hàm lợi ích và ứng dụng trong toán tài chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Nguyễn Ngọc Thúy HÀM LỢI ÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Nguyễn Ngọc Thúy HÀM LỢI ÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 MỤC LỤC Lời cảm ơn Danh sách hình vẽ Mở đầu CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các khái niệm thị trường tài 1.2 Biến ngẫu nhiên đặc trưng 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.3 Phân phối chuẩn phân phối loga chuẩn 11 1.3.1 Phân phối chuẩn 12 1.3.2 Phân phối loga chuẩn 13 1.4 Quá trình ngẫu nhiên chuyển động Brown 13 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên 13 1.4.2 Chuyển động Brown 14 1.5 Mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn 14 1.5.1 Sự cộng gộp liên tục 14 1.5.2 Xây dựng mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn 17 CHƯƠNG II: HÀM LỢI ÍCH 21 2.1 Định nghĩa ví dụ 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích toán đầu tư tối ưu 22 2.1.3 Ví dụ 22 2.2 Giá trị tương đương hầu chắn phương án đầu tư 25 2.3 Hàm lợi ích phép biến đổi affine dương 26 2.4 Một vài hàm lợi ích thường gặp 27 2.4.1 Ví dụ 27 2.4.2 Hàm lợi ích logarit 36 2.4.3 Hàm lợi ích lũy thừa 37 2.4.4 Hàm mũ 39 2.5 Hàm e ngại rủi ro 41 2.5.1 Xây dựng hàm e ngại rủi ro 41 2.5.2 Tính chất 42 2.5.3 Hàm e ngại rủi ro ứng với số hàm lợi ích 46 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT ĐẦU TƯ 49 3.1 Hiệu 49 3.2 Hàm lợi ích mũ đầu tư với lợi tức thu biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 49 3.3 Hàm lợi ích lũy thừa đầu tư với lợi tức thu biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn 57 Kết luận 66 Chỉ mục 67 Tài liệu tham khảo 68 Lời cảm ơn Trong trình thực đề tài em gặp nhiều khó khăn bỡ ngỡ Nếu giúp đỡ lời động viên chân thành thầy cô bạn bè đồng nghiệp có lẽ em khó hoàn thành tốt luận văn Đầu tiên em xin gửi lời biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Chí Long, người trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em muốn gửi lời cám ơn đến thầy cô giáo hội đồng phản biện, ý kiến đóng góp quý thầy cô vô hữu ích, giúp em nhận khuyết điểm luận văn hoàn thiện luận văn Đồng thời em gửi lời cám ơn đến thầy cô, cán phòng sau đại học tạo điều kiện suốt trình học tập thực luận văn Và sau xin cám ơn cha mẹ, anh chị động viên tạo điều kiện cho ăn học nuôi dạy nên người Tp Hồ Chí Minh, Tháng Năm 2012 Đặng Nguyễn Ngọc Thúy Danh sách hình vẽ Hình Trò chơi công 24 Hình 2 Đầu tư rủi ro với hàm lợi ích U (ω ) = −ω −3 28 Hình Đầu tư rủi ro với hàm lợi ích U (ω ) = −1010 ω −5 29 Hình Đường cong lợi ích ứng với λ = −3 32 Hình Đường cong lợi ích ứng với λ = −5 33 Hình Phương án đầu tư tối ưu 35 Hình Minh họa định lý 3.2 56 Hình Minh họa định lý 3.4 64 Mở đầu Toán tài ngành khoa học xuất phát triển khoảng bốn thập kỷ trở lại Cùng với công cụ giải tích ngẫu nhiên, Toán tài phát triển mạnh mẽ, thu thành tựu rực rỡ, đồng thời cung cấp công cụ hữu ích cho nhà đầu tư Nhiều giải thưởng Nobel Kinh tế đạt lĩnh vực Toán tài như: Nobel Kinh tế năm 1990 dành cho Harry Markovitz, Willliam Sharpe Merton Miller, Nobel Kinh tế năm 