Các đặc trưng bậc hai của hàm lồi và hàm giả lồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————– KHỔNG THỊ TƯƠI CÁC ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM GIẢ LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội, tháng 05 Năm 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————– KHỔNG THỊ TƯƠI CÁC ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM GIẢ LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn: T.S NGUYỄN VĂN TUYÊN Hà Nội, tháng 05 năm 2019 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy giáo khoa Tốn giúp đỡ em trình học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Tuyên, người thầy truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thiện khóa luận Trong q trình nghiên cứu, khơng tránh khỏi sai sót hạn chế Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, giáo tồn thể bạn đọc để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Khổng Thị Tươi LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác Trong làm khóa luận này, em kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Khổng Thị Tươi Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi Các đặc trưng bậc hai hàm lồi hàm giả lồi 13 2.1 Các đặc trưng bậc hai hàm lồi 14 2.2 Các đặc trưng hàm giả lồi 18 Tài liệu tham khảo 25 Mở đầu Hàm lồi lớp hàm quan trọng lý thuyết tối ưu ứng dụng Như biết rằng, trường hợp hàm lồi khả vi ta đưa đặc trưng hình học cần đủ cho tính lồi Đối với hàm khả vi liên tục đến cấp hai tính lồi đặc trưng thơng qua tính nửa xác định dương ma trận Hess hàm số Với hàm không khả vi, biết tính lồi hàm số đặc trưng thơng qua tính đơn điệu cực đại tốn tử vi phân hàm số Một cách tiếp cận khác trường hợp không trơn để đặc trưng tính lồi sử dụng đạo hàm suy rộng theo hướng theo nghĩa Dini Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày số đặc trưng tính lồi qua đạo hàm bậc bậc hai theo hướng Dini hàm nửa liên tục theo tia Một số đặc trưng tính giả lồi qua đạo hàm chúng tơi khảo sát khóa luận Các kết khóa luận dựa báo Ginchev Ivanov [4] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi hàm lồi Chương trình bày đặc trưng bậc hai hàm lồi hàm giả lồi Mục 2.1 trình bày đặc trưng bậc hai hàm lồi Mục 2.2 trình bày đặc trưng bậc hai hàm giả lồi Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi Khái niệm tập lồi khái niệm quan trọng lý thuyết tối ưu Tập lồi tập mà lấy hai điểm tập đoạn thẳng