Định lý fenchel moreau mở rộng và đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KIỀU ANH TUẤN ĐỊNH LÝ FENCHEL MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CHO HÀM LỒI VÉCTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KIỀU ANH TUẤN ĐỊNH LÝ FENCHEL MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CHO HÀM LỒI VÉCTƠ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu hình thức kỷ luật theo quy chế trường Thái Nguyên, tháng 06 năm 2015 Tác giả Kiều Anh Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn, người đặt toán tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, sau Đại học - Trường Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho để hoàn thành luận văn Tôi gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Toán K21, chia sẻ, động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tôi vô biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em gia đình mình, cảm thông chia sẻ hai năm qua để học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 02 năm 2015 Tác giả Kiều Anh Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH LỒI 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Tính liên tục hàm lồi 1.2.2 Tính Lipschitz địa phương 11 1.3 Định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng 13 1.4 Dưới vi phân hàm lồi 18 1.5 Cực tiểu hàm lồi 30 Chƣơng 2: ĐỊNH LÝ FENCHEL- MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI CỦA HÀM LỒI VÉCTƠ 32 2.1 Các khái niệm 32 2.2 Dưới vi phân 35 2.3 Định lý Fenchel-Moreau mở rộng 39 2.4 Đặc trung cấp hai hàm lồi véctơ 43 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Giải tích lồi môn giải tích đại chuyên nghiên cứu tập lồi, hàm lồi tính chất chúng sau ứng dụng để nghiên cứu toán tối ưu lồi toán liên quan Đây đề tài thông dụng sinh viên học viên cao học, cho ta số tư tưởng phương pháp tư để tiếp cận với toán phi tuyến hai lĩnh vực lý thuyết ứng dụng Hàm lồi nhiều tác giả nghiên cứu, vài kết thu cho phép ta giải toán tối ưu liên quan tới hàm lồi véctơ Ta biết toán liên quan đến hàm lồi đóng vai trò quan trọng ứng dụng toán học vào vấn đề sống Người ta đưa định nghĩa vi phân hàm lồi để tìm thuật toán giải nghiệm điều kiện cần đủ cho tối ưu Hàm lồi có cấu trúc hình học đơn giản, gần giống với hàm tuyến tính, có cấu trúc tôpô đặc biệt gần với hàm liên tục Lipschitz Đối với toán lồi, kết quan trọng: x nghiệm địa phương x nghiệm toàn cục Việc khai thác tính chất hàm lồi cho phép nghiên cứu toán tối ưu cách toàn diện đầy đủ từ dẫn đến việc giải toán hoàn chỉnh Tuy nhiên vài mô hình thực tế liên quan tới hàm không thiết lồi có nhiều tính chất giống hàm lồi Những hàm biến dạng hay tổng quát hóa hàm lồi Trong thực tế nảy sinh nhiều toán liên quan đến hàm véctơ Việc định nghĩa hàm lồi cho trường hợp véctơ cần thiết để nghiên cứu toán liên quan tới hàm lồi véctơ Các hàm lồi véctơ có tính chất giống tính chất hàm lồi vô hướng Người ta mở rộng khái niệm hàm lồi véctơ dựa sở nón không gian giá trị hàm Từ sinh quan hệ thứ tự ta phát biểu toán đặt thực tế giải chúng trường hợp vô hướng Định