1997 dành cho M.Scholes Rober Merton, Nobel Kinh tế năm 2003 dành cho Clive Granger Rorbert Engle Khi tham gia vào thị trường tài chính, nhà đầu tư quan tâm tới lợi nhuận Câu hỏi đặt ra: "Cách tối ưu để đầu tư vào thị trường tài chính?" Bên cạnh đó, họ thường có tâm lý e ngại rủi ro Khái niệm e ngại rủi ro thường sử dụng mô hình thông qua khái niệm hàm lợi ích Hàm lợi ích cho ta cách đo lường lựa chọn nhà đầu tư phụ thuộc vào tổng vốn có mức độ e ngại rủi ro, với mong muốn đạt lợi nhuận lớn Điều thúc đẩy việc phát triển lý thuyết đầu tư tối ưu.Và hàm lợi ích hạt nhân lý thuyết đầu tư tối ưu đại.Việc nghiên cứu hàm lợi ích ứng dụng góp phần quan trọng vào phát triển lý thuyết đầu tư đại nói riêng Toán tài nói chung CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ ( Các định nghĩa, mệnh đề, định lý trình bày chương trích dẫn từ tài liệu [1],[2],[3],[7],[8],[12],[14]) 1.1 Các khái niệm thị trường tài Các thị trường tài quan trọng: Thị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu, thị trường tiền tệ, thị trường hợp đồng giao sau hợp đồng quyền chọn Hàng hóa mua bán thị trường: • Tài sản sở (tài sản nguyên khởi): gồm cổ phiếu, trái phiếu, đơn vị tiền tệ • Tài sản phụ thuộc (phái sinh tài chính): tài sản mà giá trị phụ thuộc vào giá trị tài sản sở • Phái sinh tài đối tượng nghiên cứu Toán tài Các quyền chọn, hợp đồng kỳ hạn ví dụ điển hình phái sinh tài Phương án đầu tư: danh mục gồm số lượng tài sản mà nhà đầu tư có thị trường tài 1.2 Biến ngẫu nhiên đặc trưng Xét không gian xác suất ( Ω, F , P ) Trong đó: • Ω không gian mẫu hay không gian biến cố sơ cấp Nếu A ⊂ Ω A biến cố ngẫu nhiên Khi đó: P= (Ω) biến cố ngẫu nhiên • F σ − đại số tập hợp Ω • P độ đo xác suất 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 { A / A ⊂ Ω} tập hợp tất Cho X xác định không gian xác suất ( Ω, F , P ) : X: Ω →  w  X ( w) ∈  X gọi biến ngẫu nhiên nếu: X −1 (−∞, x= ] {w ∈ Ω : X ( w) ∈ (−∞, x]} ∈ F , ∀x ∈  Mệnh đề 1.1 Nếu X , Y biến ngẫu nhiên không gian xác suất ( Ω, F , P ) ; a, b số thực aX + bY ; X − Y ; X / Y (Y ≠ 0); max( X , Y ), min( X , Y ) biến ngẫu nhiên ( Ω, F , P ) Nếu X biến ngẫu nhiên ( Ω, F , P ) , g hàm đo  g ° X biến ngẫu nhiên ( Ω, F , P ) 1.2.2 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Hàm phân phối Cho biến ngẫu nhiên X , ta gọi hàm thực F xác định hệ thức: = F ( x) F= X ( x ) : P ({w : X ( w) ≤ x}) = P ( X ≤ x) , ∀x ∈  hàm phân phối X Hàm mật độ a Phân phối rời rạc ● Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối rời rạc miền giá trị X tập hữu hạn hay đếm Ta gọi X biến ngẫu nhiên rời rạc Ta ký hiệu Im( X ) tập giá trị X ● Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc với Im(= X) { xi , i ∈ I } với I = {1, 2, , n} hay I =  , đó: = P ( X x= x xi i) , ∀i ∈ I f ( x)= f X ( x)= P ( X= x )=  x ≠ xi 0 gọi hàm mật độ rời rạc X hay mật độ X ● Nếu f ( x) hàm mật độ X f ( x) ≥ , ∀x ∈  khác không đếm điểm 10 b Phân phối liên tục tuyệt đối ● Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối liên tục tuyệt đối hàm phân phối X liên tục tuyệt đối  ● Biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục tuyệt đối tồn hàm x ∫ F ( x) = f ( x) ≥  cho f (u )du , ∀x ∈  Khi đó, ta gọi f ( x) hàm mật độ −∞ X ● Nếu f ( x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X f ( x) ≥ +∞ ∫ f ( x)dx = −∞ Ngược lại, f ( x) hàm số không âm  +∞ ∫ f ( x)dx = f ( x) hàm mật −∞ độ biến ngẫu nhiên X Kỳ vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn a Kỳ vọng toán học Định nghĩa 1.2 ● Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị { xi , i ∈ I } , hội tụ đại lượng = E(X ) x P(X ∑= i∈I i ∑ x P( X = x ) i∈I i i xi ) gọi kỳ vọng toán X ● Giả sử X biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt hàm mật độ f X ( x) , +∞ ∫ x f X ( x)dx < ∞ đại lượng E ( X ) = +∞ ∫ xf X ( x)dx gọi kỳ vọng toán X −∞ −∞ Mệnh đề 1.2 Trong điều kiện tồn tại, kỳ vọng toán có tính chất: i EX ≤ E X ii Nếu X ≤ Y E ( X ) ≤ E (Y ) iii inf X ( w) ≤ E ( X ) ≤ sup X ( w) iv E ( aX + bY= ) aE ( X ) + bE (Y ) w∈Ω w∈Ω Mệnh đề 1.3 55 1 Aω0 s12 > r2 − Aω0 s22 2 ⇒ Aω0 s12 − Aω0 s22 < r1 − r2 ⇒ Aω0 s12 − s22 < r1 − r2 r1 − r2 ⇒ A< 2ω0 s12 − s22 r1 − ( ) ( ) Do r1 > r2 s1 > s2 nên A>0 • Nếu A đủ nhỏ, dần Khi : E U (ω1 (t ) )  = r1 − Aω0 s12 → r1 E U (ω2 (t ) )  = r2 − Aω0 s22 → r2 ⇒ E U (ω1 (t ) )  > E U (ω2 (t ) )  Nhà đầu tư lựa chọn phương án I1 phương án có độ rủi ro cao • Nếu giá trị A lớn nhà đầu tư lựa chọn phương án đầu tư I , phương án I1 có lợi tức lớn tăng thêm lợi tức không đủ bù đắp cho rủi ro tăng lên nhiều Vậy phương án đầu tư hiệu phương án lại Nhà đầu tư e ngại rủi ro nhiều chọn I rủi ro hơn, nhà đầu tư e ngại rủi ro chọn I1 có lợi tức cao Ta minh họa định lý 3.2 sơ đồ sau 56 Hình Minh họa định lý 3.2 • Mọi phương án đầu tư J nằm góc phần tư Tây bắc hiệu I ( rJ > rI ; sJ < sI ); nhà đầu tư lựa chọn J • Ngược lại, Mọi phương án đầu tư K nằm góc phần tư Đông nam không hiệu I ( rI > rK ; sI < sK ); nhà đầu tư lựa chọn I • Hai góc phần tư lại ( Tây nam, Đông bắc) so sánh hiệu phương án với I nên nhà đầu tư lựa chọn tùy vào ý muốn • Các phương án đầu tư H , G nằm hai đường vuông góc với hai trục tọa độ, giao I thỏa ( rI = rG ) ( sI = sH ) thuộc góc phần tư Tây bắc Đông nam.Cụ thể: + Nếu rI = rG sI > sG G hiệu I , ngược lại rI = rG sI < sG G không hiệu I + Nếu sI = sH rI < rH H hiệu I , ngược lại sI = sH rI > rH H không hiệu I 57 3.3 Hàm lợi ích lũy thừa đầu tư với lợi tức thu biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn Ở phần ta thay giả thiết lợi tức thu biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn phân phối loga-chuẩn thông qua mô hình bước ngẫu nhiên Ta xem thời gian tham số Trong phần 3.2, ta giữ thời gian cố định, sử dụng kỳ vọng lợi tức r độ lệch chuẩn tương ứng s suốt chu kỳ Bây cho thời gian thay đổi, ta đo lường lợi tức thu rủi ro cách sử dụng lợi tức tức thời năm α độ lệch chuẩn tương ứng σ Bổ đề 3.2 Giả sử lợi tức cùa phương án đầu tư I biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn mô hình bước ngẫu nhiên với trung bình lợi tức cộng gộp liên tục năm µ độ lệch chuẩn tương ứng σ U hàm lợi ích lũy thừa: U (ω ) = ωλ −1 với λ ≠ 0, λ < λ Tổng vốn ban đầu nhà đầu tư ω0 Khi đó, kỳ vọng hàm lợi ích tài sản ω (t ) sau t năm là:    λ λt  µ + λσ   E U (ω (t ) )  = − 1 ω e λ   Chứng minh Giá trị tài sản ω (t ) thời điểm t biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn xác định bởi: ω (t ) = ω0 eσ t X + µt với X ~ N ( 0,1) Khi đó: E U (ω (t ) )  = +∞ = ∫ (ω e +∞ ∫ U ω e −∞ µ t +δ t x ) λ λ −∞ +∞ = µ t +δ t x ∫ −∞ (ω e x −  e dx  2π − 1 − x2 e dx 2π µ t +δ t x λ ) λ +∞ − x2 1 − x2 e dx − ∫ e dx λ 2π 2π −∞ 58 (ω e +∞ = ∫ µ t +δ t x λ −∞ +∞ ∫ λ −∞ λ E U (ω (t ) )  λ − x2 e dx − λ 2π λ λµ t + λδ t x ω0 e λ λµ t ω0 e Ta có: λσ t x − ) +∞ ∫e − x2 e dx − λ 2π λδ t x −∞ − x2 e dx − λ 2π  x2  x2 = −  − λσ t x  = −  x − λσ t 2    ( +∞  λ λµt − ( x −λσ t ) e ω e ∫ λ  2π −∞ − λ 2σ 2t   ) − λ 2σ 2t    dx − 1  +∞   λ λµt + 12 λ 2σ 2t − 12 ( x −λσ t ) e dx − 1 ω0 e ∫ λ 2π −∞  Đặt y =x − λσ t ⇒ dy =dx Thay vào tích phân ta có: +∞   λ λµt + 12 λ 2σ 2t − 12 y E U (ω (t ) )  ω e e dy − 1 =  ∫ λ 2π −∞  Vậy kỳ vọng hàm lợi ích thu sau t năm là:    λ λt  µ + λσ   E U (ω (t ) )  = − 1 ω e λ   Bổ đề 3.3 Giả sử lợi tức phương án đầu tư I biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn mô hình bước ngẫu nhiên với trung bình lợi tức cộng gộp liên tục năm µ độ lệch chuẩn tương ứng σ U hàm lợi ích logarit: U (ω ) = ln ω Tổng vốn ban đầu nhà đầu tư ω0 Khi đó, kỳ vọng hàm lợi ích tài sản ω (t ) sau t năm là: E U (ω (= t ) )  ln ω0 + µ t Chứng minh Giá trị tài sản ω (t ) thời điểm t biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn xác định bởi: ω (t ) = ω0 eσ t X + µt với X ~ N ( 0,1) 59 E U (ω (t ) )  = +∞ ∫ U (ω e σ t x + µt −∞ +∞ = ∫ ln (ω e σ t x + µt −∞ +∞ ∫ ln ( e = σ t x + µt −∞ +∞ ( ) − x2 e dx 2π ) − x2 e dx 2π ) +∞ 2 − x2 − x2 e dx + ∫ ln (ω0 ) e dx 2π 2π −∞ ) − x2 = σ t x + µ t e dx + ln (ω0 ) ∫ 2π −∞ +∞ = ∫( −∞ +∞ = ∫( −∞ ) ) +∞ − x2 − x2 σ tx e dx + ∫ ( µ t ) e dx + ln (ω0 ) 2π 2π −∞ − x2 σ tx e dx + ln (ω0 ) + µ t 2π +∞ − x2 = σ t ∫ x e dx + ln (ω0 ) + µ t 2π −∞ +∞   − x2 = ln (ω0 ) + µ t  ∫ x  e dx =   2π −∞   Định lý 3.3 Gọi F tập hợp phương án đầu tư chấp nhận mà phần tử F có lợi tức phân phối loga- chuẩn Khi đó, thời điểm t cho trước, nhà đầu tư với mong muốn cực đại kỳ vọng hàm lợi ích với vốn ban đầu ω0 , hàm lợi ích ωλ −1 ω) U (= ( λ ≠ 0, λ < 1) , hệ số e ngại rủi ro A > lựa chọn phương án đầu tư λ I ∈ F cho: α I − Aσ I2 đạt giá trị lớn Trong α I , σ I trung bình lợi tức tức thời năm độ lệch chuẩn lợi tức ứng với phương án đầu tư I Chứng minh Gọi µ I lợi tức cộng gộp liên tục năm phương án đầu tư I Khi đó: α= µ I + σ I2 I 60 Nhà đầu tư lựa chọn phương án cực đại kỳ vọng hàm lợi ích Xét A ≠ : ta có A =1 − λ ⇒ λ =1 − A Hàm lợi ích nhà đầu tư là: U (ω ) = ωλ −1 λ Theo bổ đề 3.2: Kỳ vọng hàm lợi ích tài sản thu vào cuối chu kỳ là: 2 2 2     λ λt µI + λσ I   λ λt µI + λσ I  1 λ λt µI + 2σ I − Aσ I  U (ω (t ) )  E= ω0 e = ω e − 1 − − ω e = λ  λ λ λ  λ • Nếu λ > E U (ω (t ) )  max ⇔  µ I + σ I2 − Aσ I2  max 2     1  1  Mà  µ I + σ I2 − Aσ I2  = α I − Aσ I2 nên E U (ω (t ) )  max ⇔  α I − Aσ I2  max 2 2     • Nếu λ < : ta đặt β =−λ > Khi đó: ω e E U (ω (t ) )  = λ = = β β − β λ ω0− β e   − λ 1   − β t  µ I + σ I2 − Aσ I2  2   β βω0 e   2 2   β t  µ I + σ I2 − Aσ I2  E U (ω (t ) )  max Suy e   −   λt  µ I + σ I2 − Aσ I2    β t  µ I + σ I2 − Aσ I2  1   β t  µ I + σ I2 − Aσ I2  β 2   βω e 1 max hay  µ I + σ I2 − Aσ I2  = α I − Aσ I2  max  2   • Với A = ta có hàm lợi ích: U (ω ) = ln ω 1 E U (ω (t ) )  = ln ω0 + µ I t = ln ω0 + µ I t + σ I2 − σ I2 2 1 = ln ω0 + µ I t + σ I2 − Aσ I2= ln ω0 + α I − Aσ I2 2 Vậy E U (ω (t ) )  max ⇔  α I − Aσ I2  max   Nhận xét  61 • Ta thấy phương án đầu tư tối ưu định lý 3.3 phụ thuộc vào hệ số e ngại rủi ro nhà đầu tư, kỳ vọng lợi tức độ biến động phương án tập chấp nhận • Hàm lợi ích lũy thừa đặc trưng cho nhà đầu tư có e ngại rủi ro tương đối cố định hay quan điểm tương đối họ rủi ro độc lập với tài sản có Định lý cho ta thấy mô hình bước ngẫu nhiên, quan điểm rủi ro tương đối nhà đầu tư độc lập với thời gian Định lý 3.4 Giả sử I1 , I hai phương án đầu tư có lợi tức biến ngẫu nhiên phân phối logachuẩn, với trung bình lợi tức tức thời năm α1 ,α độ lệch chuẩn tương ứng lợi tức tức thời năm σ ,σ Vốn ban đầu hai phương án ω0 Khi đó: I1 hiệu I : α1 ≥ α σ ≤ σ Dấu “=” xảy nhiều bất đẳng thức Kết cho thời điểm t Chứng minh Xét phương án đầu tư I với lợi tức phân phối loga chuẩn, trung bình lợi tức cộng gộp liên tục năm µ , độ lệch chuẩn trung bình lợi tức cộng gộp liên tục năm σ , tổng vốn ban đầu ω0 Giá trị tài sản thời điểm t biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn xác định bởi: ω (t ) = ω0eσ t X + µt   với X ~ N ( 0,1)   σ t X + α − σ t ⇒ ω (t ) = ω0e với α= µ + σ Với U hàm lợi ích bất kỳ, ta định nghĩa:  σ U (ω )  ∫ U  ω0e u (α , σ ) E= =  −∞  +∞   t x + α − σ t    − x2 e dx   2π  62 Ta chứng minh α1 ≥ α σ ≤ σ phương án I1 hiệu I tức E U (ω1 (t ) )  > E U (ω2 (t ) )  hay u (α , σ ) hàm tăng theo biến α giảm theo biến σ với σ > • Xét với α : +∞ σ ∂u (α ,σ ) = ∫ ω0te ∂α −∞ ⇒ ∂u (α , σ ) > ∂α  σ U ′ ω0e    t x + α − σ t     t x + α − σ t    − x2 e dx  π  ( U ' > ) • Với σ > , ta có: ∂u α ,σ ) (= ∂σ +∞ ∫( ) t x − σ t ω0e −∞ = ω0e  2  α − σ t   t  2  α − σ t   t = ω0eα t ∫( −∞    σ U ′ ω0e    t x + α − σ t   ∫( )   t x + α − σ t   +∞  σ x − σ t U ′ ω0e    t x + α − σ t   ∫( −∞ +∞  σ x − σ t U ′ ω0e  +∞ −∞ = ω0e   σ t x + α − σ t )  σ x − σ t U ′ ω0e  )   t x + α − σ t    − x2 e dx   2π  − x2 +σ e  π  tx  − ( x−σ t ) e   2π dx + σ 2t dx  − ( x−σ t ) e dx   2π Đặt y =x − σ t ⇒ dy =dx +∞  σ t ( y +σ t )+ α − 12σ t  − y ∂u α   e dy (α ,σ ) = ω0e t ∫ y.U ′ ω0e  ∂σ   2π −∞ α = ω0e α ω0 e  σ t ∫ y.U ′ ω0e −∞  +∞   t y + α + σ t   0  −σ t  ∫ y.U ′ ω0 e  −∞    t y +  α + σ t    +∞  −σ = ω0 e t  ∫ (− y ).U ′ ω0 e   α Vậy:  − y2 e dy  π  +∞  − y2  σ e dy + ∫ y.U ′ ω0 e   2π    t y +  α + σ t     t y +  α + σ t   +∞  − y2  σ e dy + ∫ y.U ′ ω0 e   2π   − y2  e dy     2π   t y +  α + σ t    − y2  e dy    2π  63  +∞   σ ∂u (α , σ ) ω0eα t  ∫ y U ′ ω0e ∂σ       t y +  α + σ t     −σ  − U ′ ω0 e     t y +  α + σ t     − y  e dy       2π  Do U '' < nên U ' hàm giảm Với y > 0, σ > thì:     −σ t y +  α + σ  t < σ t y +  α + σ  t      −σ ⇒ U ′  ω0 e    σ ⇒ U ′  ω0 e   ⇒   σ  > U ′  ω0 e       t y +  α + σ t         −σ  − U ′  ω0 e       t y +  α + σ t     α σ > σ tồn hàm lợi ích U cho E U (ω1 (t ) )  > E U (ω2 (t ) )  tồn hàm lợi ích V