Hàm lồi liên hợp

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN NGUYEN VĂN HÃI HÀM LOI LIÊN HeP KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chuyên ngành: Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2012 LèI CÃM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS Tran Văn Bang - Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khóa lu¾n cúa Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Ban nhi¾m khoa Tốn tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khóa lu¾n Trong khuụn kho cú han cỳa mđt bi khúa luắn, ieu kiắn thũi gian, trỡnh đ cú han v lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa thay cô ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyen Văn Hái LèI CAM ĐOAN Khóa lu¾n ket nghiên cúu cúa bán thân em dưói sn hưóng dan t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang Trong nghiên cúu hoàn thành đe tài nghiên cúu em tham kháo m®t so tài li¾u ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cúa đe tài “Hàm loi liên hap” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cúa đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyen Văn Hái Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach 1.2 Ánh xa tuyen tính 1.3 Đ%nh lý Hahn-Banach 1.4 Song đoi ngau tính trnc giao .17 Chương Hàm loi liên hep 20 2.1 Khái ni¾m bán .20 2.2 M®t so ket ve hàm loi liên hop 22 2.3 M®t so ví dn 28 Ket lu¾n .39 Tài li¾u tham kháo 40 Me ĐAU Giái tích loi đóng vai trò quan trong vi¾c nghiên cúu lý thuyet toán cnc tr% ngành Tốn hoc úng dnng có sú dnng cơng cn giái tích khơng gian tuyen tính Sau ket q đau tiên cúa H.Minkowski (1910) ve t¾p loi hàm loi, lý thuyet giái tích loi thu hút sn quan tâm nghiên cúu cúa nhieu nhà toán hoc Hàm loi liên hop m®t nhung ket nen táng cúa giái tích loi Nó só đe đat đưoc nhieu ket quan khác Trong chương trình đai hoc đưoc hoc ve hàm loi liên hop chưa đay đú Vì the tìm hieu sâu ve hàm loi liên hop ket cúa thnc sn can thiet huu ích, giúp hieu sâu ve nhieu van đe giái tích loi Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve hàm loi liên hop ket cúa nó, em manh dan chon đe tài : "hàm loi liên hep" Nghiên cúu đe tài giúp hieu sâu ve hàm loi liên hop Nđi dung e cắp luắn oc trỡnh by mđt cỏch chắt che ve mắt Toỏn hoc, cỏc %nh nghĩa ket lu¾n nêu có kèm theo ví dn minh hoa N®i dung cúa nghiên cúu gom hai chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Chương trỡnh by mđt so khỏi niắm v ket quỏ can thiet cho chương sau như: Không gian Banach, ánh xa tuyen tính, Đ%nh lý HahnBanach, song đoi ngau