Hàm lồi liên hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN VĂN HẢI HÀM LỒI LIÊN HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Trong khuôn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Văn Hải LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Hàm lồi liên hợp” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Văn Hải Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.3 Định lý Hahn-Banach 1.4 Song đối ngẫu tính trực giao 17 Chương Hàm lồi liên hợp 20 2.1 Khái niệm 20 2.2 Một số kết hàm lồi liên hợp 22 2.3 Một số ví dụ 28 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết toán cực trị ngành Toán học ứng dụng có sử dụng công cụ giải tích không gian tuyến tính Sau kết H.Minkowski (1910) tập lồi hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Hàm lồi liên hợp kết tảng giải tích lồi Nó sở để đạt nhiều kết quan trọng khác Trong chương trình đại học học hàm lồi liên hợp chưa đầy đủ Vì tìm hiểu sâu hàm lồi liên hợp kết thực cần thiết hữu ích, giúp hiểu sâu nhiều vấn đề giải tích lồi Với mong muốn tìm hiểu sâu hàm lồi liên hợp kết nó, em mạnh dạn chọn đề tài : "hàm lồi liên hợp" Nghiên cứu đề tài giúp hiểu sâu hàm lồi liên hợp Nội dung đề cập luận văn trình bày cách chặt chẽ mặt Toán học, định nghĩa kết luận nêu có kèm theo ví dụ minh họa Nội dung nghiên cứu gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết cần thiết cho chương sau như: Không gian Banach, ánh xạ tuyến tính, Định lý Hahn-Banach, song đối ngẫu tính trực giao Chương 2: Hàm lồi liên hợp Chương giới thiệu hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, hàm liên hợp số kết quan trọng hàm lồi liên hợp Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn lực thân hạn chế nên chắn nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach Trong phần định nghĩa chuẩn cho không gian tuyến tính để trở thành không gian tuyến tính định chuẩn Đầu tiên ta đề cập khái niệm chuẩn Định nghĩa 1.1 Cho X không gian tuyến tính trường K, chuẩn X hàm số : X → R+ x→ x , thỏa mãn điều kiện 1) x ≥ 0; x = ⇔ x = 0; 2) λ x = |λ | x ; 3) x+y ≤ x + y với x, y ∈ R λ ∈ K Định nghĩa 1.2 Cặp (X, ), X không gian tuyến tính, chuẩn X, gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hay gọi tắt không gian định chuẩn) Giả sử (X, ) không gian định chuẩn Dễ dàng chứng minh hàm ρ : X × X → R+ xác định ρ (x, y) = x − y metric X, gọi metric sinh chuẩn Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn không gian metric Giả sử (xn ) dãy phần tử X x0 ∈ X Khi ta định nghĩa: lim xn = x0 ⇔ lim xn − x0 = n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn (X, ) đầy đủ với metric sinh chuẩn gọi không gian Banach Ta định nghĩa không gian Banach sau Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Trong đó, dãy