hàm lợi ích và ứng dụng trong toán tài chính

49 3.3 Hàm lợi ích lũy thừa và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn ..... Cùng với công cụ giải tích ngẫu nhiên, Toán tài chính đã và đang phát triển mạ

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 5

Danh sách hình vẽ 6

Mở đầu 7

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 8

1.1 Các khái niệm cơ bản của thị trường tài chính 8

1.2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 9

1.3 Phân phối chuẩn và phân phối loga chuẩn 11

1.3.1 Phân phối chuẩn 12

1.3.2 Phân phối loga chuẩn 13

1.4 Quá trình ngẫu nhiên và chuyển động Brown 13

1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên 13

1.4.2 Chuyển động Brown 14

1.5 Mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn 14

1.5.1 Sự cộng gộp liên tục 14

1.5.2 Xây dựng mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn 17

CHƯƠNG II: HÀM LỢI ÍCH 21

2.1 Định nghĩa và ví dụ 21

2.1.1 Định nghĩa 21

2.1.2 Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích và bài toán đầu tư tối ưu 22

2.1.3 Ví dụ 22

2.2 Giá trị tương đương hầu chắc chắn của một phương án đầu tư 25

2.3 Hàm lợi ích và phép biến đổi affine dương 26

2.4 Một vài hàm lợi ích thường gặp 27

2.4.1 Ví dụ 27

2.4.2 Hàm lợi ích logarit 36

2.4.3 Hàm lợi ích lũy thừa 37

2.4.4 Hàm mũ 39

2.5 Hàm e ngại rủi ro 41

2.5.1 Xây dựng hàm e ngại rủi ro 41

2.5.2 Tính chất 42

2.5.3 Hàm e ngại rủi ro ứng với một số hàm lợi ích 46

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT ĐẦU TƯ 49

3.1 Hiệu quả 49

3.2 Hàm lợi ích mũ và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 49

3.3 Hàm lợi ích lũy thừa và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn 57

Kết luận 66

Chỉ mục 67

Tài liệu tham khảo 68

Lời cảm ơn

Trong quá trình thực hiện đề tài em đã gặp rất nhiều khó khăn và bỡ ngỡ Nếu không

có những sự giúp đỡ và lời động viên chân thành của thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

có lẽ em khó có thể hoàn thành tốt luận văn này

Đầu tiên em xin gửi lời biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Chí Long, người trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành luận văn này

Em muốn gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo trong hội đồng phản biện, những ý kiến đóng góp của quý thầy cô là vô cùng hữu ích, giúp em nhận ra các khuyết điểm của luận văn này và hoàn thiện luận văn Đồng thời em gửi lời cám ơn đến các thầy cô, cán bộ phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Và sau cùng con xin cám ơn cha mẹ, anh chị đã luôn động viên và tạo điều kiện cho con ăn học và nuôi dạy con nên người

Tp Hồ Chí Minh, Tháng 9 Năm 2012

Đặng Nguyễn Ngọc Thúy

Danh sách hình vẽ

Hình 2 1 Trò chơi công bằng 24

Hình 2 2 Đầu tư rủi ro với hàm lợi ích 3 ( ) U ω = −ω− 28

Hình 2 3 Đầu tư rủi ro với hàm lợi ích 10 5 ( ) 10 U ω = − ω− 29

Hình 2 4 Đường cong lợi ích ứng với λ= − 3 32

Hình 2 5 Đường cong lợi ích ứng với λ= − 5 33

Hình 2 6 Phương án đầu tư tối ưu 35

Hình 3 1 Minh họa định lý 3.2 56

Hình 3 2 Minh họa định lý 3.4 64

Mở đầu

Toán tài chính là một ngành khoa học mới xuất hiện và phát triển trong khoảng bốn thập kỷ trở lại đây Cùng với công cụ giải tích ngẫu nhiên, Toán tài chính đã và đang phát triển mạnh mẽ, thu được những thành tựu rực rỡ, đồng thời cung cấp những công

cụ hữu ích cho các nhà đầu tư Nhiều giải thưởng Nobel Kinh tế đã đạt được trên lĩnh vực Toán tài chính như: Nobel Kinh tế năm 1990 dành cho Harry Markovitz, Willliam Sharpe và Merton Miller, Nobel Kinh tế năm 1997 dành cho M.Scholes và Rober Merton, Nobel Kinh tế năm 2003 dành cho Clive Granger và Rorbert Engle

