Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I DƯƠNG MINH HỒNG TÍNH CHÍNH QUY CÚA KHƠNG GIAN MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH GIÁ TR± FRECHET Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN GIÁI TÍCH Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Nguyen Văn Hào Hà N®i-2011 LèI CÁM ƠN Tác giá xin gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc GS, TS giáng day chun nghành tốn giái tích trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi tác giá trình hoc t¾p, nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn Đ¾c bi¾t, tác giá xin chân thành cám ơn TS Nguyen Văn Hào trnc tiep hưóng dan tác giá q trình nghiên cúu lu¾n văn hồn lu¾n văn Trong q trình thnc hi¾n cơng tác nghiên cúu khơng tránh khói nhung han che thieu sót, tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp nh¾n đưoc cna thay giáo, giáo ban hoc viên đe lu¾n văn hồn chớnh nh hiắn tai H Nđi, thỏng 05 nm 2011 Tác giá Dương Minh Hồng LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn vói đe tài “Tính quy cúa khơng gian mam hàm hình vái giá tr% Frechet” đưoc hồn thành vói sn nh¾n thúc cna riêng tác giá, khơng trùng vói bat kỳ lu¾n văn khác Trong q trình làm lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 05 năm 2011 Tác giá Dương Minh Hoàng Mnc lnc Má đau Chương Các kien thNc chuan b% 1.1 M®t so chuan b% ve khơng gian véc tơ tơ pô 10 10 1.2 Đoi ngau tô pô yeu 17 1.3 Pô la 19 1.4 Hàm hình 19 1.4.1 Đa thúc không gian loi đ%a phương 19 1.4.2 Hàm hình 25 1.4.3 Không gian mam hàm hình 28 Chương M®t so bat bien tơ pơ tuyen tính khơng gian Frechet 31 2.1 Bat bien tơ pơ tuyen tính (DN ) khơng gian Frechet 31 2.1.1 Khái ni¾m ve bat bien tơ pơ tuyen tính (DN ) 31 2.1.2 Các đieu ki¾n tương đương 32 2.1.3 M®t so ví du 41 2.2 Bat bien tô pơ tuyen tính (Ω˜ ) 44 2.2.1 Khái ni¾m ve bat bien tơ pơ (Ω˜ ) 44 2.2.2 Các đieu ki¾n tương đương 44 2.2.3 M®t so ví du 51 Chương Tính quy cúa khơng gian mam hàm hình vái giá tr% Frechet 53 3.1 Mđt ieu kiắn can cho tớnh chớnh quy cna khơng gian mam hàm hình giá tr% Frechet 53 3.2 Không gian mam hàm hình t¾p compact CN vói giá tr% Frechet có (DN )− chuan 55 3.3 Khơng gian mam hàm hình t¾p compact L˜ − quy vói giá tr% Frechet có (DN ) − chuan 60 3.4 Khơng gian mam hàm hình vói giá tr% Frechet có (LB∞) − chuan 67 Ket lu¾n 70 Tài li¾u tham kháo 71 Mé ĐAU Lý chon đe tài Trong giái tớch phỳc, mđt van e lún oc oi vói lý thuyet hàm hình tính chớnh hỡnh %a phng trờn mđt X no cna m®t khơng gian loi đ%a phương E vói giá tr% không gian loi đ%a phương F Đieu dan đen khái ni¾m mam hàm hình t¾p X Ý nghĩa quan cna khái ni¾m