nối hai điểm nằm tập Định nghĩa 1.1 Một tập X ⊂ Rn gọi lồi với x1 ∈ X x2 ∈ X chứa điểm αx1 + (1 − α)x2 , < α < Tính lồi bảo tồn qua phép toán giao Bổ đề 1.1 Cho I tập số tùy ý Nếu tập Xi ∈ Rn , i ∈ I, tập lồi, tập X = Xi tập lồi i∈I Xi = ∅, X lồi Giả sử, X = Chứng minh Rõ ràng rằng, X = i∈I Xi = ∅ Khi đó, ∀x, y ∈ i∈I Xi , ∀t ∈ (0; 1), ta suy x, y ∈ Xi , ∀i ∈ I Vì i∈I vậy, (1 − t)x + ty ∈ Xi , ∀i ∈ I (1 − t)x + ty ∈ Xi , ∀i ∈ I Vây X tập i∈I lồi Tính lồi bảo tồn qua số phép tốn sau Phép nhân tập X ⊂ Rn với vô hướng c định nghĩa bởi: cX := {y ∈ Rn : y = cx, x ∈ X} Tổng Minkowski hai tập định nghĩa sau: X + Y := {z ∈ Rn : z = x + y, x ∈ X, y ∈ Y } Các phép toán bảo tồn tính lồi Bổ đề 1.2 Cho X Y tập lồi Rn cho c d số thực Khi tập Z = cX + dY lồi Chứng minh Nếu z ∈ Z z = cx1 + dy với x1 ∈ X y ∈ Y Tương tự, z ∈ Z có dạng z = cx2 + dy với x2 ∈ X y ∈ Y Khi đó, với α ∈ [0, 1], αz + (1 − α)z = c(αx1 + (1 − α)x2 ) + d(αy + (1 − α)y ) ∈ Z, thỏa mãn yêu cầu Định nghĩa 1.2 Một điểm x gọi tổ hợp lồi điểm x1 , , xm tồn α1 ≥ 0, , αm ≥ cho x = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm α1 + α2 + · · · + αm = Định nghĩa 1.3 Bao lồi tập X kí hiệu conv X giao tất tập lồi chứa X Mối quan hệ hai khái niệm nội dung bổ đề Bổ đề 1.3 Tập conv X tập hợp tất tổ hợp lồi điểm thuộc X Chứng minh Xét tập Y tất tổ hợp lồi phần tử thuộc X Nếu y ∈ Y y ∈ Y , y =α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm , y =β1 z + β2 z + · · · + βl z l , x1 , , xm , z , , z l ∈ X, thành phần α β không âm, m l αi = 1, βi = i=1 i=1 Vì vậy, với λ ∈ (0; 1), điểm m l i λy + (1 − λ)y = (1 − λ)βi z i λαi x + i=1 i=1 tổ hợp lồi điểm x1 , , , xm , z , , z l Vậy tập Y lồi Hiển nhiên, Y ⊃ X Vì conv X ⊂ Y Mặt khác, y ∈ Y , y tổ hợp lồi tất điểm thuộc X, phải Lấy y = x + d với > Nếu đủ bé, y xθ gần với x Do tính liên tục ∇2 f , nên d, ∇2 f (xθ )d < 0, với đủ bé Tuy nhiên số hạng bậc hai (1.8) âm ta nhận mâu thuẫn với (1.4) 12 Chương Các đặc trưng bậc hai hàm lồi hàm giả lồi Trong chương chúng tơi trình bày số đặc trưng tính lồi giả lồi qua đạo hàm bậc bậc hai theo hướng Dini hàm nửa liên tục theo tia Cho E khơng gian tuyến tính thực X ⊂ E tập lồi Nhắc lại rằng, hàm số f : X → R gọi nửa liên tục theo tia hàm ϕ(t) = f (x+t(y −x)), t ∈ [0, 1] nửa liên tục với x, y ∈ X Gọi f : E → R mở rộng f cho f (x) = +∞ với x ∈ E \ X Trên đạo hàm theo hướng Dini f x ∈ X = conv f theo hướng u ∈ E định