tính trnc giao Chương 2: Hàm loi liên hop Chương giói thi¾u ve hàm loi, hàm núa liên tnc dưói, hàm liên hop m®t so ket quan ve hàm loi liên hop Do lan đau thnc t¾p nghiên cúu, thòi gian có han lnc bán thân han che nên chac chan nghiên cúu khó tránh khói nhung thieu sót Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay ban đoc đe đe tài hồn đat ket cao Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach Trong phan se đ%nh nghĩa chuan cho không gian tuyen tính đe tró thành khơng gian tuyen tính đ%nh chuan Đau tiên ta đe c¾p khái ni¾m chuan Đ%nh nghĩa 1.1 Cho X m®t khơng gian tuyen tính trưòng K, chuan X hàm so "." : X → R+ x ›→ "x", thóa mãn đieu ki¾n 1) "x" ≥ 0; "x" = ⇔ x = 0; 2) "λ x" = |λ | "x" ; 3) "x + y" ≤ "x" + "y" vói moi x, y ∈ R λ ∈ K Đ%nh nghĩa 1.2 C¾p (X, "."), X m®t khơng gian tuyen tính, "." m®t chuan X , goi m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan (hay goi tat không gian đ%nh chuan) Giá sú (X, ".") m®t khơng gian đ%nh chuan De dàng chúng minh đưoc hàm ρ : X × X → R+ xác đ%nh bói ρ (x, y) = "x − y" m®t metric X , goi metric sinh bói chuan Như v¾y, khơng gian tuyen tính đ%nh chuan m®t khơng gian metric Giá sú (xn) m®t dãy phan tú cúa X x0 ∈ X Khi ta đ %nh nghĩa: lim xn = x0 ⇔ lim "xn − x0 " = n→∞ n→∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian tuyen tính đ%nh chuan (X, ".") đay đú vói metric sinh bói chuan goi khơng gian Banach Ta có the đ%nh nghĩa không gian Banach sau Đ%nh nghĩa 1.4 Không gian đ%nh chuan X đưoc goi không gian Banach, neu moi dãy bán X đeu h®i tn Trong đó, dãy bán đưoc đ%nh nghĩa sau : Đ%nh nghĩa 1.5 Dãy điem (xn) không gian đ%nh chuan X goi đãy bán, neu lim m,n→∞ "xn − xm " = Nhò nguyên lý làm đay không gian metric metric ρ (x, y) = "x − y", moi không gian đ%nh chuan khơng phái khơng gian Banach đeu có the làm đay thành khơng gian Banach M®t so ví dn Ví dn Kn (n ∈ N∗) nhung khơng gian Banach vói chuan "x" = n ∑ |xi| , i=1 x = (x1, x2, , xn) ∈ Kn Ví dn Trưòng so huu tý Q khơng gian tuyen tính đ%nh chuan vói chuan "x" = |x| , không phái không gian Banach Ví dn T¾p hop tat cá hàm b% ch¾n khơng gian tơpơ T : B(T ) khơng gian Banach vói chuan "x" = sup |x(t)| t∈T Th¾t v¾y, đau tiên ta chúng minh "." thóa mãn đieu ki¾n ve chuan B(T ) De thay · ∀x ∈ B(T ) : "x" ≥ "x" = ⇔ sup |x(t)| = ⇔ |x(t)| = ∀t t∈T ⇔ x(t) = ∀t ⇔ x = · ∀x ∈ B(T ), λ ∈ K ta có "λ x" = sup |λ x(t)| = sup |λ | |x(t)| = |λ | sup |x(t)| = |λ | "x" t∈T · ∀x, y ∈ B(T ) ta t∈ T t∈T có |x(t) + y(t)| ≤ |x(t)| + |y(t)| ≤ sup |x(t)| + sup |y(t)| t∈T t∈T ⇒ sup |x(t) + y(t)| ≤ sup |x(t)| + sup |y(t)| t∈T t∈T t∈T ⇔ "x + y" ≤ "x" + "y" Bây giò ta se chúng minh B(T ) đay đú vói metric sinh bói chuan Giá sú dãy (xn) m®t dãy Cauchy tùy ý B(T ) Khi vói moi ε > 0, ton tai n0 cho vói moi m, n ≥ n0 ta có "xn − xm " < ε, túc sup |xn (t) − xm (t)| < ε Suy vói moi t ∈ T , t∈T |xn(t) − xm (t)| < ε (1.1) Suy (xn(t)) m®t dãy Cauchy K, nên h®i tn K Đ¾t x(t) = lim xn(t) vói moi t n→∞ T ∈ V¾ y ϕ∗ (f ) = |f |  = m a x { − f , − ∞ } = − f (d) ϕ( x neu x ) = 0, = +∞ neu x   ƒ= Chúng minh ϕ(x) hàm loi Ta chúng minh ϕ λ x1 + (1 −λ )x2 ≤ λ ϕ(x1 ) + (1 − λ )ϕ(x2)(∀x1, x2 ∈ R, < λ < 1) Th¾t v¾y · Neu x1 = x2 = ta có V T = = V P · Neu x1 ƒ= 0, x2 ƒ= ta có VP = +∞ ≥ V T V¾y bat thúc ln hay ϕ(x) hàm loi Ta có epiϕ = {(x, y) : x = 0, y ≥ 0} De thay epiϕ t¾p hop đóng hay ϕ(x) núa liên tnc dưói Tìm ϕ ∗ ( f ) Ta có  ϕ ∗ ( f ) = sup{ f x − ex } = fx neu x = = max {0, −∞} = ∀f sup  x∈R  x∈R ∗ V¾y ϕ ( f)= (e) ϕ(x) = −logx  +∞  f x − ∞ neu x ƒ= neu x > 0, neu x ≤  Chúng minh ϕ(x) hàm loi ta chí can chúng minh ϕ(x) = −lnx vói x > hàm loi Ta có ϕ r (x) = − , ϕrr (x) > = x x2 Suy ϕ(x) hàm loi Ta có epiϕ = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ −lnx} Hien nhiên, epiϕ t¾p hop đóng hay ϕ(x) núa liên tnc dưói Tìm hàm liên  hop  f x + lnx neu x > 0, sup f x − ∞ neu x ≤ Ta có ϕ ( f ) =x∈R   f x + lnx neu x > 0, · Neu f > sup x∈R  f x − ∞ neu x ≤ ∗ · Neu f ≤ ta xét g(x) = f x + lnx Ta có gr (x) = f + , gr (x) = ⇔ f = − x grr ( f ) = − f x = max {+∞, −∞} = +∞ ⇒ x = − f < suy x = −f điem cnc đai   f x + lnx neu x > 0, V¾y sup = + ln( −  x∈R fx − f) = −1 − ln | f| −∞ neu x ≤ Tóm lai,  +∞ ∗ ϕ ( f)= > 0, −1 − ln | f |  (f) ϕ(x) =  ≤ −2 1/ 12 neu f neu f neu |x| ≤ 1, − x  +∞ neu |x| > ϕ(x) hàm loi Th¾t v¾y · Vói |x| > ϕ(x) = +∞ hàm loi · Vói |x| ≤ ta xét ϕ(x) = −(1 − x2 )1/2 có ϕ r −1/2 (x) = x(12 − x ) , ϕrr (x) = (1 − x )3/2 Ta có ϕrr (x) > suy ϕ(x) hàm loi 1/2 < 1, y ≥ − Ta x, y)x2: |x| có − , epiϕ =, ( De thay epiϕ t¾p hop đóng Do ϕ(x) núa liên tnc dưói Tìm hàm liên hop Ta có  ϕ∗( f ) = ) f x + 1/ sup  (1 −x x∈R  neu |x| ≤ 1, fx−∞ neu |x| > · Vói f > ta có ϕ ∗ ( f ) = +∞ · Vói f ≤ xét g(x) = f x + (1 − x2 )1/2 ta có −1/2 gr (x) = f −x − x2 , grr (x) −3/2 = − − x2 gr (x) = ⇒ x = f (1 + f )−1/2 , grr ( f ) < suy x = f (1 + f −1/2 ) điem cnc đai Suy ra,  neu |x| ≤ 1, )  f 1/ sup x + (1 −x x∈R  fx−∞ >  2 (1 ) + ) = + −1 (1 −1 /2 /2 +f f su p f −∞ neu |x| > Tóm lai, x∈R neu |x| neu |x| ≤ 1, = (1 + f 1/2 )  +∞ ∗ ϕ ( f)= 0, (1 + f 2)1/2 neu f >   neu f ≤  2x neu |x| ≤ 1, (g) ϕ ( x 