BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2
CHU THI THANH THUY
TINH CHINH QUY CUA
NGHIEM NHOT LIEN TUC CUA PHUONG TRINH
DAO HAM RIENG CAP 1 LUAN VAN THAC SY TOAN HOC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học TS TRAN VAN BANG
Trang 2LOI CAM ON
Luận văn được hoàn thành tại Trường Dai học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của TS Trần Văn Bằng
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ Trần Văn
Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn
Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này
Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả
Trang 3LOI CAM DOAN
Luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Tính chính quy của nghiệm nhót liên
Trang 4Muc luc ID 1
Trang 51 Ly do chon dé tai
Đầu thập kỷ 80, M G Crandall đã đưa ra một khái niệm nghiệm yếu là “nghiệm
nhớt” cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (xem [3]) Nói chung
nghiệm yếu này cho phép một hàm nói chung chỉ cần liên tục là nghiệm của phương
trình đạo hàm riêng cấp một Sự phù hợp của khái niệm này thể hiện ở chỗ nó đã giải quyết được tính đặt chỉnh của nhiều bài toán phi tuyến vốn vẫn chưa có lời giải trước đó Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã quan tâm đến khái niệm này và
đã phát triển các kết quả liên quan tới nghiệm nhớt liên tục và đã đưa ra khái niệm
nghiệm nhớt đo được (không liên tục) cho các phương trình đạo hàm riêng cấp một (xem [1IÍ4il2])
Qua quá trình học tập và nghiên cứu, được sự động viên, hướng dẫn của thầy giáo TS Trần Văn Bằng, với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về loại nghiệm suy
rộng này nên tôi chọn đề tài:
“Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp một”
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trình
bày trong 2 chương:
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản,
cần thiết cho nghiên cứu trong chương 2 về nghiệm nhớt liên tục của phương trình
đạo hàm riêng cấp 1, nguyên lý so sánh nghiệm và tính duy nhất
Chương 2 Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục: trình bày một số kết quả
về tính liên tục Lipschitz, tính nửa lõm và tính khả vi của nghiệm nhớt liên tục
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm
Trang 63 Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một; Tìm hiểu về tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt; Tìm hiểu về tính nửa
lõm của nghiệm nhớt; Tìm hiểu về tính khả vi của nghiệm nhớt;
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng +) Phạm vi nghiên cứu: Xét loại nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng
cấp một
5 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích tài liệu và kiến thức có liên quan
6 Đóng góp mới của luận văn
Trang 7Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1 1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Trong mục chúng tôi trình bày khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng (ĐHR) cấp một và một số tính chất cơ bản dựa vào nguyên lý so sánh nghiệm cũng như mối quan hệ với khái niệm nghiệm cổ điển của phương trình đó
Trong luận văn này Q C R" 1a mot tap md, F : Qx Rx RY > R 1a mét hàm liên tục của ba biến (x,r,p) Ta cũng sử dụng các kí hiệu thơng thường sau đây:
C(©) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên ©;
C*(Q),k = I,2, là không gian tất cả các hàm thuộc C(©) có các đạo hàm riêng
đến cấp k liên tục trên Q
Với một hàm u € C!(O), thì Du(x) là gradient của u tại x € Q
Xét phương trình ĐHR phi tuyến cấp một (thường gọi là phương trình #amilton-
Jacobi):
F(x,u(x),Du(x))=0, x€Q (HJ)
Trang 8nếu với mọi ø € C!(©) ta có:
F (xo, u(x0),D@(xo)) <0 (1.1)
tại mọi điểm cực đại địa phương xọ € © của u— @
Hàm € C(©) là một nghiệm nhớt trên của phương trình nếu với mọi ọcC1(©) tạ có:
FŒ,u(xi),Do(ị)) > 0 (1.2)
tại mọi điểm cực tiểu địa phương xị € © của w— @
Hàm ¿ là một nghiệm nhớt nêu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là nghiệm nhớt dưới của phương trình đó
Hàm ø(z) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thủ Ví dụ 1.1 Hàm số z(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:
—|()|+1=0, xe(-I.1)
That vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x # 0 là một cực trị địa phương của u— @ thì
@'(x) = (x) = +I Vì vậy tại những điểm này điều kiện nghiệm nhớt trên, nghiệm
nhớt dưới được thỏa mãn
Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u — ø, thì ta tính được |Ø'(0)| < 1 nên điều kiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0 không thể là cực đại địa phương của — @ với @ € C!(|0, 1]) Thật vậy, nếu 0 là cực đại địa phương của w — @ thi ta cé (u— @)(0) > (u— @)(x) trong một lân cận của 0, hay @(x) — @(0) > u(x)
trong một lân cận của 0, từ đó ta có: ø(0)— ñm #0)=#(0) x0? x— = tim M2) | x or Xx va ¢'(0) = lim 2) 9) - im —) x07 x— x07 x — _Ị,
Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của — @
Để y rang, ham s6 u(x) = |x| không phải là nghiệm nhót của phương trình: |u'(x)| -1=0, x €(-1,1)
Trang 9Chú ý: Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:
u,(f,y) + H(t,y,u(t,y),Dyu(t.y)) =0, ứ,y) € (0,7) xD
thì ta chỉ việc đặt:
x=(,y) cO= (0,7)xDC RŸ?! F(x,r,p) = qx+¡ + H(X,r.qI,-.-., 4N)
VỚI đ = (đ1 đN.đw+1) ERY,
Nhận xét 1.1 Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta luôn có thể giả sử rằng xọ là
điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u — @ (nếu không ta có thể thay @(x) bởi
p(x) + |x —xo|”) Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào gia tri cla D@ tai xo, nén
không mất tính tổng quát ta có thể gia sit ring u(x) = @(xo) D6i vdi định nghĩa
nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xét tương tự
Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiện nghiệm nhớt dưới đối với w là tiếp xúc trên với đồ thị của ¡
Ta cũng chú ý rằng khơng gian CÍ(@) các hàm thử trong Định nghĩa|1.IÌcó thể được thay thế bằng C”(©)
Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhót và mối quan hệ của nó với nghiệm cổ điển:
Mệnh đề 1.1 (a) Nếu hàm u € C(Q) là một nghiệm nhớt của trong Q, thi u là nghiệm nhớt của trong G, với mọi tập con mổ Gco,
(b) Giả sử hàm u € C(O) là một nghiệm cổ điển của (Hd), tức là w khả vi tại mọi điểm x € © và:
FŒ,u(x),Du(z)) = 0, Vx €Q (1.3)
Khi đó u là nghiém nhét cia (HI);
(c) Néu ham u € C'(Q) la mét nghiém nhot cua (HI), thi u là nghiệm cổ điển của
phuong trinh do
Ching minh (a) Néu xo 1a mét cực đại địa phương (trên Q’) cia u — @,@cC1 (2), thì xo là một cực dai địa phương (trén Q) cia u — Ø, với mọi ð € C!(Q) thỏa mãn
@ = @ trên 8(xọ,r), với r > 0 nào đó Từ (1.1) ta có
0> F(x0,u(x0), DG(x0)) = F (x0, u(%0), DP(x0))-
Trang 10Chứng tỏ là nghiệm nhớt dưới của trên ©' Lập luận tương tự ta cũng có ¡ là
nghiệm nhớt trên của trên ©' Vậy (a) được chứng minh
(b) Lay ø € Cl(O) bất kỳ Do ø khả vi nên tại điểm cực tiểu hoặc cực đại địa phương của w — @ ta có 2u(x) = Do(+x) Từ (1.3) ta được 0 = F(xo,u(x0),D@(x0) < 0 néu x 1a mot diém cuc dai dia phudng cia u— @, và 0 = F(x1,u(x1), D(x) > 0 néu x; 1a mét diém cuc tiéu dia phuong cia u— @ Theo Dinh nghial1.1|ta chứng minh được (b)
(c) Néu u € C'(Q), thì lấy = u trong định nghĩa nghiệm nhớt Khi đó mọi
x€O đều vừa là cực đại vừa là cực tiểu địa phương của hàm u— @ Do đó theo
và thì:
F (x,u(x),Du(x)) = 0, Vx €Q
Vậy mệnh đề được chứng minh L1
Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương Vì vậy ta có thể lấy các hàm thử trong và thuộc C!(IRŸ) hoặc thuộc hình cau bat kỳ B(zx,r) với tâm x € ©
Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất được nêu trong lý thuyết của phương trình eliptic - parabolic đó là nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh Với phương trình hai tính chất này được xây dựng tương ứng như sau
Định nghĩa 1.2 Một hàm số wu C(O) thỏa mãn nguyên lý so sánh với các nghiệm
nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi € CÍ(@) và tập mở Ø C © sao cho
Trang 11Dé thay rang néu ham u € C(O) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nó thỏa mãn
nguyên lý so sánh Mỗi quan hệ giữa chúng với khái niệm nghiệm nhớt dưới của phương trình sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây
Mệnh dé 1.2 Néu ham sé u € C(Q) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u là một
nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) Neguoc lai, néu u la mét nghiém nhét dưới
của phương trình và r — F(x,r,p) là một hàm không giảm với mọi x, p thì u
thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh
Chứng mình Giả sử w € C(O) thỏa mãn nguyên lý so sánh, nếu w không phải là nghiệm nhớt dưới của phương trình thì tồn tại xo € Q, gp € C!(Q) mà xọ là điểm cực đại ngặt của w — @, (w— @)(xo) = 0 và F (x0, (Xo), DQ(x0)) > 0 Với n đủ lớn ta có a„:= Sup (w—@)<0 2B(o.z) cũng thấy rằng: w— (@+a„) < 0 trên OB(xo, +) u(Xo) — @(%Xo) — a; > 0 Theo nguyên lý so sánh, với mọi ø tổn tại x„ € Ø„ := B(o, +) thoa man F (Xn, P(%n) + @n,DP(%n)) <0 Do a, > 0 va x, > xo khi n > nên F (x0, (Xo), DP(x0)) <0
mâu thuẫn, vay wu 1a nghiém nhét dudi cia phuong trinh {H))
Ngược lại, cho là nghiệm nhớt dưới của phương trình va lay 9 € C'(Q)
thoa man:
F(x,0(z),Do(z))>0_ vxc0
Nếu „— @ đạt cực đại địa phương tại xo € Ó nào đó với (xo) — Ø(xo) > 0 Khi đó từ giả thiết đơn điệu của F dẫn đến mâu thuẫn:
0< F (x0, 9(x0), D@(x0)) < F (x0, u(x0),D@(x0)) <0
Trang 12Do do, u thoa man nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh L1 Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên Khi đó ta chỉ cần đổi chiều các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại và thay cực đại
không âm bởi cực tiểu không dương
Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt khơng được bảo tồn khi ta đổi dấu của
phương trình Thực tế, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u — œ đều là cực tiểu
địa phương của —w — (—0), nên là nghiệm nhớt dưới của phương trình nếu và chỉ nếu y = —u là nghiệm nhớt trên của phương trình —Ƒ (x,—vw(x),—v(x)) =0
trong Ô; tương tự là nghiệm nhớt trên của phương trình nếu và chi néu v = —u
la nghiém nhot dudi cua phuong trinh —F (x, —v(x), —Dv(x)) = 0 trong Q
Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của nghiệm nhớt của phương trình thông
qua trên vi phân và dưới vi phân Cho hàm số „ € C(O) và x € ©, xét các tập hợp: ob D- u(x) := {p ER : liminf u(y) = ula) = ply =) > 0Ì yoxuyed ly—2| IA D* u(x) = Ọ ERY: lim sup u(y) — ux) = p-(y—x) yoru yed ly —x|
Các tập hợp trên được gọi tương ứng là frên vi phân và dưới vi phân (gọi chung là bán vi phân) của u tai x
Vi du 1.2 Cho u(x) = |x|, x € IR Khi đó ta dễ dàng kiểm tra được:
D*u(0)=0, — Ð-u(0)=[—1,1]
Những bổ đề sau đây sẽ mô tả D† „(x) và D~ „(x) qua các hàm thử và một số
tính chất của chúng:
Bổ dé 1.1 (xem [2], Lemma 1.7) Cho u € C(Q) Khi đó:
(a) p € Dt u(x) néu va chi néu ton tại @ € C!(Q) thỏa mãn Dọ(x) = p và u— @
đạt cực đại địa phương tại x;
(b)p€ D~ u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại @ € C!(Q) thỏa mãn Dọ(x) = p và u— @ đạt cực tiểu địa phương tại x
Bổ đề 1.2 (xem [2], Lemma 1.8) Cho u € C(Q),x € Q Khi do:
Trang 13(b) Nếu u khả vi tai x thi {Du(x)} = D* u(x) = D~ u(x);
