Định lý fenchel moreau tổng quát và đặc trưng bậc hai cho hàm lồi vectơ

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN KHNH NG NH Lí FENCHEL - MOREAU TNG QUT V C TRNG BC HAI CHO HM L i VECT LUN VN THC s TON HC H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN KHNH NG NH Lí FENCHEL - MOREAU TNG QUT V C TRNG BC HAI CHO HM L i VECT Chuyờn ngnh: Toỏn g tớch M ó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC NGI HNG DN KHOA HC: GS.TSKH NGUYN XUN TAN H NI, 2015 Lũi cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng cựng cỏc bn hc viờn ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny! H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn K hỏnh ng Lũi cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca GS.TSKH Nguyn Xuõn Tn Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 03 thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn K hỏnh ng iii DANH MC KI HIU Xe M Phn t X thuc M y M Phn t y khụng thuc M Tp rng M c N M l mt ca N M u N Hp ca hai hp M v M n N Giao ca hai M v N M XN Tớch -cỏc ca hai M Mx Vi mi X 3x Tn ti X SUPxeK f ( x ) supremum ca { f ( x ) \ x e K } infxe^ f ( x ) infimum ca { f ( x ) \ x e K } co D Bao li ca D CừD Bao li úng ca D int D Phn ca D IIre II Chun ca X khụng gian nh chun X Rn Khụng gian Euclide n chiu CD,D Bao úng ca D Ê(Mn, Mm) Khụng gian cỏc ma trn cp n X m {x, y) Tớch vụ hng ca X, y khụng gian Hilbert coneA Nún sinh bi A K* Nún cc ca nún K m (/) Min xỏc nh ca / ep i(/) Trờn th ca / N v N iv Mc lc Lũi cm n Lũi cam oan DANH MC K HIU iii Li m u 1 H m li vụ húng v ng dng 1.1 1.2 Tớnh liờn t c 1.3 nh ngha li, hm li v cỏc tớnh cht Tớnh liờn tc L ip s c h itz 10 1.4 Hm liờn h p 11 1.5 13 Di vi phõn nh lý Fenchel - M oreau tng quỏt v c tr ng bc hai cho hm li vect 19 2.1 Gii t h i u 19 2.2 nh ngha, cỏc khỏi nim v kt qu b t r 20 2.3 Tớnh liờn t c 27 2.4 Cỏc c trng ca hm li 35 V 2.5 nh lý Fenchel-Moreau tng q u ỏ t 42 2.6 c trng bc hai ca hm li v e c t 48 Kt lun 55 Ti liu tham kho 56 Li m u Lý chn ti Ta bit rng bi toỏn tỡm cc tiu ca hm li trờn mt hp úng vai trũ rt quan trng lý thuyt ti u v cỏc bi toỏn thc t Nm 1960 -1970 Rockafellar ó a khỏi nim di vi phõn ca hm li, t ú tỡm cỏc iu kin cn v c trng nghim ti u ca bi toỏn quy hoch li v hỡnh thnh nờn mt mụn gii tớch li mi ca toỏn hc Ngi ta ó trit khai thỏc cỏc tớnh cht ca hm li: Tớnh liờn tc; Tớnh Lipschitz a phng; Tớnh kh vi hoc kh di vi phõn v xõy dng nờn