nghĩa phần tử R bởi: f+ (x; u) := lim sup t−1 (f (x + tu) − f (x)) t↓0 Trên đạo hàm bậc hai theo hướng Dini f x ∈ X theo hướng u ∈ E 13 mà f+ (x; u) hữu hạn, xác định bởi: f+ (x; u) := lim sup 2t−2 (f (x + tu) − t.f+ (x; u)) t↓0 Trong trường hợp f+ (x; u) vơ hạn f+ (x; u) khơng xét 2.1 Các đặc trưng bậc hai hàm lồi Cho tập lồi X ⊂ E Hàm số f : X → R gọi hàm lồi mạnh tồn số κ > cho với x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1], ta có: f (λ.y + (1 − λ)x) ≤ λ.f (y) + (1 − λ)f (x) − κλ(1 − λ)||y − x||2 Ta xét điều kiện sau đây: (C1 ) : f+ (x; u) + f+ (x; −u) ≤ vế trái biểu thức có nghĩa; (C2 ) : f+ (x; u) + f+ (x; −u) = kéo theo f+ (x, u) ≤ 0; (C3 ) : f+ (x; u) + f+ (x; −u) = kéo theo f+ (x; u) ≤ 2κ||u||2 ; (C4 ) : f+ (x; u) + f+ (x; −u) = kéo theo f+ (x; u) > Định lí sau đưa đặc trưng khác hàm lồi Định lý 2.1 Cho hàm số f : X → R nửa liên tục theo tia tập lồi X ⊂ E Khi đó: (i) f lồi X điều kiện (C1 ) (C2 ) với x ∈ X u ∈ E (ii) f lồi mạnh X với số κ > điều kiện (C1 ) điều kiện (C3 ) với x ∈ X u ∈ E 14 (iii) Nếu điều kiện (C1 ) (C4 ) với x ∈ X u ∈ E \ {0}, f lồi chặt X Chứng minh (i) Giả sử f hàm lồi Khi hàm mở rộng f hàm lồi Vì vậy, với x ∈ X, ta có: f (x + tu) + (x − tu) ≥ 2f (x) Từ đó, biểu thức f+ (x; u) + f+ (x; −u) có nghĩa, ta có: ≤ lim sup t−1 (f (x + tu)) − f (x) ≤ f+ (x; u) + f+ (x; −u), t↓a điều kéo theo (C1 ) Bây kiểm tra điều kiện (C2 ) Nếu f+ (x; u) hữu hạn, với t > đủ nhỏ, x + tu ∈ X f+ (x; u) trùng với đạo hàm theo hướng f (x; u) Từ bất đẳng thức: f (x + tu) − f (x) − t.f (x; u) ≥ ta có f (x; u) ≤ Nếu f+ (x; u) vơ hạn, f+ (x; u) + f+ (x; −u) Ngược lại, giả sử điều kiện (C1 ) (C2 ) với x ∈ X u ∈ E Lấy x, y ∈ X ε > Định nghĩa hàm số: ψ : [0, 1] → R ψ(t) = f (x + t(y − x)) − εt(1 − t) − f (x)(1 − t) − f (y)t, ≤ t ≤ Rõ ràng hàm ϕ hữu hạn ϕ(0) = ϕ(1) = Do hàm số ϕ hàm nửa liên tục trên, nên theo định lí Weierstrass đạt giá trị lớn 15 đoạn [0, 1] điểm ξ Chúng ta ξ ∈ {0, 1} Thật vậy, giả sử ngược lại < ξ < Bằng tính tốn sử dụng tính chất cực trị ξ ta có bất đẳng thức sau: ψ+ (ξ; 1) = f+ (x + ξ(y − x); y − x) − ε(1 − 2ξ) + f (x) − f (y) ≤ 0, ψ+ (ξ; −1) = f+ (x + ξ(y − x); x − y) − ε(1 − 2ξ) − f (x) + f (y) ≤ Những bất đẳng thức cho thấy f+ (x + ξ(y − x); y − x) f+ (x + ξ(y − x); x − y) lấy giá trị vơ hạn, giá trị −∞, đó, f+ (x + ξ(y − x); y − x) + f+ (x + ξ(y − x); x − y) có nghĩa kết hợp với điều kiện (C1 ), có: ψ+ (ξ; 1) + ψ+ (ξ; −1) = f+ (x + ξ(y − x); y − x) + f+ (x + ξ(y − x); x − y) ≤ Bất đẳng thức thu với bất đẳng thức ψ+ (ξ; 1) ≤ ψ+ (ξ; −1) ≤ kéo theo ψ+ (ξ; 1) = ψ+ (ξ; −1) = Do đó, f+ (x + ξ(y − x)y − x) + f+ (x + ξ(y − x); x − y) = Từ ψ+ (ξ; 1) = điểm ξ điểm cực đại ψ, nên ta có: ψ”+ (ξ; 1) = lim sup 2t−2 (ψ(ξ + t) − ψ(ξ)) ≤ t→0 Mặt khác, từ điều kiện (C2 ) ta suy ra: ψ+ (ξ; 1) = f+ (x + ξ(y − x); y − x) + 2ε > 0, mâu thuẫn 16 Do đó, ψ không đạt giá trị lớn khoảng (0, 1), điều có nghĩa là: ψ(t) ≤ max{ψ(0), ψ(1)} = với t ∈ (0, 1) Bất đẳng thức viết dạng f ((1 − t)x + ty) ≤ εt(1 − t)f (x) + tf (y) chuyển qua giới hạn ε → ta suy f hàm lồi (ii) Để điều chỉnh chứng minh cho trường hợp hàm lồi mạnh, áp dụng chứng minh cách thay hàm ψ hàm: ψ1 (t) = f (x + t(y − x)) − (ε − κ||y − x||2 )t(1 − t) − f (x)(1 − t) − f (y)t (iii) Chúng ta áp dụng lập luận tương tự phần (i) cho hàm số: ψ2 (t) = f (x + t(y − x)) − f (x)(1 − t) − f (y)t Định lý chứng minh Ví dụ sau cho thấy điều kiện (C1 ) bỏ điều kiện (C2 ) rút ngắn thành f+ (x; u) ≤ với x ∈ X u ∈ E Ví dụ 2.1 Hàm số f (x) = −|x| ,ở | · | giá trị tuyệt đối thơng thường số thực, thỏa mãn bất đẳng thức f+ (x; u) = 0, với x, u ∈ R Nó hàm liên tục khơng lồi Rõ ràng: f+ (0, 1) + f+ (0, −1) = −2 Ví dụ sau cho thấy giả thiết f hàm nửa liên tục theo 17 tia bỏ Định lí 2.1 Ví dụ 2.2 Hàm số f : R → R f (x) =   x2 x hữu tỉ  0 trái lại thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ), f hàm không lồi Hàm số hàm nửa liên tục theo tia 2.2 Các đặc trưng hàm giả lồi Trong phần trình bày đặc trưng tính giả lồi Nhắc lại hàm số f xác định tập lồi X ⊂ E gọi giả lồi (chặt) Dini trên X bất đẳng thức sau thỏa mãn: x, y ∈ X, f (y) < f (x) kéo theo f+ (x; y − x) < (x, y ∈ X, f (y) ≤ f (x), x = y kéo theo f+ (x; y − x) < 0.) Để cho ngắn gọn bỏ từ “Dini trên” nói đơn giản “hàm giả lồi” “hàm giả lồi chặt” Điểm x ∈ X gọi điểm dừng hàm số f : X → R tương ứng với đạo hàm theo hướng Dini f+ (x; u) ≤ 0, ∀u ∈ E Hàm số f gọi hàm tựa lồi X nếu: f ((1 − t)x + ty) ≤ max f (x), f (y), ∀t ∈ [0, 1] Mệnh đề sau giới thiệu Komlosi [5] đặc trưng tiếng 18 hàm giả lồi Mệnh đề 2.1 Cho f hàm tựa lồi nửa liên tục theo tia xác định tập lồi mở X ⊂ Rn Nếu f đạt giá trị nhỏ tồn cục điểm dừng x f , f hàm giả lồi X Để đặc trưng tính giả lồi, xét điều kiện đây: (C5 ) : f+ (x; u) = kéo theo ∃δ > : ∀t ∈ (0, δ), f (x) ≤ f (x + tu); (C6 ) : f+ (x; u) = kéo theo ∃δ > : ∀t ∈ (0, δ), f (x) < f (x + tu); (C7 ) : f+ (x; u) = kéo theo f+ (x; u) ≤ 0; (C8 ) : f+ (x; u) = f+ (x; u) = kéo theo ∃δ > : ∀t ∈ (0, δ), f (x) ≤ f (x + tu); (C9 ) : f+ (x; u) = kéo theo f+ (x; u) ≤ Định lý 2.2 Cho f hàm nửa liên tục theo tia xác định tập lồi X ⊂ E (Các điều kiện bậc nhất) (i1 ) Nếu f hàm giả lồi, (C5 ) thỏa mãn với x ∈ X u ∈ E Ngược lại, điều kiện (C1 ) (C5 ) thỏa mãn với x ∈ X u ∈ E, f hàm giả lồi (ii1 ) Nếu điều kiện (C1 ) điều kiện (C6 ) thỏa mãn ∀ ∈ X u ∈ E \ {0}, f hàm giả lồi hoàn toàn (Các điều kiện bậc hai) (i2 ) Nếu f hàm giả lồi, điều kiện (C7 ) (C8 ) thỏa mãn với x ∈ X u ∈ E Ngược lại, điều kiện (C1 ), (C7 ) (C8 ) thỏa mãn với x ∈ X u ∈ E, f hàm giả lồi (ii2 ) Nếu điều kiện (C1 ) (C9 ) thỏa mãn với x ∈ X u ∈ E \ {0}, f giả lồi chặt 19 Chứng minh Chúng ta chứng minh điều kiện bậc hai, điều kiện thứ thu cách đơn giản từ điều kiện (i2 ) Giả sử f hàm giả lồi X Cố định x ∈ X u ∈ E cho f+ (x; u) = Khi f (x) ≤ f (x + tu) với t ≤ Thật vậy, giả sử ngược lại tồn t > cho f (x + tu) < f (x) Theo định nghĩa hàm f , x + tu ∈ X Do đó, tính dương f+ (x; ) mâu thuẫn với f+ (x; u) = Do đó, điều kiện (C8 ) thỏa mãn Bây giờ, điều kiện (C7 ) nhận từ f+ (x; u) = lim sup 2t−2 (f (x + tu) − f (x)) t→0 Ngược lại, giả sử bổ sung thêm điều kiện (C1 ) thỏa mãn với điều kiện (C7 ) điều kiện (C8 ), với x ∈ X u ∈ E Ta chứng minh f hàm giả lồi Đầu tiên, tính chất tựa lồi hàm f Thậy vậy, trái lại, tồn x, y ∈ X với hàm số ϕ(t) = f (x + t(y − x)), ≤ t ≤ 1, ta có: ϕ(ξ) = f ((1 − ξ)x + ξy) = max ϕ(t) 0≤t≤1 > max{ϕ(0); ϕ(1)} = max{f (x); f (y)} (2.1) (Giá trị lớn đạt theo Định lí Weierstrass tổng quát từ f hàm nửa liên tục theo tia) Từ tính cực đại ξ, ta có: f+ (x + ξ(y − x); y − x) ≤ 0, f+ (x + ξ(y − x); x − y) ≤ Các bất đẳng thức điều kiện (C1 ) kéo theo: f+ (x + ξ(y − x); y − x) = f+ (x + ξ(y − x); x − y) = 20 (2.2) Bây tính cực đại ξ điều kiện (C7 ) kéo theo f+ (x + ξ(y − x); y − x) = f+ (x + ξ(y − x); x − y) = Hơn nữa, tính cực đại ξ điều kiện (C8 ) suy ϕ số lân cận ξ Tính chất với điểm cực đại ξ ∈ (0, 1), ϕ khơng đổi tồn đoạn [0, 1] Khẳng định sau lý luận Đặt Ξ= {(α, β)|0 ≤ α < ξ < β ≤ 1, ϕ (α, β)} Khi đó, Ξ khoảng mở (ξ∗ ; ξ ∗ ) ϕ(ξ) = ϕ(ξ) với ξ∗ < ξ < ξ ∗ Ta chứng minh ϕ(ξ∗ ) = ϕ(ξ ∗ ) = ϕ(ξ) Từ tính cực đại ξ tính nửa liên tục ϕ ta có: ϕ(ξ ∗ ) ≥ lim sup ϕ(ξ) = ϕ(ξ) ≥ ϕ(ξ ∗ ), ξ↑ξ ∗ đó, ξ ↑ ξ ∗ biểu thị ξ → ξ ∗ , ξ < ξ ∗ Tương tự ϕ(ξ∗ ) = ϕ(ξ) Điều