Hàm lồi vectơ và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỒNG ĐĂNG HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN HỒNG ĐĂNG HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu hình thức kỷ luật theo quy chế trường Thái Nguyên, tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Hồng Đăng Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thành làm việc hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS, người tận tình dìu dắt tác giả bước đường nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Đào Tạo Sau Đại Học toàn thể thầy cô giáo tận tình giảng dạy giúp đỡ trình học tập trường ĐHSP Thái Nguyên Tôi xin cảm ơn người thân gia đình, bạn bè gần xa, người dành cho tác giả nhiều quan tâm ưu để luận văn sớm hoàn thành Tôi mong nhận ý kiến chân tình thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Hồng Đăng Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: HÀM LỒI VÔ HƢỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi tính chất 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.2 Tính liên tục 1.3 Tính liên tục Lipschitz 1.4 Hàm liên hợp 1.4.1 Phép biến đổi Young - Fenchel 1.4.2 Tính chất hàm liên hợp 10 1.5 Dưới vi phân 12 Chƣơng 2: HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 Giới thiệu 18 2.2 Định nghĩa, khái niệm kết bổ trợ 19 2.3 Tính liên tục 24 2.4 Các đặc trưng hàm lồi 31 2.5 Dưới vi phân hàm lồi vectơ 37 2.6 Ánh xạ lùi xa 42 2.7 Một số ứng dụng 51 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Giải tích lồi môn toán quan tâm phát triển mạnh mẽ toán học Nó sử dụng rộng rãi tối ưu hóa, vận trù học, kinh tế, giao thông, ngân hàng nhiều lĩnh vực khác Nhiều toán thực tế kỹ thuật quy việc tìm   (1) Min f x , x D D tập không gian vectơ X , f : D   1) Nếu f tuyến tính D đa diện lồi, toán (1) gọi toán qui hoạch tuyến tính có phương pháp giải hoàn hảo phương pháp đơn hình Danzig, thuật toán Khachian, Kamakar 2) Nếu f hàm lồi D tập lồi toán (1) toán qui hoạch lồi nhiều tác giả nghiên cứu đưa phương pháp giải hữu hiệu Rockafellar, Wolfe, Frechel Meaureau Mặt khác, vấn đề đặt là: lớp hàm lồi không gian Banach có tính chất: a) Nó ổn định dạng tổng hữu hạn tổng súp hữu hạn   b) Điều kiện tối ưu  f x f vi phân cổ điển điều kiện cần cho x cực tiểu địa phương c) Đẳng thức xảy phép lấy tổng vi phân        d) Tính chất: Nếu f x   f x  với x  X  f1  f2 x  f1 x  f2 x f1  f2 số Mục đích luận văn giới thiệu số tính chất lớp hàm lồi vô hướng hàm lồi vectơ Đó là: Tính liên tục, tính Lipschitz địa phương, tính khả vi phân ứng dụng chúng Luận văn có nhan đề: Hàm lồi vec tơ ứng dụng Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương luận văn giới thiệu lại kiến thức giải tích lồi Chương trình bày mở rộng tính chất, kết hàm lồi vô hướng cho hàm vectơ lồi theo nón Trong không gian tô pô tuyến tính nói chung chưa có khái niệm thứ tự Để tạo thứ tự không gian này, người ta đưa vào khái niệm nón: Cho Y không gian vectơ tô pô, tập C  Y gọi nón tC  C với t     Nếu C tập lồi, đóng, C  C  C gọi nón lồi