Phương pháp mô phỏng monte carlo và ứng dụng vào toán tài chính

Một trong những phương pháp mô phỏng phổ biến được ứng dụng trong toántài chính là phương pháp Monte Carlo với sự giúp đỡ của máy tính.. Phương pháp Monte Carlo là phương pháp thường đượ

Hoàng Thị Hồng Minh

PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO VÀ ỨNG DỤNG

VÀO TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THỊNH

Hà Nội - 2012

Lời nói đầu 1

1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo 4

1.1.1 Luật mạnh số lớn 4

1.1.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô" 5

1.1.3 Một vài ứng dụng của phương pháp mô phỏng Monte Carlo 5

1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo 8

1.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc 9

1.2.2 Biến điều khiển 10

1.2.3 Mẫu phân tầng 13

1.2.4 Giảm phương sai bằng cách lấy mẫu có điều kiện 14

1.2.5 Mẫu chính 15

1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục 23

1.3.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho các quá trình ngẫu nhiên 25 1.3.2 Chuyển động Brown và cầu Brown 26

1.3.3 Công thức Itô 30

1.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 34

1.4 Mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên 38

1.4.1 Phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên 39

1.4.2 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh 41

2 Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính 44 2.1 Một số mô hình tài chính Mô hình Black - Scholes 45

2.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes 46 2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học S(t) 49

2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết 522.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn 522.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn 532.3 Định giá quyền chọn và phương pháp Monte - Carlo trong việc xây dựng môhình Black - Scholes 592.4 Những hạn chế của mô hình Black - Scholes 62

Ngày nay, mô phỏng số chiếm một vị trí quan trọng trong nghiên cứu khoa học, bao gồm

cả mặt lý thuyết và thực nghiệm Với sự phát triển nhanh và ngày càng phức tạp của cácngành khoa học nói chung và toán tài chính nói riêng, các phương pháp lý thuyết gặp nhiềukhó khăn, bởi lẽ ở đó thường sử dụng tới các phép tính gần đúng Mô phỏng số có thể kiểmchứng những phép tính gần đúng từ lý thuyết, từ đó góp phần hạn chế sai số Các kết quảđịnh lượng để mô phỏng số còn được sử dụng để so sánh với các kết quả nghiên cứu thựcnghiệm Ngoài ra, mô phỏng còn được xem như là bước "số hóa thực nghiệm", nó được tiếnhành trước bước thực nghiệm để thu được kết quả tốt hơn, tiết kiệm được chi phí cho các lầnthực nghiệm Một trong những phương pháp mô phỏng phổ biến được ứng dụng trong toántài chính là phương pháp Monte Carlo với sự giúp đỡ của máy tính

Tên gọi "phương pháp Monte Carlo" xuất hiện trong từ điển toán học vào những năm1949-1950, nhưng thật ra nó ra đời trong những năm 1943-1944 gần như cùng thời với máytính điện tử đầu tiên ở Mỹ, và được giới thiệu vào nước ta từ những năm 1963-1964, nhưngthực sự được áp dụng phổ biến từ sau những năm 1975-1977

Phương pháp Monte Carlo là phương pháp thường được dùng để mô phỏng các hiện tượngxác suất, những hiện tượng không thay đổi đặc tính theo thời gian, nó cũng được sử dụng đểtính toán các biểu thức không theo xác suất bằng cách sử dụng phương pháp theo xác suất.Phương pháp mô phỏng Monte Carlo được ứng dụng phổ biến trong các ngành côngnghiệp tài chính và bảo hiểm Nó là công cụ cần thiết cho các kỹ sư và chuyên gia tính toántài chính khi phải tính toán các loại giá cả hay tính toán rủi ro phức tạp Do đó, tác giả đãchọn cách tiếp cận kết hợp trình bày lý thuyết phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các cáchcải tiến và ứng dụng của nó trong việc mô phỏng nghiệm của các quá trình vi phân ngẫunhiên, cũng như các ứng dụng để định giá quyền chọn trong lĩnh vực toán tài chính

Bố cục luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, tác giả giới thiệu về phương pháp mô phỏng Monte Carlo, các định

lí cơ bản, và trình bày các phương pháp khác nhau để tăng tốc độ tính toán mà được gọi

chung là phương pháp giảm phương sai Tiếp theo, tác giả trình bày các kiến thức cơ bản

về quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và mô phỏng Monte Carlo cho chuyển độngBrown Ngoài ra, tác giả còn mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiênbằng phương pháp xấp xỉ Milstein và xấp xỉ Euler-Maruyama

Chương 2: Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình toán tài chính

Trong chương này, tác giả chủ yếu đề cập đến mô hình Black Scholes, một khung giá

cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes Tác giả cũng trình bày cách xác định các hệ số thịtrường chứng khoán (µ: tỉ lệ trung bình của giá cổ phiếu luân chuyển; σ : độ biến động giácủa cổ phiếu)

Tác giả đã trình bày hai loại định giá quyền chọn, quyền chọn bán và quyền chọn mua,bằng lý thuyết Tác giả cũng đã thu thập một bộ dữ liệu thật về giá cổ phiếu và dùng nhiềuphương pháp khác nhau để tính toán sau đó so sánh các kết quả chạy máy này với các kết quả

do lý thuyết chứng minh được

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tìnhcủa TS Nguyễn Thịnh Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắcmắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười thầy của mình.