(c) Cac tép At = {x € Q: Dt u(x) £0} va A~ = {x € Q: D(x) F O} Ia tra
mật trong ©
Như một hệ quả trực tiếp của Bổ đẻ|[1.1| ta có đặc trưng sau của nghiệm nhớt
Định lý 1.1 Hàm số u € C(O) là nghiệm nhớt dưới của phương trình trong
© khi và chỉ khi:
F(x,u(x),p) <0, Vx € Q,Vp € D* u(x); (1.4)
là nghiệm nhớt trên của phương trình trong © khi và chỉ khi:
F(x,u(x),p) > 0, VYx €Q,Vp € D u(x) (1.5)
Sử dụng đặc trưng này, ta có thể chứng minh một số tính chất quan trọng sau đây của nghiệm nhớt
Mệnh đề 1.3 (a) Nóu ¡ € C(©) là một nghiệm nhớt của phương trình thì: F(x,u(x),Du(x)) =0
tại mọi điểm mà u khả vi
(b) Nếu u là một hàm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhót của thì:
F{(x,u(x),Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong ©
Chứng minh Nếu u khả vi tai x thì theo Bổ đề|1.2| (b), {Du(x)} = D*u(x) =
D~ u(x) Do đó theo Dinh ly[1.1|
0 > F(x,u(x),Du(x)) > 0, vậy (a) được chứng minh
Mệnh đề (b) được suy ra trực tiếp từ định lý Rademacher về tính khả vi hầu
khắp nơi của hàm liên tục Lipschitz L1
Nhận xét 1.2 Phần (b) của Mệnh đẻ |I.3| thể hiện rằng mọi nghiệm nhớt đều là
Trang 14Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát không phải là
nghiệm nhớt Thật vậy ví dụ sau cho ta điều đó:
Ví dụ 1.3 Ta thấy hàm u(x) = |x| thoa man:
\u'(x)|-1=0 trong (—1,1)\ {0}
do đó u 1a nghiém téng quat cia |v’ (x)| — 1 = 0 trong (—1, 1) nhung no khéng phai
là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ[1 1}
1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt
Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng về các phép toán trên các nghiệm nhớt Để trình bày các kết quả trong phần này chúng ta cần tới khái
niệm mô đun và mô đun liên tục của một hàm:
Mô đun là một hàm liên tục, đơn điệu tăng bất kì p : [0,+es) —> [0,+œ) thỏa mãn p(0) = 0
Mô đun liên tục của một hàm u € C(Q) 1a một mô đun p, sao cho
u(x) —u(y)|< pu(lx—yl), — Vxyec@
Néu u(x,y) € C(Q, x Qo) thi m6 dun liên tục (địa phương) của là hàm hai biến liên tục ø : [0, +) x [0, +20) + [0, +0) 1a mé dun theo từng biến và
Ju(x1,y1) — w2,¥2)| S p(lxì — | lx— 2|), V(xi,yi),(Xa,ya) € Ôi x Ó¿, Ví dụ 1.4 Nếu wu 1a ham Lipschitz với hằng số Lipschitz L (xem Định nghĩa|1.3} thì ta có thể chọn mô đun liên tục của w là 0„(r) = Lr
Cho u(x), v(x) € C(Q) Ta ky hiéu:
(uV v)(x) = max {u(x),v(x)}, }
(uA v)(x) = min {u(x),v(x)} Mệnh đề 1.4 Tu có các khẳng định sau:
(a) Cho u(x), v(x) € C(Q) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) Khi đó u V v
Trang 15(b) Cho u(x),v(x) € C(©) là nghiệm nhớt trên phương trình thì uA v cũng là
một nghiệm nhót trên của phương trình (HJ)
(c) Nếu u € C(O) là nghiệm nhót dưới của phương trình mà w > v với mọi nghiệm dưới v € C(Q) của phương trình (H]) Khi đó u là nghiệm nhót trên và do
đó là nghiệm nhớt của phương trình (H))
Chứng mình Cho xọ là điểm cực đại địa phương của (wV v) — @ với @ € C!(@) Không mất tính tổng quát ta có thể gia sit rang: (uV v)(xo) = (xo) Khi đó xọ là điểm cực đại địa phương của u — @, do đó
F(o,u(xo),D@(%o)) <0
Vậy ta chứng minh được (a)
Khẳng định (b) cũng được chứng minh tương tự Để chứng minh (c) ta giả sử ngược lại rằng:
h := F(xo,u(xo),D@(ạ)) < 0, với @ € C!(Q) nào đó và xọ € Q thỏa mãn:
u(xo) — @(xo) < u(x) — (x), Vx € B(x0, dp), với ổ > 0 nào đó Tiếp theo ta xét hàm œ € C!(@) xác định bởi:
@(x) = Ø(8) — |x— xu? + ul) (a0) 58%
với 0 < 5 < 6 Dễ thấy rằng:
(u—@)(xo) < (u—@)(x), Vx thoa man |x —xo| = 6 (1.6)
Trang 16véi moi x € (xo, ổ), trong đó @;(¿ = 1,2) là mô đun liên tục của @ va Dg Do đó: |@(x) —u(xo)| < (6) +67, Vx € B(x0, 8) Bây giờ ta có: F (x, @(x),D@(x)) =h+ F(x, @(x),D@(3) — 2(xT— xo)) —F (xo, u(x0);D@(x0)) (1.9) Néu p 14 mé dun lién tục của Ƒ thì: F(x, @(x),D@(x)) <h+p(6, @ (5) +67,26),
với mọi x € B(xo,6) Do h < 0 nén được chứng minh với ổ > 0 đủ nhỏ Với
mọi ổ như trên đặt:
uV@_ trên B(xọ,ð) u trên @\ BŒo, ổ)
Ta có thể kiểm tra được rằng ? c C(Q) và từ Mệnh đẻ 1.1(a) và Mệnh đẻ|1.4|(a), 0
là một nghiệm dưới của phương trình trong Q Do #(xo) > u(xo) Diéu nay trái
với giả thiết nên (c) được chứng minh xong L1
Mệnh đề 1.5 (Tính ổn định của nghiệm nhớt) Cho u, € C(Q)(n € N) la mot nghiệm nhớt của phương trình:
Fi, (x,Un(x), Dun (x)) =0 trong © (1.10)
Giả sử rằng:
u„ —> w hội tụ đêu trong ©,
E„ — u hoi tụ đều trong Qx Rx R"
Khi đó u là một nghiệm nhót của phương trình trong Q
Ching minh Cho @ € C'(Q) va xo là cực đại địa phương của „— @ Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử:
Trang 17với x # xọ trong một lân cận của xọ Từ tính hội tụ đều ta có với n di 16n u, — @ dat
cực đại địa phương tai x, —> xọ (xem Bổ đẻ[I.3) Khi đó Fi, (Xn, Un (Xn), D@(Xn)) < 0 Từ x„ — Xo, qua giới hạn bất đẳng thức trên khi n —> -+œ ta được: Ta(xo,u(xo),D@(øxo)) < 0 vậy là nghiệm nhớt dưới Chứng minh tương tự ta cũng có là nghiệm nhớt trên L] Ví dụ sau đây cho thấy Mệnh đề [1.5| không đúng với nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) Ví dụ 1.5 Xét dãy hàm răng cưa là dãy hàm u„ được xác định bởi: ⁄(x) = l—x và với > 2 thì x—ji, nếux€ |2//2",(2j+1)/2"] 2E? —x, nếux€[(2j+ 1)/2",(2j+2)/2", Un (x) =
trong đó j = 0,1, ,2"~!— 1, Với x € [0,1] rõ ràng là |z/(x)|— 1 = 0 hầu khắp
nơi trong [0, 1], mặc dù ¡¡ là nghiệm cổ điển (nên cũng là nghiệm nhớt) nhưng „
không phải là nghiệm nhớt với n > 2 Giới hạn của dãy hàm là bằng 0 và không
thỏa mãn phương trình |z'(x)|— 1 = 0 tại mọi điểm
Trong chứng minh Mệnh đẻ|[I.5|chúng ta đã sử dụng kết quả cơ bản sau:
Bổ đề 1.3 Cho v€ C(O) và giả sử rằng xọ € Q là một điển cực đại địa phương ngặt của v trong B(xọ,ð) C © Nếu v„ạ € C(©) hội tụ đều địa phương tới y € Q, thì khi đó tôn tại dãy {x„} thỏa mãn:
Xn > Xo; Vn(%n) > Vn(x), Vx € B(x0, 6) (1.11)
Chứng mình Cho x, là diém cuc dai cia v, trong B(xo, 5) và cho x„¿,k € Ñ là một
day con hội tụ bất kỳ ctia {x,} , € Ñ Từ tính hội tụ đều ta có:
Vink (Xnk) > v(x) khi k + +0,
Trang 18trong đó # = limx„¿ khi k —> -+œ Dựa vào việc chọn {x„} ta được:
v(#)>v(x) Yx€ B(,ổ),
đo đó v(#) > v(xạ) Điều này có nghĩa là ế = xọ và dãy đã cho hội tụ L]
Mệnh đề 1.6 (Quy tắc đổi biến trong phương trình Hamilton-Jacobi)
Cho ¡ € C(O) là nghiệm nhót của phương trình và ®€ CI(R) thỏa mãn @'(t) > 0 Khi dé v = ®(u) là một nghiệm nhớt của phương trình: F (x, P(v(x)), ¥ (v(x) )Dv(x)) = 0, xEQ, (1.12) trong đó \ = @~} Một kết quả tổng quát rất hữu dụng khi giải các phương trình tiến hóa đó là: Ménh dé 1.7 Cho u € C(Q) la nghiệm nhớt của phương trình v đ: â x R — R thuộc C} thỏa mãn: ®,(x,r) > 0, V(x,r) €QXR Khi dó hàm v € C(O) được xác định bởi ®(x,v(x)) = u(3), là một nghiệm nhớt của phương trình F(x,v(x),Dv(x)) = 0 trong Q, (1.13) vi F (x,r, p) = F(x, ®(x,r), Dy ®(x,r) + ®,(x,r)p)
Chứng mình Ta chi ching minh chỉ tiết phần nghiệm nhớt dưới, chứng minh phần
nghiệm nhớt trên được tiến hành tương tự Cho x € © và p € D” v(x) Khi đó ta có:
v(y) < v(x) + p.(~—x) + ø(|y—+|)
khi y — x Từ ® là không giảm đối với r ta có:
Trang 19và từ đó ®(y,v(y)) < ®(x,v(x)) + Dy®(x, v(x))-(y— x) +®,(x,v(x))p.(y—x) + ø(ly—x|)) Theo định nghĩa của v thì điều này có nghĩa là D,®(z,v(z)) + ®,(x,v(x))p € Dt u(x) Do dé F (x,u(2x),Dy(®(x,r)) + ®,(x,7)p) <0,
vay v la nghiém nhớt dưới của phương trình {1.13} L]
Mệnh đề tiếp theo nêu nên một số dạng của bán vi phân trong các trường hợp thông dụng
Mệnh đề 1.8 (xem [2], Proposition 2.7) Cho u € C(Q) Khi dé
(¡) với v(x,r) = 0(r)u(x) (x € Q,r ER) va PE C!(R), P(r) > 0, với mọi r € R; ta
có
D”v(x,r) = {(q.p) € R"”":a€ @(r)D”w(x),p = @Í(x)w(3)} (ii) véi u(x) = v(T(x)), ve c(Õ); ta có (công thức đổi biến)
p € D* v(yo) néu va chi néu (DT (xo))!p € D* u(x), trong dé T : Q -+ O la mot vi phôi, A! la chuyén vị clia A va yo = T (xo);
(iii) voi N(r) = u(y(x)), y € C!(R,Q) ta có (công thức đạo hàm hàm hợp)
D'n(r) 2 D*uly(r)) Hr)
Nhận xét 1.3 Các kết quả tương tự vẫn đúng với D~ Từ công thức “đổi biến”
(ii) ta co là một nghiệm dưới của phương trình trong © nếu và chỉ nếu v(£) = u(T~!(£)) là một nghiệm dưới của phương trình:
F(T"'(8).v(®,DT(T~'(®)Dv(#)=0, #£
Bây giờ ta sẽ đi tìm điều kiện để một hàm khả vi liên tục từng mảnh thỏa mãn phương trình là nghiệm nhớt của phương trình trên
Đầu tiên ta xét trường hợp một biến Giả sử w € C([—a,a]) ñC!([—a,0]U [0,a]) là một nghiệm cổ điển của phương trình
F(x,u(x),u(x))=0_ — trong [—a,0]n[0,a]
Trang 20Theo khai triển Taylor với |y| đủ nhỏ ta có
— J¿(0)+w,(0)y+o(ly|) nếuy>0
u(y) = u(0) +u_ (0)y+o(|y|) néuy <0,
trong đó uy (0) và „_ (0) tương ứng là các dao hàm phải, dao ham trdi céia w tai 0 Từ đó p € D*u(0) nếu và chỉ nếu
, ,
u,(0) <p<u_(0)
,
Tương tự, p € D~(0) tương đương với p € | nhớt của phương trình trên khi
(0),u, (0)) Do đó w là nghiệm F(0.u(0).p) <0, Yp€l, := |z (0) (0)| =D*u(0):
F(0,u(0),p)>0, Vpel:= | (0),u, (0)| =D-u(0)
Tat nhiên trong trường hợp Uy (0) # u_(O) thi chi ', hodc I 1a khéng rỗng
Để mở rộng kết quả trên với trường hợp số chiều cao hơn ta giả st rang: Q =
Q' U7 UT, trong d6 Q'(i = 1,2) là các tập con mở của © và T là một mặt trơn Ta ký hiệu n(x) và T(x)(x € T) là các vector đơn vị chuẩn tắc tit T vao Q! va vao
không gian tiếp xúc với T tại x, Pr và y là hình chiếu vuông góc của IRŸ tương ứng
xuống 7(z) và không gian véc tơ sinh bởi n(x)
Theo hệ quả của định nghĩa nghiệm nhớt ta có: nếu w € C(O) là một nghiệm
nhớt của phương trình trong Q!(i = 1,2) thì ¿ là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Q'UQ? = Q\T
Vậy là nghiệm nhớt trên © khi một số điều kiện trên I' được thỏa mãn đó là: Mệnh đề 1.9 Cho u € C(Q) va gid sit rang thu hẹp của nó uÌ trên QÌUT thuộc Cl(OTUT)(¡ = 1,2) Khi đó u là nghiệm nhót của phương trình trong © nếu
và chỉ nếu các điều kiên sau đúng:
(a) _ u là nghiệm cổ điển của phương trình trong Q'(i = 1,2), (b}) F(x,u(x), Pr Du! (x) + En(x)) <0
VE € [Du' (x).n(x),Du?(x).n(x)], Vx ET
,
Trang 21VE € [Du?(x).n(x), Du! (x).n(x)], Vx ET
Bổ đề tiếp theo là rất cần thiết trong việc nghiên cứu các phương trình tiến hóa
Bổ đề 1.4 (xem [2Ì], Lemma 2.10) 7ø giả sử rằng
pì t> F(Ä,F.pì, Pa DN) (1.14) là không giảm với mọi điểm %,F, ña DN Cũng giả sử rằng © = (a,b] x ©!, với Q! la tap con mở của RỲ~1 Nếu u € C(Q) là một nghiệm nhót dưới (tương ứng
nghiệm nhớt trên) của phương trình thì
F(š,u(3),Do(3)) <0 (ương ứng >0) (1.15)
tại mọi điểm cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) š của u — @ trên
(a,b] x Q! véi moi p € C!((a,b] x Q’)
1.1.3 Hàm lề
Dinh nghia 1.3 Cho ham sé g: Q x B > RY, Q CR" 1A mot tap mé va B 1a mot
không gian topo Hàm số (x) được xác định bởi:
u(x) = inf g(x,b), (1.16)
được gọi là hàm lê
Một số ví dụ rất cơ bản về hàm lề: đó là hàm khoảng cách đên một tập hợp
$C RỶ được xác định bởi:
d(x,S) := inf|x — sị
ses
Trong chương sau ta cũng đề cập đến một ví dụ khác về hàm lề đó là phép chập-inƒ
của một hàm được xác định bởi:
Ue (x) = inf [u(y) + x —yl? /2e], e>0,
yeQ
Ta ky hiéu M(x) là tập hợp (có thể rỗng):
M(x) = arg min g(x, ) := {b © B: u(x) = g(x,b)}
Trang 22và giả sử rằng g(x, B) bi chan vi moi x € Q vax > g(x,b) là liên tục đều tai x đối
với b € B; ttc la:
|g(x,b) —g(y,b)| < 0(lx—y|,R) (1.17) với mọi |x| |y| < R,b € B với mô đun @ nào đó
Một kết quả đầu tiên về hàm lề đó là mối quan hệ giữa các bán vi phân của hàm