Khi tham gia vào thị trường tài chính, các nhà đầu tư luôn quan tâm tới lợi nhuận Câu hỏi đặt ra: "Cách nào là tối ưu để đầu tư vào thị trường tài chính?" Bên cạnh đó, họ cũng thường có tâm lý e ngại rủi ro Khái niệm e ngại rủi ro thường được sử dụng trong các mô hình thông qua khái niệm hàm lợi ích Hàm lợi ích cho ta cách đo lường

sự lựa chọn của nhà đầu tư phụ thuộc vào tổng vốn hiện có và mức độ e ngại rủi ro, với mong muốn là đạt được lợi nhuận lớn Điều này đã thúc đẩy việc phát triển lý thuyết đầu tư tối ưu.Và hàm lợi ích chính là hạt nhân của lý thuyết đầu tư tối ưu hiện đại.Việc nghiên cứu về hàm lợi ích cũng như ứng dụng của nó góp một phần quan trọng vào sự phát triển của lý thuyết đầu tư hiện đại nói riêng và Toán tài chính nói chung

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ

( Các định nghĩa, mệnh đề, định lý trình bày trong chương 1 được trích dẫn từ các tài

liệu [1],[2],[3],[7],[8],[12],[14])

Các thị trường tài chính quan trọng: Thị trường cổ phiếu, thị trường trái

phiếu, thị trường tiền tệ, thị trường hợp đồng giao sau và hợp đồng quyền chọn

Hàng hóa mua bán trong thị trường:

• Tài sản cơ sở (tài sản nguyên khởi): gồm cổ phiếu, trái phiếu, đơn vị tiền tệ

• Tài sản phụ thuộc (phái sinh tài chính): là tài sản mà giá trị của nó phụ thuộc vào giá trị của tài sản cơ sở

• Phái sinh tài chính là một đối tượng nghiên cứu của Toán tài chính Các quyền chọn, hợp đồng kỳ hạn là những ví dụ điển hình về phái sinh tài chính

Phương án đầu tư: là danh mục gồm các số lượng của mỗi tài sản mà nhà đầu

tư có trong thị trường tài chính

Xét không gian xác suất (Ω, ,F P) Trong đó:

• Ω là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp

Nếu A⊂ Ω thì A là biến cố ngẫu nhiên Khi đó: P( ) {Ω = A A/ ⊂ Ω} là tập hợp tất cả các biến cố ngẫu nhiên

• F là σ− đại số các tập hợp con của Ω

• P là độ đo xác suất

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1

Cho X xác định trên không gian xác suất (Ω, ,F P):

:

( )

Nếu X là biến ngẫu nhiên trên (Ω, ,F P), g là hàm đo được trên  thì g X° là biến ngẫu nhiên trên (Ω, ,F P)

1.2.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

a Phân phối rời rạc

● Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối rời rạc nếu miền giá trị của X là một tập hữu hạn hay đếm được Ta còn gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Ta ký hiệu Im X( ) là tập giá trị của X

● Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với Im X( )={x i i, ∈I} với I ={1, 2, ,n} hay

được gọi là hàm mật độ rời rạc của X hay mật độ của X

● Nếu f x( ) là hàm mật độ của X thì f x( ) ≥ 0 , ∀ ∈ x và chỉ khác 0 ở không quá đếm được điểm

b Phân phối liên tục tuyệt đối

● Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối của X liên tục tuyệt đối trên 

● Biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục tuyệt đối nếu và chỉ nếu tồn tại hàm

● Nếu f x( ) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X thì f x( ) ≥ 0 và f x dx( ) 1

độ của một biến ngẫu nhiên X nào đó

3 Kỳ vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn

i I

∈

=∑ = được gọi là kỳ vọng toán của X

● Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f X( )x , nếu

i Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị {x i i, ∈I},g là hàm Borel đo được trên  Khi đó, g X( ) có kỳ vọng và ( ) ( ) (i i)

ii Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f X( )x ,g là hàm Borel

đo được trên .Khi đó, g X( ) có kỳ vọng và E g X( ) g x f( ) X( )x dx

đó là phương sai của X

Ký hiệu: D X( ) hoặc Var X( ) hoặc 2

1

.2

µ σ

µ σ

πσ

µπσ

πσ

− − +∞

−∞

− − +∞

−∞

− − +∞

( ) 2 2

X N nµ σn

=

1.3.2 Phân phối loga chuẩn

Định nghĩa 1.5

Phân phối loga chuẩn 2)