lý thuyt i ngu ca hm li chuyn bi toỏn gc thnh bi toỏn i ngu v ngc li T ú hỡnh thnh nờn mụn lý thuyt i ngu gii cỏc bi toỏn i ngu nh lý Fenchel - Moreau mụn gii tớch li ó cho ta bit mi quan h gia bi toỏn gc v bi toỏn i ngu Tip theo bi toỏn quy hoch li c phỏt trin cho bi toỏn ti u vộct Giỏ tr ca hm s nm khụng gian vộct cú th t tng phn c sinh bi mt cỏi nún T ú ngi ta a khỏi nim v tớnh cht hm li theo nún v quy hoch li vộct Vic nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hm li vộct c nhiu tỏc gi v ngoi nc quan tõm nghiờn cu v ng dng nh: GS inh Th Lc, PGS TS Phan Nht Tnh, GS TSKH Nguyn Xuõn Tan, GS Kim, Do Sang Lý thuyt i ngu ca bi toỏn quy hoch li vộct cng c xõy dng cho nhiu kt qu mụn gii tớch li c in cng c m rng cho trng hp vộct v ng dng ca nú cỏc bi toỏn thc t vi lý ú tụi chn ti: nh lý Fenchel - M oreau tng quỏt v c tr ng bc hai cho hm li vect lm lun v cỏc kin thc chớnh liờn quan ti nh lý ny ti u vộct Mc ớch nghiờn cu Trỡnh by nhng kin thc c bn gii tớch li c bit l cỏc tớnh cht: Tớnh liờn tc Tớnh Lipschitz a phng Tớnh kh di vi phõn Lý thuyt i ngu v nh lý Fenchel - Moreau cho trng hp vụ hng sau ú trỡnh by cỏc khỏi nim liờn quan n hm li vộct v cỏc tớnh cht ca nú, m rng nh lý Fenchel - Moreau cho trng hp tng quỏt, c trng cp cho hm li vộct v tỡm mt s ng dng quy hoch ti u vộct Nhim v nghiờn cu Phỏt biu bi toỏn Fenchel - Moreau c trng cp cho hm li vộct v tỡm i tng i tng v phm v nghiờn cu Nghiờn cu nh lý Fenchel - Moreau v biu din cp qua vic khai thỏc cỏc tớnh cht ca hm li vộct v tỡm nhng ng dng ti u vộct Phng phỏp nghiờn cu Tng hp, phõn tớch, ỏnh giỏ v s dng cỏc kt qu gii tớch li vụ hng v tỡm cỏch m rng cỏc kt qu ny cho trng hp vộct úng gúp ca ti Bit tng quan v quy hoch li vụ hng v m rng mt s kt qu t vụ hng sang vộct v tỡm ng dng C th, b cc ca lun gm phn m u, hai chng, phn kt lun v ti liu tham kho: Chng I: Hm li vụ hng v ng dng 1.1 nh ngha li, cỏc hm li v tớnh cht 1.2 Tớnh liờn tc 1.3 Tớnh lipschitz 1.4 Hm liờn hp 1.5 Di vi phõn Chng II: nh lý Fenchel - Moreau tng quỏt v c trng bc hai cho hm li vect 2.1 Gii thiu 2.2 nh ngha, cỏc khỏi nim v kt qu b tr 2.3 Tớnh liờn tc 2.4 Cỏc c trng ca hm li 2.5 nh lý Fenchel - Moreau tng quỏt 2.6 c trng cp hai ca hm li vect 42 Vớ d 2.4.2 Cho M3 c sp th t bi nún c = con(co{(l, , 1), (0, 1, 1), (0, 0,1)}) Cho / : M2 >M3 xỏc nh nh Vớ d (2.4.1), tc l f ( x ,X2) = (x\ Xi + x 2, x\ + X\ x 2, x\ x) Tớnh toỏn ta cú D*f(x)=( (2 ỡ ( qN\ (2 