định nghĩa sau : Định nghĩa 1.5 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi đãy bản, lim m,n→∞ xn − xm = Nhờ nguyên lý làm đầy không gian metric metric ρ (x, y) = x − y , không gian định chuẩn không gian Banach làm đầy thành không gian Banach Một số ví dụ Ví dụ Kn (n ∈ N∗ ) không gian Banach với chuẩn n ∑ |xi |2 , x = i=1 x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Kn Ví dụ Trường số hữu tỷ Q không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn x = |x| , không gian Banach Ví dụ Tập hợp tất hàm bị chặn không gian tôpô T : B(T ) không gian Banach với chuẩn x = sup |x(t)| t∈T Thật vậy, ta chứng minh thỏa mãn điều kiện chuẩn B(T ) Dễ thấy · ∀x ∈ B(T ) : x ≥ x = ⇔ sup |x(t)| = ⇔ |x(t)| = ∀t ⇔ x(t) = ∀t ⇔ x = t∈T · ∀x ∈ B(T ), λ ∈ K ta có λ x = sup |λ x(t)| = sup |λ | |x(t)| = |λ | sup |x(t)| = |λ | x t∈T t∈T t∈T · ∀x, y ∈ B(T ) ta có |x(t) + y(t)| ≤ |x(t)| + |y(t)| ≤ sup |x(t)| + sup |y(t)| t∈T t∈T ⇒ sup |x(t) + y(t)| ≤ sup |x(t)| + sup |y(t)| t∈T t∈T t∈T ⇔ x+y ≤ x + y Bây ta chứng minh B(T ) đầy đủ với metric sinh chuẩn Giả sử dãy (xn ) dãy Cauchy tùy ý B(T ) Khi với ε > 0, tồn n0 cho với m, n ≥ n0 ta có xn − xm < ε, tức sup |xn (t) − xm (t)| < ε t∈T Suy với t ∈ T , |xn (t) − xm (t)| < ε Suy (xn (t)) dãy Cauchy K, nên hội tụ K Đặt x(t) = lim xn (t) với t ∈ T n→∞ (1.1) Như vậy, ta có hàm số x xác định T Cho m → ∞ (1.1) ta |xn (t) − x(t)| ≤ ε ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ T (1.2) Như vậy, với n ≥ n0 , x − xn hàm số bị chặn T Kéo theo x = xn + (x − xn ) hàm số bị chặn T , tức x ∈ B(T ) Từ (1.2) suy sup |xn (t) − x(t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0 t∈T Tức xn − x ≤ ε ∀n ≥ n0 Kéo theo lim xn = x n→∞ Suy B(T ) không gian đầy đủ 1.2 Ánh xạ tuyến tính Trong mục ta giả thiết không gian X,Y nói đến không gian tuyến tính định chuẩn trường K Định nghĩa 1.6 Một ánh xạ A : X → Y gọi ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính 1) A (x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) với x1 , x2 ∈ X; 2) A (λ x) = λ A(x) với x ∈ X, λ ∈ K Khi Y = K toán tử tuyến tính gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.7 Ánh xạ A : X → Y gọi tuyến tính liên tục A tuyến tính liên tục theo tô pô sinh chuẩn X Y Có thể thấy A liên tục x0 ∈ X với dãy (xn ) hội tụ x0 X dãy (Axn ) hội tụ (Ax0 ) Y Định lý 1.2.1 Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y liên tục bị chặn Suy ϕ lồi, nửa liên tục dưới, ϕ ≡ +∞ ϕ ≥ Từ Bước biết (ϕ)∗∗ = ϕ Bây ta tính (ϕ)∗ (ϕ)∗∗ Ta có (ϕ)∗ ( f ) = ϕ ∗ ( f + f0 ) − ϕ ∗ ( f0 ) (ϕ)∗∗ (x) = ϕ ∗∗ (x) − f0 , x + ϕ ∗ ( f0 ) Cho (ϕ)∗∗ = ϕ, ta thu ϕ ∗∗ = ϕ Chúng ta kiểm tra qua số ví dụ Ví dụ 2.1 Xét ϕ(x) = x Dễ dàng kiểm tra f ≤ 1, +∞ f > Suy ϕ ∗∗ (x) = f,x sup f ∈E ∗ , f ≤1 Từ đẳng thức