp(Ω) là một không gian Banach Đặc biệt, L2(Ω) là một không gian Hilbert vớitích vô hướng

(f, g) =

Z

Ω

f (x)g(x)dx,

trong đó g(x) là liên hợp phức của g(x)

Hàm xác định trên Ω được gọi là chủ yếu bị chặn trên Ω, nếu tồn tại hằng số dương

C, sao cho |f (x)| 6 C hầu khắp nơi trên Ω Cận dưới lớn nhất của các hằng số C được

ký hiệu là ess supx∈Ω|f (x)|

Ta ký hiệu L∞(Ω) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên Ω Chuẩntrong L∞(Ω) được xác định theo công thức

kf k∞ = esssupx∈Ω|f (x)|

trong đó sup lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, b]

Dưới đây là mệnh đề quan trọng về sự trù mật trong Lp

T −lớp các đa thức lượng giác trù mật khắp nơi trong Lp(−π, π).

(ii)Lớp Sc của tất cả các hàm bậc thang trù mật trong Lp(−∞, ∞), (p > 1)

k→∞fk(x)dx = RΩf (x) dx.Định lý 1.5 (Định lý Fubini) Cho F (x, y) khả tích trên Ω1 × Ω2 Khi đó x →R

Định nghĩa 1.1 Cho f là hàm số ( thực hoặc phức ) xác định trên đoạn [a, b] Giả sử

p = {x0, x1, , xn} là một phân hoạch của đoạn [a, b], nghĩa là a = x0 < x1 < <

xn= b Hàm số f (x) được gọi là có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b], nếu

3) Nếu f là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b], nghĩa là có dạng f (x) = c+Raxg(t)dt, g ∈

L1(a, b), thì Vab 6 kgkL 1

(a,b)

∗ Các tính chất của hàm có biến phân bị chặn

1) Hàm nhận giá trị phức biến thực f (x) có biến phân bị chặn trên [a, b], khi và chỉkhi phần thực và phần ảo của nó có biến phân bị chặn trên [a, b]

2) Nếu f (x) có biến phân bị chặn thì f (x) bị chặn: |f (x)| ≤ |f (a)| + Vb

a(f )

3) Giả sử f (x) là hàm số thực Hàm f (x) có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và chỉkhi nó là hiệu hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên [a, b]:

f (x) = g(x) − h(x)

1.1.4 Tích phân Riemann và tích phân Dirichlet

Bổ đề 1.1 (Bổ đề Riemann) Nếu g(t) khả tích tuyệt đối trên khoảng hữu hạn hoặc vôhạn [a, b], thì

1.2 Biến đổi Fourier trong L1(R)

1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier trong L1(R)

Định nghĩa 1.2 Với f ∈ L1(R) ta định nghĩa biến đổi Fourier của hàm f là:

Nhận xét rằng vì f ∈ L1(R) và |e±iξ| = 1, nên các tích phân (1.1) và (1.2) hội tụ

∀ξ ∈ R Ngoài ra, giữa biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược có quan hệ sau:

t2+ x2, t > 0 được gọi là hạch Poisson

1.2.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Sau đây là một số tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

1) Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược là hàm bị chặn trong Rn Thật vậy,theo (1.1) ta có:

h→0|f (x)||e−ixξ||e−ixh− 1| dx = 0.

3) Toán tử F liên tục theo nghĩa sau đây: Nếu {fk} ∈ L1(R), fk→ f ∈ L1(R), k → ∞trong L1(Rn), thì

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

4) Đinh lý Riemann-Lebesque: Nếu f ∈ L1(R), thì ˆf (ξ) → 0, khi |ξ| → ∞ Thật vậy,

ta biết rằng tập hợp các hàm bậc thang trù mật khắp nơi trong Lp, p ≥ 1 Xéthàm bậc thang:

k

X

j=1

AjZ

= kf1k1kf2k1 < ∞,nên theo định lý Fubini, ta có

f2(y)(ξ)e−iξydy} dξ

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

6) Biến đổi Fourier của dịch chuyển:

f (t)e−i(t+a)ξdt = e−iaξF [f ](ξ)

7) Biến đổi Fourier của tích chập Giả sử f, g là các hàm được xác định trong R.Hàm số (f ∗ g)(x) được xác định bởi công thức

f (y)g(x − y) dy}e−ixξdx.