đóng nhọn Ta định nghĩa x,y  X , x C y x  y  C Khi ấy, C quan hệ thứ tự phần Dựa vào thứ tự ta định nghĩa hàm vectơ lồi sau: Cho D  X tập lồi khác rỗng, Y không gian vectơ tô pô, ta nói F : D  Y hàm vectơ lồi          F x    y C F x    F y , với x,y  D,   0; 1 Ta nghiên cứu tính chất liên tục theo nón, tính khả vi phân theo nón hàm lồi ứng dụng luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chƣơng HÀM LỒI VÔ HƢỚNG VÀ ỨNG DỤNG Trong năm gần giải tích lồi môn học phát triển ứng dụng mạnh mẽ toán ứng dụng vào thực tế : toán tối ưu, toán vận trù học, toán kinh tế ngành kỹ thuật Mục đích chương giới thiệu khái niệm tập lồi, hàm lồi, tính chất: liên tục, Lipschitz địa phương, tính khả vi phân hàm lồi ứng dụng lý thuyết tối ưu 1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi tính chất 1.1.1 Tập lồi Cho X không gian tô pô thực, X* không gian tô pô đối ngẫu X,    tập số thực, ký hiệu      Trước hết ta nhắc lại, định nghĩa tập lồi định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1.1 Tập A  X tập lồi a, b  A với     0;1 : a    b  A Tập A  X với a, b  A đoạn thẳng nối a,b xác định     a, b   x  A : x  a    b ;    Nhận xét 1.1.1.2 Tập A tập lồi với a, b  A a, b   A Dưới đây, ví dụ tập lồi thường gặp Định nghĩa 1.1.1.3 Cho f  X * ,  số thực cố định     Tập H  x  X : f x   gọi siêu phẳng; Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/      x  X : f x    gọi nửa không gian H   x  X : f x   gọi nửa không gian trên; H Tất tập tập lồi Tiếp theo, ta nhắc lại khái niệm khác liên quan tới tập lồi Định nghĩa 1.1.1.4 Cho A  X i) Giao tất tập lồi chứa tập A gọi bao lồi A  coA  x  X : x   n  x , x i 1 i i i A  i  1, 2, , n  ;  ii) Giao tất tập lồi đóng chứa tập A gọi bao lồi đóng A, ký hiệu co A Mệnh đề 1.1.1.5 Giả sử A  X tập lồi, i) Phần int A bao đóng A tập lồi; ii) Với x  int A , x  A x 1, x   int A ; iii) Nếu int A   A  int A , int A  int A Khái niệm tách tập lồi, đóng vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu Định nghĩa 1.1.1.6 Cho tập A, B  X ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục f  tách A B tồn số  cho f ,y    f , x với x  A , với y  B ; (1.1)   Trong đó, f , x  f x tích vô hướng X X * Nếu bất đẳng thức (1.1) thực sự, tức f ,y    f , x với x  A, y  B ta nói f tách chặt A B Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/   Siêu phẳng H  x  X : f , x   gọi siêu phẳng tách A B Các tập A, B gọi tách Nhận xét 1.1.1.7 i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với bất đẳng thức f ,y  f , x , x  A, y  B ; ii) Phiếm hàm f  tách chặt A B, tồn số   cho f ,y  f , x   , x  A, y  B Định lý 1.1.1.8 1 Cho A B tập lồi X, A  B   , int A   intB   Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f  0, f  X tách A B Hệ 1.1.1.9 1 Cho A,B tập lồi X, int A  A, B tách   int A  B   Định lý 1.1.1.10 1 Giả sử A tập lồi đóng không gian lồi địa phương X x  A tồn f  X * , f  tách chặt A x Hệ 1.1.1.11 Cho X không gian Hausdorff lồi địa phương A  X ta có i) co A trùng với giao tất nửa không gian chứa A; ii) Nếu