u va các bán vi phân của hàm ø theo biến x (ky hiéu 1a D*g)
Bổ đề 1.5 Cho giá thiết Khi đó w 6 © và
D* u(x) Đ D} g(x,b), Dyg(x,b) Đ Du(x),
với mọi b € M(x)
Chứng mình Tính liên tục của u là một hệ quả đơn giản của Định nghĩa|1.3|và giá thuyết (1.17) Bây giờ cho p € Df g(x,b) thi g(x+h,b) < g(x,b) + p.h+ o(|h|) khi |h| — 0 Với b € M(x) ta được u(x-+h,b) < u(x,b) + p.h+ o(|h|) khi |h| + 0 do đó p€ D*u(x) Nếu p€ D~w(x) thì u(x+h,b) > u(x,b) + p.h+ o(|h|) khi |h| —> 0 Với b € M(x) ta có s(x+h,b) > g(x,b) + p.h+ o(|h|) khi |h| — 0
Trang 23Để nghiên cứu sâu hơn ta giả sử g(-,b) khả vi đều tại x, tức là với mô đun @,
nào đó,
lg(x+h,b) — g(x,b) —Dyg(x,b).h| < {Al oy (Al) (1.18)
với mọi b € B và ñ đủ nhỏ Ta cũng giả sử rằng
b—› Dyg(x,b) liên tục (1.19)
b — g(z,b) nửa liên tục dưới (1.20)
Ta sẽ sử dụng những ký hiệu sau đây: Y() := {Dus(x,b) : b € M(x)} và đạo hàm theo hướng (một phía) của theo hướng gq, du i u(x+tq) — u(x) —(x):= lim ——————— oq (x) xs0t t
Ménh dé 1.10 (xem (2, Proposition 2.13) Cho các giả thiết 11.17), 11.18), 11.19),
1.20) va B la tap compact Khi do
Y(x) 40 (1.21)
D* u(x) = OY (x), (1.22)
D-u(x) = {y} néu¥(x) = {y} (1.23)
0 nếu Y(x) không phải là tập một điểm
Đặc biệt, u kha vi tai x nếu và chi néu Y (x) là tập một điểm Hơn nữa, u có đạo hàm theo hưóng (một phía) theo mọi hướng q, được cho bởi
du
—(z)= min y-g= min y-g
aq ) yeY (x) pED* u(x)
Tiép theo 4p dung Ménh dé ta tính các bán vi phân của hàm khoảng cách
từ tập bất kỳ § € IRŸ, Š # 0 xác định bởi
d(x,S) := inf[x— z| = min |x— z| (1.24
ze zeSs
Biểu thức sau của đ(x) thuận tiện hơn trong tính toán và liên quan đến việc xét tập
hình chiếu của x lên Š có dạng
Trang 24Mệnh đề 1.11 Véi S40, d € C(R") bat ky va voi moi x ¢ S va vector don vi q Khi do Das) =z { == ze Plait |x-zl x=p(x) 4 _ D-d(x) = ï-p@| «EU P(x) = {p(x)} 0 nếu P(x) là tập một điểm, Ju ) = min 3£ —(x)= -q oq xeP(x) |[x—2| 4
Nhận xét 1.5 Từ Mệnh đề và Bổ đẻ|1.1|ta có đ khả vi tại x nếu và chỉ nếu
hình chiếu của x lên Š là duy nhất Một kết quả nổi tiếng trong giải tích lồi (định lý
Motzkin) khẳng định rằng tập hình chiếu p(+) là tập một điểm nếu và chỉ nếu § 1a
tập lồi Khi đó Š là tập lồi nếu và chỉ nếu đ kha vi trong RY \ § Trong trường hợp
này hình chiéu p(x) phụ thuộc liên tục trên x do vậy đ € C!(IR* \ 3)
Dễ biết rằng nếu 2Š trơn thì hàm khoảng cách là trơn ở gần ØŠ và thỏa mãn
phương trình eikonal
|Du|=1 trong RY\S (1.25)
một cách địa phương quanh 0S Néu phuong trinh nay xét theo nghĩa nhớt thì nó là nghiệm toàn cục với mọi S
Hệ quả 1.1 Hàm khoảng cách d dén Š là nghiệm nhớt của phương trình (1.25)
trong Š Nó cũng là nghiệm nhớt dưới, nhưng không là nghiệm nhớt trên trong cả
RN
Một khái niệm khác liên quan mật thiết đến tính chất của hàm khoảng cách đó là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị #(x) của Š tại x € ở5 Trong trường hợp ởŠ trơn, hàm n là mở rộng duy nhất của Dở lên ở%, với x ¢ Š đủ gan OS ta cd
x= p(x) +s(x)n(p(a)), Dd(x) = n(p(x)), (1.26) trong d6 p(x) biểu thị hinh chiéu duy nhat cia x lén S Diéu nay dan dén dinh nghia
sau:
Dinh nghia 1.4 Cho S C IRŸ là một tập không rỗng Một vector đơn vị v là một
Trang 25tai x  Рthoa man x=ztd(x)v va {z}=P(x) Chú ý rằng từ Mệnh đề thì công thức thứ hai trong (1.26) trở thành Dd(x) € N(p(x)), — Pø)= {p(#)}: (1.27) tại mọi điểm x mà đ khả vi 1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm
Trong mục này ta đề cập đến vấn đề tính duy nhất và sự so sánh nghiệm của
nghiệm nhớt Đây là một vấn đề lớn trong lý thuyết và có mối liên hệ với các điều
kiện đủ trong bài toán điều khiển tối ưu
Để bắt đầu với van dé nay: Ta giả sử rằng uy, 42 € C(Q) NC! (Q), thoa man cdc bất đẳng thức (x) + H(x,Dui(x)) <0 (128) ua(x) + H(x,Du›(x)) > 0 với x € Ova uy <u tren dQ (1.29)
Giả sử Q bi chan va cho x 1a diém cuc dai cla uw; — uz trén Q Néu xp € Q thi Duy (xo) = Du¿(xọ) và do ta có
uy (x) — u2(x) € (3o) — u2(x0) Wx EQ Mit khac, néu xp € Ø© thì
uy (x) — uz (x) < 1 (Xo) — M2(Xo) Vx € Q
Do đó ứị < uạ trên Q Déi vai trò của uw; va uy trong (1.28) va (1.29) ta được tính duy nhất của nghiệm cổ điển của bài toán Dirichlet
u(x) + H(x,Du(x))=0, xE€Q u=@ trên 0Q
Chứng minh trên là sai nếu uy, uz 1a cdc ham sé lién tuc théa mãn các bất đẳng thức
theo nghĩa nhớt vì khi dó Du; có thể không tồn tại tại xọ Tuy nhiên các thông tin
Trang 26trong định nghĩa nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt dưới là đủ mạnh để cho phép ta mở rộng các kết quả về tính duy nhất và so sánh đối với nghiệm nhớt liên tục của phương trình (Hd)
Trong phần tiếp theo ta sẽ trình bày một số định lý về sự so sánh giữa nghiệm
nhớt trên và nghiệm nhớt dưới trong các trường hợp © bị chặn, Ó = RỶ và đối với bài toán Cauchy Như một hệ quả đơn giản thì mỗi kết quả về sự so sánh nghiệm
đều dẫn đến một kết quả về tính duy nhất nghiệm Để cho đơn giản ta đưa về việc xét hàm #' có dạng Ƒ'(x,r,p) = r + H(x,p)
Định lý 1.2 Cho © là một tập con mở bị chặn của RŸ, Giả sử ¡ị,uạ € C(O) tương ứng là nghiệm nhớt trên và dưới của
u(x) + H(x,Du(x)) = 0, x EQ, (1.30)
va
uy € Hạ trên Ø9 (1.31)
Cũng giả sit rang H thỏa mãn:
|H(x,p) —H(y,p)| < ai (lx—y| (1+ |p|) (Ai)
với x, y€ @, pc RỶ, trong dé @ : [0, +00) — [0, +00) 18 lién tuc khéng giam véi @; (0) =0 Khi đó uw; < up trong Q
Chiing minh V6i € > 0 xéc dinh mét ham ®, liên tuc trén Q x Q c6 dang
_ lx-yŸ
2£
®;(x,y) = mị(x) — u2(y)
và cho (x;,y;) là một điểm cực đại của ®, trén Q x Q Khi đó với mọi € > 0,
max (wị w2)(x) = maxđÂ(x,x) << max _ ®¿(x,y) = ®;(xe,ye) (1.32)
xEQ xEQ (x,y)€QxQ
Bây giờ ta đi chứng minh
liminf Be (xe, ye) < 0 khi € > 0 (1.33)