sn đ%a phương hóa khái ni¾m phan tú, thay cho viắc xột mđt phan tỳ co %nh no đó, ngưòi ta xét lóp phan tú tương đương đoi vói phan tú Trong khái ni¾m mam ta phân đ¾c điem chung liên ket phan tú tương đương lai vói T¾p mam hàm chớnh hỡnh H (X, F ) trờn mđt compact X có the đưoc xét theo hai khía canh: M®t là, ve m¾t đai so ta có the xem m®t vành Các tính chat cna vành H (X, F ) đưoc nghiên cúu r®ng rãi; chang han theo hưóng nghiên cúu ta có the xem Bănică – Stănăsilă [2], Đ¾u The Cap – Nguyen Văn Khuê [4] , M¾t khác, H (X, F ) có the xem m®t khơng gian véc tơ tô pô trang b% tô pô loi đ%a phương tn nhiên bang cách ket hop tô pô cna khụng gian cỏc hm chớnh hỡnh trờn mđt lõn cắn cna X Theo hưóng nghiên cúu ta phái ke đen cơng trình nghiên cúu cna Chae [5, 6] Van đe nghiên cúu tô pô loi đ%a phương không gian H (U, F ) = H(U ) cỏc hm chớnh hỡnh trờn mđt mú U khơng gian loi đ%a phương E đưoc khói đau bói Nachbin [11,12] Alexander [1] Trong giái tích phúc vơ han chieu, ngưòi ta thay rang tơ pơ mó compact hay tụ pụ hđi tu eu trờn cỏc compact cna U khơng chí tơ pơ tn nhiên nhat Tô pô τω đưoc đe xuat lan đau tiên bói Nachbin [11,12], đòi tù ý tưóng liên quan đen phiem hàm giái tích mang bói t¾p compact Sn đòi cna tơ pơ mang bói t¾p compact mó nhieu hưóng nghiên cúu giái tích phúc vơ han chieu tró thành cơng cu huu hi¾u giái quyet nhieu tốn quan trong lĩnh vnc M®t van đe đưoc quan tâm nhieu lóp khơng gian mam hàm hình vi¾c đ¾c trưng t¾p b% ch¾n cna Nhó lai rang, khơng gian mam H(K, F ) đưoc xây dnng tù không gian H(U, F ) hàm hình lân c¾n mó U cna K m®t khơng gian loi đ%a phương E, vói giá tr% m®t khơng gian loi đ%a phương F , bang giói han quy nap pham trù khơng gian loi đ%a phương Như v¾y, khơng gian mam H(K, F ) đưoc goi quy neu giói han quy nap quy Nghĩa là, moi t¾p b% ch¾n cna H(K, F ) b% chúa b% ch¾n khơng gian H(U, F ) Tính quy cna khơng gian mam H (K, F ) = H (K) đưoc nhieu tác giá quan tâm, mó đau cho hưóng nghiên cúu Chae [5,6] Trong đó, tác giá xét bi toỏn cho trũng hop K l mđt compact cna m®t khơng gian Banach Các ket q đưoc tong quát hóa làm sâu sac bói Mujica[10] Năm 1981, bang vi¾c mơ tá h¾ núa chuan sinh tô pô cna H(K) Dineen [7] chúng tó rang H(K) đay đn vói giá thiet K t¾p compact khơng gian loi đ%a phương metric Cũng ó đây, nhò phương pháp đưoc sú dung đe thu đưoc tính đay cna H(K), lan đau tiên Dineen ó a oc mđt so ắc trng ve tính quy cna H(K) K t¾p compact không gian không nhat thiet loi đ%a phương metric Cũng theo hưóng nghiên cúu ta can phái ke đen ket cna Soraggi [16], Soraggi chí ví du phán ví du ve tính quy cna H(K) Đe nghiên cúu tính quy cna