Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp 1

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I CHU TH± THANH THUY TÍNH CHÍNH QUY CUA NGHIfiM NHéT LIÊN TUC CUA PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG CAP LU¾N VĂN THAC SY TỐN H6C Chun ngành: Tốn Giái tích Mã so: 60.46.01.02 Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cúa TS Tran Văn Bang Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói thay giáo, tien sĩ Tran Văn Bang, thay cô giáo nhà trưòng thay giáo giáng day chun ngành Tốn Giái tích giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bố, ong nghiắp ó đng viờn v tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hồn thành bán luắn ny H Nđi, thỏng 05 nm 2013 Tỏc giá Chu Th% Thanh Thúy LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn ket nghiên cúu cúa cá nhân dưói sn hưóng dan cúa TS Tran Văn Bang Trong nghiên cúu, hồn thành bán Lu¾n văn tơi ó tham khỏo mđt so ti liắu ó ghi phan tài li¾u tham kháo Tơi xin khang đ%nh ket q cúa đe tài “Tính quy cúa nghi¾m nhát liên tnc cúa phương trình đao hàm riêng cap 1” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cúa đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Tác giá Chu Th% Thanh Thúy Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Nghi¾m nhót cúa phương trình đao hàm riêng phi tuyen cap 1.1.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán 1.1.2 Phép tốn nghi¾m nhót 10 1.1.3 Hàm le 17 1.2 Tính nhat sn so sánh nghi¾m 21 Chương Tính quy cúa nghi¾m nhét 31 2.1 Tính liên tnc Lipschitz 31 2.2 Tính núa lõm .36 2.3 Tính vi 40 Ket lu¾n .42 Tài li¾u tham kháo 43 Me ĐAU Lý chon đe tài Đau th¾p ký 80, M G Crandall đưa mđt khỏi niắm nghiắm yeu l nghiắm nhút cho phng trình đao hàm riêng phi tuyen cap m®t (xem [3]) Núi chung nghiắm yeu ny cho phộp mđt hm núi chung chí can liên tnc nghi¾m cúa phương trình đao hàm riêng cap m®t Sn phù hop cúa khái ni¾m the hi¾n ó cho giái quyet đưoc tính đ¾t cúa nhieu tốn phi tuyen von van chưa có lòi giái trưóc Rat nhieu nhà tốn hoc the giói quan tâm đen khái ni¾m phát trien ket liên quan tói nghi¾m nhót liên tnc đưa khái ni¾m nghi¾m nhót đo đưoc (khơng liên tnc) cho phương trình đao hàm riêng cap m®t (xem [1, 4, 2]) Qua q trình hoc t¾p nghiên cúu, đưoc sn đ®ng viên, hưóng dan cúa thay giáo TS Tran Văn Bang, vói mong muon đưoc tìm hieu sõu hn ve loai nghiắm suy rđng ny nờn tụi chon đe tài: “Tính quy cúa nghi¾m nhét liên tnc cúa phương trình đao hàm riêng cap m®t” Ngồi mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo, lu¾n văn đưoc trình bày chương: Chương Kien thúc chuan b%: trình bày m®t so khái