A tập lồi A đóng A đóng theo tô pô yếu 1.1.2 Hàm lồi Cho A  X tập lồi f : A   Định nghĩa 1.1.2.1 Hàm f gọi hàm lồi với x,y  A với Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 45 Khi định nghĩa cận theo (2.13) S x   ta có   f x  Min S x      Min (Ub f y  x  f y y  D )      Sup f y  x  f y y  D   Mệnh đề chứng minh    Ta ý theo công thức Mệnh đề 2.6.4, ta có f  Từ Định nghĩa 2.6.2 ta thấy ánh xạ lùi xa hàm lồi vectơ có cấu trúc tập giá trị Để nghiên cứu ta cần số khái niệm ánh xạ tập giá trị Cho F ánh xạ tập giá trị từ  n tới  m Ta định nghĩa đồ thị F C tập epi F : x, u    x  n m    u  F x C , F gọi lồi ( tương ứng đóng) epiF lồi ( tương ứng đóng) F gọi dương     F x  F x , x  dom F ,   Trong phần lại phần này, trật tự nón C giả sử lồi đóng nhọn Mệnh đề 2.6.5 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D   n đến  m , epi( f )  (epif ) Chứng minh Cho (x , u )   n   m tùy ý Từ định nghĩa S x  2.13 theo Mệnh đề 2.6.4; Định lí 2.2.6 ta có (x , u )  epi( f )  u  f (x )  C ;  u  Sup{f (y  x )  f (y ) | y  D}  C ;  u Ub{f (y  x )  f (y ) | y  D} ; Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 46  u  Sx;  (x , u )  (epif ) Mệnh đề chứng minh Ta ý từ Mệnh đề 2.6.5, domf nón lồi domf  D Bao hàm ngược lại không tổng quát Cho f :    xác định f (x ) : x 2, x   Khi domf  {0} D   Theo mệnh đề ta thấy Định nghĩa 2.6.2 mở rộng khái niệm ánh xạ lùi xa với hàm lồi vô hướng tới trường hợp vectơ Bổ đề 2.6.6 Cho sử f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D   n đến  m Giả sử x  D, x  D tùy ý Khi tập   f (x  x )  f (x )     |   0}      tuyến tính Chứng minh Cho    '  tùy ý Ta có x   ' x  (1  ' ' )x  (x  x )   Khi đó, tính lồi f f (x   ' x )  (1  ' ' ) f (x )  f (x  x )   Ta suy f (x   ' x )  f (x ) f (x  x )  f (x )  '   f (x  x )  f (x )    Do tập   |   0} tuyến tính Chứng minh xong      Nói chung, ánh xạ lùi xa hàm vectơ có cấu trúc tập giá trị Tuy nhiên, điều kiện biết họ giảm ánh xạ đơn trị Chẳng hạn điều kiện tính đóng mệnh đề sau Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 47 Mệnh đề 2.6.7 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D   n tới  m Khi ánh xạ lùi xa f  ánh xạ tập giá trị lồi dương Hơn nữa, f đóng , f  quy hàm đơn trị đóng với x  D, f cho công thức sau    f (x  x )  f (x )  f( x )  ISup  |   0 , x  domf       Chứng minh Tính lồi f  có từ Mệnh đề 2.6.5 Theo ý sau, Mệnh đề 2.6.4 bất đẳng thức sau S x  S x , x   n ,   0, Min ( A )  MinA, A   m ,   0, f  dương Bây giờ, giả sử f đóng Vậy theo Bổ đề 2.6.1 Mệnh đề 2.6.5 trên, epif đóng, f  đóng Cuối cùng, cho x  D, x   n u   m tùy ý Vì epif đóng lồi, ta có u  S x  (x , u )  (epif ) ;  (x 0, f (x )  (x , u )  epif ,   0;  f (x  x )  f (x )  u,   0;     f (x  x )  f (x )   u Ub  |   0      Do  f ( x  x )  f ( x )    S x  Ub  |   0      (2.14) Nếu x  domf , theo Mệnh đề 2.6.4, S x   Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 48  f (x  x )  f (x )    Từ (2.14), tập   |   0} bị chặn Mặt khác , theo        f (x  x )  f (x )   Bổ đề 2.6.6 tập   |   