khơng gian mam hàm hình H(K, F ) vói giá tr% Frechet đưoc sn đ%nh hưóng cna TS Nguyen Văn Hào em chon đe tài "CHÍNH QUY CÚA KHƠNG GIAN MAM CÁC HÀM CHÍNH HÌNH GIÁ TR± FRECHET" Lu¾n văn gom có phan mó đau, phan ket lu¾n, ba chương tài li¾u tham kháo Chương Các kien thúc chuan b% Chương dành cho vi¾c giói thi¾u khái ni¾m liên quan đen vi¾c xét tốn ve tính quy cna khơng gian mam hàm hình vói mien xác đ%nh mien giá tr% không gian Frechet Trong đó, chúng tơi trình bày kien thúc quan liên quan đen hưóng nghiên cúu M®t so chuan b% ve khơng gian véc tơ tô pô Đoi ngau tô pô yeu Pơ la Hàm hình Chương M®t so bat bien tơ pơ tuyen tính khơng gian Frechet Khác vói chương 1, chương chúng tơi giói thi¾u đen hai bat bien tơ pơ tuyen tính (DN ) Ω˜ không gian Frechet Trong đó, đe tao đieu ki¾n thu¾n loi cho vi¾c tiep tuc sâu vào vi¾c nghiên cúu cna chương sau chúng tơi đ¾c bi¾t đưa mđt so cỏc ieu kiắn tng ng e mđt khụng gian Frechet có tính chat (DN ) Ω˜ Tù dan đen chúng minh cu the cho khụng gian dóy Kăothe, khụng gian chng nychuoi chỳngly thựa có tính (DN ) Ω˜ Cu the tơi trình bày van đe sau Bat bien tơ pơ tuyen tính (DN ) khơng gian Frechet Bat bien tơ pơ tuyen tính Ω˜ không gian Frechet Chương Không gian mam hàm hình vói giá tr% Frechet Trong chương chúng tơi trình bày hưóng nghiên cúu cna lu¾n văn Đau tiên chúng tơi đưa m¾nh đe nói đen đieu ki¾n can ve tính quy cna khơng gian H(K, F ) vói K t¾p compact CN Chúng tơi quy tốn ve vi¾c xét tính quy cna giói han quy nap cna m®t dãy tăng không gian Frechet ( (LF ) - không gian) Cũng vói ky thu¾t đó, chúng tơi đưa mđt ieu kiắn can v n cho tớnh chớnh quy cna khơng gian mam H(K, F ) vói K compact L gian Frechet chớnh quy mđt khơng Đieu ki¾n ó khơng gian Frechet F có tính chat (DN ) Phan tiep theo chương dành đe trình bày ket q nghiên cúu tính quy cna H(K, F ) F có tính chat (LB∞) manh (DN ), đoi vói t¾p compact K chí can thóa mãn đieu ki¾n nhat Mđt ieu kiắn can cho tớnh chớnh quy cna khơng gian mam hàm hình giá tr% Frechet Khơng gian mam hàm hình t¾p compact CN vói gia tr% Frechet có (DN ) − chuan Khơng gian mam − hàm hình chí t¾p compact nh ˜ L quy vói giá tr% Frechet có (DN ) − chuan Khơng gian mam hàm hình vói giá tr % Frechet có (LB∞) − chuan q ⊂ Bk + Bp, r e E ∗ T đ ó c F Chúng minh Do giá thiet K t¾p compact L˜ − quy nên ta có n t c h í h n ú h n g ý c 1+ d h m a i t n h , ( t a Ω ˜ s ) u y V r ¾ a y r b a o n g gian o % quy c l m®t khơng Frechet Khi [H (K, F ∗ )] có tính chat (Ω˜ ) vói moi khơng gian Banach ù đ L˜ − đ ∀p ≥ 1∃q ≥ p∃d > 0∀k ≥ q∃C > : "f"q ≤ C"f"k "f"p vói moi f ∈ H (K) Nhưng ta có s, " u, fp " " u q Q B p o a