Qua đây, tác giả xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóacao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trìnhgiáo dục đào tạo của Nhà trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiếnquý báu cho bản luận văn của tác giả

Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điềukiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả có thể hoàn thành luận văn của mình

Hà nội, tháng 12 năm 2012

Người làm luận văn

Hoàng Thị Hồng Minh

Cơ sở lý thuyết

1.1 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Phương pháp mô phỏng Monte Carlo hay còn gọi là phương pháp thử thống kê được địnhnghĩa như là phương pháp tính, bằng cách biểu diễn nghiệm các bài toán dưới dạng các tham

số của một đám đông lý thuyết và sử dụng dãy số ngẫu nhiên để xây dựng mẫu đám đông mà

từ đó ta thu được ước lượng thống kê của các tham số Nói cách khác, phương pháp MonteCarlo cung cấp những lời giải gần đúng cho các bài toán bằng cách thực hiện các thí nghiệmlấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên

Ý tưởng chính của phương pháp Monte Carlo là xấp xỉ một kỳ vọng E(X) bởi trung bìnhcộng các kết quả của nhiều lần thí nghiệm độc lập, trong đó các biến ngẫu nhiên X có cùngphân phối

Cơ sở lý thuyết của phương pháp này là một trong những kết quả quan trọng của lý thuyếtxác suất, đó là Luật mạnh số lớn

1.1.2 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo "thô"

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực với E(X) < ∞

Thuật toán 1.1.2 (Phương pháp Monte Carlo "thô")

Xấp xỉ E(X) bởi trung bình số học 1n∑ni=1 Xi(ω) , với mọi n ∈ N Ở đây, Xi(ω) là kết quả

của n phép thử độc lập, có cùng phân phối xác suất với X.

Định lí 1.1.3 (Ước lượng không chệch của phương pháp Monte Carlo)

Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với

X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω, z, P).

Khi đó ước lượng Monte Carlo:

Xn:= 1n

(Xem chứng minh trong [13])

Định lí 1.1.4 (Định lí giới hạn trung tâm)

Giả sử (Xn)n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với

X, được xác định trên một không gian xác suất (Ω, z, P).

Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn σ2= Var(X).

Khi đó:

∑ni=1 Xi− n.µ

√n.σ

D

−→ N (0;1); khi n → ∞

(Xem chứng minh trong [5])

Ví dụ 1. Một thí nghiệm để tính giá trị xấp xỉ của π là giao của một phần của đường tròn đơn vị ( C ) có tâm là gốc tọa độ với hình vuông đơn vị dương [0,1]2.

Thí nghiệm được thực hiện bằng cách lấy ngẫu nhiên các điểm P1, P2, , Pncủa hìnhvuông đơn vị và giả sử rằng:

Xi= 1Pi∈C

Khi đó : Pi∈ int(C ) hoặc Pi∈ bound(C )

Do đó, ta ngầm giả sử rằng điểm được chọn có phân bố đều trên [0, 1]2 Khi đó ta có:

P(Pi∈C ) =π

4Suy ra , xác suất củaC bằng diện tích của phần giao đó

π 2.84 3.1268 3.14144Bảng 1.1 (Ước lượng Monte Carlo "thô" của π)Nhận xét rằng, tốc độ hội tụ của phương pháp Monte Carlo khá chậm, tuy nhiên cần phảichú ý rằng sai số tương đối của ước lượng này dưới 0.5 % So sánh với điều này ta thấy, ướclượng với n = 100.000 cho ta kết quả tương đối chính xác

Độ tin cậy [ ˆπlow, ˆπup] của ước lượng Monte Carlo được tính :

ˆ

πlow 2.477 3.0938 3.13105ˆ

πup 3.203 3.1598 3.15183Bảng 1.2 (Ước lượng Monte Carlo cho khoảng tin cậy 95% của π)

Ví dụ 2 (Ước lượng xác suất của một biến cố)

Ước lượng xác suất của một biến cố là một trong những ứng dụng quan trọng củaphương pháp Monte Carlo

Giả sử A là một biến cố nào đó Ước lượng P(A)?