lý Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Fenchel- Moreau đóng vai trò quan trọng lý thuyết đối ngẫu toán tối ưu mở rộng trường hợp véctơ Chính lý chọn đề tài: Định lý Fenchel- Moreau mở rộng đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ Mục đích luận văn trình bày lý thuyết hàm lồi vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau trường hợp tổng quát đặc trưng cấp hai hàm lồi véctơ Dựa kiến thức giải tích lồi, giải tích Lipschitz, giải tích hàm, ta nghiên cứu sâu vào vấn đề đối ngẫu hàm lồi vô hướng véctơ, toán tối ưu lồi vô hướng véctơ Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo, cụ thể là: Chƣơng Trong chương tác giả trình bày khái niệm tập lồi, hàm lồi, vi phân hàm lồi, tính chất hàm lồi tính liên tục, tính Lipschitz địa phương,…, định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng số ứng dụng Chƣơng Trong chương trình bày khái niệm bản, vi phân hàm véctơ lồi, định lý Fenchel- Moreau trường hợp tổng quát tìm đặc trưng cấp hai hàm lồi véctơ Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt luận văn tài liệu tham khảo Tác giả Kiều Anh Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG GIẢI TÍCH LỒI Trong năm gần giải tích lồi môn nghiên cứu phát triển cho kết sâu sắc toán học Nó ứng dụng rộng rãi thực tế toán vận trù học, toán kinh tế ngành kỹ thuật Các hàm lồi đóng vai trò quan trọng giải tích lồi đặc biệt lý thuyết tối ưu hóa đảm bảo tính chất liên quan đến điểm cực trị Do đặc trưng lớp hàm bậc bậc hai nghiên cứu nhiều Trước hết ta trình bày khái niệm, tính chất kết chủ yếu giải tích lồi Những kiến thức chương viết sở chương [1] 1.1 Tập lồi Dưới ta giả thiết X không gian tô pô thực, X* không gian tô pô đối ngẫu X, R tập số thực R Định nghĩa 1.1.1 Cho A X Ta nói A tập lồi 0;1 : a Cho a, b R b a, b A với A A hai điểm cố định, đoạn thẳng nối a,b xác định sau a, b x A :x a b;0 Nhận xét Tập A tập lồi với a, b đoạn thẳng A a, b A Các , cầu, đa diện , hình chữ nhật, tam giác tập Định nghĩa 1.1.2 Cho f Tập H x X :f x X *, số thực cố định gọi siêu phẳng; Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn H x X :f x gọi nửa không gian trên; H x X :f x gọi nửa không gian Tất tập tập lồi Định nghĩa 1.1.3 Cho A X i) Giao tất tập lồi chứa tập A gọi bao lồi A: n coA x X :x x , xi A i i i 1, 2, , n i ii) Giao tất tập lồi đóng chứa tập A gọi bao lồi đóng A, ký hiệu co A Ta thấy tập lồi có phép tính tôpô, đại số sau Nhận xét i) CoA tập lồi nhỏ chứa A; ii) A tập lồi A CoA ; iii) co A tập lồi đóng nhỏ chứa A; iv) A tập lồi đóng A Mệnh đề 1.1.4 Giả sử A co A X tập lồi, đó: i) Phần int A bao đóng A tập lồi; ii) Với x int A , x iii) Nếu int A A x 1, x , A int A; int A , int A int A Khái niệm tách hai tập lồi đóng vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu, đặc biệt việc chứng minh tồn nhân tử Lagrange toán tối ưu có ràng buộc Định nghĩa 1.1.5 Cho tập A, B f tách A B tồn số f ,y X ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục cho f , x với x Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN A , với y B , http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.1) f , x f x tích vô hướng X X * Nếu bất đẳng thức (1.1) thực sự, tức f ,y f ,x tách chặt A B Siêu phẳng H x với x A, y B , ta nói f gọi siêu phẳng tách X : f ,x A B Các tập A, B gọi tách Nhận xét i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với f ,y ii) Phiếm hàm f f ,x , x A, y B; f ,y , f ,x x A, y Định lý 1.1.6 Cho A B tập lồi X, A intB f 0, f cho tách chặt A B, tồn số B B , int A Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục X tách A B theo Mệnh đề 1.1.4 ta có int A tập lồi Chứng minh Giả sử int A Vì (int A) nên int A B B tập lồi mở (int A) Khi tồn siêu phẳng đóng H x tuyến tính không cắt (int A) B chứa không gian X : f ,x Ta có f liên tục H đóng, f f siêu phẳng X Ta lại có (int A) H X H B nằm nửa không gian sinh H Chẳng hạn nửa không gian Khi f ,x f ,x f ,x y f ,y x x f ,y A, y int A, x A, y B; y B; B Tức A, B tách phiếm hàm f Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN B http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 Chú ý Nếu Thêm vào đó, trận tự nón khác rỗng tập hợp đơn phân tử nhọn, Trong phần tiếp theo, nhầm lẫm ta bỏ qua cụm từ ‘đối với khái niệm Ta liệt kê số tính chất cận kí hiệu mà sử dụng phần sau Bổ đề 2.1.5 Giả sử nón (i) đóng, lồi nhọn khác rỗng Giả sử Nếu (ii) (trong bao lồi đóng ); Giả sử khác rỗng bị chặn với (trong (iii) ); khác rỗng Khi Giả sử ta có giới hạn Ta có (iv) khác rỗng, Giả sử (a) Nếu , Nếu, thêm vào (b) Giả sử f hàm véctơ từ tập khác rỗng tới giả sử Ta nói liên lục tương đối tồn lân cận x với lân cận cho gọi liên tục tương đối Trên đồ thị (đối với trận tự nón ) xác định tập  gọi đóng (đối với ) sử đóng khác rỗng lồi Ta gọi với ) với Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Bây giả gọi lồi (đối , http://www.lrc.tnu.edu.vn 35  Vi phân xác đinh tập hợp  Các hàm lồi véctơ có tính chất hay hàm lồi vô hướng Ta nhắc lại số kết mà dùng phần Bổ đề 2.1.6 Giả sử nón thứ tự đóng, lồi nhọn Giả sử lồi véctơ từ tập lồi khác rỗng đến hàm với Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1.7 Giả sử nón thứ tự đóng, lồi nhọn với hàm lồi véctơ đóng từ tập lồi khác rỗng Giả sử giả sử tùy ý tới liên tục tương đối tới , đó, 2.2 Dƣới vi phân Trong mục ta giả thiết C từ tập lồi D f x0 f ( x0 ) : R n vào R m nón lồi đóng nhọn Cho f hàm lồi x0 D Ta định nghĩa vi phân A L( R n , R m ) : f ( x) f ( x0 )A( x x0 ), x0 D , Trong L(R n , R m ) ký hiệu không gian hàm tuyến tính liên tục từ vào coi không gian ma trận (m n) Trước tiên ta khảo sát quan hệ Jacobian suy rộng vi phân hàm lồi véctơ f Giả thiết int D Cho x0 int D, f Lipschitz x0 Theo Định lý Rademacher f khả vi hầu khắp nơi lân cận x0 Jacobian suy rộng Jf ( x0 ) f x0 theo nghĩa Clarke định nghĩa bao lồi ma trận (m n) giới hạn dãy có dạng ( Jf ( xi ))i , ( xi )i liên tục tới x0 ma trận Jacobian cổ điển Jf ( xi ) f xi tồn Hiển nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN m ta có đẳng thức http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 f ( x) Jf ( x), x int D Với thức Jf ( x) f ( x), x m nói chung không Tuy nhiên bao