Áp dụng định lý Fubini, sau đó đổi biến x − y = t, ta có

g(t)e−itξdt}e−iyξdy = F [f ]F [g]

8) Biến đổi Fourier của đạo hàm Cho f (x) ∈ L1(R) với Dαf ∈ L1(R) và f liên tụctuyệt đối trong mọi khoảng hữu hạn Khi đó:

1.2.3 Công thức ngược trong L1(R)

f (y)e−iyξdy}eixξdξ

Theo Định lý Fubini, thay đổi thứ tự tích phân ta được

Theo bổ đề Riemann số hạng thứ hai tiến đến không khi N → ∞ Vậy ta có

lim

N →∞fN(x) = lim

N →∞

1π

Dấu hiệu Dini được chứng minh

Xét một số trường hợp riêng thường gặp sau đây:

1) Nhận xét rằng nếu f (x) thỏa mãn điều kiện Holder với bậc α, 0 < α6 1 thì điềukiện Dini được thỏa mãn Thật vậy, từ điều kiện

|f (x ± y) − f (x)| 6 Lyα, 0 < α 6 1, 0 < y < δ,suy ra tích phân ở vế phải của (1.6) hội tụ

2) Trường hợp riêng khi α = 1, điều kiện Dini được thỏa mãn nếu tồn tại đạo hàmhữu hạn f0(x) hoặc là tồn tại đạo hàm một phía tại x

Định lý 1.9 (Định lý Dirichlet-Jordan) Giả sử f (x) là hàm thực và f (x) ∈ L1(R) cóbiến phân hữu hạn trên đoạn [x − δ, x + δ] Khi đó tích phân Fourier của f (x) (biếnđổi Fourier ngược) hội tụ đến f (x) ( theo nghĩa rộng: f (x) = 1

2[f (x + 0) + f (x − 0)]).

Chứng minh Ta biến đổi tích phân Fourier fN(x) ở dạng

1π

π

2[f (x + 0) + f (x − 0)] = f

∗

(x)

Định lý Dirichlet-Jorhan được chứng minh

Định lý 1.10 (Định lý Dirichlet) Nếu hàm f (x) ∈ L1(R) đơn điệu từng khúc trên R

có không quá số hữu hạn các điểm cực trị và có không quá số hữu hạn các điểm giánđoạn loại 1 Khi đó tích phân Fourier của f (x) hội tụ đến f (x) tại các điểm liên tục

và hội tụ đến 1

2[f (x + 0) + f (x − 0)] tại những điểm gián đoạn.

Chứng minh Vì f (x) đơn điệu tùng khúc và không có quá các điểm gián đoạn loại I,nên f (x) có biến phân bị chặn trên mỗi đoạn hữu hạn Do đó định lý được chứng minhtheo dấu hiệu Dirichlet-Jordan

1.3 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L1(R) ∩ L∞(R)

Trong mục này chúng ta trình bày một số mệnh đề liên quan đến biến đổi Fouriercủa hàm trong L1 và bị chặn cần thiết cho những mục sau Giả sử f ∈ L1(R) Đốivới h bất kỳ ta đặt

fh(x) = f (x + h)

và ta có

kfhk1 = kf k1.tiếp theo ta đặt

Chứng minh Trước hết đối với hàm đặc trưng χa,b(x) ta có

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.2 Giả sử f (x), g(x) là các hàm bị chặn từ lớp L1(R) Khi đó tích phân

tồn tại khắp nơi trên R, ngoài ra h(x) là hàm liên tục bị chặn và thuộc L1(R)

Chứng minh Ký hiệu Mg = sup

Ta có

F [K](t) = H(t), F

hK

uσ

i(t) = σH(σt), σ > 0,

F [f (x + t)](u) = eixuF [f ](u)

Theo công thức Parseval ta có:

mâu thuẫn với (1.10) Vậy F [f ] ∈ L1(R) Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.4 (Đẳng thức Parseval) Giả sử f là hàm bị chặn trên R và f ∈ L1(R), ˆf (ξ) =

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.5 (Đẳng thức Parseval suy rộng) Nếu f (x) và g(x) là những hàm bị chặntrên R và thuộc L1(R), thì

Chứng minh Trong đẳng thức Parseval của mệnh đề 1.4, thay f (x) bởi f (x) + g(x) và

f (x) + ig(x)ta suy ra đẳng thức Parseval suy rộng trong mệnh đề 1.5

1.4 Biến đổi Fourier trong L2(R)

Định lý 1.11 (Định lý Plancherel 1) Giả sử f (x) ∈ L2(R) Khi đó công thức

xác định hầu khắp nơi hàm số F (u) ∈ L2(R) và được goi là biến đổi Fourier của hàm

f ∈ L2(R) : F(u) = F [f ](u) ∈ L2(R) Còn công thức

f (x) = 1

2π

ddx

Chứng minh Giả sử f ∈ L2(R) Khi đó tồn tại dãy các hàm bậc thang fn(x), sao cho

Nhưng từ (1.14) suy ra vế phải của (1.16) tiến đến không khi n, m → ∞ Suy ra {F [fn]}

là dãy Cauchy trong L2(R) Do đó tồn tại hàm số F(u) ∈ L2(R) là giới hạn của dãynói trên Ta định nghĩa hàm F (u) trên đây là biến đổi Fourier của hàm f ∈ L2(R) Tacó

Từ đây suy ra công thức (1.11).