ni¾m ket bán, can thiet cho nghiên cúu chương ve nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình đao hàm riêng cap 1, nguyên lý so sánh nghi¾m tính nhat Chương Tính chớnh quy cỳa nghiắm nhút liờn tnc: trỡnh by mđt so ket ve tính liên tnc Lipschitz, tính núa lõm tính vi cúa nghi¾m nhót liên tnc Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu tính quy cúa nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình đao hàm riờng cap mđt Nhiắm nghiờn cNu Tỡm hieu ve khái ni¾m nghi¾m nhót cúa phương trình đao hàm riêng phi tuyen cap m®t; Tìm hieu ve tính liên tnc Lipschitz cúa nghi¾m nhót; Tìm hieu ve tính núa lõm cúa nghi¾m nhót; Tìm hieu ve tính vi cúa nghi¾m nhót; Đoi tưeng pham vi nghiên cNu +) Đoi tưong nghiên cúu: Nghi¾m nhót cúa phương trình đao hàm riêng +) Pham vi nghiên cúu: Xét loai nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình đao hàm riêng cap m®t Phương pháp nghiên cNu Sú dnng phương pháp tong hop, phân tích tài li¾u kien thúc có liên quan Đóng góp méi cúa luắn Trỡnh by mđt cỏch tong quan ve van đe nghiên cúu Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Nghi¾m nhét cúa phương trình đao hàm riêng phi tuyen cap 1.1.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán Trong mnc chúng tơi trình bày khái ni¾m nghi¾m nhót cúa phương trình đao hàm riêng (ĐHR) cap m®t m®t so tính chat bán dna vào nguyên lý so sánh nghi¾m moi quan h¾ vói khái ni¾m nghi¾m co đien cúa phương trình Trong luắn ny RN l mđt mó, F : Ω × R × RN → R m®t hàm liên tnc cúa ba bien (x, r, p) Ta sú dnng kí hi¾u thơng thưòng sau đây: C(Ω) không gian tat cá hàm thnc liên tnc Ω; Ck(Ω), k = 1, 2, khơng gian tat cá hàm thu®c C(Ω) có đao hàm riêng đen cap k liên tnc Ω Vói m®t hàm u ∈ C1(Ω), Du(x) gradient cúa u tai x ∈ Ω Xét phương trình ĐHR phi tuyen cap m®t (thưòng goi phương trình Hamilton- Jacobi): F(x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω (HJ) Đ%nh nghĩa 1.1 Hàm u ∈ C(Ω) m®t nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) ta có: (1.1) F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ tai moi điem cnc đai đ%a phương x0 ∈ Ω cúa u − ϕ Hàm u ∈ C(Ω) mđt nghiắm nhút trờn cỳa phng trỡnh (HJ) neu vúi moi ϕ ∈ C1(Ω) ta có: (1.2) F(x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ tai moi điem cnc tieu đ%a phương x1 ∈ Ω cúa u − ϕ Hàm u m®t nghi¾m nhót neu vùa nghi¾m nhót vùa nghi¾m nhót dưói cúa phương trình Hàm ϕ(x) đ%nh nghĩa thưòng đưoc goi hàm thú Ví dn 1.1 Hàm so u(x) = |x| m®t nghi¾m nhót cúa phương trình: −.ur(x) + = 0, x ∈ (−1, 1) Th¾t v¾y, ta xét hai trưòng hop: neu x ƒ= m®t cnc tr% đ%a phương cúa u−ϕ ϕr (x) = ur(x) = ±1 Vì v¾y tai nhung điem đieu ki¾n nghi¾m nhót trên, nghi¾m nhót dưói đưoc thóa mãn Neu cnc tieu đ%a phương cúa u − ϕ, ta tính đưoc |ϕr(0)| ≤ nên đieu ki¾n nghi¾m nhót van Bây giò ta chúng minh không the cnc đai đ%a phương cúa u−ϕ vói ϕ ∈ C1 ([0, 1]) Th¾t v¾y, neu cnc đai đ%a phương cúa u−ϕ ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) m®t lân c¾n cúa 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) mđt lõn cắn cỳa 0, tự ú ta cú: r (0) = lim ϕ (x) − ϕ x→0+ ( 0) u(x) ≥ lim x− ϕr (0) = lim ϕ (x()0)− ϕ ≤ x→0− lim x− x x→0+ x→0+ − =1 u(x ) = −1 x Vô lý, v¾y khơng the cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ Đe ý rang, hàm so u(x) = |x| khơng phái nghi¾m nhót cúa phương trình: .ur(x) − = 0, x ∈ (−1, 1) Th¾t v¾y đieu ki¾n nghi¾m khơng thóa mãn tai x0 = điem cnc tieu đ%a phương cúa |x| − (−x2) M¾nh đe 2.3 Cho u ∈ Liploc(Ω) Khi đó, vói moi q mà |q| = 1, ton tai ∂u (x) = ∂q p (2.7) p q = u0(x; q) x) ∈D+u( · tai moi x ∈ Ω mà D+u(x) = ∂ u(x, q) Chúng minh Cho p ∈ D+u(x) |q| = Khi u(x + tq) − u(x) −t p.q ≤ o(|t|), vói t đú nhó Ta có p.q ≥ u(x + t q) − u(x) o (t ) , vói t > nhó t t − Tù suy inf p∈D+u(x Ket hop vói (2.5) ta đưoc p · q ≥ ∂ +u(x, q) ) u0(x; q) ≤ ∂ − u(x; q) ≤ ∂ +u(x; q) ≤ inf p · q p∈D+u(x) M¾t khác ta có u0(x; q) =min p · q p∈∂u(x ) V¾y (2.7) neu x thóa mãn D+u(x) = ∂ u(x, q) M¾nh đe cho phép ta chúng minh m®t bien the rat huu ích cúa M¾nh đe 1.10 đoi vói bán vi phân đao hàm theo hưóng cúa hàm le u đưoc xác đ %nh bói u(x) := inf g(x, b) b∈B M¾nh đe 2.4 Giá sú B compact , g liờn tnc trờn ì B, vi theo x vói Dxg liên tnc Ω × B Khi u ∈ Liploc(Ω), D+u(x) = ∂ u(x, q) vói moi x ket lu¾n cúa M¾nh đe 1.10 van Chúng minh Tù giá thiet x ›→ g(x, b) Lipschitz đ%a phương đoi vói b ∈ B, suy u ∈ Liploc(Ω) Tiep theo ta chúng minh rang D+u(x) = coY (x) Y (x) = {Dxg(x, b) : b ∈ M(x)} M(x) = {b ∈ B : u(x) = g(x, b)} Theo Bo đe 1.5 D+u(x) ⊆ coY (x) M¾t khác, (2.4) (2.6) nên D∗u(x) ⊆ Y (x) Cho p ∈ D∗u(x) lay xn → x thóa mãn Du(xn) → p Khi lay bn ∈ M(xn), khơng mat tính tong qt ta giá sú rang bn → b¯ ∈ B Tù g(xn , bn ) ≤ g(xn , b) vói moi n ∈ N b ∈ B, tù tính liên tnc cúa g ta ket lu¾n đưoc rang b¯ ∈ M(x) Theo tính vi cúa u tai xn Bo đe 1.5, ta có Du(xn) = Dxg(xn, bn) Cho n → +∞, ta đưoc p = Dx g(x, b¯ ); túc p ∈ Y (x) Sn ton tai đao hàm theo hưóng công thúc ∂u (x) = y · q, ∀q mà |q| = (2.8) ∂ y∈Y (x) q đưoc suy trnc tiep tù M¾nh đe 2.3 Ta can chúng minh rang D−u(x) = {y} Y (x) mđt iem {y} Thay rang trũng hop ny (2.8) tró thành ∂ u(x; q) = y · q vói moi q, đieu cho thay y ∈ D−u(x) hay {y} ⊆ D−u(x) Chieu ngưoc lai đưoc suy trnc tiep tù