0} tuyến tính Thế theo         f ( x  x )  f (x )  |   0 Từ định nghĩa Mệnh đề 2.2.5, tồn IS up       cận ánh xạ lùi xa với (30) ý sau Định nghĩa 2.2.3 ta có f (x )  MinS x  f (x  x )  f (x )   Min (Ub  |   )     f (x  x )  f (x )   Sup  |   0     f (x  x )  f (x )   ISup  |   0     f ( x  x )  f (x )    |   0 tập hợp đơn phần tử Do Vì C nhọn, ISup       f  ánh xạ đơn trị Mệnh đề chứng minh Ví dụ 2.6.8 Cho  trật tự nón Orthan dương  2 giả sử f : (0, )   xác định Ví dụ 2.5.3, tức f (x )  (x , x  ) x Với tập hợp mức khác rỗng leva f ta có  leva f  x  (0, ) | f (x ) a     x  (0, ) | x  a1, x   a  x    (0, a ]  [1, 2 ] Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 ( đó, i  0, i  1, nghiệm phương trình x   a ) x Do vậy, leva f đóng Khi theo Bổ đề 2.2.8, f đóng Áp dụng Mệnh đề 2.5.7, với x  domf    , ta có  f (1  x )  f (1)  f( x )  IISup  |   0      1  IISup (x , x   ) |   0  (1  x )   Theo định nghĩa IISup , ta thử lại   1 ) |     {(x , x )} IISup (x , x    (1  x )   Do  {(x , x )}, x  0, f  (x )   , x    Nó trùng với kết Ví dụ 2.6.3 Một hàm  : A     m gọi giảm ( nón C) r , s  A, r  s  (r ) (s ) Mệnh đề 2.6.9 Cho f hàm lồi vectơ từ tập lồi khác rỗng D   n đến  m cho x  D Khi f (y  x ) hàm giảm (  0) với y  D f (x )  ( C )   Chứng minh () f (y  x )  f (y ) với y  D , ta có Ub{f (y  x )  f (y ) | y  D } Khi theo Định lí 2.2.6 ta có Sup {f (y  x )  f (y ) | y  D}  (-C)   Theo Mệnh đề 2.6.4, có nghĩa Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 50 f (x )  ( C )   ( ) Giả sử y  D tùy ý giả sử ,  '   cho    '  Vì f  dương ta có f ((    ')x )  ( C )   (2.15) Theo Mệnh đề 2.6.4 f ((   ')x )  Sup{f (z  (   ')x )  f (z ) | z  D } Nó (2.15) định nghĩa cận đúng, dẫn đến f (z  (    ')x )  f (z ) 0, z  D Chú ý f (y  x )  f (y   ' x )  f (y   ' x  (   ')x 0)  f (y   ' x 0) Khi có f (y  x )  f (y   ' x ) Do f (y  x ) hàm giảm     Chứng minh xong Hệ 2.6.10 Giả sử f hàm lồi vectơ đóng từ tập lồi khác rỗng D   n tới  m giả sử x  D Nếu có điểm y  D có tính chất f (y  x ) hàm giảm (  0) , tính chất trì cho y D    f (y  x )  f (y )  |   0 bị chặn Chứng minh Vì f đóng lồi tập       0, ta có S x   theo (30), x  domf Từ Mệnh đề 2.6.7 định nghĩa ISup , ta có    f (y  x )  f (y )  f (x )  ISup  |   0       Áp dụng Mệnh đề 2.6.9, ta hoàn thành chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 51 Tập tất vectơ x   n cho f (x )  ( C )   gọi nón   Nó dễ dàng để thấy nón lồi R ec  f  gọi hướng lùi xa f lùi xa f kí hiệu R ec f Hướng vectơ Mệnh đề 2.6.11 Giả sử hàm lồi vectơ đóng từ tập lồi khác rỗng D   n tới  m Khi tất tập hợp mức khác rỗng f giống nón lùi xa Chứng minh Giả sử a   m cho leva f   giả sử y  leva f Khi (y, a )  epif Vì f đóng, theo Bổ đề 2.2.8, leva f đóng Khi với vectơ x   n có x  (leva f )  y  x  leva ,   0;  f (y  x ) a,   0;    (y, a )   x ,  epif ,   ;  (x , 0)  (epif ) ;  (x , 0)  epi( f ); (Theo Mệnh đề 2.6.5)   f  (x )  C ;  f (x )  ( C )  ;  x  Re c ( f ) Mệnh đề chứng minh 2.7 Một số ứng dụng Trong phần ta nghiên cứu điều kiện đủ cho