đ ct e C h o K t ¾ p c o m ◦ = f s u p ( x ) " q : u ∈ 1+d d 1+ d F ∗ " sup ≤ {"u ◦ sup f (x)"k , , d "u ◦ f (x)"p } sup "u"≤1 x ∈ U x ∈ U k p d = C"| f|"k "|f|"p vói moi f ∈ H (K, F ) Tù bo đe 3.3, chúng tó rang [H (K, F ∗ )] có tính chat (Ω˜ ) Bo đe đưoc chúng minh Q Bo đe 3.5 Cho F khơng gian Frechet có tính chat (DN ) Khi ∗ ∗ ] có tính chat (DN ), ó không gian F ∗ đưoc trang b% tô [ b◦r F∗ F b◦ pô r Bornological liên ket vói tơ pơ cúa F ∗ Chúng minh Cho {Un} só lân c¾n giám cna F Do F có tính chat (DN ) nên ta có C ∃p∀q, d > 0∃k, C > : " "q ≤ " " d p r + r " "k, vói moi r > 0, ho¾c dang tương đương C ∃p∀q, d > 0∃k, C > : U ≤ rdU + Vói u ∈ [F ∗ b◦r q ∗ ] p ∗∗ "u" q sup k r r > 0, ta có U 0, vói moi r > |u (x∗)| ≤ = x∗∈U sup |u (x∗)| x ∈r Up + ∗ q ≤ rd sup x∗∈U p0 d C C r U k0 ∗ su |u (x )| |u (x )| + p ∗ x∗∈Uk ∗∗ = rd "u" Đieu chúng tó rang [F Bo đe đưoc chúng minh ∗ b◦ r p ∗ ] + C r ∗∗ "u" k r có tính chat (DN ) Q Bo đe 3.6 Cho f = (fα)α∈I ỏnh xa b% chắn tự mđt mú U cúa m®t khơng gian loi đ%a phương E vào khơng gian Banach l∞ (I) cho: vói moi α ∈ I, hàm toa đ® fα hình Khi f hình Chúng minh Ta can chúng tó f G− hình Muon v¾y, ta chúng tó rang ánh xa f : {λ ∈ C : a + λb ∈ U, a ∈ U ; ƒ= b ∈ E} → l∞ (I) hình Theo giá thiet fα hình vói moi α ∈ I nên ta có the viet khai trien Taylor cna fα tai fα (λ) = n≥0 Cn,αλn, ¸ Cn,α = fα (a + λb) dλ, vói < ρ < d (α, ∂U ) λn+1 n (2πi) |λ|=ρ Theo bat thúc tích phân Cauchy cna hàm m®t bien ta có M |Cn,α| ≤ ρn vói M = sup "f (z)" vói α ∈ I z∈U Đ¾t Cn = (Cn,α)α∈I , ta nh¾n đưoc k k n n C C λ f (λ) = sup fα n,α n,α λ − (λ) − α∈I n=0 n=0 n ∞ C λ = sup n,α α∈I n=k+1 n ∞ λ M ≤ → ρ n=k+1 k → ∞ Đieu chúng tó f G− hình Bo đe đưoc chúng minh Q Đ%nh lý 3.2 Khơng gian Frechet có tính chat (DN ) neu chí neu H (K, F ) quy vói moi t¾p compact gian Frechet E L˜ − quy khụng Chỳng minh Cho {f}I l mđt b% ch¾n H (K, F ) xét ánh xa tuyen tính S : F∗ b◦ r → H (K, l∞ (I)) đưoc xác đ%nh bói cơng thúc S (u) = (u ◦ fα)α∈I Theo bo đe 3.2 3.6, ta thay rang S hoàn toàn đưoc xác đ%nh (i) Trưóc het ta kiem tra rang S b% ch¾n Thnc vắy, cho B l mđt b% chắn F ∗ Ta chon k ≥ cho B ∗ b% chúa b% ch¾n F k é Fk khơng gian Banach liên ket vói ω k : F → Fk "" k ánh xa tac Tù ket cna Bùi Đac Tac [17], ta thay rang không gian mam H (K, Fk) quy Bói tính b% ch¾n cna {ωk ◦ fα}α∈I ta có the tìm đưoc mđt lõn cắn V cna K E cho {ωk ◦ fα}α∈I b% chúa b% ch¾n H ∞ (V, Fk) Do S (B) b% chúa b% ch¾n H ∞ (V, l∞ (I)), túc S liên tuc (ii) Ta xét ánh xa ∗ ∗ S ∗ : [H (K, l∞ (I))] → b◦r ] [F ∗ Do bo đe 3.4 3.5, ta thay S ∗ ánh xa tuyen tính loai (LB) V¾y S∗∗ S ánh xa tuyen tính loai (LB) Khi