hàm int D Bổ đề 2.2.1 Với x D, f ( x) tập lồi đóng Chứng minh Từ định nghĩa vi phân ta có tính lồi f ( x ) Bây ta tính đóng f ( x ) Giả sử dãy ( Ai )i A L(R n , R m ) Với y D ta có f ( y) f ( x) Ai ( y x) Cho i , theo tính đóng C ta có f ( y ) f ( x) A( y Vậy, A f ( x) Do đó, f ( x ) đóng Bổ đề 2.2.2 Nếu f khả vi x int D , Jf ( x) Chứng minh Vì f khả vi x , nên Ta có  Df ( x) D(  f )( x) C ' , y D ta có f ( x) hội tụ tới C x ) C f ( x)  f khả vi x , với C' (  f )( x) Theo định nghĩa vi phân, với (  f )( y ) (  f )( x) (  Jf ( x))( y x) Hoặc ( f ( y) f ( x) Jf ( x)( y x) Vậy thì, f ( y) Do Jf ( x) f ( x) Jf ( x)( y x)0 f ( x) Bổ đề 2.2.3 Ánh xạ đa trị f từ D vào L(R n , R m ) đóng điểm x D mà f liên tục Chứng minh Giả sử f liên tục x D Cho ( xi , Ai )i ( x, A), với A L(R n , R m ) , Ai f ( y) Cho i f ( xi ) f ( xi ) Với y Ai ( y N dãy hội tụ tới D, ta có xi ) C , f liên tục x từ C đóng, ta có f ( y) f (x ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN A (y x) C http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 Điều kéo theo A f ( x) Vậy Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.4 Cho f hàm lồi từ tập lồi D Jf ( x) f ( x), x  R n tới với int D Khi int D Chứng minh Cho A giới hạn dãy có dạng ( Jf ( x i )i N ) Trong đó, ( xi )i N hội tụ tới x Jacobian suy rộng Jf ( x i ) f ( xi ) tồn Theo Bổ đề 2.2.2, Jf ( x i ) ta có A f ( xi ) Theo Định lý 1.2.1.3, f liên tục f ( x) Từ f ( x ) lồi, Jf ( x ) x Từ Bổ đề 2.2.3  f ( x ) Ta dễ dàng thấy nói chung bao hàm thức Định lý 2.2.4 nhỏ thực Ví dụ 2.2.5 Cho hàm f1 ( x) f ( x) x ,x nón R Rất dễ dàng f (0) Và Jf (0) A tập f1 (0) f (0) ( f1 , f ) lồi với 1,1 1,1 , ( 1, 1),(1,1) , ( 1, 1),(1,1) , ký hiệu đoạn ( 1, 1) (1 Do đó, Jf (0) R Hàm lồi f )(1,1) : L(R n , R m ), f Cho A R2 0,1 L(R n , R ) tùy ý Ta ký hiệu  A: A A R n tới Hệ 2.2.6 Cho f hàm lồi từ tập lồi D C ' , Jf ( x) Nếu x int D , với f ( x ) Jf ( x) hướng với int f ( x) ( tức phép chiếu C ' trùng nhau) Chứng minh Cho x int D Theo Định lý 2.2.4, Jf ( x) Từ  f vô hướng lồi J (  f )( x) phân ta có (  f )( x) C' J (  f )( x), f ( x) Do vậy, (  f )( x) Từ định nghĩa vi Jf ( x) f ( x) Bao hàm thức ngược lại suy hiển nhiên từ Định lý 2.2.4 Ta có điều phải chứng minh Ta số phép tính cho vi phân hàm lồi véctơ Định lý 2.2.7 Cho f hàm lồi từ tập lồi D R n tới , x D Nếu điều kiện sau thỏa mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn C' 38 i) int D , x int D; ii) int D , x riD, (  f )( x) 0, ta có (  f )( x)  f hàm lồi vô hướng, C ' , Chứng minh i) Cho x int D Với (2.1) f ( x) J (  f )( x ) J (  f )( x) Jf ( x) f ( x) đó, (  f )( x) Theo Hệ 2.2.1, Jf ( x) f ( x) ii) Ta giả thiết D Nếu không tính tổng quát ta giả thiết với k< n Định nghĩa hàm không gian sinh D f :D R m sau f ( y) Rk f ( y), với y D Rõ ràng, f hàm lồi Từ x điểm D D in không gian Cho , x điểm tương đối Biếu thị A ' hạn chế A đến ,thì A ' (  f )( x) Khi ta có B ' (  f )( x) C '\ A f ( x)  B ' Cho e1, e2 , , ek sở R k e1, , ek , ek 1, , en sở R n Từ , với i f ( x) A ' (  f )( x) Do i) ta có k 1, , n , tồn véctơ yi Khi B f ( x) A B R m sau f ( x) Vì thế, (  f )( x) f ( x) Bao hàm thức ngược lại tầm thường Từ định lý chứng minh Có thể dễ dàng nhận thấy int D x int D , nói chung (2.1) không Ví dụ 2.2.8 Cho f hàm lồi từ 0,1 Thì (  f )( x) ,0 , Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN f ( x) R đến R Cho 0, x 0 với x int 0,1 http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 Nếu int D Ví dụ 2.2.9 Cho D Cho ta có R n tới R Xét hàm f : x ( 1,0),(1,0) (  f )(0) f (0) Từ đó, (  f )(0) D' nói chung (2.1) không , x riD (0, t ) : t D R2 R R f (0) Bây giả sử g hàm lồi khác từ tập lồi Ta thiết lập vi phân tổng f Định lý 2.2.10 F * ( A (1 ) B) Sup A( x) F ( x) Sup  (1 F * ( A) (1 A( x) (1 g ) B( x) F ( x) ) Sup B( x) F ( x) ) F * ( B) 2.3 Định lý Fenchel-Moreau mở rộng ánh xạ đa trị từ không gian định chuẩn hữu hạn chiều Giả sử nhắc lại đồ thị Đôi hàm véctơ Ta xác định tập hợp Miền xác định gọi lồi (resp., đóng) vào tập lồi (resp.,đóng) đồng với ánh xạ đa trị Để mở rộng Định lý Fenchel- Moreau cho trường hợp véctơ, trước hết ta định nghĩa hàm liên hợp hàm véctơ Định nghĩa 2.3.1 Giả sử , ánh xạ đa trị từ Trong Ánh xạ liên hợp tới ký hiệu xác định sau: không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN vào http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 Định nghĩa 2.3.2 Giả sử ánh xạ đa trị từ Ánh xạ liên hợp cấp hai , ký hiệu đến Giả sử ánh xạ đa trị từ vào xác định sau Chú ý Giả sử ánh xạ đa trị từ đến với Bởi tính đồng với ánh xạ tuyến tính Ta thấy thu hẹp xác định sau: tức là, đóng, lồi, Trong phần lại phần ta giả sử thứ tự nón Ta dễ dàng chứng minh bổ đề nhọn Bổ đề 2.3.3 Giả sử ánh xạ đa trị từ với vào , (i) (ii) đóng lồi; Nếu Bổ đề 2.3.4 Giả sử ánh xạ đa trị từ vào Khi với đóng lồi Bổ đề 2.3.5 Giả sử f hàm lồi véctơ từ tập lồi khác rỗng giả sử ( ) Khi vào , và Bổ đề 2.3.6 Giả sử Khi hàm lồi véctơ từ tập lồi khác rỗng tới Chứng minh Giả sử tùy ý Theo bổ đề 2.1.6 Bổ đề 2.3.5 Do đó, Giả sử ngược lại Khi theo , theo Bổ đề 2.3.3 có Sử dụng định lý tách mạnh, ta tìm cho ( để (2.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 Chọn Theo Bổ đề 2.3.5, đơn phân tử với tập hợp , ta xác định ánh xạ tuyến tính sau: Do (2.2) bổ đề 2.1.5 (ii), ISup  ( )( x) = sup ( x) c c x D x D Khi ta có f*(A0) + sup ( x) c = f*(A0) + ISup  ( x D c )( x ) x D = Sup  ( A0 ) ( x) f ( x) + ISup  ( x D c )( x ) x D = Sup(  ( A0 )( x) f ( x) +  ( x D )( x ) ) (theo Bổ đề 2.1.5 (iv)) x +C (theo Bổ đề 2.1.5 (iv)) c x D Sup  ( A0 ) ( x) f ( x) c x D f*(A0 + f*(A0 + Khi tồn yc c c ) + C ) cho f*(A0) + sup ( x) c ≥ yc x D tùy ý Từ định nghĩa Giả sử , có  (  Do (1), điều nhọn Suy Chứng minh xong Giả sử Thì ta viết Bổ đề 2.3.7 Giả sử Nếu tồn hàm lồi từ tập lồi khác rỗng tới , giả sử cho với dãy ta có cho lim k® ¥ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 42 Mặc dù ánh xạ liên hợp cấp hai hàm véctơ có cấu trúc đa trị điều kiện định đó, hàm đơn trị Các điều kiện tính lồi tính đóng hàm Hơn vậy, ta có định lý sau Định lý 2.3.8 (Định lý Fenchel-Moreau mở rộng) Giả sử lồi khác rỗng tới Chứng minh ) Giả sử liên tục tương đối tới Khi hàm véctơ từ tập lồi, đóng tùy ý Chọn điểm Theo Bổ đề 2.1.7, Do (2.3) Giả sử dãy tang hội tụ Đặt Khi , đặt Theo bổ đề 2.1.6, Theo bổ đề 2.3.5 Với Do đó, (2.4) (2.4), theo (2.3) bổ đề 2.3.7, ta có Lấy với bổ đề 2.3.3(ii) bao hàm ∗ ∩ ∈ℒℝ ,ℝ − ∗ Vì vậy, theo Bổ đề 2.1.5(i), định nghĩa ánh xạ cấp ta có Cuối cùng, ta Thậy vậy, chứng minh ta có Theo Bổ đề 2.3.6, Giả sử Giả sử Với số tự nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN tùy ý , ta có , đặt http://www.lrc.tnu.edu.vn 43 Hiển nhiên, từ (2.5), , lồi Do Do tính , ta suy Cùng với Do Do Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.3.4 Định lý chứng minh Khi , định lý Định lý Fenchel – Moreau tiếng giải tích lồi 2.4 Đặc trung cấp hai hàm lồi véctơ không gian thuộc định chuẩn hữu hạn chiều Ta kí hiệu Giả sử không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ đến Trong ta trang bị chuẩn Giả sử tập hợp khác rỗng, Định nghĩa 2.4.1 Giả sử Lipschits địa phương Đạo hàm suy rộng Clarke xác định Trong có nghĩa đạo hàm Định nghĩa 2.4.2 Giả sử hai Clarke hàm véctơ , giả sử tại hàm véctơ lớp Đạo hàm suy rộng cấp định nghĩa coa nghĩa đạo hàm cấp hai Trong phần lại phần này, ta giả sử nón thứ tự Định nghĩa 2.4.3 Giả sử đóng lồi tập khác rỗng giả sử ánh xạ ℒ(ℝ ,ℝ ) Ta nói F đơn điệu  Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 44 Khi , Định nghĩa 2.4.3 trùng với khái niệm đơn điệu cổ điển Bây ta giả sử tập mở, lồi khác rỗng ánh xạ Lipschitz địa phương, Giả sử Ta kí hiệu đoạn mở lớn thỏa mãn Xác định Tập Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.4.4 , Chứng minh Hiển nhiên Từ tuyến tính affine, ta có Khi áp dụng quy tắc hàm hợp ta thu Định lý 2.4.5 Giả sử tập mở, lồi khác rỗng giả sử ánh xạ Lipschitz địa phương Khi phát biểu sau tương đương: (i) (ii) đơn điệu ; Với mà Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN khả vi, http://www.lrc.tnu.edu.vn 45 (iii) Với Chứng minh (i) mà dãy dương hội tụ Vì ý Giả sử khả vi, giả sử tùy đơn điệu , ta có , ta Cho (ii) (ii) giả sử (iii) Giả sử tùy ý Theo định nghĩa đạo hàm tổng quát Clark, ta biểu diễn Trong dạng tồn với với giới hạn ta có và đóng, qua Do (2.6) tính lồi ta thu (iii) (i) Giả sử Khi tùy ý Xét hàm Lipschitz địa phương đoạn mở Lipschitz đoạn compact chứa [0,1] với Theo Định lý giá trị trung bình hàm véctơ, tồn cho Do Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 46 Suy đơn điệu Chứng minh xong Ta ý Định lý 2.4.5 kết tương ứng tổng quát Luc Schaible [5] Định lý 2.4.6 Giả sử hàm véctơ tập mở lồi khác rỗng giả sử Khi Chứng minh Ta có hàm lồi với lồi đơn điệu Định lý 2.4.5) (theo Đặc biệt ta có kết sau Hệ 2.4.7 Giả sử tập mở lồi khác rỗng giả sử hàm khả vi liên tục cấp hai Khi lồi Chứng minh Vì hàm khả vi liên tục Lipschitz địa phương Nhắc lại đối số chứng minh định lý trên, ta kết Hệ 2.4.7 lấy lại kết cổ điển Ta ý đặc trưng cấp hai hàm lồi Ví dụ 2.4.8.Giả sử nón thứ tự Giả sử xác định Tính toán ta Khi Do Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN lồi http://www.lrc.tnu.edu.vn 