cho E V (ω1 (t ) )  < E V (ω2 (t ) )  Giả sử U, V hai hàm lợi ích lũy thừa Theo định lý 3.3 nhà đầu tư cần phải cực đại hàm mục tiêu: α − Aσ Để phương án đầu tư I1 có kỳ vọng hàm lợi ích lớn phương án I thì: 2 α1 − Aσ 12 > α − Aσ 22 α1 − α σ 12 − σ 22 α − α2 ⇒ 12 >0⇒ A>0 σ − σ 22 ⇒ A α ; σ > σ • Với giá trị A đủ nhỏ, dần Khi : Aσ 12 → α1 E U (ω2 (t ) )  =− Aσ 22 → α α2 ⇒ E U (ω1 (t ) )  > E U (ω2 (t ) )  E U (ω1 (t ) )  = α1 − Nhà đầu tư lựa chọn phương án I1 phương án có độ rủi ro cao 64 • Nếu giá trị A lớn nhà đầu tư lựa chọn phương án đầu tư I , phương án I1 có lợi tức lớn tăng thêm lợi tức không đủ bù đắp cho rủi ro tăng lên nhiều Vậy phương án đầu tư hiệu phương án lại Nhà đầu tư e ngại rủi ro nhiều chọn I rủi ro hơn, nhà đầu tư e ngại rủi ro chọn I1 có lợi tức cao Ta minh họa định lý 3.4 sơ đồ sau Hình Minh họa định lý 3.4 • Mọi phương án đầu tư J nằm góc phần tư Tây bắc hiệu I ( α J > α I ; σ J < σ I ); nhà đầu tư lựa chọn J • Ngược lại, phương án đầu tư K nằm góc phần tư Đông nam không hiệu I ( α I > α K ; σ I < σ K ); nhà đầu tư lựa chọn I • Hai góc phần tư lại ( Tây nam, Đông bắc) so sánh hiệu phương án với I nên nhà đầu tư lựa chọn tùy vào ý muốn 65 • Các phương án đầu tư H , G nằm hai đường vuông góc với hai trục tọa độ, giao I thỏa (α I = α G ) (σ I = σ H ) thuộc góc phần tư Tây bắc Đông nam.Cụ thể: + Nếu α I = α G σ I > σ G G hiệu I , ngược lại α I = α G σ I < σ G G không hiệu I + Nếu σ I = σ H α I < α H H hiệu I , ngược lại σ I = σ H α I > α H H không hiệu I 66 Kết luận Luận văn trình bày số hàm lợi ích tiêu biểu vài ứng dụng chúng Toán tài Cụ thể: Đầu tiên khảo sát hàm lợi ích tính chất với vài ví dụ cụ thể việc lựa chọn phương án đầu tư tối ưu ứng với hàm lợi ích ( tập phương án đầu tư chấp nhận qua ví dụ đa dạng hơn) Tiếp theo, khảo sát số hàm lợi ích tiêu biểu đặc trưng chúng: + Hàm lợi ích mũ với tính chất "e ngại rủi ro tuyệt đối cố định" thể qua số tài sản mà nhà đầu tư đầu tư không đổi cho dù vốn ban đầu nhà đầu tư + Hàm lợi ích lũy thừa với tính chất "e ngại rủi ro tương đối cố định" thể qua tỉ lệ phần trăm tài sản mà nhà đầu tư định đem đầu tư không đổi Bên cạnh đó, việc xây dựng hàm e ngại rủi ro ( tuyệt đối, tương đối) thể rõ ràng mối liên hệ hàm lợi ích quan điểm rủi ro nhà đầu tư Cuối luận văn trình bày hai ứng dụng hai hàm lợi ích tiêu biểu Lý thuyết đầu tư: hàm lợi ích mũ âm đầu tư với lợi tức thu biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn; hàm lợi ích lũy thừa đầu tư với lợi tức thu biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn 67 Chỉ mục biến ngẫu nhiên, hiệu quả, 48 độ lệch chuẩn, 10 Kỳ vọng toán học, đòn bẩy tài chính, 35 Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi giá trị tương đương hầu chắn, 24 ích, 21 hàm e ngại rủi ro tương đối, 41 phép biến đổi affine dương, 25 hàm e ngại rủi ro tuyệt đối, 41 Phương án đầu tư, hàm lợi ích, 20 Phương sai, 10 68 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đinh Văn Gắng (2008), Lý thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học tài chính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia TPHCM [4] Nguyễn Chí Long (2011), "Mô