tồn phương án tối ưu toán tối ưu hóa vectơ dựa phương lùi xa hàm mục tiêu Giả sử f hàm vectơ từ tập khác rỗng D   n đến Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 52  m ,  m trật tự nón lồi C Đầu tiên ta xét toán tối ưu hóa vectơ không ràng buộc  Minf (x ),  s t x  D Ta cần tìm điểm x *  D gọi phương án tối ưu ( tối thiểu, hiệu quả) (VP) , cho f (x * )  Min ( f (D ) \ C ) Trong phần lại ta giả sử trật tự nón C   m lồi, đóng nhọn với int C   Bổ đề 2.7.1 Giả sử c  int C x   m tùy ý Khi k  N cho kc  x Chứng minh Vì  c  int C tồn r  cho hình cầu mở B (0, r )  c  int C Khi tìm thấy số k  N cho x  B (0, r ) Điều có nghĩa k x  kc  k int C  kx  C Điều cần chứng minh Định lí 2.7.2 Giả sử f lồi đóng Nếu f có phương lùi xa khác 0, tức   R ec f  0, toán tối ưu hóa vectơ (VP) có phuơng án tối ưu Chứng minh Giả sử y  f (D ) tùy ý Tập B : (y  C )  f (D ) Dễ thấy MinD  f (D ) Để hoàn thành chứng minh định lí, đủ để MinB   Khi đó, giả sử S tập tuyến tính khác rỗng B Ta S bị chặn Thật vậy, giả sử ngược lại S không bị Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 53 chặn Giả sử c  int C , theo phần giới thiệu, ta xây dựng dãy {y k }k  S cho   Vì R ec f kc  y k , (2.16) y k 1  y k , k (2.17) 0 , theo Mệnh đề 2.6.11, Bổ đề 2.2.7 Bổ đề 2.6.1, lev  yk f tập compact khác rỗng, với k Từ (2.17) ta có levy k 1  levy f , k k Do   levy f   k 1 k  Giả sử x   levy f Khi f (x )  y k , k Do theo (2.16) k 1 k   kc  f x , k (2.18)   Vì c  int C , theo Bổ đề 2.7.1, tồn k0 cho k 0c  f x , mấu thuẫn với (2.18) suy S bị chặn Theo Mệnh đề 2.2.5 ý sau nó, IInf S tồn có dãy giảm { f(x k )}k  S hội tụ tới IInf S Vì levy f compact   {x k }k  levy f , không tính tổng quát ta giả sử x k k hội tụ tới x  levy f Bởi tính đóng f , ta có (x 0, IInf S )  epi f Do S bị chặn từ f (x )  B Áp dụng bổ đề Zorn's ta MinB   Ví dụ 2.7.3 Giả sử  trật tự nón orthan dương  2 Xét toán vectơ  Minf (x ),  s.t x  (o, ) Trong đó, f : (0, )   xác định Ví dụ 2.6.3 Vì Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 54  {(x , x )}, x  0, f  (x )   , x      Ta có R ec f  0 Khi theo Định lí 2.7.2 toán có phương án tối ưu Ta thấy x  phương án tối ưu toán Bây giờ, ta xét toán tối ưu hóa vectơ sau với tập ràng buộc tổng quát Minf (x ),  s t x  D ,  x  E  (SVP) Trong đó, E tập  n Kí hiệu S tập khả thi (SVP), tức S  {x  D | x  E } Ta nên ý f E đóng fD E đóng, fD E có nghĩa thu hẹp f D  E Hệ 2.7.4 Giả sử f E lồi, đóng tập khả thi S khác rỗng Nếu R e c ( f )  E   {0} toán tối ưu hóa vectơ (SVP) có phương án tối ưu Chứng minh Ta cần R e c ( f D E )  R ec ( f )  E  Khi áp dụng Định lí 2.7.2 ta kết Giả sử x  R e c ( fD E ) y  D  E tùy ý Khi x  (D  E )  theo Mệnh đề 2.6.9, f (y  x ) giảm  (   0) Theo Hệ 2.6.10, x  Re c ( f ) Mặt khác E không đóng kín, áp dụng Bổ đề 2.6.1 ta có x  E Điều ngược lại, giả sử x  Re c ( f )  E  giả sử y  D  E tùy ý Khi x  (D  E ) ( theo Bổ đề 2.7.1) f (y  x ) hàm giảm  (   0) Theo Mệnh đề 2.6.9, x  Re c ( fD E ) Chứng minh xong Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 