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Các định nghĩa tính chất giải tích lồi - Các kết môn trình bày chứng minh đầy đủ Đặc biệt Định lý Fenchl – Moreau trường hợp vô hướng - Các tính chất liên tục, tính Lipchitz địa phương khả vi phân - Dựa khái niệm nón ta đưa khái niệm hàm lồi véctơ khái niệm cận ánh xạ liên hợp liên hợp cấp hai ta thu cách tổng quát hóa đầy đủ Định lý Fenchel – Moreau mở rộng Giả sử hàm véctơ từ tập lồi khác rỗng tới Khi lồi, đóng - Sử dụng đạo hàm suy rộng bật Clarke cho hàm véctơ Lipschitz địa phương, ta thu đặc trưng cấp hàm véctơ Do đó, ta thu đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nguyễn XuânTấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh Benoist, J, popovici, (2003), Characterizations of convex and quasiconvex set-valued maps Math Methods Oper.Res.57,427-435 Hamel, AH: (2009), A duality theory for set-valued functions I, Fenchel conjugation theory Set- Valued Anal.17, 153-182 Malivert, (1991), Fenchel duality in vector optimization In: Advances in Optimization ( Lambrecht), (1992), Lecture Notes in Econom And math Systems, vol.382, pp.420-438 Springer, Berlin Luc, DT, Schaible (1996), On generalized monotone nonsmooth maps.J.Convex Anal.3, 195-205 Phan Nhat Tinh and Do Kim Sang (2013), On generalized Fenchel- Moreau theorem and second-order characterization for convex vector functions Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc.tnu.edu.vn 7 Vậy f tách chặt A và x 0 Hệ quả sau đây suy ra trực tiếp từ Định lý 1.1.8 Hệ quả 1.1.9 Cho X là không gian Hausdorff lồi địa phương A X ta có: i) co A trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A ; ii) Nếu A là tập lồi khi đó A đóng khi và chỉ khi A đóng theo tôpô yếu 1.2 Hàm lồi Cho A X là tập lồi, f : A R là một hàm số Định nghĩa 1.2.1 Hàm f được gọi là hàm lồi nếu với mọi x , y 0,... là lồi thực sự trên A Định nghĩa 1.2.2 i) Trên đồ thị của hàm f , ký hiệu epif x, A / R sao cho x A:f x ; R của hàm f là tập ii) Tập mức tại lev f , x A:f x ; iii) Miền hữu hiệu của hàm f , ký hiệu là domf domf= x A:f x ; iv) Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu và f x domf với x X ; v) Hàm f được gọi là lõm trên A nếu f là hàm lồi trên A Mệnh đề 1.2.3 Hàm số f được gọi là hàm lồi trên A nếu và. .. D Định nghĩa 1.5.3 Cho X là không gian véctơ lồi địa phương f :X R ,D X,D xét bài toán tối ưu min f ( x) , được gọi là bài toán x D lồi nếu hàm f và tập D là lồi Theo Định lý 1.5.1 thì cực tiểu địa phương cũng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 là cực tiểu toàn cục Để khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu ta có định lý Định lý 1.5.4 Điều kiện cần và đủ để hàm. .. cof Theo Mệnh đề 1.3.6 f * là hàm lồi đóng nên theo Định lý 1.3.7 f* ** * f * Vậy ta có f * cof 1.4 Dƣới vi phân của hàm lồi Tính khả vi của hàm lồi giữ vai trò quan trọng trong các bài toán tối ưu, các phương pháp tối ưu Lớp hàm lồi có tính chất gần với tính khả vi mà các lớp hàm khác không có Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, hàm f xác định trên D X và f : D R, f x Ta biết rằng... địa