ỡ"! u / V0 - y v - y ) Khi ú D 2f { x ) { y , y) = (2y, - yl, 2y\ - 2) = 22/( , , ) + 22/1 (0 , - , - ) G , Var,y G K2 Do ú D 2f l C-xỏc nh kộo theo tớnh li ca / theo nh lý 2.5 2.5 nh lý Fenchel-Moreau tng quỏt Cho F l ỏnh x a tr t khụng gian nh chun hu hn chiu X ti Mm Ta nhc li th trờn ca F i vi c c nh ngha l epi F := {( x, y) e X X R m : y e F( x) + C} Min hu hiu ca F l dom F := {x e X : F( x) 0} F c gi l li (tng ng, úng) i vi c nu epi F l li (tng ng, úng) X X Mm ụi hm vect / : D c F -} Mm c ng 43 nht vi ỏnh x a tr , [{ /M } , F( x) := \ ^0, xeD, X D nh ngha 2.5 [6 , nh ngha 3.1] Gi s dom F 0- nh x liờn hp, ký hiu bi F*, l ỏnh x a tr t C( X, Rm) ti Rm c nh ngha nh sau F*(A) := sup 1J [A(x) - F(x)], \/A xex ú C ( x , Mm) ký hiu khụng gian cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t X ti Rm nh ngha 2.6 [6 , nh ngha 3.2] Cho F l ỏnh x a tr t Rn ti Mm Gi s dom F* nh x song liờn hp ca F, ký hiu bng F**, l ỏnh x a tr t Mn ti Mm c nh ngha nh sau F**(x) := sup 1J ^ )-F ( )],V ^ e r ae/:(Rn,Rm) Chỳ ý 2.5.1 Cho F l ỏnh x a tr t cỏch ng nht X R n ti Mm vi dom F* ^ Bng vi ỏnh x tuyn tớnh X : Ê (R n, Rm) nh ngha nh sau: x( A) ' = A ( x ) ỡ VA R m c 44 Trong phn tip theo ca mc ny, chỳng ta gi s nún th t c ầ úng, li, nhn v int c B 2.11 [6 , Mnh 3.5] Cho F l ỏnh x a tr t dom F ti vi Khi ú (i) F* úng v li (ii) Nu dom F* thỡ F ( x ) ầ F**{x) + c , Mx G R n B 2.12 Cho F l ỏnh x a tr t Mn ti vi dom F ^ Khi ú F** úng v li Chng minh Suy trc tip t Chỳ ý 2.5.1 v B 2.11 B 2.13 [6 , Mnh 3.6] Cho f l mt hm li vect t mt li khỏc rng D ầ ti Rm, v ly X D , A Ê ( R n, Rm) Khi ú A d f ( x ) v ch f*(A) = A(x) - f(x) B 2.14 Cho / l mt hm li vect t mt li khc rng D ầ Rn ti Mm Khi ú D ầ dom /** ỗ D Chng minh Ly X e riD tựy ý Theo B 2.4, d f ( x ) theo B 2.13, d f ( x ) ầ dom /* Do vy, dom /* Khi ú, Nờn theo B 2.11, D ầ dom /** Bõy gi, gi s ngc li dom /** ^ D Suy tn ti Xo dom /** so cho x D S dng nh lý tỏch manh, ta cú th tỡm Ê G Ê(Mn, R m) \ { } cho Ê(x0) > supÊ(z) Xầ D (2.13) 45 Ly bt k yQ e ri D v Aq Ê d f ( y 0) Theo B 2.13, f*(A) l mt im n Vi mi c e c , ta nh ngha ỏnh x tuyn tớnh ò c : R >R m nh sau: òc(t) = t c (Vớ G M ) Theo (2.13) v B ??(ii), ISup U U & O M } = ( s u p Ê ( z ) ) c XD x e h Nờn ta cú m ) + ( s upÊ( z) ) c = f*(Ao) + ISup J{ (/3 cÊ)(z)} = sup y ( A ) ( z ) - /(a;)} + ISup 1J {(ặcOW} =SU P(u{4)0*0- f ( x ) } + uU&OM}) (theo B ??(iv)) ầ sup IJ { A 0X - f ( x ) + (&Ê)(a;)} + c (theo B ??