Liên hợp của không gian C [a,b]

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ****** MẠC ANH VĂN LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  A, B KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH HÀ NỘI- 2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN ****** MẠC ANH VĂN LIÊN HỢP CỦA KHƠNG GIAN C  A, B KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học TS BÙI KIÊN CƯỜNG HÀ NỘI- 2013 Lời cảm ơn Khóa luận em đươc hồn thành với bảo, hướng dẫn tận tình thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ giải tích, thầy giáo khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên MẠC ANH VĂN Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan khóa luận kết riêng thân, trùng lặp với đề tài nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên MẠC ANH VĂN Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2.Không gian C  a,b 1.3.Hàm có biến phân bị chặn 10 1.4.Tích phân Riemann-Stieltjes 11 CHƯƠNG 2: LIÊN HỢP CỦA KHÔNG GIAN C  a ,b  .15 2.1.Định lí biểu diễn cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn C[a,b] 16 2.2.Quan hệ tương đương hàm có biến phân bị chặn 20 2.3.Chuẩn hóa hàm biến phân bị chặn 24 2.4.Liên hợp không gian C  a, b .26 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành tốn học xây dựng vào nửa đầu kỉ XX xem ngành tốn học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Phương trình vi phân… Trong q trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích luỹ nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan có sử dụng đến cơng cụ Giải tích Ngồi ra, có ứng dụng vật lí lí thuyết số lĩnh vực khoa học khác Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu tốn học tổng qt trừu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu mơn giải tích hàm, em chọn đề tài “Liên hợp không gian C  a,b  ” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài thấy định lý cần đủ không gian liên hợp C  a,b Thơng qua thấy vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích ứng dụng vào lĩnh vực khác tốn học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết định lý khơng gian liên hợp C  a,b  số ứng dụng để thấy vai trò quan trọng nhiều vấn Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội đề giải tích ứng dụng vào lĩnh vực khác tốn học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian C  a,b  , hàm có biến phân bị chặn, tích phân Riemann-Stieljes Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh… Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức liên quan đến định lý không gian liên hợp C  a,b  số ứng dụng Bố cục luận văn Phần mở đầu Nội dung khoá luận gồm hai chương: Chương 1: Một số khái niệm kết chuẩn bị Chương 2: Liên hợp không gian C  a,b  Kết luận CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1.Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P với ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu thỏa mãn tiên đề chuẩn sau đây: 1) (x  X ), x  0, x   x  0; 2) (x  X ), (  P),  x   x ; 3) (x, y  X ), x  y  x  y Số x gọi chuẩn véc tơ x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn l X Ví dụ 1.1 Cho khơng gian véctơ l Đối với véctơ x  (xn )l2 ta đặt:  x x n1 n chuẩn l Khơng gian chuẩn tương ứng kí hiệu l2 Định nghĩa 1.2: Ta nói chuẩn tương đương tồn số C1, không gian véctơ X thỏa mãn: C2 C  C 1 2 Chú ý: Trong không gian hữu hạn chiều, chuẩn tương đương Các chuẩn tương đương sinh tơpơ Điều khơng khơng gian vơ hạn chiều Định nghĩa 1.3: Một phép đẳng cấu hai khơng gian tuyến tính định chuẩn song ánh tuyến tính bị chặn Hai chuẩn tương đương  ánh xạ đẳng cấu ( id : ( X , )  ( X , ) liên tục ánh xạ id ngược liên tục) Ví dụ 1.2 Mỗi không gian Hilbert tách (tức tồn sở Hilbert đếm được) đẳng cấu với l2 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.4: Một khơng gian Banach khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ (tức dãy hội tụ điểm khơng gian ấy) Ví dụ 1.2 a) Khơng gian Hilbert khơng gian Banach P b) L ( X , d  ) ,1  p   không gian Banach Định nghĩa 1.5: (Tốn tử tuyến tính bị chặn) Một ánh xạ tuyến tính bị chặn (hay tốn tử bị chặn) T hai khơng gian tuyến tính định chuẩn ( X , ) tuyến tính thỏa mãn  c  cho: x  X , Tx  c  ( X , ánh xạ ) Tx Như biết từ trước đó, T bị chặn  T liên tục  T liên tục điểm Ta định nghĩa chuẩn toán tử là: sup Tx T  x 1 Bổ đề 1.1: Chuẩn toán tử chuẩn không gian L( X ,Y ) tất tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Chứng minh: Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức tam giác Vì chuẩn nên ta có: (T  S ) x  Tx  Sx  sup Tx  Sx  Tx  Sx  sup( Tx  x 1 , Sx ) x 1 Mà sup( Tx  Sx 2 )  sup Tx x 1 x 1  sup (T  S ) x 2 x 1  TS  T x 1  sup Tx x 1  sup Sx  sup Sx x 1  S Tiếp theo, ta chứng minh aT  a T Thật vậy, ta có: aT  sup aTx x 11 Vì chuẩn nên: aT x Mặt khác, với số dương  a Tx 2 a supa   a.sup  , đó: aT  sup aT x 11 x  a sup Tx 2  sup a Tx x 11 a T x 1 Cuối cùng, ta chứng minh T   T  Nói cách khác, ta phải chứng minh Tx = x X1 Ta thấy, T 0 x  1, Tx  Theo (i  1, 2, , n) i  ti (2.10) y  Chúng ta kiểm tra lại (2.9) có trường hợp t  t  t1 Với giá trị t lại ta có việc chứng minh hồn tồn tương tự Tổng vế phải (2.9) với t0  t  t1 là:  i ( y1 (t)  y0 (t)   (( y2 (t )  y1 (t))   n( yn (t)  yn1 (t))  1 (1  0)   (1  1)    n (1  1)  1  y(t) Bây tác dụng F vào y : n  F ( y)  i F ( yi )  F ( yy1 ) i1  Vì F ( yi )  g (ti ) ( (2.4) (2.10)) ta có: n F ( y)  i (g(ti )  g(ti1)) i1 Nhưng mà  sgn   nên định nghĩa  i ta viết n F ( y)   g(ti )  g(ti1 ) i1 Sử dụng (2.8) với F hàm tuyến tính liên tục bị chặn có chuẩn với f thì: n  g(t )  g(t i1 i i1)  F ( y)  F y  F  f (2.11) Do hàm g(t) định nghĩa (2.4) có biến phân bị chặn hay g(t)  BV  a,b Từ bất đẳng thức (2.11) suy V (g )  f (2.12) Bây giả sử x  C  a,b  định nghĩa: n (2.13) z(t)   x(ti1 )( y(ti )  y(ti1)) i1 Trong trường hợp (2.14) n F (z)   x(ti1 )(g(ti )  g(ti1 )) i1 Ở ta có F ( yi )  g (ti ) Hiển nhiên ta có: z(t)  x(t)  x(t0 )  x(t) x(ti1 )  x(t) Đặt (t0  t  ti ) (ti1  t  ti )   max ti  ti1 Ta lưu ý rằng, x(t)  C  a,b  hàm liên tục (hàm liên tục định nghĩa tập compact liên tục đó)   zx 0 Nhưng từ F hàm tuyến tính bị chặn liên tục ta có lim F (z)  lim F (z)  F (x)  0 zx Bằng định nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes suy b lim F (z)   x(t)dg(t)  0 a Do b F (x)   x(t)dg(t) a Bây với x hàm liên tục tùy ý trên C  a,b ta viết:  a, b F phải f b (2.15) f (x)   x(t)dg(t) a Vậy với x  C  a,b  phần đầu định lí chứng