hình định giá tài sản tư bản", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 30(64), tr.25-41 [5] Nguyễn Chí Long (2011), Bổ đề Fakas áp dụng thị trường tài chính,Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 27(61), tr.41-53 [6] Nguyễn Chí Long (2010), "Nguyên lý định giá tài sản thị trường tài chính", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 21(55), tr.38-51 [7] Trần Trọng Nguyên (2009), Cơ sở Toán tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [8] Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn toán học Tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội Tiếng Anh [9] Charles B Moss (2004), Utility Functions, Risk Aversion Coefficients and Transformation, http:ricardo.ifas.ufl.edu/aeb6182.risk [10] Hans Follmer, Alexander Schied (2002), \textit{An Introduction in Discrete Time}, Walter de Gruyter [11] Hans U Gerber and Gérard Pafumi, \textit{UTILITY FUNCTIONS: FROM RISK THEORY TO FINANCE}, NORTH AMERICAN ACTUARIAL JOURNAL, p.74-101 [12] Jonh Norstad (Feb 1999),” The Normal and Lognormal Distributions",http://www.norstad.org/finance [13] Jonh Norstad (Mar 1999), "An Introduction to Utility theory", http://www.norstad.org/finance [14] Jonh Norstad (Jan 2005), "The Random Walks" , http://www.norstad.org/finance 69 [15] John Norstad (April 1999),"An introduction to Portfolio theory", http://www.norstad.org/finance [16] Pliska (1997), Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Publishing [17] Wing Suen, “Arrow-Pratt measure of risk aversion", http:www.econ.hku.hk/~wsuen/teaching/micro [...]... > 0 ) Nhận xét: 1 Một hàm lợi ích sẽ đo lường sự lựa chọn tương đối của nhà đầu tư đối với những lượng khác nhau của toàn bộ tài sản 2 Giá trị của hàm lợi ích phụ thuộc vào giá trị của tài sản tại một thời điểm nào đó, mà giá trị tài sản thu được lại phụ thuộc vào trạng thái của thị trường tài chính, do đó tuy không nhắc đến nhưng ta ngầm hiểu giá trị hàm lợi ích còn phụ thuộc vào trạng thái thị trường... X ~ N ( 0, t ) 21 CHƯƠNG II: HÀM LỢI ÍCH Nội dung chính của chương 2 được trình bày dựa trên tài liệu nghiên cứu của Jonh Norstad (1999) và các tài liệu [9],[13],[17] 2.1 Định nghĩa và ví dụ 2.1.1 Định nghĩa Hàm số U :  + →  được gọi là hàm lợi ích nếu U khả vi cấp 2 và thỏa mãn với mọi ω ∈ + : • U là hàm tăng ngặt (nghĩa là đạo hàm U ′(ω ) > 0 , ∀ω > 0 ) • U là hàm lõm ngặt (nghĩa là U ( λω1... đang xét 3 Tính tăng ngặt hàm lợi ích thể hiện lợi ích tăng theo tài sản, tức là nhà đầu tư mong muốn đạt được nhiều tài sản hơn, do đó nhà đầu tư sẽ không bao giờ cảm thấy thỏa mãn 4 Tính chất e ngại rủi ro được phản ánh qua tính lõm ngặt của hàm lợi ích, hay nói cách khác lợi ích biên của tài sản giảm khi tài sản tăng lên Để làm rõ hơn điều này ta xét ví dụ sau: xét lợi ích thu được khi kiếm thêm... với những người đã có trong tay 1 tỷ , việc này gần như vô nghĩa với họ Như vậy, khi tài sản ban đầu tăng lên thì lợi ích của việc kiếm thêm cùng một số tiền sẽ giảm xuống 22 5 Những nhà đầu tư khác nhau có thể sẽ có những hàm lợi ích khác nhau, tuy vậy tất cả các hàm lợi ích này đều thỏa mãn 2 tính chất: tăng ngặt và lõm