(iv)) f * { A + òc) + c Nờn tn ti yc Ê f * ( A + òcÊ) cho 46 Ly Ê /** (xQ) tỳy ý T nh ngha ca /**, ta cú z h (A0 + òcÊ)(x o) - Vc h [A)(zo) - f * ( A o)] + [t(x0) - supÊ(z)].c (Vc G C) Theo (2.13), iu ny l khụng th vỡ c {0} v nhn Do ú, dom /** D iu phi chng minh Cho Ê 0) R B, C Q [%o, x \ Ta vit X t x nu B 2.15 ([6 ], B 3.16 ) Cho f l mt hm li vect t mt li khỏc rng D C K " ti Mm v ly X e D Nu tn ti x Ê ri D cho f ( x ) = lim f ( t x + (1 - t ) x o), thỡ vi mi dóy s { ( A k, x k)}k c Ê(Mn, Mm) X [rE0, x\ cho x k t X v A k df (xk), ta cú lim Ak(x Xk) = Mc dự ỏnh x song liờn hp ca hm vect cú cu trỳc a tr, di cỏc iu kin nht nh, chỳng suy bin thnh cỏc ỏnh x n tr Cỏc iu kin nh th l tớnh li v úng ca hm Ngoi ra, ta cú nh lý sau nh lý 2.6 (nh lý Fenchel-Moreau tng quỏt) Cho / l mt hm vect t mt li khỏc rng D c W ti Rm Khi ú f úng v li v ch / = /** 47 Chng minh =>: Ly X Ê D tựy ý Chn mt im x Ê Tè D Theo B 2.5, / liờn tc trờn [x0, x\ Do ú f ( x ) = lim f ( t x + (1 - t ) x o) ớti Cho {Ajfc}*; ầ (2.14) (0,1) l mt dóy s tng hi t v t x k = Xkx + (1 Ajt)x0 Khi ú {Xk}k Q i D n [x0,x] Theo B 2.4, d f ( x k ) 7^ Vi mi k, ly A k e d f ( x k) Theo B 2.13, f ( x k) = A k(xk) = f * ( A k) Do vy \ \ f ( x ) - [ A k( x ) - r ( A k)]\\ (2.15) = ||/( z ) - [.Ak{xk) - f *{ Ak)] + [Ak{xk) - i4*(a;)]|| < l l / M - f M II + \\Ak(xk - x)\\ (2.16) Cho k > oo (2.16), theo (2.14) v B 2.5, ta cú II f ( x) - [Ak(x) - f *( A k)]II 0, kt hp vi B 2.1 l(ii) suy /Or)eUb( u [AM-/*(A)])nci(co( AeÊ(Rn,Rm) J [i(i)-/*(i)l)) eÊ(Rn,Rm) Do ú theo B ??(i) v nh ngha ca ỏnh x song liờn hp, ta cú /Or) = ISup J [ A( x) ~ r ( A ) ] = r ( x ) ,4eÊ(Rn,Rm) Cui cựng, ta ch dom/** = D (2.17) Tht vy, theo chng minh bờn trờn, ta cú dom /** D D Ly Xq Ê dom /** tựy ý Theo B 2.14, x D Ly 2/0 f**(xo) v X e riD Khi ú (rr, / ( z ) ) , (xQ, y0) epi /** Vi mi s t nhiờn k > 1, t V* = m + ( i - J )ằ , Hin nhiờn, (xk, y k) -> (x 0ỡy0) v (xkỡ yk) e epi bi vỡ li Theo (2.17), /(z;fc) = /* * ( ^ ) vỡ x k e D Do vy, (xk, yk) e e p i / (V;) Kt hp iu ny vi tớnh úng ca / suy (.x0, y 0) e p i/ Do ú ar0 -D* Suy dom /** = D v cho nờn / = /** - Y l mt hm vect nh ngha 2.7 [8] Gi s / Lipschitz cc b o hm Clarke tng quỏt ca / ti X q c nh ngha bng d f ( x 0) := co{ lim D f ( x k) : x k e D, x k -> x 0, D f ( x k) tn ti}, A: >00 ú D f ( x k) ký hiu o hm ca f ti x k nh ngha 2.8 Gi s / l hm vect lp 11 o hm cp hai Carke tng quỏt