minh Bây ta chứng tỏ f  V (g ) Từ (2.12) ta thấyV (g )  ta V (g )  f f , bây ta chứng minh xong Áp dụng bổ đê (1.3) với (2.15) suy ra: f (x)  max x(t) V ( g )  với (2.16) x V (g ) x  C  a,b  Do đó: f V(g) (2.17) Từ (2.12) (2.17) ta có điều phải chứng minh: f  V ( g ) 2.2 Quan hệ tương đương hàm có biến phân bị chặn Do hai hàm g(t) g(t  c) có tính chất biên phân bị chặn biến phân toàn phần nên để xác lập ánh xạ từ C  a, b  nên BV  a,b tương tự lí thuyết tích phân Lebesgue ta cần xác định lớp tương đương hàm có biến phân bị chặn Định nghĩa 2.1: Cho x , x  BV  a,b ta nói x tương với x khí hiệu 2 x1 □ x (2.18) b  a b y(t)dx1 (t)   y(t)dx2 (t) a 31 với y  C  a, b (2.19) Bổ đề 2.1: Quan hệ “ □ ” quan hệ tương BV  a,b Thật từ (2.19) ta có thê dễ dàng “ □ ” có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu Do “ □ ” quan hệ tương đương BV  a,b Đặt x(c  0)  lim x(c  t) , t  x(c  0)  lim x(c  t) , t  t0 t0 Khi ta đến định lí sau: Định lí 2.2: Cho mãn a  c  b x  BV  a,b  , th ì x □ với c thỏa x(a)  x(b)  x(c  0)  x(c  0) (2.20) Lưu ý (2.20) không yêu cầu x(t) liên tục điểm , ví dụ hàm hình (2.1) x(t)  t a b c Hình 2.1 Hàm x(t) thỏa mãn điều kiện (2.19) Chứng minh (Điều kiện cần) Giả sử x □ Dùng (2.20) y(t)  1, ta b   dx(t)  x(b)  x(a) a (2.21) x(b)  x(a) Trước kết thúc chứng minh ta dễ dàng chứng minh hai ý sau định lí giá trị trung bình tích phân: Với a  c  b h  h ch  x(t)dt  x(c  0) (2.22) h  (2.23) c ● Tương tự, với a  c  b h h  ch  h0 x(t)dt  x(c  0) c Bây ta phải chứng minh x(a)  x(c  0) Ta thấy với x(c  0) hoàn toàn tương tự nên ta bỏ qua không chứng minh Xét hàm liên tục (a  t  c) 1   t  (c  t  c  h) y(t)  1  c h  (c  h  t  b)  Hàm minh họa hình (2.2) (2.24) y(t) a c ch b Hình 2.2 Hàm y(t) định nghĩa (2.24) t Bây với x(t) trên, xét b c ch   y(t)dx(t)   dx(t)   a c h y(t)dx(t)  x(c  a)  x(a)  a c  y(t)dx(t) (2.25) c Từ cơng thức tích phân phần tích phân RiemannStieltjes từ (2.24) suy ra: ch  y(t)dx(t)  x(c)  ch  x(t)dt (2.26) ch x(t)d t h c (2.27) c c h Như (2.24) trở thành  x(c)  x(a)  x(c)  hay x(a)  ch x(t)dt h  (2.28) c Giả sử h  áp dụng (2.22) ta được: x(a)  x(c  0) (2.29) Theo cách tương tự ta chứng minh x(b)  x(c  0) điều kiện cần chứng minh Chứng minh (Điều kiện đủ) Giả sử cho x(t) thỏa mãn điều kiên (2.20) Trong trường hợp x (b)  x(b)  a,b mà với x (t)  x(a) với t   a,b  , t   a,b  , điểm x (t)  x(t) với điểm x(t) liên tục.Bằng cách tương tự chứng minh (2.16) y  C  a,b ta được: b b  y(t)dx(t)   y(t)d x (t) a a (2.30) Do với y  C  a, b  , x (t) số ta có biến phân tồn phần 0: b  y(t)dx(t)  a Do ta x □ 2.3.Chuẩn hóa hàm biến phân bị chặn Định nghĩa 2.1 Cho hàm g (t)  BV  a,b gọi chuẩn hóa g (a)  g liên tục phải Khi với t  a,b ,   Tập hợp chuẩn hóa hàm biến phân bị chặn gọi g(t  0)  g(t) NBV  a,b Nhận xét: Ta dễ dàng kiểm tra không gian NBV  a,b BV  a,b Bây ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Giả sử x1, x2  BV  a,b x1 □ x2 chuẩn hóa x1 , x2 x1  x Chứng minh: Theo giả thiết ta có suy ( x1  x2 ) □ Khi áp x1 □ x2 dụng định lí (2.2) suy (2.31) ( x1  x2 )(a)  ( x1  x2 ) (b) được: Nhưng từ x1 , x2 chuẩn hóa nên x1 (a)  x2 (a)  từ (2.31) ta x1 (b)  x2 (b) Hơn ( x1  x2 ) □ , với c thỏa mãn a  c  b thì: (2.32) Hay  