55 Cuối cùng, ta xét toán tối ưu hóa vectơ với bất đẳng thức ràng buộc sau  Minf (x ),  s.t x  D,  x  D , f (x ) C , i  I i i i  (IVP) Trong đó, f : D   n   m , fi : Di   n   i , i  I hàm vectơ m với I tập số tùy ý với  mi trật tự nón đóng, lồi nhọn Ci với int C i   Tập E i : {x  Di | fi (x )C i 0}, i  I , E :  E i i I Kí hiệu T tập khả thi (IVP), tức là, T  {x  D | x  Di , fi (x )C i 0, i  I } Hệ 2.7.5 Giả sử tập khả thi T khác rỗng hàm f , fi , x  I lồi đóng Nếu f , fi , x  I phương lùi xa khác không chung, tức Re c ( f )  (  Re c ( fi ))  {0} , i I toán (IVP) có phương án tối ưu Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.8, Ei đóng với i  I Theo Bổ đề 2.6.1, có E    (E i ) Áp dụng Mệnh đề 2.6.11, ta E    R e c ( fi ) Khi i I i i sử dụng Hệ 2.7.4 ta hoàn thành chứng minh Ví dụ 2.7.6 Giả sử X   trật tự nón orthan dương C   2 giả sử  X   trật tự nón C  {(1,1)  ( 1,1) | ,   Xét toán vectơ bất đẳng thức ràng buộc sau Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 56  Minf (x ),  s t , x   ,   f1(x ) C 0,  f2 (x ) C  Trong f , f2 :   X , f1 :   X xác định sau f (x , y )  (x  y, e x  y ), f1(x , y )  ( x , 2y ), f2(x, y )  (y  x, e x   y ) Theo tính toán ta Re c ( f )  {( 1, 0)  ( 1,1) | ,   0} ; 1 R e c ( f1 )  {( 1, )  (1, ) | ,   0} ; 2 Re c ( f2 )  {(1, 0)  (1,1) | ,   0} Do R e c ( f )  R e c ( f1 )  R e c ( f2 )  {0} Khi theo Hệ 2.7.5 ta biết toán có phương án tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 57 KẾT LUẬN Luận văn Hàm lồi vec tơ ứng dụng trình bày vấn đề sau: Chương giới thiệu lại kiến thức giải tích lồi, bao gồm: Định nghĩa tập lồi, hàm lồi tính chất; Tính liên tục; Tính liên tục Lipschitz; Hàm liên hợp tính chất; Dưới vi phân hàm lồi Chương trình bày mở rộng tính chất, kết hàm lồi vô hướng cho hàm vectơ lồi Cụ thể gồm: Định nghĩa, khái niệm kết bổ trợ; Tính liên tục; Các đặc trưng hàm lồi; Dưới vi phân hàm lồi vectơ; Ánh xạ lùi xa; Một số ứng dụng Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N B Minh and N.X Tấn (1998) ‘‘Giải tích hàm’’, Acta Math Viet [2] J Benoist and N Popovici (2003) ‘‘Characterizations of convex and quasiconvex set – valued maps’’, Math Meth Oper Res 57 , 427 – 435 [3] R I Bot, S – M Grad and G Wanka (2009) Duality in Vector Optimization, Springer, Berlin [4] G Cheng, X Huang and X Yang (2005) ‘‘Vector Optimization, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems’’, 541, Springer, Berlin, pp 1-360 [5] C Cu sano, M Fini and D Torre (2004) ‘‘Characterizations of convex functions and Optimization’’, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 5, – 10 [6] J Jahn, Vector Optimization (2004), Springer – Verlag, Berlin Heidelberg [7] D La Torre (2007) ‘‘Optimality conditions for convex vector functions by mollified derivatives’’, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems, 583, Springer, Berlin, pp 327 – 335 [8] D T Luc (1989) ‘‘Theory of vector Optimization, Lecture notesin Economics and Mathematical Systems’’, 319, Springer, Berlin, pp – 175 [9] D