ngặt 2.1.2 Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích và bài toán đầu tư tối ưu Nguyên... tương tự Trong ví dụ nêu trên, khi tài sản của nhà đầu tư giảm từ 5 triệu xuống 1 triệu tương ứng với giá trị hàm lợi ích giảm 1,24; trong khi đó nếu tài sản tăng từ 5 triệu lên 9 triệu thì hàm lợi ích chỉ tăng 0,76 Ta thấy rằng cùng một lượng tài sản tăng lên hay giảm xuống nhưng giá trị hàm lợi ích lại giảm nhanh hơn là tăng lên 2.2 Giá trị tương đương hầu chắc chắn của một phương án đầu tư Trong ví... lợi ích của biến tài sản đã lớn hơn kỳ vọng hàm lợi ích của phương án đầu tư + Nếu ω0 = c ⇒ E [U (ω0 ) ] = U (ω0 ) = U (c ) = E U ( X )  , nhà đầu tư sẽ suy nghĩ và có thể đầu tư hoặc không 2.3 Hàm lợi ích và phép biến đổi affine dương Các hàm lợi ích thường được dùng để so sánh các sự đầu tư Ta có thể biến đổi các hàm lợi ích bằng cách nhân thêm một hằng số dương hoặc cộng thêm vào một hằng số... ưu Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích : Một nhà đầu tư khi phải lựa chọn trong tập các phương án đầu tư có thể chấp nhận được, sẽ lựa chọn phương án làm cực đại hóa kỳ vọng hàm lợi ích ứng với tài sản của nhà đầu tư đó Bài toán đầu tư tối ưu: là bài toán đi tìm phương án đầu tư thỏa mãn nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích Mô hình hóa: Với mỗi phương án đầu tư I trong tập các phương án đầu tư... kiện của hàm lợi ích • Hàm bậc hai: U (ω= ) aω − bω 2 Ta có: U ′(ω ) = a − 2bω > 0 −2b < 0 U ′′(ω ) = với b > 0, b < a 2ω 23 Vậy U thỏa mãn điều kiện của hàm lợi ích • Hàm mũ: U (ω ) = −e − Aω với A > 0 Ta có: ′(ω ) Ae − Aω > 0 U= − A2 e − Aω < 0 U ′′(ω ) = Vậy U thỏa mãn điều kiện của hàm lợi ích 2 Trò chơi công bằng Xét hàm số: U (ω ) = ω Ta thấy:  1 −21 ω >0   2  ⇒ U là một hàm lợi ích −3... Một vài hàm lợi ích thường gặp 2.4.1 Ví dụ 1 Ví dụ 1: Đầu tư rủi ro: Sự đầu tư này có nghĩa nhà đầu tư sẽ phải lựa chọn đầu tư toàn bộ tài sản hoặc không làm gì cả Giả sử vốn ban đầu của nhà đầu tư là 100 triệu với hàm lợi ích: U (ω ) = −106 ω 3 = −106 ω −3 Ta thấy U ′(ω ) => −12.106 ω −4 < 0 nên U rõ ràng là một hàm lợi 3.106 ω −4 0; U ′′(ω ) = ích (Trong trường hợp này ta có thể xét hàm lợi ích là... ngại rủi ro của hàm lợi ích đang xét Mỗi hàm lợi ích sẽ có hệ số e ngại rủi ro khác nhau Ở phần trên ta thấy khi λ giảm nhà đầu tư trở nên e ngại rủi ro nhiều hơn Cụ thể, nhà đầu tư với hàm lợi ích U (ω ) = − tư với hàm lợi ích U (ω ) = − 1 ω3 1 ω5 ứng với A = 6 thì e ngại rủi ro nhiều hơn nhà đầu ứng với A = 4 Vậy khi A tăng, mức độ e ngại rủi ro của nhà đầu tư sẽ tăng Thay A = 1 − λ vào pt trên ta ... Khi γ < 1, b = , A(ω ) = 1− γ ω (hàm lũy thừa) 49 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT ĐẦU TƯ Chương trình bày ứng dụng hai hàm lợi ích: hàm lợi ích mũ hàm lợi ích lũy thừa Lý thuyết đầu tư Các... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Nguyễn Ngọc Thúy HÀM LỢI ÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... tài sản Giá trị hàm lợi ích phụ thuộc vào giá trị tài sản thời điểm đó, mà giá trị tài sản thu lại phụ thuộc vào trạng thái thị trường tài chính, không nhắc đến ta ngầm hiểu giá trị hàm lợi ích