ϕ ∗∗ = ϕ, ta lại nhận Hệ 1.4 Ví dụ 2.2 Cho tập hợp khác rỗng K ⊂ E, ta đặt IK (x) = nếux ∈ K, +∞ nếux ∈ / K Hàm IK gọi hàm K (và không nên nhầm lẫn với hàm đặc trưng, χK , K, K, K) Chú ý IK hàm lồi K tập lồi IK nửa liên tục K đóng Hàm liên hợp (IK )∗ gọi hàm tựa K Dễ dàng thấy K = M không gian tuyến tính (IM )∗ = IM⊥ (IM )∗∗ = I(M⊥ )⊥ Giả sử M không gian tuyến tính đóng, từ (IM )∗∗ = IM , ta lại nhận (M ⊥ )⊥ = M Do vậy, theo nghĩa đó, Định lý 2.1 xem cách phát biểu khác Mệnh đề 1.2 25 Sau tính chất hữu ích khác hàm liên hợp Định lý 2.2 (Fenchel-Rockafellar) Cho ϕ, ψ : E → (−∞, +∞] hai hàm lồi Giả sử ∃x0 ∈ D(ϕ) ∩ D(ψ) cho ϕ liên tục x0 Khi in f {ϕ(x) + ψ(x)} = sup {−ϕ ∗ (− f ) − ψ ∗ ( f )} f ∈E ∗ x∈E = max∗ {−ϕ ∗ (− f ) − ψ ∗ ( f )} f ∈E = − min∗ {ϕ ∗ (− f ) + ψ ∗ ( f )} f ∈E Chứng minh Định lý 2.2 dựa Bổ đề Bổ đề 2.1 Cho C ⊂ E tập lồi Khi IntC tập lồi Nếu thêm điều kiện IntC = φ , C = IntC Chứng minh Định lý 2.2 Đặt a = in f {ϕ(x) + ψ(x)} , b = sup {−ϕ ∗ (− f ) − ψ ∗ ( f )} x∈E f ∈E ∗ Rõ ràng b ≤ a Nếu a = −∞ khẳng định Định lý 2.2 hiển nhiên Do giả sử a ∈ R Lấy C = epiϕ, suy IntC = φ (vì ϕ liên tục x0 ) Chúng ta áp dụng Định lý 1.2 (Hahn-Banach, dạng hình học thứ nhất) với A = IntC B = {[x, λ ] ∈ E × R; λ ≤ a − ψ(x)} Khi A B hai tập hợp lồi khác rỗng Hơn nữa, A ∩ B = φ ; thật vậy, [x, λ ] ∈ A λ > ϕ(x), mặt khác, ϕ(x) ≥ a − ψ(x) (theo định nghĩa a), suy [x, λ ] ∈ / B Do tồn siêu phẳng đóng H tách A 26 B Suy H tách A B Nhưng theo Bổ đề 2.1 A = C Do đó, tồn f ∈ E ∗, k ∈ R α ∈ R cho siêu phẳng H = [Φ = α] E × R tách C B, Φ([x, λ ]) = f , x + kλ ∀ [x, λ ] ∈ E × R Từ ta có f , x + kλ ≥ α ∀ [x, λ ] ∈ C, (2.6) f , x + kλ ≤ α ∀ [x, λ ] ∈ B (2.7) Chọn x0 = cho λ → +∞ (2.6), ta thấy k ≥ Chúng ta chứng minh k > (2.8) Giả sử ngược lại k = 0; suy f = ( Φ ≡ ) Theo (2.6) (2.7) ta có f,x ≥ α ∀x ∈ D(ϕ), f , x ≤ α ∀x ∈ D(ψ) Nhưng B(x0 , ε0 ) ⊂ D(ϕ) với ε0 > (đủ nhỏ), f , x0 + ε0 z ≥ α ∀z ∈ B(0, 1) Từ suy f , x0 ≥ α + ε0 f Mặt khác, ta có f , x0 ≤ α, x0 ∈ D(ψ); ta thu f = 0, mâu thuẫn suy (2.8) chứng minh Từ (2.6) (2.7) ta thu f α ϕ ∗ (− ) ≤ − k k f α ψ ∗ ( ) ≤ − a, k k suy f f −ϕ ∗ (− ) − ψ ∗ ( ) ≥ a k k 27 Mặt khác, từ định nghĩa b, ta có f f −ϕ ∗ (− ) − ψ ∗ ( ) ≤ b k k Vậy ta kết luận f f a = b = −ϕ ∗ (− ) − ψ ∗ ( ) k k 2.3 Một số ví dụ Ví dụ 2.3 Cho K tập hợp lồi khác rỗng Ta chứng minh với x0 ∈ E ta có dist(x0 , K) = in f x − x0 = x∈K max f ∈E ∗ , f ≤1 { f , x0 − IK∗ ( f )} (2.9) thật vậy, ta có in f x − x0 = in f {ϕ(x) + ψ(x)} , x∈K x∈E với ϕ(x) = x − x0 ψ(x) = IK (x) Áp dụng Định lý 2.2 ta thu (2.9) Trong trường hợp đặc biệt K = M không gian tuyến tính, ta thu hệ thức dist(x0 , M) = in f x − x0 = x∈M max f ∈M ⊥ , f ≤1 f , x0 Chú ý: Hệ thức (2.9) cung cấp cho vài thông tin hữu ích trường hợp in f