x1 (c  0)  x2 (c  0) x1, từ x2 cần phải liên tục phải  x1 (c)  x2 (c) Hay x1 (c)  x2 (c) Từ c điểm  a,b  , ta chứng minh x1 (t)  x2 (t) Bây cho x  BV  a,b  ta kí hiệu x  NBV a,b lớp hàm   có biến phân bị chặn chuẩn hóa tương đương với x Khi ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 2.2: Với x  BV  a,b  V (x) biến phân tồn phần x ta có: V ( x )  V ( x) (2.33) Chứng minh: a  t0  t1   tn  b Giả sử phân hoạch đoạn  a, b  Do hàm x liên tục phải nên với   tồn c1 , c2 , , c n1 cho với i  ci (i  1, , n  1) thỏa mãn: t x(ti  0)  x(ci )   / 2n với i  1, ,n 1 (2.34) Bây dùng định nghĩa x (t) , ta viết với i  2, ,n 1 x (t )  x (t i ) x(t i1  0)  x(a)  (x(t i  0)  x(a)) i1  x(ti  0)  x(ti1  0)  (x(ti  0)  x(ci ))  (x(ti1)   x(ci1))  (x(ci )  x(ci1)) Lấy c0  a cn  b ta viết n n  x (ti )  x (ti1) i1  Do  i1 x(ci )  x(ci1 )    V (x)   (2.35) V (x )  V ( x)   Suy V ( x )  V ( x) Khi bổ đề (2.2) chứng minh 2.4 Liên hợp không gian C  a,b Định lí 2.2: Cho hơng gian C□  a,b  NBV  a,b tương đương Xét ánh xạ sau: T : NBV  a,b  C□  a,b g(t)  Tg,Tg(x)  f (x) với x  C  a,b b f (x)   x(t)dg(t) a Khi T đồng cấu đẳng cự Chứng minh: Rõ ràng, T phép biến đổi tuyến tính f phiếm hàm tuyến tính Từ (2.16), ta có: f (x)  V (g ) x với x  C  a,b suy f (x) phiếm hàm tuyến tính bị chặn f  V (g)  g (2.36) (Lưu ý rằng, từ g  NBV  a,b  , g  g (a)  V (g ) V (g) ) Bây ta T ánh xạ lên Giả sử f  C□  a,b  , từ định lí (2.1) tồn hàm h(t)  BV  a,b  cho: b f (x)   x(t)dh(t) a Kí hiệu g  NBV  a,b  cho: h □ g Do b f (x)   x(t)dg(t) a rõ ràng T: g f Suy T ánh xạ lên Hơn nữa, với f , g h trên, theo định lí (2.1) ta viết f  V (h) Áp dụng (2.33) (2.36) ta có: f  V ( g )  V (h)  f Suy f  V (g)  g Hay Tg  f  g Do T phép đẳng cự ánh xạ lên định lí chứng minh KẾT LUẬN Giải tích hàm nói chung liên hợp khơng gian C  a,b nói riêng có vai trò quan trọng giải tích Trong khóa luận tập trung nghiên liên hợp không gian C  a,b vài ứng dụng Khóa luận em hồn thành thời gian ngắn hiểu biết thân hạn chế nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý cảm thơng sâu sắc từ phía thầy giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, thầy giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kỹ Thuật HN Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB GD Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG HN Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm (tập 1), NXB GD A.N.Conmogogrop.X.V.Fomin (1971), Cơ sở líthuyết hàm giải tích hàm(tập 1), NXB GD Sylvia Serfaty (2006), Functional Analysis Notes, New York University George Bachman and Lawrence Narich (1972), Functionnal Analysis, Brooklyn,New York ... giải tích ứng dụng vào lĩnh v c kh c tốn h c nói riêng lĩnh v c khoa h c kh c nói chung Đối tượng nhiệm vụ nghiên c u C c kiến th c liên quan đến không gian tôpô, không gian metric, không gian. .. khái niệm kết chuẩn bị Chương 2: Liên hợp không gian C  a,b  Kết luận CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 .Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Định... nói chuẩn tương đương tồn số C1 , không gian véctơ X thỏa mãn: C2 C  C 1 2 Chú ý: Trong không gian hữu hạn chiều, chuẩn tương đương C c chuẩn tương đương sinh tơpơ Điều khơng không gian