2 neu | | x| ≤ x| 1, | neu ) x| − =21   neu x > 1, neu x < −1 = |x| x −   >   −  x  −    x neu |x| ≤ 1, Ta  neu x > 1, có ϕ r  (x) −1 neu x < −1 =     1  ϕ ” (  x) = neu |x| ≤ 1, neu x > 1, neu x < −1 Suy ra, ϕrr (x) ≥ Do đó, ϕ(x) hàm loi Ta có epiϕ = (x, y) : x ≤ −1, y ≥ −x − ∪ (x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, y ≥ x ∪ (x, y) : x ≥ f x − 2 x2 De thay epiϕ t¾p hop đóng Do đó, ϕ(x) núa liêntnc dưói  f neu |x| ≤ 1, Ta∗có x − ϕ (fx  ) = ( f − sup 1)x1 + x∈R  neu x > 1,  neu x < −1 + + ·Vói f > ϕ ∗ ( f ) = +∞ T a c ó g r ( x ) = f − x , ·Vói f < −1 ϕ ∗ ( f ) = +∞ g r ∗ Suy ra, vói | f | > ϕ ( f ) = +∞ ·V ó i − < f < t h ì t a x é t g ( x ) = 2 ( x ) = ⇔ x = f g”(x) = −1 ⇒ g”( f ) = −1 < Suy x = f điem cnc đai V¾y ϕ ∗ ( f ) = x2 Tóm lai, ϕ ∗ ( f ) = (h) ϕ(x) = x| Ta có ϕ(x) P p|  +∞ neu | f | > 1,  1 neu | f | ≤ 2f vói < p < ∞ ,  p x p = neu x ≥ 0, p Suy ra, ϕ r (x)  neu x < p(−x) x (p−1 = )  (p−1) (−x) neu x ≥ 0, neu x < (p−2) neu x ≥ 0, (p − ” ϕ (x) = 1)x −(p − 1)(−x)(p−2) neu x < o Hien nhiên, ϕrr (x) ≥ đó, ϕ(x) 1là phàm loi Ta có epiϕ = , x, y) : x ∈ R, y ≥ x , ( p  hop đóng Suy ϕ(x) núa liên tnc dưói De thay, epiϕ t¾p f x − p px ∗ neu x ≥ 0, Ta có ϕ ( f ) = sup  neu x < x∈R  f x − p (−x) p · Vói f ≥ ta xét g(x) = f x − p1 xp Ta có (p−1) gr (x) = f − x , gr (x) = ⇒ x = f p−1 g”(x) = −(p − 1)x(p−2) ≤ ∀x ≥ ra,∗x p−1 p−1điem Suy − cnc f p−1đai = V¾y ϕ (=f )f = f p p p f − = fq q · Vói f < ta xét h(x) = f x − (−x)p Ta có p gr (x) = f + x + p p−1 p (p−1) vói , gr (x) = ⇒ x = − f p−1 p q = g”(x) = (p − 1)x1(p−2) ≤ ∀x < Suy ra, x = − f p−1 điem cnc đai V¾y ϕ ∗ ( f ) = − f p−1 − f p−1 = − f p p −p p 1 Tóm lai, ϕ ∗ ( f ) = | f | q q vói p + q = p p − = vó i q q + = 1 p q  (i) ϕ(x) = x+ = max x, { 0 }  neu x ≥ 0, Ta có ϕ r (x) =  0 neu x ≤  0 neu x ≥ 0, ” ϕ (x) =  neu x ≤ =  neu x ≥ 0, x neu x ≤ Suy ra, ϕ”(x) = 0, ∀x ∈ R Do theo đ%nh nghĩa ta có ϕ(x) hàm loi Ta có epiϕ = {(x, y) : x ≤ 0, y ≥ 0}∪{(x, y) : x ≥ 0, y ≥ x} Hien nhiên, epiϕ t¾p hop đóng Do theo tính chat cúa hàm núa liên tnc dưói ϕ(x) núa liên tnc dưói Xác đ%nh ϕ ∗ ( f )  ( f − 1)x neu x ≥ ∗ Ta có ϕ ( f ) = sup 0, x∈R  f x neu x ≤  ( f − 1)x neu x ≥ · Neu f = sup 0, x∈R  · Neu f > sup neu x ≥ neu x ≤  · Neu ≤ f < sup  ∗ fx = +∞ neu x ≤ fx  ( f − 1)x 0, x∈R  = Tóm lai, ϕ ( f ) = ( f − 1)x 0, x∈R  f x  neu x ≥ neu x ≤ neu ≤ f ≤ 1, =  (j) ϕ(x) =   +∞ xp p neu trái lai neu x ≥ 0, vói < p < +∞, +∞ neu x < Làm tương tn phan (h) ta có ϕ(x) hàm loi núa liên tnc dưói ta có hàm liên hop  q ϕ∗( f ) = f  neu f ≥ 0, q 