Trong đẳng thức (1.13) thay đổi f bởi f + g và f + ig, ta có đẳng thức Parseval suyrộng

Suy ra công thức (1.12) Định lý được chứng minh

Định lý 1.12 (Định lý Plancherel 2) Giả sử f ∈ L2(R) Biến đổi Fourier F(u) =

F [f ](u) và công thức Fourier ngược f = F−1[F ] tương ứng được cho bởi công thức(1.11) và (1.12) có thể được cho bởi các giới hạn sau

Theo công thúc Parseval ta có

ddx

ddx

|u|≥N

|F (u)|2du → 0, N → ∞

Từ đó suy ra công thức (1.19) Định lý Plancherel 2 được chứng minh

Định lý 1.13 (Định lý về tích chập) Giả sử f, g ∈ L2(R) và ˆf = F [f ], ˆg = F [g] Khiđó

1) Tích chập của các hàm f (x) và g(x), nghĩa là tích phân

Áp dụng bất đẳng thức Parseval suy rộng (1.17) đối với cặp hàm f (x + t) và g(−t),với các biến đổi Fourier tương ứng là e−iuxf (u) và ˆˆ g(u), ta có

Từ đó suy ra công thức (1.22) được chứng minh

Cuối cùng, vì ˆf (u), ˆg(u) ∈ L2(R), nên ˆf (u).ˆg(u) ∈ L2(R), do đó tích phân ở vế phảicủa (1.21) hội tụ đều trên toàn bộ trục số −∞ < x < ∞ Từ đó suy ra các khẳng địnhcòn lại của định lý Định lý (1.13) được chứng minh

∗ Công thức biến đổi ngược

Định lý 1.15 Giả sử f (t) ∈ L2(R) và trong lân cận nào đó của điểm t = x có biếnphân hữu hạn Nếu trong trường hợp này ˆf = F [f ], thì có công thức biến đổi Fourierngược sau đây:

f (u)eiuxdu,

nghĩa là sự hội tụ của tích phân trên đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính

1.5 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng

Xét bài toán sau đây Tìm hàm u(x, y) thỏa mãn phương trình

ˆu(ξ, y) = A(ξ)e−|ξ|y + B(ξ)e|ξ|y,trong đó A(ξ), B(ξ) là các hàm số bất kỳ theo ξ Từ điều kiện thứ ba trong (1.26) suy

ra ˆu(ξ, +∞) = 0 Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi B(ξ) ≡ 0

Như vậy ta có

ˆu(ξ, y) = A(ξ)e−|xi|y, u(x, y) = 1

2π

∞

Z

−∞

A(ξ)e−|xi|yexiξdξ (1.29)

Để tìm hàm A(ξ) ta cần phải sử dụng đến điều kiện (1.25) Ta có

Thay (1.30) vào (1.29), sử dụng công thức

Thiết lập tính đúng đắn của lời giải Giả sử g(t) là hàm liên tục và bị chặn Khi

đó đễ dàng thấy, với mọi y > 0, tích phân (1.32) và các tích phân nhận được từ côngthức này bằng cách lấy đạo hàm dưới dấu tích phân theo x và theo y một số lần tùy ýhội tụ đều trong miền (|x| < ∞, 0 ≤ y < ∞) Ngoài ra cũng dễ dàng chứng minh rằngbiểu thức dưới dấu tích phân (1.32) là hàm điều hòa, do đó hàm u(x, y) xác định bởicông thức (1.32) thỏa mãn phương trình (1.24)

Rõ ràng là các điều kiện trong (1.26) cũng được thỏa mãn Ta cần phải kiểm tra sựthỏa mãn của điều kiện biên (1.25) Từ (1.31), theo công thức biến đổi Fourier ngược

Do g(x) là hàm liên tục, nên với mọi y rất gần không và |τ | ≤ N , ta có

Định lý 1.16 Giả sử g(x) là hàm liên tục và thuộc L1(−∞, ∞) (suy ra bị chặn) Khi

đó nghiệm của bài toán (1.24)-(1.26) trong lớp hàm bị chặn là duy nhất và được chobởi công thức (1.32)

1.6 Sự truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn Công thức

Vận dụng nguyên lý cực trị có thể chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán(1.35)-(1.36)

Định lý 1.17 Bài toán Cauchy (1.35)-(1.36) không thể có nhiều hơn một nghiệm bịchặn

Chứng minh Tác động biến đổi Fourier theo biến số x hai vế của phương trình (1.35),

ta được phương trình vi phân thường theo biến t:

Ut(λ, t) = −a2λ2U (λ, t), U (λ, t) = Fx[u(x, t)](λ)

Từ đây ta tìm được

U (λ, t) = A(λ)e−a2λ2t, (1.37)

ϕ(ξ)e−a2λ2tcos λ(ξ − x) dξ.