ta cú the tỡm oc mđt lõn cắn W cna F ∗ b◦ cho S (W ) b% ch¾n r ∞ H (K, l (I)) Bói Bùi Đac Tac [17], không gian H (K, l∞ (I)) quy nên ta có the tìm đưoc m®t lân c¾n V cna K E cho S (W ) b % chúa b% ch¾n H ∞ (V, l∞ (I)) Tù suy S (F ∗ b◦ ) r ∗ Như v¾y S:F b◦ r ⊂ H ∞ (V, l∞ (I)) → H (V, l∞ (I)) Ta xác đ%nh ánh xa ∗ gα : V → [F ∗ b◦r ] bói gα (z) (u) = [S (u) (z)]α, α ∈ I, u b◦r z ∈ V ∈ F∗ Tù sup "S (u) (z)" ≤ M < +∞, vói moi u ∈b◦rF ∗ , z∈V ta suy {gα}α∈I {fα}α∈I b% chúa b% ch¾n [H (V, F ) ; τω] Túc H (K, F ) quy Ngưoc lai, giá sú rang H (K, F ) quy vói moi t¾p compact L˜ − quy khơng gian Frechet E Đ¾c bi¾t, H ∆, F quy Đen phép chúng minh đưoc l¾p lai hồn tồn phép chúng minh phan thú hai cna đ%nh lý 3.1 Đ%nh lý đưoc chúng minh 3.4 Q Không mam) hàm hình vái giá tr% Frechetgian có (LB ∞ − chuan Đ%nh lý 3.2 có m®t han che tính L˜ − quy cna K Đe có the giám bót đieu ki¾n thay cho tính chat (DN ) ta xét tính chat (LB∞) manh (DN ) Đ%nh nghĩa 3.3 Không gian Frechet E đưoc goi có tính chat (LB∞) neu vói moi dãy tn nhiên {ρN } đơn đi¾u tăng, ton tai k ∈ N đe vói moi n0 ∈ N ton tai N0 ∈ N D > cho vói moi x ∈ E, ton tai so tn nhiên N thóa mãn n0 < N < N0 ta có "x" 1+ρN n0 ρN ≤ D "x"k "x"N Chú ý Tính chat (LB∞) kéo theo tính chat (DN ) khơng gian Frechet có tính chat (LB∞) có chuan liên tuc, chuan đưoc goi (LB∞) − chuan M®t hưóng tiep theo đe mó r®ng ket q, chúng tơi quan tâm đen lóp khơng gian mien giá tr% Frechet Theo phương pháp chuyen qua ánh xa tuyen tính loai (LB) lóp khơng gian Frechet có tính chat (Ω˜ ) (DN ), đe thu đưoc tính quy cna khơng gian mam đ%nh lý 3.2, chúng tơi tâm tói m®t ket q ve ánh xa tuyen tính loai (LB) liên quan đen tính chat (LB∞) sau M¾nh đe 3.4 [18] Cho F m®t khơng gian Frechet Khi đieu ki¾n sau tương đương L (Λ∞ (β) , F ) = LB (Λ∞ (β) , F ) F có tính chat (LB∞), xáy vói dãy mũ β = (βn)n≥1 Khơng gian mien xác đ%nh cna lóp ánh xa đưoc xét m¾nh đe không gian chuoi lũy thùa loai vơ han Đieu dan đen moi liên tưóng tói ket cna Meise-Vogt [9] ve cau trúc cna không gian mam ∗ [H (K)] , ó K t¾p compact khơng gian Frechet mà khơng gian thương cna khơng gian λ∞ (α) hach Theo hưóng chúng tơi thu đưoc m®t ket q manh ve m®t khía canh so vói đ%nh lý 3.2 ve tính quy cna khơng gian mam H (K, F )(K can l mđt compact nhat khơng nhat thiet phái t¾p L˜ − quy) Bo đe 3.7 Cho F m®t khơng gian Frechet có tính chat (LB∞) B m®t khơng gian Banach Khi đó, khơng gian L (B, F ) cúa ánh xa tuyen tính liên tnc tù B vào F có tính chat (LB∞) Chúng minh Cho m®t dãy tn nhiên tăng {ρN }, ta chon k cho tính chat (LB∞) cna F đưoc thóa mãn Khi ta có , , "f" = n0 1+ρ 1+ρ "f (x)"nN0 