( ,

LN µ σ là phân phối của X

Y =e khi X là phân phối chuẩn

ln 2

1( )

πσ

=

1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên

• Khi cố định mỗi w∈Ω , hàm t X t w( , ) là một quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên (X t t, ≥0), ứng với yếu tố ngẫu nhiên w đó

• Khi cố định mỗi t∈ + , hàm w X t w( , ) là một biến ngẫu nhiên

• Nếu t∈{1, 2, ,T} thì X là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc

• Nếu X lấy giá trị trong không gian n

 (n≥ 1 ) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n chiều

• Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán, giá trái khoán, giá sản phẩm phái sinh… đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên

• B t( ) có các số gia độc lập, phân phối chuẩn

Tức là: nếu 0= < < < <t0 t1 t2 t n và Y i =B t( )i −B t( )i−1 với i= 1, ,n thì: Y i, với

1, ,

i= n là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn,

( )i 0, ( )i i i 1

E Y = Var Y = −t t− với mọi i= 1, ,n

1.5.1 Sự cộng gộp liên tục

Ta xét một phương án đầu tư không rủi ro: Giả sử ta có vốn ban đầu là s0, ta gửi tiết

kiệm số tiền này hoặc đầu tư vào một tài sản không rủi ro nào đó với lãi suất hằng năm là µ

• Nếu lãi suất được công hằng năm, tức là một năm một lần thì sau một năm tiền lãi thu được là: s µ Vậy sau một năm số tổng số tiền ta thu được là:

= , r gọi là lợi tức của sự đầu tư trên Trong trường hợp này thì r=µ

• Nếu lãi suất được cộng vào hai năm một lần, tức là cứ sáu tháng lại cộng

2

s s r

12

s s r

Lợi tức của sự đầu tư này: 1 0

0

n

s s r

n n

Phương trình (1.1), (1.2) cho ta biết diễn biến khi lãi suất được cộng gộp một cách liên

tục tại mọi thời điểm trong năm Và µ được gọi là lợi tức được cộng gộp liên tục của

sự đầu tư trên

Xét một phương án đầu tư không rủi ro với vốn ban đầu là s0 , lợi tức được cộng gộp liên tục là µ

Đặt s(t) là giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t Khi đó:s t( ) =s e0 µt

Xét giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t+dt với dt rất nhỏ:

1,( )

dt dt

1.5.2 Xây dựng mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn

Ở phần trước ta xét phương án đầu tư không rủi ro với lợi tức cố định, ở phần

này ta xem lợi tức là một biến ngẫu nhiên

Xét một phương án đầu tư rủi ro, với vốn ban đầu là s0

Gọi s1 là giá trị của phương án đầu tư sau khoảng thời gian rất nhỏ dt, lợi tức

của phương án đầu tư trong thời gian dt là một biến ngẫu nhiên Y1 Khi đó:

s1 =s0(1+Y i)

Ta xét thêm một khoảng thời gian dt nữa, gọi s2 là giá trị của phương án đầu tư sau

khoảng thời gian này kết thúc, lợi tức của phương án đầu tư trong thời gian dt thứ 2 là

một biến ngẫu nhiên Y2 Khi đó: s2 =s1(1+Y2)=s0(1+Y1)(1+Y2)

Vậy khi thời gian qua đi, giá trị của phương án đầu tư sẽ thay đổi bởi các đại lượng

ngẫu

nhiên

Gọi s n là giá trị của phương án đầu tư sau khi n khoảng thời gian dt kết thúc Y i là lợi

tức của phương án đầu tư trong khoảng thời gian dt thứ i Khi đó: 0 ( )

n n

ln

n n

i i

● Giả sử các biến ngẫu nhiên Y i thỏa mãn các điều kiện sau:

i Các biến ngẫu nhiên Y i là độc lập Những gì diễn ra tại một khoảng thời gian nào đó

sẽ không ảnh hưởng tới diễn biến tại những khoảng thời gian sau đó hay nói cách khác

thị trường “ không có ký ức”

ii Với mọi i thì Y i có cùng phân phối Giá trị trung bình, độ lệch chuẩn, và tất cả những thuộc tính khác của phân phối xác suất không đổi theo thời gian

iii.Y i có phương sai hữu hạn

Do Y i thỏa mãn các điều kiện (i),(ii),(iii) nên Z i =ln(1+Y i) cũng thỏa mãn các điều

kiện trên

Theo định lý Giới hạn trung tâm, ta có:

0

1 lim ln n n

s

→∞

 

 

  có phân phối chuẩn

Giả sử Z i là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phương sai như nhau

Đặt:

( ) ( )

( ) ( )

i

i

i

i

E Z

E Z dt dt

D Z

dt

,

i

Z N µ σdt dt Định nghĩa: ( )

i

Z dt

σ

−

Suy ra Z i =µdt+σdX i với dX i N(0,dt)

Gọi s t( ) là giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t ( thời điểm n khoảng thời gian

dt giống nhau kết thúc)

Khi đó: s t( )=s n

( ) 0 0 1 1 1 1 1 ( ) ln ln

n

n i i n

i i

i

n i i n i

s

s t

Z

dt dX

µ σ

=

=

=

=

   

=

   

   

=

= +

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

với dX i N(0,dt)

Do Z i, (i=1, , )n , là biến ngẫu nhiên độc lập nên dX i i, =1, ,n cũng là biến ngẫu nhiên độc lập, các dX i đều có phân phối chuẩn với trung bình là 0 và phương sai là dt

Từ đó ta có:

1

n i i

0

1( )

đầu tư rủi ro theo thời gian

Phương trình này khác với phương trình (1.3) ở đại lượng ngẫu σdX dùng để đo lường

rủi ro của phương án đầu tư Phương trình (1.3) là trường hợp đặc biệt của (1.4) khi

= − với dX N(0,dt) là một công thức của mô hình bước

ngẫu nhiên log normal ( trong đó µ gọi là trung bình lợi tức cộng gộp liên tục của

phương án đầu tư, σ là độ lệch chuẩn tương ứng)

Tuy nhiên trong mô hình tài chính với thời gian liên tục thì mô hình bước ngẫu nhiên thường được mô tả bởi phương trình:

ds dt dX

s =α +σ (1.5) Trong đó α gọi là trung bình lợi tức tức thời

Mối liên hệ giữa hai phương trình (1.4) và (1.5) thể hiện qua định lý sau:

• s thỏa một bước ngẫu nhiên loga chuẩn

  có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ , độ lệch chuẩn σ

• α là kỳ vọng lợi tức tức thời hằng năm, µ kỳ vọng lợi tức cộng gộp liên tục

hằng năm,σ là độ lệch chuẩn tương ứng

• Tại mọi thời điểm t cho trước, s t( ) là biến ngẫu nhiên có phân phối loga chuẩn xác định bởi:

s t( )=s(0)eµ σt+ X với X ~N( )0, t

CHƯƠNG II: HÀM LỢI ÍCH

Nội dung chính của chương 2 được trình bày dựa trên tài liệu nghiên cứu của Jonh Norstad (1999) và các tài liệu [9],[13],[17]

3 Tính tăng ngặt hàm lợi ích thể hiện lợi ích tăng theo tài sản, tức là nhà đầu tư mong muốn đạt được nhiều tài sản hơn, do đó nhà đầu tư sẽ không bao giờ cảm thấy thỏa mãn

4 Tính chất e ngại rủi ro được phản ánh qua tính lõm ngặt của hàm lợi ích, hay nói cách khác lợi ích biên của tài sản giảm khi tài sản tăng lên

Để làm rõ hơn điều này ta xét ví dụ sau: xét lợi ích thu được khi kiếm thêm 1 triệu:

a Đối với những người chỉ có 1 triệu , việc kiếm thêm 1 triệu rất quan trọng

b Đối với những người đã có trong tay 1 tỷ , việc này gần như vô nghĩa với họ

Như vậy, khi tài sản ban đầu tăng lên thì lợi ích của việc kiếm thêm cùng một số tiền

sẽ giảm xuống

5 Những nhà đầu tư khác nhau có thể sẽ có những hàm lợi ích khác nhau, tuy vậy tất cả các hàm lợi ích này đều thỏa mãn 2 tính chất: tăng ngặt và lõm ngặt

2.1.2 Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích và bài toán đầu tư tối ưu

Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích : Một nhà đầu tư khi phải lựa chọn trong tập

các phương án đầu tư có thể chấp nhận được, sẽ lựa chọn phương án làm cực đại hóa

kỳ vọng hàm lợi ích ứng với tài sản của nhà đầu tư đó

Bài toán đầu tư tối ưu: là bài toán đi tìm phương án đầu tư thỏa mãn nguyên tắc cực