Bo đe 1.5 2.2 Tính nNa lõm Đ%nh nghĩa 2.2 Ta nói rang hàm u : Ω → R hàm núa lõm t¾p loi đóng Ω neu có m®t hang so C ≥ thóa mãn |x − y| (2.9) µu(x) + (1 − µ)u(y) ≤ u(µx + (1 − µ)y) + Cµ(1 − µ) vói moi x, y ∈ Ω µ ∈ [0, 1] Đieu dan đen tính lõm cúa hàm x ›→ u(x) 2− C |x| m®t đieu ki¾n tương đương vói (2.9) Neu u liên tnc ta có u(x + h) − 2u(x) + u(x − h) ≤ C |h| , (2.10) vói moi x ∈ Ω h ∈ RN , vói |h| đú nhó Tat nhiên hàm lõm hàm núa lõm M®t lóp hàm núa lõm khơng tam thưòng lóp hàm vi liên tnc vói gradient Lipschitz đ%a phương M®t lóp hàm núa lõm khơng vi hàm u(x) = infb∈B g(x, b) vói x ›→ g(x, b) thóa mãn (2.9) Ví dn 2.1 Cho S ⊆ RN , S ƒ= 0/ , d(x) = dist(x, S) = inf | x−s| s∈S Khi d2 hàm núa lõm RN x ›→ |x − s| thu®c C∞ vói đao hàm cap hai hang so M¾t khác, bán thân d hàm núa lõm moi t¾p compact có khống cách dương đoi vói S, bói x ›→ |x − s| có đao hàm cap hai b % ch¾n t¾p v¾y Nhung tính chat cúa hàm núa lõm se đưoc trình bày M¾nh đe 2.5 M¾nh đe 2.6 sau M¾nh đe 2.5 Cho hàm u hàm núa lõm Ω Khi u liên tnc Lipschitz đ%a phương Ω Chúng minh Vói x ∈ Ω vói moi h thóa mãn x + h ∈ Ω, C u(x + h) − u(x) = ψ(x + h) − ψ(x) + Cx · h + |h| , hàm lõm liên tnc Lipschitz đ%a phương ψ(x) = u(x) − C | |x V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh Trong Mnc 2.1 ta biet rang D+u(x) ⊆ ∂ u(x) = coD∗u(x) vói moi u ∈ Liploc(Ω) Neu thêm giá thiet u hàm núa lõm D+u(x) = ∂ u(x) Đieu m®t so tính chat vi khác cúa hàm núa lõm đưoc trình bày m¾nh đe sau M¾nh đe 2.6 (xem [2], Proposition 4.7) Cho u hàm núa lõm Ω Khi vói moi x ∈ Ω (a) D+u(x) = ∂ u(x) = coD∗u(x); (b) ho¾c D− u(x) = 0/ ho¾c u vi tai x; (c) (d) neu D+u(x) l mđt iem thỡ u khỏ vi tai x; ∂u (x) = minp p · q vói moi vector đơn v% q D+ ∂p u(x) ∈ Mắnh e 2.7 Cho u l mđt hm nỳa lừm thóa mãn F(x, u(x, Du(x))) ≥ h.k.n Ω, F liên tnc Khi u nghi¾m nhót cúa phương trình (2.11) F(x, u(x, Du(x))) = Ω (2.12) Chúng minh Tù M¾nh đe 2.6 (b), tai moi điem x ∈ Ω ho¾c D− u(x) = 0/ ho¾c D+ u(x) = D− u(x) = {Du(x)} Trong trưòng hop đieu ki¾n nghi¾m nhót đưoc thóa mãn Giá sú rang x m®t điem mà tai u vi Khi đó, ton tai dãy xn → x thóa mãn u vi tai xn F(xn, u(xn), Du(xn)) ≥ (2.13) ∀n (có the lay xn ≡ x điem (2.11) tai x) Vì u liên tnc Lipschitz đ%a phương nên theo đ%nh nghĩa cúa D∗u(x) ta có Du(xn) → p ∈ D∗u(x) n → +∞, tai nhat m®t dãy Trong trưòng hop này, D∗u(x) = D+u(x) = D−u(x) = {Du(x)} Do đó, cho n → +∞ ta đưoc F(x, u(x), p) ≥ ∀p ∈ D−u(x) V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh Ket tiep theo ve tính núa lõm cúa nghi¾m nhót cúa phương trình (HJ) Đ%nh lý 2.1 Cho u ∈ BC(RN ) Lip(RN ) l mđt nghiắm nhút cỳa phng