kéo theo ξ∗ = ξ∗ = Thật vậy, ξ ∗ điểm cực đại ϕ Nếu ξ ∗ < 1, thì, từ tính chất chứng minh, tồn α, β, cho ξ ∗ ∈ (α, β) ⊃ [0, 1] ϕ khoảng (α, β) Bây ϕ không đổi khoảng [ξ∗ , β) điều mâu thuẫn với cách chọn ξ ∗ Vì vậy, ξ ∗ = Tương tự, ta có ξ∗ = Do đó, ϕ không đổi đoạn [ξ∗ , ξ ∗ ] = [0, 1] Tính ϕ khơng đổi đoạn [0, 1] mâu thuẫn với bất đẳng thức chặt (2.1) Do đó, f tựa lồi Bây giờ, chứng minh f hàm giả lồi X Giả sử phản chứng tồn x, y ∈ X cho f (y) < f (x) f+ (x; y − x) ≥ Do tính tựa lồi f+ (x; y − x) = Từ điều kiện (C7 ) tính tựa lồi ta suy 21 f+ (x; y − x) = Điều kiện (C8 ) tính tựa lồi suy tồn δ > cho: f+ (x∗ ; y − x∗ ) = f (x + t(y − x)), ∀t ∈ [0, δ] Đặt x∗ = (1 − t∗ )x + t∗ y, t∗ = sup{t ∈ [0, 1] | ϕ khơng đổi [0, t)} Từ tính nửa liên tục tính tựa lồi hàm ϕ ta có ϕ(t∗ ) ≥ lim sup ϕ(t) = ϕ(0) ≥ ϕ(t∗ ) t↑t∗ Do đó, f (x∗ ) = f (x) Giả sử t∗ < Từ tính tựa lồi, f+ (x∗ ; y − x∗ ) ≤ Mặt khác, cách chọn x∗ , f+ (x∗ ; x∗ − y) = 0, áp dụng điều kiện (C1 ) thu f+ (x∗ ; y − x∗ ) = Bây điều kiện (C7 ) tính tựa lồi kéo theo f+ (x∗ ; y − x∗ ) = Từ tính tựa lồi điều kiện (C8 ) kết luận f (x∗ ) = f (x∗ + t(y − x∗ )) với < t < δ số δ > Điều mâu thuẫn với cách chọn x∗ Mâu thuẫn chứng tỏ t∗ = Điều khơng thể, f (y) < f (x) Do đó, f hàm giả lồi (ii2 ) Chứng minh điều đơn giản nhận tương tự chứng minh (i1 ) Để tính chất tựa lồi thấy tính cực đại ξ đẳng thức (2.2) mâu thuẫn với điều kiện (C9 ) Để chứng minh tính giả lồi chặt, đẳng thức f+ (x; y − x) = tính chất tựa lồi lại lần mâu thuẫn với điều kiện (C9 ) Định lí 2.1 tổng quát hóa số kết tiếng Diewert, Avriel, Zang [3, Định lí 10,11 Hệ 10.1, 11.1], Crouzeix [2, Mệnh đề 3, Định lí 2] cho hàm số khả vi theo hướng khả vi cấp hai liên tục 22 tập mở X Nhận xét 2.1 Một số lớp hàm số thỏa mãn điều kiện (C1 ) khả vi Gâteaux, tựa khả vi theo nghĩa Pshenichnyi [6], hàm Lipschitz quy theo nghĩa Clarke [1] Ví dụ sau cho thấy điều kiện đủ Định lí 2.2(i2 ) khơng khơng có điều kiện (C8 ) Ví dụ 2.3 Cho hàm số f : R → R xác định f (x) = (x2 − 1)3 thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C7 ), khơng phải hàm giả lồi Hàm số khơng thỏa mãn điều kiện (C8 ) điểm x = x = −1 Thật vậy, hàm số khác thỏa mãn điều kiện (C1 ), ta có f+ (x; −u) = f+ (x; u) Chúng ta kiểm tra trực tiếp điều kiện từ f+ (x; u) = 6x(x2 − 1)2 u Các đạo hàm cấp hai f+ (x; u) = 6(x2 − 1)2 u2 + 24x2 (x2 − 1u2 ) Với u = điều kiện (C7 ) tầm thường Với u = f+ (x; u) = Khi x ∈ {−1; 0, 1} Với x = 0, ta có f+ (x; u = 6u2 > 0) với x = ±1 ta có f+ (x; u) = Do đó, điều kiện (C7 ) với x ∈ R u ∈ R Tuy nhiên, hàm số f hàm giả lồi, với x = 1, y = 0, ta có f (y) = f (0) = −1 < = f (1) = f (x), f+ (x; y − x) = Kết sau hệ trực tiếp Định lý 2.2 Hệ 2.1 Nếu f : X → R hàm giả lồi, điều kiện (C7 ) thỏa mãn f+ (x; u) = f+ (x; u) = kéo theo f+ (x; u) ≥ 23 Giả sử ngược lại, điều kiện (C1 ) (C7 ) thỏa mãn f+ (x; u) = f+ (x; u) = kéo theo f+ (x; u) > 0, f giả lồi chặt Nhận xét 2.2 Định lí 2.1 Hệ 2.1 điều kiện (C1 ) thay điều kiện yếu sau đây: (C1 ) : f+ (x; u) ≤ f+ (x; −u) ≤ kéo theo f+ (x; u) = f+ (x; −u) = 24 Kết luận Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày đặc trưng bậc hai hàm lồi giả lồi Các phân tích, bình luận vai trò điều kiện cần điều kiện đủ cho tính lồi giả lồi ví dụ minh họa trình bày khóa luận Hy vọng khóa luận tài liệu tham khảo cho bạn đọc quan tâm đến vấn đề Tài liệu tham khảo [1] Clarke, F.H., Optimization and Nonsmooth analysis, Wiley-Interscience, New York, 1983 [2] Crouzeix, J P., Characterizations of generalized convexity and generalized monotonicity, a survey, in: "Generalized Convexity, Generalized Monotonicity: Recent Results" (Luminy, 1996), Nonconvex Optim Appl 27, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1998, 237-256 [3] Diewert, W E., Avriel, M., Zang, I., Nine kinds of quasiconcavity and concavity, J.Econom Theory 25 (1981), 397-420 [4] Ginchev, I., Ivanov, V.I.: Second-order characterizations of convex and pseudoconvex functions J Appl Anal 9, 261-273 [5] Komlosi, S., Some properties of nondifferentiable pseudoconvex functions, Math Programming 26 (1983), 232-237 [6] Pshenichnyi, B.N., Necessary Conditions for an Extremum, 2nd ed., Nauka, Moscow, 1982, (English translation of the 1st ed Pure and Applied Mathematics 4, Marcel Dekker, Inc., New York, 1971) ... Tập lồi 1.2 Hàm lồi Các đặc trưng bậc hai hàm lồi hàm giả lồi 13 2.1 Các đặc trưng bậc hai hàm lồi 14 2.2 Các đặc trưng. .. hạng bậc hai (1.8) âm ta nhận mâu thuẫn với (1.4) 12 Chương Các đặc trưng bậc hai hàm lồi hàm giả lồi Trong chương chúng tơi trình bày số đặc trưng tính lồi giả lồi qua đạo hàm bậc bậc hai theo... ) (C2 ), f hàm không lồi Hàm số hàm nửa liên tục theo tia 2.2 Các đặc trưng hàm giả lồi Trong phần trình bày đặc trưng tính giả lồi Nhắc lại hàm số f xác định tập lồi X ⊂ E gọi giả lồi (chặt)