Đầu tiên ta có bất đẳng thức
Trang 27dẫn tới 5
[Xe — Ye 2Š M2(Xe) — M2(e) Điều này có nghĩa là
lxe—ye| < (Ce)'?, trong đó C chỉ phụ thuộc vào max |u;| trong © Do đó
|lxe —ye| —> 0 khi e — 0; và do tính liên tục của uz ta cd
le—» v0 2e khie-0,
Bây giờ có hai trường hợp có thể xảy ra:
(i) (Xen, Yen) € O(Q x Q) véi day €, + 07; (ii) (Xe,¥e) € Q x © với mọi £ € |0, |
Trong trường hợp (¡) hoặc x;„ € AQ và khi đó từ (1.31),
trì (Xen) —M2(We„) < U2 (Xen) — U2(Yen)s
hoac ye, € AQ va khi dé
U1 (Xen) — u2(Yen) <u (Xen) —MỊ (yeu)
(1.34)
(1.35)
Chú ý rằng về phải của hai bất ding thitc trén tién dan dén 0 khi n > © (theo (1.34) và tính liên tục đều của u,;) Do đó
Den (Xen Yen) <u (Xen) ¬ M2(ye„) khi n —> s,
vay (1.33) được chứng minh trong trường hợp này Bây giờ ta giả sử rằng (xe, ye) € Qx Q va dit 2 009) = mile) + PE Ix —yel” 2E ` 2(x) = w2(yz) +
Trang 28Theo định nghĩa của nghiệm nhớt trên và nhớt dưới thì Xe— uy uy (xe) + A (xe, € %) <0, —wa(ye) — Hy, E—) <0, Theo (A) ta có Xt — uy (%e) — Hale) <0 (bte —yel 1+ BEY!) do đó | | Xt —
@z(Xe,Ve) < O1(|Xe —Ye| (A+ — ))
Do (1.34) va (1.35) nén (1.33) dude chting minh va từ đó định lý được chứng minh
xong L1
Nhận xét 1.6 Nếu ¡¡, u; đều là nghiệm nhớt của (1.30), theo Dinh ty [1.2]thi diéu kiện uw) = up trén OS sé kéo theo u, = up trén S
Nhận xét 1.7 Khẳng định trong Định ly[1.2|ciing đúng với phương trình
Au(x) +H(x,Du(x))=0 xEQ,
với A > 0 Mặt khác đối với phương trình #(x,u(x)) = 0 thì kết quả trên không đúng Thật vậy, với phương trình H(x, p) = 0 với moi x va p thi ham u € C(Q) bat
kỳ đều là nghiệm nhớt
Bây giờ ta xét trng hp â = ùđ và chứng minh kết quả về sự so sánh nghiệm trong không gian BC(RŸ) của các hàm liên tục bị chặn trong I®Ÿ Sơ đồ chứng minh kết quả này tương tự với việc chứng minh Định Iý[1.2|nhưng đòi hỏi kỹ thuật phức
tạp hơn do sự thiếu chặt hơn của giả thiết
Ta giả sử điều kiện sau trén H:
H(y,A(y —x) + p) —H(x,A(y—x) +4) € ®(lx—y|+Ä ly—xÏŸ,R)
+@›([p — qÌ): (H;)
với mọi  > 1, p, ạ€ B(0,1), x, y€ B(0,R), VR > 0, trong đó @, @3 là các mô
đun Dễ thấy rằng (Hi) và (H:) xác định bởi
IH(x,p)— HŒ,4)| < @([p—4|)- Yx,p,a€ RỲ (Hs)
Trang 29Định lý 1.3 Giả sử rằng ưị, uy c BC(R*) tương ứng là nghiệm nhớt dưới và
nghiệm nhớt trên của phương trình
u(x) + H(x,Du(x)) = 0, xeR*, (1.36)
với H thỏa mãn (Hạ) Khi đó uy, < up trong RN Chứng mình Đặt g(x) = †log(1+ |x|Ÿ) và ~ 2
— |2
(x,y) =in()—wa(9)— ®TƑ — B(gfx) + g0),
trong đó £, B là những số dương chọn sau Giả sử ngược lại, có ổ := „ị(#) — u;(#) với # nào đó và chọn sao cho Bg(#) < 6/4 va (2B) < 5/6 Khi do
/2<ð-2Ps(#)=®(#.#)< sup ®(x,y) (1.37)
RY xR
Từ ® liên tục và lim, y|_ ®(x,y) = —œ, tồn tai (xe, ye) thỏa mãn
P(Xe,Ye) = sup P(x,y)
RY xR
Ta đi chứng minh rang đ(xÂ, ye) < 5/2 voi € > 0 di nhé dé dan dén mau thuẫn với (1.37) That vay, néu B(xe,ye) > 5/2 > 0 thi
B(g(xe) + 8(ve)) € supuy + sup(—u2) RN RN
Trang 30trong đó C 1A mét hang s6 phu thudc vao supgw |u| VA SUPpw |u2| Thay (1.39) vao (1.38) va do tính liên tục đều của ø,u; trong B(0,R) nén [Ke —yelŸ 2£ Bây giờ ta xét các hàm số khả vi liên tục Ø0) = mm) = HS" — B(e(xe) +8(0)), @(x) =(we) + *t£E + B(g(x) + ge)); — 0 khi £ —› 0 (1.40) thấy rằng x; là cực đại địa phương của — @; đồng thời y; là cực tiểu địa phương cua uz — @ va DQ (ye) = *£ — Daye) Do (Xe) = “5 + Dg (xe) Từ định nghĩa của nghiệm nhớt trên và nghiêm nhớt dưới , uy (Xe) +H (Xe, S—® + Dg(x¿)) 0 uz(Ye) +A (Xe, => —Dg(ye)) IV 20 IA do đó
Uy (Xe) — U2 (Ye) < A (ve, A(Ve —Xe) + p) — A (Xe, A (Xe — Ye) +9)
với A = 1/e, p = —Dg(ye),q = —BDg(xe) Tet |Dg| < 1, chon B < 1 cho phép ta
áp dụng H; Ta được
2
Ve =Yel m) + œs(2B) M1 (Xe) — Ma(ye) S @(Xe — ye| +
Trang 31Dinh ly[1.3]co thể được khái quat cho truéng hop tap md Q € R khong bi chan Thật vậy, ta có thể chứng minh được rang néu w1, v2 € BC(©) tương ứng là nghiệm
nhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phương trình
u(x) + H(x,Du(x)) = 0, x EQ,
với H thỏa mãn Hạ và uị < up trén AQ thi u, < uz trong Q Chiing minh két qua
trên tương tự với chứng minh Định ly [1.3} Trường hợp điểm cực đại (xe, ye) của
hàm phụ thuộc Ø(© x ©) được xử lý như trong chứng minh của Định Iý[1.2|
Nhận xét 1.8 Một biến thể rất hữu dụng của Định Iý[I.3Ìcó được khi ta thay giả thiết về tính bị chặn của ,u; bằng tính liên tục đều của chúng Người ta có thể chứng minh được rằng nếu w¡,u¿ € UC(R*) tương ứng là nghiệm nhớt dưới, trên
của phương trình với H thỏa mãn Hị và Hạ thì „ < uz trong RY,
Một kết quả về sự so sánh nghiệm tiếp theo liên quan phương trình tiến hóa Nó cũng dẫn đến một kết quả về tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
u,(x,f) + H(t,Du(f,x)) =0 (t,x) € [0,7] x RY u(0,x) = uo(x) xe RY
với điều kiện ban đầu ọ € UC(IRŸ) Xem nhận xét Nhận xét|1.9|đối với hàm Hamil- ton tổng quát hơn
Định lý 1.4 Giả sử 77 c C([0,T] x RY) Cho m,u2 € UC([0,T] x RY) tuong ting
là nghiệm nhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phương trình
Trang 32từ tính liên tục đều ta có @;(r sup i(7) ro ltr < +00 (1.41) Qua tính toán ta được uy (t,x) — w2(s,y) = wị (f,x) — m(0,x) + 4 (0,x) — wạ(0,x) + w2(0,x) — wạ(s, y) ), véi moi (t,x,s,y) € Q? trong đó Q := [0,T] x RY Ty (1.41) taco < @(f)+A+@›;(s+|x—y lun (t,x) —u2(s,y)| <C(+|x-y]), V(x,sy)€Ø, — 42) véi C > 0 nao đó
Gia sit ring
sup (u; — uz) > A+, (1.43) Q với Øo > 0 Ta sẽ chứng minh dẫn đến sự mâu thuẫn, với œ,£ > 0 xét hàm phụ x=yÏŸ _ lr=sÏ € a P(t,x,5,y) =u (t,x) —M¿(S,y) a Nhờ (1.42), ta có supg2 ® < +20 do vay, voi mỗi 0 < ổ < ơo/2 tồn tại (fo,xo, So, yo) € QO? véi P(t, x0,50,Yo) + 6 > sup® Q?