Đổi thứ tự lấy tích phân trong vế phải của biểu thức trên ta có

Việc lấy đạo hàm là hoàn toàn được phép vì tích phân trên đây hội tụ đều Tích phântừng phần, ta được

2 .

Do đó

J (µ) =

√π

2 e

−µ2

4 Thay giá trị này vào (1.40), ta được

u(x, t) = 1

2a√tπ

được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt (1.35)

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng với mọi hàm liên tục và bị chặn ϕ(x), hàmu(x, t) được xác định theo công thức (1.41) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt (1.35)với điều kiện đầu (1.36) Để chứng minh, ta chỉ cần chứng tỏ rằng tích phân (1.41) vàcác tích phân nhận được bằng cách đạo hàm hình thức dưới dấu tích phân hội tụ đềutrong mọi hình chữ nhật [−l ≤ x ≤ l, t0 ≤ t ≤ T ], trong đó t0 > 0 Thật vậy, đạo hàm(1.41) theo t và theo x một số lần, ta nhận được tổng của các tích phân dạng

Dễ thấy rằng tích phân hội tụ đều khi t ≥ t0 > 0, bởi vì

|ϕ(x + 2aα√t)e−α2αm| ≤ M |α|me−α2

là hàm khả tích trên (−∞, ∞) Vì hàm dưới dấu tích phân (1.41) là nghiệm cơbản E(x, t) của phương trình truyền nhiệt, nên hàm u(x, t) được xác định bởi tíchphân(1.41) thỏa mãn phương trình (1.35) Chúng ta sẽ chứng tỏ hàm (1.41) cũng thỏamãn (1.36) theo nghĩa

1

√π

Vì bài toán (1.35)-(1.36) theo định lý (1.17) không thể có quá một nghiệm bị chặn,nên tích phân (1.41) cho công thức nghiệm duy nhất của bài toán Như vậy chúng ta

đã chứng minh được định lý sau:

Định lý 1.18 Nếu ϕ(x) là hàm liên tục bị chặn trên (−∞, ∞), thì bài toán (1.36) trong lớp các hàm bị chặn có duy nhất nghiệm và nghiệm đó được cho bởi côngthức

(1.35)-u(x, t) = 1

2a√tπ

Giả sử rằng a 6= 0 và ký hiệu ˆu(ξ) = F [u], ˆk(ξ) = F [k], ˆf (ξ) = F [f ]

Lời giải hình thức: tác động vào hai vế của phương trình (1.50) biến đổi Fourier, ápdụng định lý (1.14), ta có phương trình

a + ˆk(ξ)ˆu(ξ) = ˆf (ξ) (1.51)

Giả thiết thêm rằng

a + ˆk(ξ) 6= 0, ∀ξ ∈ R (1.52)Khi đó từ (1.51) suy ra

ˆu(ξ) = f (ξ)ˆ

Z

−∞

ˆk(ξ) ˆf (ξ)

a + ˆk(ξ). (1.56)Như vậy, nghiệm của phương trình (1.50) còn được cho bởi dạng tích chập sau đây

a + ˆk(ξ).Suy ra

ˆ

f (ξ) −

ˆk(ξ) ˆf (ξ)

a + ˆk(ξ) =

a ˆf (ξ)

a + ˆk(ξ) = ˆu(ξ),hay là

ˆ

f (ξ) − F [k ∗ u](ξ) = ˆu(ξ) ⇒ ˆu(ξ) + F [k ∗ u](ξ) = ˆf (ξ)

Từ đây suy ra (1.50)

u(x) + (k ∗ u)(x) = f (x)

Như vậy chúng ta đã chứng minh định lý sau đây

Định lý 1.19 Giả sử rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn

k(x) ∈ L1(R), f (x) ∈ L2(R), a + ˆk(ξ) 6= 0, ∀ξ ∈ R

Khi đó phương trình tích phân (1.50) có nghiệm duy nhất trong L2(R) và được cho bởicông thức (1.54)