đại kỳ vọng hàm lợi ích

Mô hình hóa: Với mỗi phương án đầu tư I trong tập các phương án đầu tư có thể chấp nhận được F, gọi X I( ) là biến ngẫu nhiên biểu diễn giá trị thu được của của phương án I trong một thời gian nhất định Khi đó, nhà đầu tư với hàm lợi ích U và bài toán tìm phương án đầu tư tối ưu sẽ tìm một phương án I0∈F sao cho:

U

λ λ

ωω

U

λ

λ λ

Vậy U thỏa mãn điều kiện của hàm lợi ích

3 2

1

2 1

4

U

U U

Ta thực hiện việc tung đồng xu:

+ Nếu mặt ngửa, nhà đầu tư sẽ nhận thêm 4 triệu, nâng tổng tài sản lên thành 9 triệu + Nếu mặt xấp, nhà đầu tư sẽ mất 4 triệu, tài sản còn lại là 1 triệu

Kì vọng thu được là 0,5 4+0,5 (-4)=0 Ta gọi đây là một trò chơi công bằng Trò chơi này trông có vẻ giống một cuộc đánh cược hơn là một sự đầu tư

Ta xét một phương án đầu tư với vốn ban đầu là ω =0 5 triệu Trong tương lai sẽ có một trong hai giá trị là ω= 1 triệu (thị trường diễn biến xấu) hoặc ω= 9 triệu (thị trường diễn biến tốt) Sự đầu tư này tương tự như kết quả thu được khi ta tung đồng

xu

Chú ý rằng ta đã chọn một phương án đầu tư có độ biến động rất lớn, cụ thể tài sản của nhà đầu tư sẽ mất đi 80% trong tình huống xấu, tăng thêm 80% trong tình huống tốt trong khi kỳ vọng thu được là 0%

Ta giả sử rằng nhà đầu tư chỉ có hai sự lựa chọn (tập các phương án đầu tư chấp nhận được gồm 2 phần tử) Nhà đầu tư có thể chọn lựa tiến hành hoặc không tiến hành sự đầu tư này

Nếu nhà đầu tư từ chối đầu tư, giữ lại 5 triệu, khi đó kỳ vọng hàm lợi ích là :

Nếu vốn ban đầu ω =0 4, nhà đầu tư của chúng ta cũng sẽ sẵn sàng chấp nhận rủi ro mất đi 75% (3 triệu) tài sản để có cơ hội tăng tài sản hiện có của mình lên 125% (5 triệu) với xác suất là 50% Nhưng nhà đầu tư sẽ không chấp nhận rủi ro nhiều hơn thế

Tổng quát, Giá trị tương đương hầu chắc chắn của một sự đầu tư mà kết quả thu

được là một biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là:

• Giá trị tương đương hầu chắc chắn luôn nhỏ hơn kỳ vọng của phương án đầu tư:

( ( ))

c<E X I

• Xét một nhà đầu tư với hàm lợi ích U , tổng vốn ban đầu là ω0 và một phương án đầu tư I với kết quả thu được là một biến ngẫu nhiên X và giá trị tương đương hầu chắc chắn c :

+ Nếu ω0< ⇒c E U[ (ω0)]=U(ω0)<U c( )= E U X ( ), nhà đầu tư sẽ thấy sự đầu tư này hấp dẫn

+ Nếu ω0 > ⇒c E U[ (ω0 )]=U(ω0 ) >U c( ) = E U X ( ) , nhà đầu tư sẽ quyết định không đầu tư, vì không cần làm gì thì kỳ vọng hàm lợi ích của biến tài sản đã lớn hơn kỳ vọng hàm lợi ích của phương án đầu tư

+ Nếu ω0 = ⇒c E U[ (ω0 )]=U(ω0 ) =U c( ) = E U X ( ) , nhà đầu tư sẽ suy nghĩ và có thể đầu tư hoặc không

Các hàm lợi ích thường được dùng để so sánh các sự đầu tư Ta có thể biến đổi các hàm lợi ích bằng cách nhân thêm một hằng số dương hoặc cộng thêm vào một hằng số bất kỳ Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi affine dương

Cho hàm lợi ích U bất kỳ, hằng số a> 0, hằng số b tùy ý Đặt:

• Xét một phương án đầu tư I với kết quả thu được là một biến ngẫu nhiên X Gọi c

là giá trị tương đương hầu chắc chắn của I đối với hàm lợi ích U Khi đó c cũng là

là giá trị tương đương hầu chắc chắn của I đối với hàm lợi ích V Thật vậy:

Kết luận: Hai hàm lợi ích được xem là giống nhau nếu chúng chỉ sai khác nhau một

phép biến đổi anffine dương

2.4 Một vài hàm lợi ích thường gặp

2.4.1 Ví dụ

đầu tư toàn bộ tài sản hoặc không làm gì cả

Giả sử vốn ban đầu của nhà đầu tư là 100 triệu với hàm lợi ích:

(Trong trường hợp này ta có thể xét hàm lợi ích là 3

3

1 ( )

và +20% (tài sản thu được ω = 120 triệu) với xác suất 50%

Kỳ vọng lợi tức của phương án đầu tư này là: -0,1.0,5+0,2.0,5=0,05 tức là 0,05%

Độ lệch chuẩn của lợi tức là:

để nhà đầu tư lựa chọn)

Kỳ vọng hàm lợi ích trong các trường hợp:

+ Thị trường xấu: [ ] 6 3

E U ω = − − ≈ −

2 Ví dụ 2: Một phương án đầu tư tối ưu

Giả sử tổng vốn ban đầu của nhà đầu tư là 100 triệu

Ở hai ví dụ trên ta giả sử rằng nhà đầu tư chỉ có hai sự lựa chọn hoặc là không làm gì

cả hoặc là đầu tư toàn bộ vốn của mình vào một tài sản rủi ro

Trong ví dụ này ta giả sử nhà đầu tư còn có thêm một lựa chọn nữa là đầu tư một phần của 100 triệu và giữ nguyên phần còn lại Vậy nhà đầu tư sẽ có ba lựa chọn: không làm gì, đầu tư toàn bộ vốn vào tài sản rủi ro hoặc chỉ chọn đầu tư một phần của 100 triệu và giữ nguyên phần còn lại

Ta sử dụng hàm lợi ích dạng lũy thừa như ở ví dụ 1 ( phần 2.4.1), tuy nhiên hàm lợi ích sẽ ở dạng tổng quát hơn:

Với λ< 1,λ≠ 0 xét: U ( ) 1

λ λ

ωω

tư lựa chọn để đầu tư Khi đó 100 −α gọi là tài sản không rủi ro

+ Nếu diễn biến thị trường tốt: tài sản thu được là :

Gọi c là giá trị tương đương hầu chắc chắn của phương án đầu tư ứng với hàm lợi ích

trên Tức là ta tìm c sao cho:

Trong đó α là số tài sản mà nhà đầu tư bỏ ra trong tổng vốn ban đầu

Do cực đại kỳ vọng hàm lợi ích tương đương với cực đại giá trị tương đương hầu chắc chắn nên ở đây ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất của c

Đường cong trong Hình 2.4 và Hình 2.5 được gọi là “đường cong lợi ích ” Nếu kết hợp nhiều tài sản rủi ro thì đường cong sẽ trở thành mặt trong không gian đa chiều Để giải bài toán phân phối tài sản đầu tư tối ưu (hay bài toán đầu tư tối ưu) ta sẽ đi theo

“đồi lợi ích” và tìm thấy phương án đầu tư tối ưu tại đỉnh của nó

Hình 2 4 Đường cong lợi ích ứng với λ= − 3

Nếu ở ví dụ trước, ứng với λ= − 3, nhà đầu tư sẽ lựa chọn đầu tư toàn bộ tài sản 100 triệu thì ở ví dụ này phương án đầu tư tối ưu là đầu tư 59 triệu trong tổng vốn 100 triệu ban đầu.(Hình 2.4)

Hình 2 5 Đường cong lợi ích ứng với λ= − 5

Tương tự với λ= − 5, phương án tối ưu cho nhà đầu tư e ngại rủi ro là đầu tư 39 triệu

và giữ lại 61 triệu.(Hình 2.5)

• Ta có thể dùng công cụ tính toán đại số để tìm phương án đầu tư tối ưu trong ví dụ này Dựa trên nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích, ta sẽ tìm giá trị của α sao cho

A được gọi là hệ số e ngại rủi ro của hàm lợi ích đang xét Mỗi hàm lợi ích sẽ có hệ

số e ngại rủi ro khác nhau

Ở phần trên ta thấy khi λ giảm nhà đầu tư trở nên e ngại rủi ro nhiều hơn Cụ thể, nhà đầu tư với hàm lợi ích U( )ω 15

ω

= − ứng với A= 6 thì e ngại rủi ro nhiều hơn nhà đầu

tư với hàm lợi ích 3

1( )