ca / ti x c nh ngha bi d 2f ( x o) := co { lim D 2f ( x k) : x k e D, x k -> x0, D 2f ( x k) tn ti}, k >00 ú D 2f ( x k) l o hm cp hai ca / ti jfc Trong phn cũn li ca mc ny, chỳng ta gi s nún th t c C Mm úng v li nh ngha 2.9 Cho D c Mn l khỏc rng, v cho ỏnh x F : D ằ Ê ( R n, Mm) Ta núi rng F n iu i vi c nu F( x) ( y - x) + Khi m = v c - y) ^ 0, Vz, y e D = M+ , nh ngha 2.9 tr thnh khỏi nim tớnh n iu thụng thng Bõy gi gi s D C Mn l khỏc rng, li v m Cho F :D Ê ( R n, R m) l ỏnh x Lipschitz cc b, X e D :y e Rn Ta kýhiu I l on thng m ln nht tha X + ty G D, Vớ G I nh ngha $ (ớ) := F ( x + ty)(y), t G I t a $ (ớ) := {/(e) : l $ (ớ)}, M(y,/) := [M(y)](y), VM (R ", Ê ( i r , R m)), y R", F(x + t y ) ( y ,2/) := { M ( / , y) : M e d F ( x + t/)} Ta cú b sau B 2.16 $ (ớ)(e) ầ edF{x + 2/)(2/, /), Vớ I, Ê K Chng minh Chỳ ý rng = p f o ^ ú j : t X + ty, ip : A E Ê ( M n , M m) I-)- A ( / ) Vỡ (p v afin, ta cú dj(t)(e) = Di){t){ố) = ey, V/, Ê G M d 0, Y^n=i Aj = v = lim^oo DF(xj) vi Xj > X (j i > oo), v tn ti DF( x j ) vi mi DF ( x j ) c v c = , , k] j = , , Bi vỡ úng, chuyn qua gii hn, ta cú Ai(u, u) , Vi = , , k Da vo (2.18) v tớnh li ca c, ta cú c A {u , u) G D (iii) => (i) Ly x ,y e D tựy ý Xột hm $ (ớ) = F {x + t(y - x)){y - x) Khi ú $ l Lipschitz cc b trờn mt on thng m I cha [0,1] Do vy $ l Lipschitz trờn bt k on thng compact [a, 6] vi [0 , ] c (, b) c [, 0] c I Theo nh lý giỏ tr trung bỡnh, cho hm vect [8 , Mnh 2.6.5], tn ti T \, , G [0,1], A i, , > 0, Ai + k 11 + = cho 53 Vỡ vy ( y) - F ( x ) ) ( y - x) = $(1) - $(0) k e Ê Ai-^XI) =1 k ầ ^ XdF(x + T ( y - x)){y - X, y - x) i=1 (theo B 2.16) ầ c Do ú F n iu iu phi chng minh Chỳ ý nh lý 2.7 l m rng kt qu ca Luc v Schaible [4] ú m = v c = R + nh lý 2.8 Cho D ầ W l m, li khc rng v cho f : D ằ Rm l hm lp c 1,1 Khi ú / l li i vi c v ch vi mi XG D, A G d 2f ( x ) , u G A(u, u) c Chng minh Ta cú / li i vi c D f n iu i vi c (theo [17, nh lý 4.4]) A(u, ự) c , Mx e D, A e d 2f ( x ) , u (theo nh lý 2.7) 54 c bit, ta cú kt qu sau H qu 2.3 ( [7, nh lý 4.9] ) Cho D ầ Mn l m, li khỏc rng v cho f : D ỡ Rm l hm hai ln kh vi liờn tc Khi ú f li i vi c v ch D 2f ( x ) ( u , u ) G c , Vx G D , u G Mn Chng minh Vỡ hm kh vi liờn tc l Lipschitz cc b, bin lun tng t nh chng minh ca nh lý bờn trờn ta thu c kt qu Chỳ ý m = v c = R+, H qu 2.3 tr thnh kt qu thụng thũng v c trng bc hai ca hm li Vớ d 2.6.1 C h o R c sp th t bi nún c = c o n (c o { (l,0 ,1), (0, 1, 1), (0,0,1)}) Cho / : K > M3 xỏc nh bi f ( x i , x 2) := [ \x + 2xi x 2: \ x + 2x2, \ x \ + Xi x ) Tớnh toỏn ta cú Vỡ vy D 2f { x ) { y , y) = {y, - y , y - ) = ^(1,0,1) + y(0,-1,-1) eC, Do ú / li i vi Vx , y e R c theo H qu 2.3 55 Kt lun Lun trỡnh by nhng kt qu c bn ca gii tớch li sau ú cho trng hp hm vect c bit l tng quỏt nh lý Fenchel - Moreau cho trng hp vect Cỏc kt qu chớnh ca lun ny c trỡnh by v chng minh y Cỏc tớnh cht liờn tc, tớnh Lipschitz a phng v kh di vi phõn Da trờn nhng khỏi nim nún ta a khỏi nim hm li vect v cỏc khỏi nim cn trờn ỳng v cỏc ỏnh x liờn hp v liờn hp cp hai ta thu c mt cỏch tng quỏt v y ca nh lý Fenchel - Moreau Gi s / l hm vect t li khỏc rng D ầ E " ti R n Khi y / li, úng v ch / = /** S dng o hm suy rng bc nht Clarke cho cỏc hm vect Lipschitz a phng, ta thu c c trng cp mt ca cỏc hm vect Do ú, ta cng thu c c trng cp hai cho cỏc hm li vect 56 Ti liu tham kho [1] Nguyn Xuõn Tn v Nguyn Bỏ Minh, Lý thuyt ti u khụng trn, Nh xut bn i Hc Quc Gia H Ni, 2007 [2] Luc, D T: On duality theory in multiobjective programming J optim Theory Appl 43(4), 557-582 (1984) [3] Luc, D T: Theory o f vector optimization Lect Notes Econ Math Syst 319, 1-175 (1989) [4] Luc, D T., Tan, N.X., Tinh, P.N.: Convex vector functions and their subdifferential Acta Math Vietnam 23(1), 107-127 (1998) [5] Luc, D T, Schaible, S: On generalized monotone nonsmooth maps J Convex Anal 3, 195-205 (1996) [6 ] Luc, D T: Generalized convexity in vector optimization Handbook o f Generalized Convexity and Generalizes Monotonicity 195-236 (2005) [7] Tan, N X, Tinh, p N: On conjugate maps and directional derivatives o f convex vector functions Acta Math Vietnam 25, 315-345 (2000) [8] Tinh, P N, Kim, D S: Convex vector functions and some applications J Nonlinear Convex Anal 14(1), 139-161 (2013) [...]... ff nh lý Fenchel - Moreau tụng quỏt v c trng bc hai cho hm li vect 2.1 Giúi thiờu Hm li úng vai trũ quan trng trong gii tớch phi tuyn, c bit trong ti u Trong trng hp vect, hm li vect c quan tõm chỳ trng rt nhiu lm sỏng t cu trỳc ca lp hm vect v ng dng vo ti u vect ([9]) Trong ([3], [4]), ỏc c trng ca tớnh li c trỡnh by di dng ca o hm tng quỏt bc nht Nhng gn nh l khụng cú kt qu no v c trng bc hai Mt... ISup A ^ 0 v tn ti mt dóy tng trong A hi t v ISup nh lý 2.1 ([8], nh lý 2.16, Chỳ ý 2.18) Gi s trt t nún c c Mm l úng, li v nhn Cho A l mt tp con khỏc rng ca Mm Khi ú sup i4 ^ 0 khi v ch khi A b chn trờn Trong trng hp ny, ta cú Ub(A) = sup(A) + c Theo nh lý ny, nú l hin nhiờn nu sup A l tp n phn t thỡ sup = ISup Bõy gi cho D c Mm l mt tp khỏc rng v cho / : D >Rm th trờn ca / i vi c c xỏc nh nh tp... ng ) X* e d f ( x o ) { x o) + = (x*,x0); iii) f !