supN : "x" ≤ ρN ≤ C max sup {"f (x)" "f (x)" N k n0≤N≤N0 "f" "f" ρ N k ≤ C max n0≤N≤N0 : "x" ≤ 1} N vói moi f ∈ L (B, F ) Đieu chúng tó L (B, F ) có tính chat (LB∞) bo đe đưoc chúng minh Q Bo đe 3.8 Cho F m®t khơng gian Frechet có tính chat (LB∞) E khơng gian thương cúa không gian chuoi lũy thùa hach loai vơ han Khi ∗ ∗ L ([H (K, B)] , F ) = LB ([H (K, B)] , F ) vói moi khơng gian Banach B moi compact K F Chỳng minh Cho mđt ỏnh xa tuyen tính liên tuc ∗ η : [H (K, B)] → F ∗ ∗ Bói [H (K, B)] ∼= [H (K)] ⊗ˆ B ∗ , nên η cám sinh m®t ánh π xa tuyen ∗ tính liên tuc ηˆ : [H (K)] → L (B ∗ , F ) Tù ket cna Meise-Vogt [9], ta có [H (K)] ∗ khơng gian thương cna không gian Λ∞ (β (α)) Theo bo đe 3.7 m¾nh đe 3.4, ta suy rang ηˆ b% chắn trờn mđt lõn cắn U cna ∗ [H (K)] Đieu suy η b% ch¾n conv (U ⊗ V ) ∗ Túc η b% ch¾n lân c¾n cna [H (K)] ⊗ˆ B ∗ Trong π V hình cau đơn v% B∗ Bo đe đưoc chúng minh Q Đ%nh lý 3.3 Cho F m®t khơng gian Frechet phán xa có tính chat (LB∞) E không gian thương cúa không gian chuoi lũy thùa loai vơ han Khi H (K, F ) quy vói moi t¾p compact nhat K E Chúng minh Ta xét ánh xa tuyen tính S : F∗ b◦ r → H (K, l∞ (I)) xác đ%nh bói S (u) = (u ◦ f)I Trong ú {f}I l mđt b% chắn H (K, F ) L¾p lai phép chúng minh phan (i) cna Đ%nh lý 3.2, ta thu đưoc tính liên tuc cna ánh xa S Ta xét ánh xa ∗ ∗ S ∗ : [H (K, l∞ (I))] → b◦r ] ∼= F [F ∗ Theo bo đe 3.8, S ∗ ánh xa tuyen tính loai (LB) Tù suy rang S∗∗ S loai (LB) Tiep tuc l¾p lu¾n đ%nh lý 3.2, ta chúng tó đưoc H (K, F ) quy Đ%nh lý đưoc chúng minh Q KET LUắN Nđi dung cna luắn l nghiên cúu tính quy cna khơng gian mam hàm hình giá tr% Frechet đưa m®t so áp dung khơng gian Lu¾n văn trình bày ket q sau H¾ thong lai m®t so kien thúc bán liên quan đen hưóng nghiên cúu cna lu¾n văn Chúng tó đưoc tính quy cna khơng gian mam hàm hình vói mien giá tr% khơng gian Frechet có (DN ) − chuan, t¾p compact CN t¾p compact L˜ − quy Ket q tương tn đưoc khang đ%nh cho lóp khơng gian mam có mien giá tr% Frechet có (LB∞) − chuan, t¾p compact cna khơng gian Frechet, mà không gian thương cna không gian chuoi lũy thùa hach loai vơ han Đưa ví du ve lóp khơng gian mam loai (DN ) Các ket đưoc nghiên cúu nhung năm gan có ý nghĩa khoa hoc, đóng góp vào hưóng nghiên cúu tốn ve tính quy cna lóp khơng gian mam hàm hình vói mien giá tr% véc tơ Tài li¾u tham kháo [1] H Alexander, Analytic functions on Banach spaces, Thesis, University of California Berkeley, 1968 [2] C Bănică and O Stănăsilă, Algebraic Methods in the global of complex spaces, John Wiley, London - New York, Sydney - Toronto, 1976 [3] P J Boland and S Dineen, Holomorphic function on fully