phương trên D 1.3 Định lý Fenchel- Moreau trong trƣờng hợp vô hƣớng Giả sử X là không gian lồi địa phương, X * là không gian liên hợp của X , f là hàm xác định trên X Định nghĩa 1.3.1 Phép biến đổi Young - Fenchel của hàm f hay hàm liên hợp với f được xác định trên X * , ( f * : X * f * x* sup x * , x R ), như sau f x (1.6) x X Mệnh đề 1.3.2 f * là hàm lồi đóng * yếu ( f * là hàm đóng trong tô pô... 1 * x ; g* x * ; g* 1 * x Định lý 1.3.7 (Định lý Frenchel - Moreau) Giả sử X là không gian lồi địa phương Hausdorff f : X , Khi đó f f ** f lồi đóng Chứng minh Theo Hệ quả 1.1.9 Nếu A là tập lồi trong không gian lồi địa phương Hausdorff thì bao đóng và bao đóng yếu của A trùng nhau ) Giả sử f f ** theo Mệnh đề 1.3.4 f ** là hàm lồi đóng yếu Vậy f ** lồi đóng ) Giả sử f lồi đóng Số hóa bởi Trung tâm... tập lồi; ii) lev f g, là tập lồi g X trong đó: f Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN g x f x g x http://www.lrc.tnu.edu.vn 8 Nhận xét i) Nếu f là một hàm lồi thì domf là tập lồi; ii) Nếu f là một hàm lồi thì : x : f x , , x:f x là các tập lồi 1.2.1 Tính liên tục của hàm lồi Trước khi trình bày tính liên tục của hàm lồi, ta nhắc lại một số khái niệm liên quan Định nghĩa 1.2.1.1 i) Bao đóng của hàm. .. B f ,y x int A, y B Hệ quả đã được chứng minh Định lý 1.1.8 Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian lồi địa phương X và A khi đó tồn tại f x0 X* , f 0 tách chặt A và x 0 Chứng minh Vì A là tập đóng nên X A là tập mở và x 0 Do vậy tồn tại lân cận lồi của x 0 sao cho x 0 U x0 U f A tức là U và A, như vậy f ,y Do f X Theo Định lý 1.1.1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục A 0 tách x 0 A X f , x0... u 1 su 1 t 1 t 1 D, x tv và r s u T D, x là một nón ( theo định nghĩa) v D tv D 0; 1 t 1 t x 0 sao cho su s 1 Khi đó tv 0; 1 và r D D , tức là T D, x lồi v Mệnh đề 1.4.8 Cho f là một hàm lồi từ một tập con lồi không rỗng D vào R và x 0 T D, x Khi đó D,d i) f có đạo hàm theo hướng d khi và chỉ khi tập f x d f x , 0, x d D bị chặn dưới và f ' x,d inf f x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN d f... x * ,y sup x * ,y sup 1 và đặt x * Chia cả hai vế của (1.10) cho epif f * x* ; f y y domf x* , x 0 f ** x 0 f * x* Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức Young - Fenchel Định lý được chứng minh Hệ quả 1.3.8 Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên X Khi đó f x sup h x : h affine liên tục, h Chứng minh Theo định lý Fenchel - Moreau f f f ** Do đó f x là lân cận trên của các hàm affine có dạng x* , ... Định lý Fenchel- Moreau mở rộng đặc trưng cấp hai cho hàm lồi véctơ Mục đích luận văn trình bày lý thuyết hàm lồi vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng, Định lý Fenchel- Moreau. .. 1.3 Định lý Fenchel- Moreau trường hợp vô hướng 13 1.4 Dưới vi phân hàm lồi 18 1.5 Cực tiểu hàm lồi 30 Chƣơng 2: ĐỊNH LÝ FENCHEL- MOREAU MỞ RỘNG VÀ ĐẶC TRƢNG CẤP HAI. .. TRƢNG CẤP HAI CỦA HÀM LỒI VÉCTƠ 32 2.1 Các khái niệm 32 2.2 Dưới vi phân 35 2.3 Định lý Fenchel- Moreau mở rộng 39 2.4 Đặc trung cấp hai hàm lồi véctơ 43