(x, d) > (x*, d), Vd G X nh lý 1.9 ([1], nh lý 1.5.7) i) Cho /i, /2 l cỏc hm li chớnh thng trờn X Khi ú dfi (x) + /29x) c a / ( / i + Mx X 'j Nu ti Xq G domf i n d o m f 2 mt trong hai hm l liờn tc thỡ d f i ( x ) + d f 2(x) = a / ( / i + / 2)(^), Vrr X 18 M nh 1.10 Cho / l mt hm li t tp con li khụng rng D ỗ X vo M v X G -D, Ê L(x, 1R) khi ú... 7^ 0 tỏch cht A v B, nu tn ti s Ê > 0 sao cho ( f , y) < ( f , x) - Ê , \ / x e A, My e B nh lý 1.1 ([1], nh lớ 1.2.2) Cho A v B l cỏc tp li trong X , A n B = 0 hoc in tA 7^ 0 hoc in tB 0- Khi ú tn ti mt phim hm tuyn tớnh liờn tc / 7^ 0, / G i tỏch A v B H qu 1.1 Cho A v B l cỏc tp li trong X , n tA 7^ 0 khi ú A ,B tỏch c nu v ch nu (in tA ) n B = 0 nh lý 1.2 ([1], nh lớ 1.2.3) Gi s A l tp li úng... Ta ly X = Y = lRm Cỏc kt qu ca chng ny cú th m rng cho khụng gian vụ hn chiu Bng cỏch gii thiu cỏc nh ngha ca khỏi nim toỏn t C-xỏc nh cho cỏc toỏn t t Mn ti Mm, Ê(Mn, Mm) kớ hiu khụng gian ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t Rn ti Km v c c Km l mt nún li Tng quỏt khỏi nim ca ma trn na xỏc nh dng, ta ch ra c trng bc hai cho tớnh li ca hm vect kh vi liờn tc hai ln i vi tớnh liờn tc, ta ch ra rng tớnh úng l iu... khỏi nim ca s hiu qu nh ngha 2.1 ([3], nh ngha 2.1) Cho A c Mm l mt tp khỏc rng v cho a G A Ta núi rng i) a l mt phn t hu hiu lý tng ca A i vi c nu a - /*(z*) = Ê*(z* - a?2); m) /( z ) = Ag(x), X > 0 => = A#*(A V ) ; ivj /(x ) = A#(A_ 1 :r), A > 0 => /*(x*) = A#*(z*); w /( a ) = (Ax), > 0 => f*(x*) = Ê*(_V ) nh lý 1.7 ([1], nh lý 1.4.3, Fenchel - Moreau) Gi s X l khụng gian li a phng Hausdorff, / : X > (00 , +oo] Khi ú / = /** khi v ch khi f li úng 13 Di õy ta lit kờ mt s tớnh cht quan trng ca hm liờn hp 1 Gi s / l hm li chớnh... din trong b sau B 2.3 Gi s nún th t c ầ (i) [6 , H qu 2.21] Cho A ầ úng, li v nhn khỏc rng Nu Ub A n co A 0, thỡ Ub A r \ c o A = ISup A (trong ú co A l bao úng ca bao li ca A) (ii) [6 , H qu 2.14] Cho s ỗ M khỏc rng v b chn trờn Khi ú, vi mi c G c , ta cú ISup(/S'c) = (sup S)c (trong ú Sc := {tc : t G S}) (iii) [6 , nh lý 2.16, Chỳ ý 2.18] Cho ầ Mm khỏc rng Khi ú sup / I kh v ch khi A b chn trờn