Bây giờ ta chon ¢ € C7 (R”) thỏa mãn
C(x%o,y0)=1, O<E<1, |Dệ(x,y)| <1
Với 0 < 6 < 69 /2T ta dat
W(/,x,s,y) — ®Œ,x,s,y) + ơÉ(x.y) — ot
Khi đó tồn tại (7,#,š,ÿ) € Q* sao cho:
Trang 33Ta c6 bat ding thitc Y(F,%, 5,5) > W(7,š.f,#) + (Z,ÿ,#,ÿ) cùng với va sau
qua trinh tinh toan =# er <q+|#|)+4 + ứ(Đ7) <C(1+|ƠJ]) +200, với 0< ổ < 0/4 và 0< ø < Ø/2T Biểu thức trên có nghĩa là với mỗi £, œ € [0, I] tồn tại C;,Cạ„ > 0 thỏa mãn |lš—ð|<(Œ, |f—s|<(Œ„, limCŒC„ =0 (1.44) a0 Nếu (,#), (f,#) € [0,7] x RY Ap dung dinh nghia nghiém nhét va B6 dé 1.4 ta có o+ LF) 4HELE-3) ~ 6D.6(%,5)) <0 va 1 \ <(F—5) +H(G, £(8-3) + ðDye(8.ÿ)) >0 Do đó ø <H(5,s(—8) + ðD,c(E.3))~ HŒ, S(£~ÿ) ~ ðD,c(E,3)) mle Từ (1.44) ta có - C ở < oy (\7—5| +5, + 0) (1.45) trong đó mô đun dia phudng @, được xác định bởi on (7,R) == sup {|H(¢, p) = H(s.g)| : |f — s|- |p — q| < r,p;a € B(0,R)} Bây giờ ta chọn £, œ đủ nhỏ để về phải của nhỏ hơn thực sự ø và do đó dẫn đến mâu thuẫn
Để hoàn thiện chứng minh trên ta phải kiểm tra trường hợp mà 7 = 0 hoặc § = 0 Trong trường hợp này ta cũng sẽ chứng minh giả sử là sai với œ đủ nhỏ Giả
sử ngược lại có một dãy œ„ —› 0* thỏa mãn ® dat cực đại tương ứng tại (fa, Xa, Va, S» với t, = 0 hoặc s„ = 0 với mọi ø Nếu r„ = 0 thì theo và định nghĩa của A,
uy (x„,0) — H2(Yn,Sn) < A+~+wa(ya,0) — M2(Wn„Sn) < A -+ ®(Cœ„)
Trang 34Tuong tu, néu s, =0 uy (Xn tn) — u2(yn,0) < A + Q (Can): Do đó sup \(,x,,x) < supW < A+ø(1)+ổ (xed @ khi ø — s Mặt khác từ ([T-43], sup \(,x,f,x) > sup (ư„ — wạ)— GT > A + Ơụ — GT (t.x)€QO Q do d6 0) < 6 + OT + ø(1) khi n —> +œ Mau thuan véi cach chon 6 va o véin dit lớn O Nhận xét 1.9 Định lý về sự so sánh nghiệm|1.4|có thể được mở rộng cho phương trình u, + H(t,x,Du) = 0
nếu hàm Hamilton H € UC(|0,T] x RỲ x B(0,R)) với mọi R > 0 và H thỏa mãn (H¡) với một mô đun @ độc lập của / € [0,7]
Nhận xét 1.10 Nguyên lý so sánh có thể được sử dụng để chỉ ra khoảng bị chặn của nghiệm nhớt của phương trình (HJ) Để chỉ ra điều này ta xét u, € BC(R”),n EN
là nghiệm nhớt của phương trình
Un (x) + Ay, (x, Dun(x)) = 0, xeER, (1.46)
trong đó H,, thoa man (H)), (H3) voi méin € N Ciing gia sit ring sup |H„(x,0)| << +œ
xeRW
với hằng số C nào đó rõ ràng là C và —C tương ứng là nghiệm trên và nghiệm dưới
của ({1.46) với moi n € Ñ Khi đó theo Định Iý[1.3|thì
—C < (x) < CC,
Trang 35Chương 2
Tính chính quy của nghiệm
nhớt
Trong chương này ta giới thiệu hai kết quả (Mệnh đề|2.1|và Ménh dé(2.2) Ching chỉ ra rằng với những giả thiết thích hợp trên #ƒ thì nghiệm nhớt của phương trình
(HJ) Au(x) +H(x,Du(x))=0, xR
là liên tục Lipschitz, cùng với một số tính chất khả vi của hàm liên tục Lipschitz
Tiếp đến là một số định lý cơ bản về hàm nửa lõm và mối liên hệ với phép
chập-inf Kết quả quan trọng trong phần này đó là Định Iý|2.1| trong đó khẳng định rằng: với những điều kiện thích hợp trên #7 thì nghiệm nhớt liên tục Lipschitz của
phương trình là nửa lõm và Mệnh đè|2.8|chí ra rằng một nghiệm nhớt dưới của phương trình có thể được xấp xỉ đều từ dưới bởi một nghiệm dưới nửa lõm u; của một phương trình xấp xỉ
2.1 Tính liên tục Lipschitz
Định nghĩa 2.1 Giả sử ¿ là một hàm số xác định trén tap md Q € RY được
gọi là hàm Lipschitz (hay hàm liên tục Lipschifz) trên lân cận V C © (với hằng số
Trang 36Lipschitz K > 0) néu
u(x) —u(y)|<K|x—y], Yx.y€Y
Hàm ¡ được gọi là ham Lipschitz dia phuong (hay lién tuc Lipschitz dia phuong)
trên Q néu véi méi x € Q tén tai lan cin mé U, cla x trong Q sao cho là hàm Lipschitz trén U, Ta gia sit rang H thoa man diéu kiện sau H(x,p) — +e khi |p| —> + (Aa) Khi H có dạng H(x,p) = sup{—ƒf(x,a).p— I(x,4)}, (2.1) acA điều kiện đủ để (Hạ) đúng là tính bị chặn của 7 cùng với giả thiết 3r>0:(0,r) C£øƒf(x.A), VxeR*, (2.2) Ménh dé 2.1 Cho diéu kién (Hạ) Khi dé moi nghiém nhot dudi u € BC(RN) cia
phuong trinh la lién tuc Lipschitz Chứng mình V6i x c JRŸ xét hàm số
0(y) =u(y) —C|y—+|,
trong đó C > 0 là một hằng số được chọn sau Do tính bị chặn của u dẫn đến tồn tại
¥ ERY thoa man
0(ÿ) = max p(y) yeR#
Ta cần phải có ÿ = x với C đủ lớn Nếu không ta có
y-x |#—3l
do z là một nghiệm nhớt dưới của và y —> C|y — x| khả vi tại y= ÿ # x Với C
đủ lớn, thì mâu thuẫn với (H) Do đó với C như trên,
%+u(ÿ) + H(ÿ,C )<0, (2.3)
u{y)—C|y— x| < w(ÿ)—C|ÿ—x|=u(x), Wy€R*,
Trang 37Một điều kiện khác trên H đảm bảo tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt đó là 3C>0: H(xCC——) “` >-Clx-y|, WxyeRŸ, (As) Jx—ÿ!| lx—ÿ!| Với H có dạng (2.1), điều kiện (Hs) đúng với C > M/(1 — L), trong đó f,/ théa mãn
(Œœ.a)— ƒ,a)).(x— y) <Llx—yŸ, Loi,