trình u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ RN, (HJ) vói hang so Lipschitz Lu Giá sú H thóa mãn |H(x, p) − H(x, q)| ≤ ω | p − q| , ∀x, p, q ∈ RN (H3) vói C > Lr > 2Lu, (H6) xác đ%nh bói H(x + h, p + Ch) − 2H(x, q) + H(x − h, p −Ch) ≥ | −C |h vói moi x, h ∈ R N, p ∈ B(0, Lr) Khi u hàm núa lừm trờn RN (H6) Mđt cỏch rat thuắn tiắn đe xap xí núa lõm cúa m®t hàm cho trưóc l dna vo phộp chắp-inf, õy l mđt cụng cn rat bán giái tích loi giái tích khụng trn Cho l mđt cỳa RN v u l mđt hm b% chắn Vúi moi > 0, đ¾t uε (x) := inf u(y) + |x − y| : y ∈ Ω ε hàm uε đưoc goi ε−ch¾p-inf cúa u Tương tn, ε u (x) := sup ε−ch¾p-sup cúa u (2.14) |x − y| :Ωy ∈ u(y) − (2.15) 2ε Bo đe 2.1 (xem [2], Lemma 4.11) Cho u liên tnc b% ch¾n Ω Khi (a) uε uε núa lõm Ω; (b) uε ƒ u, uε \ u, ε → 0+, h®i tn đeu đ%a phương Ω; (c) inf sup (2.14) (2.15) đat đưoc neu ε < d2(x, ∂ Ω)/(4 "u"∞) Tù Bo đe 2.1 (c) vói ε > đú nhó ta có the đ¾t Mε (x) := (y) + |x − y| /2ε, , arg , u ε M :=, arg(x) max y∈Ω y∈Ω (y) −| x−y| u /2ε, Bo đe 2.2 (xem [2], Lemma 4.12) Cho u ∈ C(Ω) hàm b% ch¾n, x ∈ Ω ε < d (x, ∂ Ω)/(4 "u"∞ ) Khi đó, ho¾c D− uε (x) = 0/ ho¾c D− uε (x) = {(x − yε )/ε}, {yε } = Mε (x) (tương úng, ho¾c D+ uε (x) = 0/ ho¾c D+ uε (x) = ε {−(x −ε yε )/ε}, {yε } = M (x)) Hơn nua, vói moi yε ∈ Mε (x) (tương úng, M (x)), √ 1/2 (i) |x − yε | ≤ ε "u"∞ ; (ii) |x − yε| /ε → ε → 0+, t¾p compact cúa Ω; (iii) (x − yε ) /ε ∈ D−(yε ) (tương úng − (x − yε ) /ε ∈ D+(yε )) Các Bo đe 2.1 2.2 cho thay, nghiắm nhút liờn tnc cỳa phng trỡnh (HJ) cú mđt xap xí đeu tù hai phía bói nghi¾m nhót liên tnc Lipschitz đ%a phương cúa phương trình xap xí Chính xác hơn, ta có M¾nh đe 2.8 (xem [2], Proposition 4.13) Giá sú H thóa mãn |H(x, p) − H(y, p)| ≤ ω1 (|x − y| (1 + |p|)), (H1) vói x, y ∈ Ω, p ∈ R N, ω1 m®tε mơ đun Neu u ∈ C(Ω) l mđt nghiắm nhút dúi cỳa (HJ) , thỡ u Liploc() l mđt nghiắm nhút dúi cỳa phng trình λ uε (x) + H(x, Duε (x)) = ρ ε (x) vó i Ωε , (HJε ) √ Ωε = , ∈ Ω : d(x, ∂ Ω) > ε "u"1/2, ∞ x ρ ε (x) → 0+ ε → 0, t¾p compac cúa Ω 2.3 Tính vi Đe có đieu ki¾n đú ve tính vi cúa nghi¾m nhót, can tói giá thiet ve tính loi ch¾t cúa hàm Hamilton M¾nh đe 2.9 Giá sú u ∈ C(Ω) mđt nghiắm nhút cỳa phng trỡnh u(x) + H(x, Du(x)) = Ω, vói λ ≥ Hơn nua, giá thiet ánh xa p ›→ H(x, p) loi ch¾t vói moi x ∈ Ω co đ %nh −u hàm núa lõm Khi u ∈ C1 (Ω) Chúng minh Trưóc het ta chúng minh rang u vi tai moi x ∈ Ω Theo M¾nh đe 2.6 (c), ta chí phái chúng minh rang D+(−u)(x) mđt iem vúi moi x Theo Mắnh đe 2.6 (a), đieu neu D∗(−u)(x) mđt iem Giỏ sỳ ngoc lai, ton tai p1, p2 ∈ D∗(−u)(x), p1 ƒ= p2 Khi ton tai dãy {xn }, {ym } Ω cho, tai u vi