nuclear spaces, Bull Soc Math France 106, 1978 [4] D T Cap and N V Khue, On the integral extension of algebras of semiglobal holomorphy and of semiglobal anatic algebras, Rev Roumaine Math Pures Appl 35(6), 523-529, 1990 [5] S B Chae, Sur les espaces localement convexes de germes holomorphes, C R Acad Sci Paris 271, 990-991,1970 [6] S B Chae, Holomorphic germs on Banach spaces, Ann Inst Fourier Grenoble 21, 107-141, 1971 [7] S Dineen, Holomorphic germs on compact subsets of locally convex spaces, Functional Analysis, Holomorphy-Approximation Theory, Ed S Machado, Springer - Verlag Lecture Notes in Math 843, 247-263, 1981 [8] A Grothendieck, Espaces vectoriels, 2nd ed., Soc Math Sao Paulo, 1958 [9] R Meise and D Vogt, Structure of spaces of holomorphic Functions on infinite dimensional polydiscs, Studia Math 75, 235-252, 1983 [10] J Mujica, Spaces of germs of holomorphic functions, studies in analysis Advances in Mathematics, Sup Studies 4, 1-14, 1979 72 [11] L Nachbin, On the topology of the space of all holomorphic function on a given open subset, Indag Math 29, 366-368, 1967 [12] L Nachbin, Topology on space of Holomorphic Mappings, Springer Verlag, Berlin - New York, 1969 [13] Ph Noverraz , Fonctions phurisoshamorniques et analytiques dans les espaces vectoriel topologiques,Ann Ints Forier 19, 419-494, 1969 [14] A Pietch, Nuclear Locally Convex Spaces, 2nd edition, Berlin, Springer – Verlag, 1972 [15] H.H Schaefer, Topological Vector Spaces, Springer - Verlag, Berlin NewYork, 1971 [16] R.L Soraggi, Holomorphic germs on certain locally convex spaces, Ann Math.Pura et App 144(1), 1-22, 1986 [17] B D Tac, Extending holomorphic maps in infinite dimensions, Ann Polon Math 54, 241-253, 1991 [18] D Vogt, Frechet raume, Zwische denen jede Stetige lineare-dung beschankt ist, J.Reine Angen Math 354, 183-200, 1983 [19] D Vogt, Regularity properties of (LF )− spaces, Progress in Function Analysis, K.D.Bierstedt, J.Bonet, J.Horvath M.Maestre(Eds), El- sevier Science Publishers 57-84,1992 and ... gian mam hàm hình vái giá tr% Frechet 53 3.1 Mđt ieu kiắn can cho tớnh quy cna khơng gian mam hàm hình giá tr% Frechet 53 3.2 Không gian mam hàm hình t¾p compact CN vói giá tr% Frechet. .. ve tính quy cna H(K) Đe nghiên cúu tính quy cna khơng gian mam hàm hình H(K, F ) vói giá tr% Frechet đưoc sn đ%nh hưóng cna TS Nguyen Văn Hào em chon đe tài "CHÍNH QUY CÚA KHƠNG GIAN MAM CÁC HÀM... Khơng gian mam hàm hình t¾p compact CN vói gia tr% Frechet có (DN ) − chuan Khơng gian mam − hàm hình chí t¾p compact nh ˜ L quy vói giá tr% Frechet có (DN ) − chuan Khơng gian mam hàm hình vói giá