\I(x,a) —IQ,a)| <M |x—y], Vx,y,a
Mệnh đề 2.2 Cho các điêu kiện (H,),(H3),(Hs),4 > 1 va u € UC(RY) la nghiém nhớt của phương trình (Hyp Khi do
|u(x) —uly)| <C|x—y]
Chứng mình Dễ thấy rang v(x,y) = u(x) — u(y) 1A nghiém nhét của phương trình Av(x,y) +A(x,y,Dyv(x,y),Dyv(x,y)) =0 trong R?Ỳ,
trong dé A(x,y, p,q) := H (x, p) — H(y,—a) Mặt khác, @(x, y) := C |x — y| thỏa mãn
A@(x.y) + ff(x.y.D,@(x,y),Dy@(x,y)) — g(xy) =0 trong RẺ,
VỚI
gíy)=C|y—y|+H(x€C—”)=H(»€T—”) |x—| |x—|
Từ ø > 0 bởi (Hs) và v,dø € UC(R2X) và Í? thỏa mãn (H;), (H3), 4p dung két qua về sự so sánh nghiệm trong Nhận xét 2.3 ta có y < œ trong R?Ÿ, Vậy mệnh đề được
chứng minh L1
Bây giờ ta nêu một cách ngắn gọn một số tính chất khả vi của hàm liên tục Lipschitz địa phương Theo định lý Rademacher, mọi hàm liên tục Lipschitz địa phương đều khả vi hầu khắp nơi với gradient bị chặn địa phương Do đó, nếu €
Lipis.(©) (tập các hàm liên tục Lipschitz địa phương trong ©), thì tập hợp
n>+œ
D*u(x) = {p ER : p= lim Du(,),x„ oa}
Trang 38là tập không rỗng và đóng với mọi x € © Ký hiệu coD* là bao lồi của nó Một kết
quả khá nổi tiếng trong giải tích không trơn đó là
coD*u(x) = du(x), Vx € Q, (2.4) trong d6 du(x) 1a gradient tong quat hay gradient Clarke cia w tại x được xác định
bởi
du(x) = {pe RY : u°(x;p) > p-q, Vạ € RY} = {peER® :uo(x:p) < pq, Va ERY}
V6i u (x; p) va uo (x; p) là các đạo hàm theo hướng tổng quát được xác định bởi u(y +tq) — u(y) u°(x;q):= limsup y—x,0T t t — u°(x;q):= liminf u(y + tq) — HỘ), yoxt0r t
Một khái niệm liên quan nữa đó là đạo hàm Dini theo hướng, cụ thể là
9*u(x:4) := limsup “E +19) =u)
¡—>0† t
0 u(x3q):= timing MOTD) =U)
t0t t
Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng
uo(x;4) < 9~n(x,4) < 9*u(x,qg) <u0(x;:4), VxeQ ac RỲ, (2.5) và điều này có nghĩa là với w € Lipioc(Q),
D> u(x)UD* u(x) Cdu(x), Vx EQ (2.6) Cũng thấy rằng DTw(x),D~ u(x) là các tập bị chặn
Kết quả tiếp theo về sự tổn tại của đạo hàm theo hướng cổ điển (một phía) của
các hàm liên tục Lipschitz địa phương, đó là
Trang 39Mệnh đề 2.3 Cho u € Lipjo.(Q) Khi đó, với mợi q mà |q| = 1, ton tai
(x)= 2a), 0n v0.4 = mola) i ‹g= : (2.7) 2.7 tai moi x € Q ma D* u(x) = du(x,q)
Ching minh Cho p € D* u(x) và |q| = 1 Khi đó
u(x+tq) — u(x) —tp.q < o((t\), vGi t đủ nhỏ Ta có fq)— t pg > Metta) ule) ott) v6i t > 0 nhỏ Từ đó suy ra mnỀ p-g> ð”u(x,q) peD* u(x) Kết hợp với ta được uo(x;q) < 9 u(x;q)< 9”w(x;g)<" inf p-q pED* u(x) Mặt khác ta cũng có 0 u(x3q)= min p-q ( ) pedu(x)
Vay đúng nếu x thỏa mãn D* u(x) = du(x,q) Oo
Mệnh đề trên cho phép ta chứng minh một biến thể rất hữu ích của Mệnh đề
1.10 đối với các bán vi phân và đạo hàm theo hướng của hàm lề w được xác định bởi
u(x) = inf g(x,b)
Ménh đề 2.4 Giả sử B là tập compact, g liên tục trên Q x B, khả vi theo x với Dyg liên tuc trén Q x B Khi d6 u € Lipjoc(Q), D* u(x) = Ou(x,q) vdi moi x và kết luận
của Mệnh để |1 I0|vẫn đúng
Chứng mình Từ giả thiết thì x> g(x,b) là Lipschitz dia phương đối với b € B, suy rau € Lipioc(Q) Tiép theo ta chứng mỉnh rằng 2*w(x) = £øY (x) trong đó
Trang 40Theo B6 dé{1.5] thi D* u(x) C CY (x) Mặt khác, do va nén D*u(x) C
Y(x)
Cho p € D*u(x) va lay x, + x thoa man Du(x,) > p Khi d6 lay b, € M(xn),
không mắt tính tổng quát ta giả sử rằng b„ —› b € B Từ g(x„,b„) < ø(x„,b) với mọi ne€ Ñ và bc 8, từ tính liên tục của ø ta kết luận được rằng Ð € A⁄(x) Theo tính
khả vi của tại x„ và Bổ đề ta có Du(x„) = D„g(x;,b„) Cho n —> +œ, ta được
p= D,g(z,b); tức là p € Y(z) Sự tồn tại đạo hàm theo hướng và công thức
du
=—(x) 2a) = min yg,- = min y-q, Vạ mà |a| = I Y4 mà |q| (2.8)
được suy ra trực tiếp từ Mệnh đè |2.3| Ta cần chứng minh rằng D~ u(x) = {y} khi Y(z) là tập một điểm {y} Thấy rằng trong trường hợp này trở thanh u(x; q) = y-q V6i moi 4, điều đó cho thấy y € D~w(x) hay {y} C D” u(x) Chiều ngược lại
được suy ra trực tiếp từ Bổ đẻ|1.5] oO
2.2 Tính nửa lõm
Định nghĩa 2.2 Ta nói rằng hàm wu: Q > R 1a ham nita lõm trên tập lồi đóng ©
nếu có một hằng số C > 0 thỏa mãn
1
M(x) + (1—m)u(y) < ,(wx+ (T—M)y) + SCH( — k)|x—y|Ÿ (2.9)
với mọi x,y € © và 1 € [0,1]
Điều này dẫn đến tính lõm của hàm x -> /(x) — $C |x|* Nếu liên tục thì ta có
một điều kiện tương đương với đó là
u(x+h) — 2w(x) + u„(x— h) < C|hỈŸ, (2.10) với moi x € O vah € RY, véi |ñ| đủ nhỏ Tất nhiên hàm lõm là hàm nửa lõm
Một lớp các hàm nửa lõm không tầm thường đó là lớp các hàm khả vi liên tục với gradient Lipschitz địa phương Một lớp các hàm nửa lõm không khả vi đó là các
hàm u(x) = inf,cg ø(x,b) với x-> ø(x,b) thỏa mãn (2.9) Ví dụ 2.1 Cho $C RŸ, S # 0,