T Luc (1998) ‘‘Generalized convexity and some applications to vecter Optimization’’, Viet J Math 26 , 95 – 110 [10] D T Luc, N X Tan and P N Tinh (1998) ‘‘Convex vector functions and their subdifferential’’, Acta Math Viet 28, 107 – 127 [11] D T Luc (2005) ‘‘Generalized convexity in vector Optimization Handbook of generalized convexity and generalizes monotonicity’’, Nonconvex optim Appl 76, 195 – 236 [12] D T Luc (1993) ‘‘Recession maps and applications’’ , Optimization 27 ,  15 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 59 [13] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey [14] T Tanino (1992) ‘‘Conjugate duality in vector Optimization’’, Journal of Mathematical Analysis and Applications 167 , 84  67 [15] P N Tinh (1999) ‘‘On a representation of convex vector functions and the maximal cyclical monotonicity of their subdifferential’’, Acta Math Viet 24 , 183  191 [16] P N Tinh, N X Tan and D T Luc (1998) ‘‘subdifferential Characterizations of quasiconvex and convex vector functions’’, Viet J Math 26 , 53  69 [17] P N Tinh and N X Tan (2000) ‘‘On conjugate maps and directional derivatives of convex vector functions’’, Acta Math Viet 25 , 315  345 [18] P N Tinh and D S Kim (2013) ‘‘Convex vector Functions and some applications Journal of Nonlinear and Convex Analysis’’, Volume 14, Number 1, 139 – 161 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 18 Chƣơng 2 HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chúng ta nghiên cứu một số các tính của các hàm lồi vectơ và một vài ứng dụng tối ưu hóa vectơ Bằng cách giới thiệu các định nghĩa của các khái niệm toán tử C  xác định, lồi, liên tục cho lớp toán tử từ  n L(  n ,L(  n ,  m )), ( trong đó C vào   m là nón lồi) Đặc trưng bậc nhất qua tính đơn điệu, qua đạo hàm theo hướng Tổng quát các khái... là hàm lồi trên A Mệnh đề 1.1.2.3 Hàm số f được gọi là hàm lồi trên A nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn i) epif là tập lồi;          ii) lev f  g,  là tập lồi g  X trong đó f  g x  f x  g x Nhận xét 1.1.2.4 i) Nếu f là một hàm lồi thì domf là tập lồi;        ii) Nếu f là một hàm lồi thì : x : f x   , x : f x    là các tập lồi    ,   Chứng... dương cho ta đặc trưng cấp hai của tính lồi của các hàm lồi vectơ Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là đủ cho một hàm lồi liên tục tương đối trên miền định nghĩa Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi xa của các hàm lồi vectơ được đưa ra và bằng nghiên cứu các tính chất đó và áp dụng vào chứng minh điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu có ràng buộc và không có ràng buộc Để cho đơn giản... rằng f là lồi ( tương ứng đóng) đối với C nếu epif là lồi ( tương ứng đóng) trong  n   m , có thể thấy rằng f là lồi nếu và chỉ nếu D là lồi và với mỗi x , y  D ,   [0,1] ta có f (x  (1  )y ) f (x )  (1  ) f (y ) f được gọi là lồi ngặt đối với C nếu f (x  (1  )y )  f (x )  (1  ) f (y ), x y  D, x  y,   (0,1) Mối quan hệ giữa các hàm lồi vô hướng và hàm lồi vectơ được... 2.2.7 ( 8  , Bổ đề 2.1) Giả sử rằng trật tự nón C   m là đóng và lồi Cho f là hàm vectơ từ tập khác rỗng và lồi D   n vào  m , thế thì i) f là lồi đối với C nếu và chỉ nếu f là lồi với mọi  C '\ {0} ; ii) Giả sử rằng int C  , f là lồi ngặt đối với c nếu và chỉ nếu f là lồi ngặt, với mọi   C '\ {0} Tập hợp mức của một hàm vectơ f : D   n   m tại a   m đối với nón C được xác định... tương ứng hàm với một hàm lồi như sau: Định nghĩa 1.4.1.1 Phép biến đổi Young - Fenchel của hàm f hay hàm liên hợp với f được xác định trên X như sau      f * x *  sup x * , x  f x x X (1.6) Mệnh đề 1.4.1.2 f * là hàm lồi đóng * yếu     Chứng minh Với x cố định hàm g x * :  x * , x  f x là hàm tuyến tính   trên X * Do đó g x * lồi đóng * yếu   là giao của trên đồ thị các hàm g... cho đơn giản trong chương này ta chỉ trình bày các khái niêm và kết quả trong trường hợp hữu hạn chiều 2.1 Giới thiệu Hàm lồi đóng một vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt là trong tối ưu Trong trường hợp vectơ, người ta chú ý nhiều đến hàm lồi vectơ để làm sáng tỏ cấu trúc của lớp những hàm vectơ và ứng dụng trong giải tích vectơ của bài báo ( 2  11 , 14   18 ) Trong... xạ tuyến tính liên tục từ  n tới  m và C   m là một nón lồi) Tổng quát khái niệm của ma trận nửa xác định dương, ta chỉ ra đặc trưng bậc hai của tính lồi của hàm vectơ khả vi liên tục 2 lần Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là điều kiện đủ cho các hàm lồi vectơ là liên tục Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi xa của các hàm lồi vectơ được đề xuất và nghiên cứu các tính chất chúng ta tìm... kiện đủ cho hàm vectơ nửa liên tục Mệnh đề 2.3.1 Giả sử trật tự nón C   m là đóng, lồi và nhọn với intC   Cho f là hàm vectơ từ tập khác rỗng D   n đến  m và cho S  D, x 0  S Nếu f là đóng và nửa liên tục trên tương đối đến S tại x0 , khi đó f nửa liên tục dưới tương đối tới S tại x0 Để chứng minh Mệnh đề 2.3.1 ta cần bổ đề sau đây Bổ đề 2.3.2 Giả sử C   m là nón đóng, lồi và nhọn và giả sử... thấy tập hợp mức của một hàm lồi vectơ là lồi Bổ đề 2.2.8 Giả sử  m được sắp thứ tự bởi một nón lồi C   m Cho f là một hàm vectơ từ tập con khác rỗng D   n tới  m Nếu f là đóng thì leva f cũng là đóng với mọi a   m Thêm vào đó, nếu C là đóng với int C   , thì điều ngược lại là đúng Chứng minh Giả sử a   m tùy ý và cho một dãy {x k }  leva f hội tụ tới   epif và nó hội tụ tới x , a ... theo nón hàm lồi ứng dụng luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chƣơng HÀM LỒI VÔ HƢỚNG VÀ ỨNG DỤNG Trong năm gần giải tích lồi môn học phát triển ứng dụng mạnh... 18 Chƣơng HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chúng ta nghiên cứu số tính hàm lồi vectơ vài ứng dụng tối ưu hóa vectơ Bằng cách giới thiệu định nghĩa khái niệm toán tử C  xác định, lồi, liên tục cho lớp... iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: HÀM LỒI VÔ HƢỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Định nghĩa tập lồi, hàm lồi tính chất 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.2 Tính liên tục