x − x0 không đạt Lý thuyết mặt cực tiểu x∈K cho ta biết vấn đề lý thú toán sở (nghĩa in fx∈E {ϕ(x) + ψ(x)}) không cần có nghiệm, toán đối ngẫu (nghĩa max f ∈E ∗ {−ϕ ∗ (− f ) − ψ ∗ ( f )}) có nghiệm Ví dụ 2.4 Cho ϕ : E → R hàm lồi, liên tục M ⊂ E không gian tuyến tính Khi ta có in f ϕ(x) = − ϕ ∗ ( f ) x∈M f ∈M ⊥ 28 Thật vậy, áp dụng Định lý 2.2 với ψ = IM ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.5 Kiểm tra hàm ϕ = R → (−∞, +∞] định nghĩa lồi nửa liên tục Và xác định hàm liên hợp ϕ ∗ (a) ϕ(x) = ax + b, (b) ϕ(x) = ex (c) ϕ(x) = với a, b ∈ R |x| ≤ 1, +∞ |x| <   x = 0, ϕ(x) =  +∞ x =   −logx x > 0, ϕ(x) =  +∞ x ≤   − − x2 1/2 |x| ≤ 1, ϕ(x) =  +∞ |x| >   |x|2 |x| ≤ 1, ϕ(x) =  |x| − |x| > (d) (e) (f) (g) P ϕ(x) = p |x| , với < ϕ(x) = x+ = max {x, 0} (h) (i) ϕ(x) = (j)   p px x ≥ 0, với < p < +∞,  +∞ x <   − x p x ≥ 0, với < p < 1, p ϕ(x) =  +∞ x < (k) ϕ(x) = (l) p (|x| − 1)+ p , Bài làm: (a) p < ∞ ϕ(x) = ax + b, với a, b ∈ R 29 với < p < ∞ Để chứng minh ϕ(x) hàm lồi ta cần chứng minh ϕ (x) ≥ Ta có ϕ (x) = a, ∀x ∈ R ϕ (x) = 0, ∀x ∈ R Suy ra, ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = {(x, y) : x ∈ R, y ≥ ax + b} Dễ thấy epiϕ tập hợp đóng Do theo tính chất hàm nửa liên tục ϕ(x) nửa liên tục Tìm ϕ ∗ ( f ): theo định nghĩa ta có ϕ ∗ ( f ) = sup { f x − ϕ(x)} x∈R = sup { f x − (ax + b)} x∈R = sup {( f − a)x − b} x∈R = (b) −b f = a, +∞ f = a ϕ(x) = ex Chứng minh ϕ(x) hàm lồi Ta có ϕ (x) = ex ∀x ∈ R ϕ (x) = ex > ∀x ∈ R Suy ra, ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = {(x, y) : x ∈ R, y ≥ ex } Dễ thấy epiϕ tập hợp đóng Do ϕ(x) nửa liên tục Tìm ϕ ∗ ( f ): theo định nghĩa ta có ϕ ∗ ( f ) = sup { f x − ex } x∈R · Nếu f < ϕ ∗ ( f ) = sup { f x − ex } = +∞ · Nếu f = x∈R ∗ ϕ ( f ) = sup { f x − ex } = x∈R · Nếu f < ta xét hàm g(x) = f x − ex Ta có g (x) = f − ex , g (x) = ⇔ f = ex ⇒ x = ln f g ( f ) = − f < Suy x = ln f điểm cực đại Vậy ϕ ∗ ( f ) = sup { f x − ex } = f ln f − f x∈R 30 Tóm lại,    +∞   ϕ ∗( f ) =     f ln f − f (c) ϕ(x) = f < 0, f = 0, f > |x| ≤ 1, +∞ |x| < Ta có, ϕ(x) hàm lồi Thật vậy, ta chứng minh ϕ thỏa mãn bất đẳng thức sau: ϕ λ x1 + (1 − λ )x2 ≤ λ ϕ(x1 ) + (1 − λ )ϕ(x2 ) (∀x1 , x2 ∈ R, < λ < 1) Không tổng quát giả sử x1 > x2 , ta có · Nếu x1 > x2 < −1 V P = +∞ ⇒ V T ≤ V P · Nếu −1 < x2 < x1 < ta có V T = = V P Vậy bất đẳng thức hay ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, y ≥ 0} = [−1, 1] × [0, +∞) Ta thấy [−1, 1] tập hợp đóng, [0, +∞) tập hợp đóng tích đề hai tập hợp đóng tập hợp đóng nên epiϕ tập hợp đóng Suy ϕ(x) nửa liên tục  fx |x| ≤ 1, x∈R  f x − ∞ |x| > Ta có ϕ ∗ ( f ) = sup { f x − ex } = sup x∈R  fx |x| ≤ 1, x∈R  f x − ∞ |x| >  fx |x| ≤ 1, x∈R  f x − ∞ |x| > · Nếu f > sup · Nếu f < sup Vậy (d) ϕ ∗( f ) = | f |   x = 0, ϕ(x) =  +∞ x = Chứng minh ϕ(x) hàm lồi 31 = max { f , −∞} = f = max {− f , −∞} = − f Ta chứng minh ϕ λ x1 + (1 − λ )x2 ≤ λ ϕ(x1 ) + (1 − λ )ϕ(x2 ) (∀x1 , x2 ∈ R, < λ < 1) Thật · Nếu x1 = x2 = ta có V T = = V P · Nếu x1 = 0, x2 = ta có V P = +∞ ≥ V T Vậy bất đẳng thức hay ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = {(x, y) : x = 0, y ≥ 0} Dễ thấy epiϕ tập hợp đóng hay ϕ(x) nửa liên tục Tìm ϕ ∗ ( f ) Ta có  fx x = x∈R  f x − ∞ x = ϕ ∗ ( f ) = sup { f x − ex } = sup x∈R Vậy (e) = max {0, −∞} = ∀f ϕ ∗ ( f ) =   −logx x > 0, ϕ(x) =  +∞ x ≤ Chứng minh ϕ(x) hàm lồi ta cần chứng minh ϕ(x) = −lnx với x > hàm lồi Ta có ϕ (x) = − 1x , ϕ (x) = x2 > Suy ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ −lnx} Hiển nhiên, epiϕ tập hợp đóng hay ϕ(x) nửa liên tục Tìm hàm liên hợp   f x + lnx ∗ Ta có ϕ ( f ) = sup x∈R  f x − ∞   f x + lnx · Nếu f > sup x∈R  f x − ∞ x > 0, x ≤ x > 0, = max {+∞, −∞} = +∞ x ≤ · Nếu f ≤ ta xét g(x) = f x + lnx Ta có g (x) = f + 1x , g (x) = ⇔ f = − 1x ⇒ x = − 1f g ( f ) = − f12 < suy x = − 1f điểm cực đại 32 Vậy sup   f x + lnx x∈R  f x − ∞ x > 0, x ≤ = −1 + ln(− 1f ) = −1 − ln | f | Tóm lại,  +∞ f > 0, ∗ ϕ (f) = −1 − ln | f | f ≤   − − x2 1/2 |x| ≤ 1, (f) ϕ(x) =  +∞ |x| > ϕ(x) hàm lồi Thật · Với |x| > ϕ(x) = +∞ hàm lồi · Với |x| ≤ ta xét ϕ(x) = −(1 − x2 )1/2 có ϕ (x) = x(1 − x2 )−1/2 , ϕ (x) = (1 − x2 )3/2 Ta có ϕ (x) > suy ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = (x, y) : |x| < 1, y ≥ − − x2 1/2 Dễ thấy epiϕ tập hợp đóng Do ϕ(x) nửa liên tục Tìm hàm liên hợp Ta có  f x + (1 − x2 )1/2 |x| ≤ 1, ∗ ϕ ( f ) = sup x∈R  f x − ∞ |x| > ∗ · Với f > ta có ϕ ( f ) = +∞ · Với f ≤ xét g(x) = f x + (1 − x2 )1/2 ta có g (x) = f − x − x2 −1/2 , g (x) = − − x2 −3/2 g (x) = ⇒ x = f (1 + f )−1/2 , g ( f ) < suy x = f (1 + f )−1/2 điểm cực đại Suy  ra,  f x + (1 − x2 )1/2 |x| ≤ 1, sup x∈R  f x − ∞ |x| >   f (1 + f )−1/2 + (1 + f )−1/2 = sup x∈R −∞ Tóm lại, 33 |x| ≤ 1, |x| > = (1 + f )1/2  +∞ ∗ ϕ (f) = (1 + f )1/2 (g) ϕ(x) =   f > 0, f ≤ |x|2  |x| −    x  2 |x| ≤ 1, = x − 12  |x| >   −x − |x| ≤ 1, x > 1, x < −1    x |x| ≤ 1,   Ta có ϕ (x) = x > 1,    −1 x < −1    |x| ≤ 1,   ϕ ” (x) = x > 1,    0 x < −1 Suy ra, ϕ (x) ≥ Do đó, ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = (x, y) : x ≤ −1, y ≥ −x − 21 ∪ (x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, y ≥ 12 x2 ∪ (x, y) : x ≥ 1, Dễ thấy epiϕ tậphợp đóng Do đó, ϕ(x) nửa liên tục   |x| ≤ 1, f x − 12 x2   Ta có ϕ ∗ ( f ) = sup ( f − 1)x + 21 x > 1, x∈R    ( f + 1)x + x < −1 ·Với f > ϕ ∗( f ) = +∞ ·Với f < −1 ϕ ∗ ( f ) = +∞ Suy ra, với | f | > ϕ ∗ ( f ) = +∞ · Với −1 < f < ta xét g(x) = f x − 21 x2 Ta có g (x) = f − x, g (x) = ⇔ x = f g” (x) = −1 ⇒ g” ( f ) = −1 < Suy x = f điểm cực đại Vậy ϕ ∗ ( f ) = 12 