0  p + q = neu f < − 1p neu x ≥ 0, vói < p < 1, (k) ϕ(x) =   xp +∞ neu x < Tương tn ta có ϕ(x) hàm loi, núa liên tnc dưói hàm liên hop  +∞ neu f ≥ 0, ∗  1 ϕ ( f)=−1 q neu f < q| f | p + q = + p (l) ϕ(x) = p (|x| − 1) , vói < p < ∞ p  (x − neu x ≥ 1, 1)  p Ta có ϕ(x) =  p p (−x − neu x ≤ −1, 1)   neu |x| ≤ De dàng chúng minh đưoc ϕ(x) hàm loi núa liên tnc dưói Ta tìm hàm  liên hop cúa ϕ(x) p  f x − p (x − neu x > 1,  1)  ∗ f x − (−x − 1)p neu x < −1, Ta có ϕ ( f )  =  fx neu |x| ≤ · Vói f > ta xét g(x) = f x −p (x − 1)p Ta có gr (x) = f − (x − 1) p−1 , gr (x) = ⇒ x = + f p−1 grr (x) = −(p − 1)(x − 1)p−2 ⇒ grr ( f ) < Do x = + f p−1 điem cnc đai p ∗ Suy ra, ϕ ( f ) = f + − p−1 Vói f < ta xét h(x) = f − (−x − p x f · 1)p Ta có gr (x) = f + (−x − 1)p−1, gr (x) = ⇒ x = −1 − f p−1 1 grr (x) = −(p − 1)(−x − 1)p−2 ⇒ grr ( f ) < Do x = −1 − f p−1 điem cnc đai ∗ Suy ra, ϕ ( f ) = − f − f p−1 p − p q 1 ∗ + , Tóm lai, ta có hàm liên hop cúa ϕ(x) ϕ ( f ) = | f |q + = p vói |f| q KET LU¾N Trong khóa lu¾n này, em t¾p trung trình bày ve m®t so ket q cúa hàm loi liờn hop Nđi dung e cắp luắn oc trỡnh by mđt cỏch chắt che ve mắt Toỏn hoc, đ%nh nghĩa ket lu¾n nêu có kèm theo ví dn minh hoa Khóa lu¾n gom hai chương: Chương 1: Trình bày ve m®t so kien thúc bán đe sú dnng cho chương sau như: không gian Banach, ánh xa tuyen tính, Đ%nh lý HahnBanach, song đoi ngau tính trnc giao Chương 2: Giói thi¾u ve hàm loi, hàm núa liên tnc dưói, hàm liên hop m®t so ket quan tr®ng ve hàm loi liên hop Đóng góp cúa em trình by van e nghiờn cỳu mđt cỏch hắ thong v chi tiet húa mđt so chỳng minh, hắ quỏ tài li¾u [3] Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] PGS.TS Đ6 VĂN LƯU-PGS.TS PHAN HUY KHÃI, Giái tích loi, NXB Khoa Hoc V Ky Thuắt H Nđi, 2000 [2] Hồng Tny, Hàm thnc giái tích hàm, NXB Đai Hoc Quoc Gia H Nđi, 2005 [B] Ti liắu tieng Anh [3] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations ... HahnBanach, song đoi ngau tính trnc giao Chương 2: Hàm loi liên hop Chương giói thi¾u ve hàm loi, hàm núa liên tnc dưói, hàm liên hop m®t so ket quan ve hàm loi liên hop Do lan đau thnc t¾p nghiên cúu,... cúa N tơ pơ yeu ∗ σ (E∗ , E) Chương Hàm loi liên hep 2.1 Khái ni¾m bán Chúng ta bat đau vói m®t so van đe bán ve hàm núa liên tnc dưói hàm loi Trong phan xét hàm ϕ xác đ%nh trờn mđt hop E vúi cỏc... hoc ve hàm loi liên hop chưa đay đú Vì the tìm hieu sâu ve hàm loi liên hop ket cúa thnc sn can thiet huu ích, giúp hieu sâu ve nhieu van đe giái tích loi Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve hàm