x = lim xn = lim ym, p1 = n→+∞ m→+∞ lim D( u)(xn), − p2 = lim D(−u)(ym) m→+∞ n→+∞ Theo M¾nh đe 1.3 (a), λ u(xn ) + H(xn, Du(xn)) = λ u(ym ) + H(ym, Du(ym)) = 67 Do tính liên tnc ta nh¾n đưoc λ u(x) + H(x, −p 1) = λ u(x) + H(x, −p 2) = 68 (2.16) Đ¾t p¯ p1 p , = + sú dnng tính loi ch¾t, tù (2.16) ta suy 1 λ u(x)−+ H(x, −p¯) < λ u(x) + )+ ) = H(x, (2.17) p 2 H(x, −p M¾t khác, theo M¾nh đe 2.6 (a), p¯ ∈ coD∗ (−u)(x) = D+ (−u)(x) = D− (−u)(x) Vì u nghi¾m nhót cúa (HJ) nên λ u(x) + H(x, −p¯) ≥ 0, mâu thuan vói (2.17) V¾y u vi tai moi điem thuđc Tớnh liờn tnc cỳa Du l hắ quỏ cúa tính núa liên tnc cúa hàm đa tr% D+u vói u núa lõm, túc tính chat: xn → x, pn ∈ D+u(xn), pn → p ⇒ p ∈ D+u(x) (Chúng minh cúa đieu an chúng minh cúa M¾nh đe 2.6 (c)) Nh¾n xét 2.1 Giá thiet ve tính loi ch¾t khơng the thieu u(x) = |x| nghi¾m nh ót kh ơn g kh vi cú a ph ươ ng trì nh tnc a(x ) > a( 0) > a(x) (| Du( x)|2 − 1) = 0, tron g R, vói tro nà ng y −u a n ú a n h l õ x m a , n p h › n → g m ®t hà m liê n mo i x Tro ng ví dn H ( x , p ) = a ( x ) ( | p | − ) k h ô n g l o i c h ¾ t t a i x = KET LUắN Luắn trỡnh by mđt cỏch khỏi quỏt ve nghi¾m nhót liên tnc cúa phương trình đao hàm riêng cap mđt, bao gom: khỏi niắm nghiắm nhút, cỏc tớnh chat bán đ¾c trưng cúa nghi¾m nhót liên tnc qua bán vi phân; moi quan h¾ vói nghi¾m co đien, nghi¾m thóa mãn hau khap nơi; ngun lý so sánh nghi¾m tính nhat Trên sú ú, e cắp túi mđt so ket quỏ ve tính quy cúa nghi¾m nhót liên tnc như: tính liên tnc Lipschitz, tính núa lõm tính vi Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Tran Đúc Vân, Lý thuyet phương trình vi phân đao hàm riêng, NXB Đai Hoc Quoc Gia Hà N®i, 2005 [B] Tài li¾u tieng Anh [2] M Bardi, I Capuzzo-Dolcetta (1997), Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, Birkhauser, Berlin [3] M G Crandall and P L Lions (1983), Viscosity solutions of HamiltonJacobi equations, Trans Amer Math Soc., 277:1-42 [4] M G Crandall, L C Evans and P L Lions (1984), Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 282: 487-502 ... b% 1. 1 Nghi¾m nhót cúa phương trình đao hàm riêng phi tuyen cap 1. 1 .1 Đ%nh nghĩa tính chat bán 1. 1.2 Phép toán nghi¾m nhót 10 1. 1.3 Hàm le 17 1. 2 Tính nhat sn... M¾nh đe 1. 10 (xem [2], Proposition 2 .13 ) Cho giá thiet (1. 17), (1. 18), (1. 19), (1. 20) B t¾p compact Khi (1. 21) Y (x) ƒ= 0/ D+u(x) = coY (x),  {y} neu Y (x) = D−u(x) = {y}  0/ (1. 22) (1. 23) neu... nhót liên tnc cúa phương trình đao hàm riêng cap 1, nguyên lý so sánh nghi¾m tính nhat Chương Tính quy cỳa nghiắm nhút liờn tnc: trỡnh by mđt so ket ve tính liên tnc Lipschitz, tính núa lõm tính