x2 34  +∞ ∗ Tóm lại, ϕ ( f ) = 1 f2 | f | > 1, | f | ≤ (h) ϕ(x) = 1p |x|P , với < p < ∞   xp x ≥ 0, Ta có ϕ(x) = p  (−x) p x < p  x(p−1) x ≥ 0, Suy ra, ϕ (x) = (−x)(p−1) x <  (p − 1)x(p−2) x ≥ 0, ” ϕ (x) = −(p − 1)(−x)(p−2) x < o Hiển nhiên, ϕ (x) ≥ đó, ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = (x, y) : x ∈ R, y ≥ 1p x p Dễ thấy, epiϕ tậphợp đóng Suy ϕ(x) nửa liên tục  f x − xp x ≥ 0, p ∗ Ta có ϕ ( f ) = sup x∈R  f x − (−x) p x < p · Với f ≥ ta xét g(x) = f x − 1p x p Ta có g (x) = f − x(p−1) , g (x) = ⇒ x = f g” (x) = −(p − 1)x(p−2) ≤ Suy ra, x = f p−1 Vậy ϕ ∗ ( f ) = f p−1 ∀x ≥ điểm cực đại p p−1 − 1p f p p−1 = − 1p f p p−1 = q1 f q với p + q1 = · Với f < ta xét h(x) = f x − 1p (−x) p Ta có g (x) = f + x(p−1) , g (x) = ⇒ x = − f g” (x) = (p − 1)x(p−2) ≤ Suy ra, x = − f p−1 p−1 ∀x < điểm cực đại Vậy ϕ ∗( f ) = − f p p−1 − 1p f p p−1 Tóm lại, ϕ ∗ ( f ) = 1q | f | q = − − 1p f với p p p−1 + 1q = 35 = − q1 f q với p + 1q =  x + (i) ϕ(x) = x = max {x, 0} = 0  1 x ≥ 0, Ta có ϕ (x) = 0 x ≤  0 x ≥ 0, ” ϕ (x) = 0 x ≤ Suy ra, ϕ ” (x) = 0, x ≥ 0, x ≤ ∀x ∈ R Do theo định nghĩa ta có ϕ(x) hàm lồi Ta có epiϕ = {(x, y) : x ≤ 0, y ≥ 0}∪{(x, y) : x ≥ 0, y ≥ x} Hiển nhiên, epiϕ tập hợp đóng Do theo tính chất hàm nửa liên tục ϕ(x) nửa liên tục Xác định ϕ ∗ ( f )  ( f − 1)x x ≥ 0, ∗ Ta có ϕ ( f ) = sup x∈R  f x x ≤  ( f − 1)x x ≥ 0, · Nếu f = sup = x∈R  f x x ≤  ( f − 1)x x ≥ 0, = +∞ · Nếu f > sup  x∈R fx x ≤  ( f − 1)x x ≥ 0, · Nếu ≤ f < sup = x∈R  f x x ≤  0 ≤ f ≤ 1, ∗ Tóm lại, ϕ ( f ) = +∞ trái lại   x p x ≥ 0, với < p < +∞, p (j) ϕ(x) =  +∞ x < Làm tương tự phần (h) ta có ϕ(x) hàm lồi nửa liên tục ta có hàm liên hợp 36 ϕ ∗( f ) =  1 fq q f ≥ 0, p + 1q = 0 f <   − x p x ≥ 0, với < p < 1, p (k) ϕ(x) =  +∞ x < Tương tự  ta có ϕ(x) hàm lồi, nửa liên tục hàm liên hợp +∞ f ≥ 0, ∗ ϕ (f) = − | f |q f < + = q p q (l) ϕ(x) = + p , p (|x| − 1)   (x − 1) p  p Ta có ϕ(x) = 1p (−x − 1) p    0 với < p < ∞ x ≥ 1, x ≤ −1, |x| ≤ Dễ dàng chứng minh ϕ(x) hàm lồi nửa liên tục Ta tìm hàm liên hợp ϕ(x)    f x − 1p (x − 1) p   Ta có ϕ ∗ ( f ) = f x − (−x − 1) p    fx x > 1, x < −1, |x| ≤ · Với f > ta xét g(x) = f x − 1p (x − 1) p Ta có g (x) = f − (x − 1) p−1 , g (x) = ⇒ x = + f p−1 g (x) = −(p − 1)(x − 1) p−2 ⇒ g ( f ) < Do x = + f p−1 điểm cực đại Suy ra, ϕ ∗ ( f ) = f + − 1p f p p−1 · Với f < ta xét h(x) = f x − (−x − 1) p Ta có g (x) = f + (−x − 1) p−1 , g (x) = ⇒ x = −1 − f p−1 g (x) = −(p − 1)(−x − 1) p−2 ⇒ g ( f ) < Do x = −1 − f p−1 điểm cực đại Suy ra, ϕ ∗ ( f ) = − f − − 1p f p p−1 Tóm lại, ta có hàm liên hợp ϕ(x) ϕ ∗ ( f ) = | f | + 1q | f |q , với 37 p + 1q = KẾT LUẬN Trong khóa luận này, em tập trung trình bày số kết hàm lồi liên hợp Nội dung đề cập luận văn trình bày cách chặt chẽ mặt Toán học, định nghĩa kết luận nêu có kèm theo ví dụ minh họa Khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức để sử dụng cho chương sau như: không gian Banach, ánh xạ tuyến tính, Định lý Hahn-Banach, song đối ngẫu tính trực giao Chương 2: Giới thiệu hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, hàm liên hợp số kết quan trộng hàm lồi liên hợp Đóng góp em trình bày vấn đề nghiên cứu cách hệ thống chi tiết hóa số chứng minh, hệ tài liệu [3] Em xin chân thành cảm ơn! 38 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU-PGS.TS PHAN HUY KHẢI, Giải tích lồi, NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật Hà Nội, 2000 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations 39 [...]... tính chất cơ bản của hàm lồi: 1 Nếu ϕ là một hàm lồi, thì epiϕ là một tập hợp lồi trong E × R; và 21 ngược lại 2 Nếu ϕ là một hàm lồi, thì với mọi λ ∈ R tập [ϕ ≤ λ ] là tập lồi; tuy nhiên điều ngược lại không đúng 3 Nếu ϕ1 và ϕ2 là hàm lồi thì ϕ1 + ϕ2 là hàm lồi 4 Nếu (ϕi )i∈I là một họ các hàm lồi, thì bao sup, supϕ(i), là tập lồi i Định nghĩa 2.3 Cho ϕ : E → (−∞, +∞] là một hàm sao cho ϕ ≡ +∞ (nghĩa... ϕ ≡ +∞ (nghĩa là D(ϕ) = φ ) Chúng ta định nghĩa hàm liên hợp ϕ ∗ : E → (−∞, +∞] là ϕ ∗ ( f ) = sup { f , x − ϕ(x)} ( f ∈ E ∗ ) x∈E Chú ý rằng ϕ ∗ lồi và nửa liên tục dưới trên E ∗ Thật vậy, với mỗi x ∈ E cố định hàm f → f , x − ϕ(x) lồi và liên tục (và do đó nửa liên tục dưới) trên E ∗ Suy ra bao sup của các hàm này (khi x chạy khắp E) là lồi và nửa liên tục dưới Chú ý: Rõ ràng ta có bất đẳng thức... ta lại nhận được Hệ quả 1.4 Ví dụ 2.2 Cho một tập hợp khác rỗng K ⊂ E, ta đặt IK (x) = 0 nếux ∈ K, +∞ nếux ∈ / K Hàm IK được gọi là hàm chỉ của K (và không nên nhầm lẫn với hàm đặc trưng, χK , của K, bằng 1 trên K, và bằng 0 ngoài K) Chú ý rằng IK là một hàm lồi nếu K là tập lồi và IK là nửa liên tục dưới nếu K đóng Hàm liên hợp (IK )∗ được gọi là hàm tựa của K Dễ dàng thấy rằng nếu K = M là không... phản xa, thì điều đó là đúng và ta có (N ⊥ )⊥ = N Trường hợp tổng quát ta có thể chỉ ra rằng(N ⊥ )⊥ trùng với bao đóng của N trong tô pô yếu ∗ σ (E ∗ , E) 19 Chương 2 Hàm lồi liên hợp 2.1 Khái niệm cơ bản Chúng ta bắt đầu với một số vấn đề cơ bản về các hàm nửa liên tục dưới và các hàm lồi Trong phần này chúng ta xét các hàm ϕ xác định trên một tập hợp E với các giá trị trong (−∞, +∞], nên ϕ có thể lấy... 0 ∀f ϕ ∗ ( f ) = 0   −logx nếu x > 0, ϕ(x) =  +∞ nếu x ≤ 0 Chứng minh ϕ(x) là hàm lồi ta chỉ cần chứng minh ϕ(x) = −lnx với x > 0 là hàm lồi Ta có ϕ (x) = − 1x , ϕ (x) = 1 x2 > 0 Suy ra ϕ(x) là hàm lồi Ta có epiϕ = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ −lnx} Hiển nhiên, epiϕ là tập hợp đóng hay ϕ(x) là nửa liên tục dưới Tìm hàm liên hợp   f x + lnx ∗ Ta có ϕ ( f ) = sup x∈R  f x − ∞   f x + lnx · Nếu f > 0... gọi là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X và gọi là không gian liên hợp đại số của X, ký hiệu là X Không gian liên hợp đại số của X gọi là không gian liên hợp đại số thứ hai của X, ký hiệu là X Hiển nhiên X và X là các không gian tuyến tính trên K 7 Định nghĩa 1.8 Ta ký hiệu E ∗ là không gian đối ngẫu của E, nghĩa là không gian của tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E; chuẩn (đối... p 1 p a + b , p p ∀a, b ≤ 0 (2.2) + p1 = 1 Bất đẳng thức (2.2) là một trường hợp đặc biệt của (2.1) với E = E ∗ = R và ϕ(t) = 1p |t| p , ϕ ∗ (s) = 1 p |s| p 2.2 Một số kết quả về hàm lồi liên hợp Mệnh đề 2.1 Giả sử ϕ : E → (−∞, +∞] lồi, nửa liên tục dưới và ϕ ≡ +∞ Khi đó, ϕ ∗ ≡ +∞, và đặc biệt, ϕ bị chặn dưới bởi một hàm liên tục a f in 22 Chứng minh Lấy x0 ∈ D(ϕ) và λ0 ∈ ϕ(x0 ) Chúng ta áp dụng Định... biệt, nếu ϕ là nửa liên tục dưới, thì với mọi dãy (xn ) trong E sao cho xn → x, ta có lim in f ϕ(xn ) ≤ ϕ(x) n→∞ và ngược lại nếu E là một không gian metric 3 Nếu ϕ1 và ϕ2 là nửa liên tục dưới, thì ϕ1 + ϕ2 là nửa liên tục dưới 4 Nếu (ϕi )i∈I là một họ các hàm nửa liên tục dưới, thì bao sup của chúng cũng là nửa liên tục dưới, nghĩa là hàm ϕ xác định bởi ϕ(x) = supϕi (x) i∈I là nửa liên tục dưới 5 Nếu... của các hàm liên hợp Định lý 2.2 (Fenchel-Rockafellar) Cho ϕ, ψ : E → (−∞, +∞] là hai hàm lồi Giả sử ∃x0 ∈ D(ϕ) ∩ D(ψ) sao cho ϕ liên tục tại x0 Khi đó in f {ϕ(x) + ψ(x)} = sup {−ϕ ∗ (− f ) − ψ ∗ ( f )} f ∈E ∗ x∈E = max∗ {−ϕ ∗ (− f ) − ψ ∗ ( f )} f ∈E = − min∗ {ϕ ∗ (− f ) + ψ ∗ ( f )} f ∈E Chứng minh Định lý 2.2 được dựa trên Bổ đề dưới đây Bổ đề 2.1 Cho C ⊂ E là tập lồi Khi đó IntC là tập lồi Nếu... làm: (a) p < ∞ ϕ(x) = ax + b, với a, b ∈ R 29 với 1 < p < ∞ Để chứng minh ϕ(x) là hàm lồi ta chỉ cần chứng minh ϕ (x) ≥ 0 Ta có ϕ (x) = a, ∀x ∈ R ϕ (x) = 0, ∀x ∈ R Suy ra, ϕ(x) là hàm lồi Ta có epiϕ = {(x, y) : x ∈ R, y ≥ ax + b} Dễ thấy epiϕ là tập hợp đóng Do đó theo tính chất của hàm nửa liên tục dưới thì ϕ(x) là nửa liên tục dưới Tìm ϕ ∗ ( f ): theo định nghĩa ta có ϕ ∗ ( f ) = sup { f x − ϕ(x)} ... Hahn-Banach, song đối ngẫu tính trực giao Chương 2: Hàm lồi liên hợp Chương giới thiệu hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, hàm liên hợp số kết quan trọng hàm lồi liên hợp Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời... chất hàm lồi: Nếu ϕ hàm lồi, epiϕ tập hợp lồi E × R; 21 ngược lại Nếu ϕ hàm lồi, với λ ∈ R tập [ϕ ≤ λ ] tập lồi; nhiên điều ngược lại không Nếu ϕ1 ϕ2 hàm lồi ϕ1 + ϕ2 hàm lồi Nếu (ϕi )i∈I họ hàm lồi, ... hiểu sâu hàm lồi liên hợp kết thực cần thiết hữu ích, giúp hiểu sâu nhiều vấn đề giải tích lồi Với mong muốn tìm hiểu sâu hàm lồi liên hợp kết nó, em mạnh dạn chọn đề tài : "hàm lồi liên hợp" Nghiên