Suy ra E(1A) = P(A) và khi đó ước lượng Monte Carlo cho P(A) là tần suất tương đối của

số lần xuất hiện của A trong n lần thí nghiệm độc lập Một cách hình thức, giả sử Ai là sốlần xuất hiện A trong thí nghiệm thứ i, khi đó ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A)như sau:

Var(1A) = P(A).(1 − P(A)), σˆn= rfn(A).(1 − rfn(A))

và khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là:

[rfn(A) −1.96√

n ˆσn, rfn(A) +1.96√

n ˆσn]

Ví dụ 3 (Tích phân Monte Carlo)

Một ứng dụng rất đơn giản nhưng hiệu quả của Monte Carlo là tính gần đúng các giátrị của các tích phân tất định có dạng:

Z

[0,1] d

g(x) dx

(g(x) là hàm bị chặn, nhận giá trị thực.)Hàm mật độ f (x) của phân bố đều d chiều trên [0, 1]d:

f(x) = 1[0,1]d(x); x ∈ RdKhi đó, với X ∼U ([0,1]d):

• Mặt khác, với một biến ngẫu nhiên V phân phối đều trên [0, 1], ta biết rằng hàm mật độcủa nó là:

(2) Mô phỏng V,U ∼ U [0, 1];V,U độc lập;

(3) Đặt Ti= cos(Vi2).sin(Ui4), với i = 1, 2, 3, , n;

(4) Ước lượng I bởi ˆθn= 1n ∑nk=1 Tk;

1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte Carlo

Nhược điểm chính của phương pháp mô phỏng Monte Carlo là tốc độ hội tụ của nó.Trong xác suất, điều này chỉ được khắc phục khi độ lệch chuẩn giảm thì số lần mô phỏng sẽgiảm Do đó, nếu có thể thay đổi tốc độ hội tụ của phương sai thì có thể tăng tốc độ tính toánđiện tử, theo nghĩa rằng đạt được độ chính xác, đòi hỏi số ít lần chạy mô phỏng Mọi sự cảitiến của phương pháp Monte Carlo "thô" được gọi là phương pháp giảm phương sai Trongmục này tôi xin giới thiệu một số phương pháp giảm phương sai phổ biến

1.2.1 Biến ngẫu nhiên xung khắc

Phương pháp sử dụng các biến ngẫu nhiên xung khắc là phương pháp giảm phương sai

dễ dàng nhất Nguyên lý cơ bản là giảm phương sai bằng cách lấy đối xứng Giả sử chúng

ta muốn tính E( f (X)) với X là một biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0, 1] Khi đó ướclượng Monte Carlo "thô" sẽ là:

fanti(X ) = 1

2.(

1n

Var( fanti(X )) = σ

2

2n+

12nCov( f (X ), f (1 − X ))

Mệnh đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Chebyschev.)

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên giá trị thực Giả sử f , g là các hàm không giảm với

Cov ( f (X ), g(X )) hữu hạn Khi đó ta có:

E( f (X )g(X )) ≥ E( f (X ))E(g(X ))Bằng việc chọn g(x) = − f (1 − x), ta có mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ mệnh đềtrên:

Mệnh đề 1.2.2 (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố đều).

Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố đều trên [ 0, 1] với Cov ( f (X ), f (1 − X )) hữu hạn Khi đó ta có:

Cov ( f (X ), f (1 − X )) ≤ 0

Mệnh đề 1.2.3 (Giảm phương sai trong trường hợp phân bố chuẩn)

Giả sử f là hàm không giảm hoặc không tăng, giả sử X có phân bố chuẩnN (µ,σ2) với Cov ( f (X ), f (2µ − X )) hữu hạn Khi đó ta có:

Cov ( f (X ), f (2µ − X )) ≤ 0

1.2.2 Biến điều khiển

Nguyên lý của biến điều khiển dựa trên ý tưởng: nếu muốn tính E(X), thì phải cố gắngtính toán càng nhiều để độ chính xác càng tốt Chính xác hơn, nếu biết một biến ngẫu nhiên

Y gần tới X theo một nghĩa nào đó và có thể tính toán E(Y ) một cách chính xác, khi đó biếnngẫu nhiên này có thể được chọn như là biến điều khiển, một cách tương đương ta có:

E(X ) = E(X − Y ) + E(Y )

từ đó dẫn đến ước lượng biến điều khiển Monte Carlo sau:

XY = 1n

n

∑

i=1

(Xi−Yi) + E(Y )với Xi,Yilà các thành phần độc lập của X ,Y Từ biểu thức liên hệ:

Var(XY) = 1

n.Var(X −Y ) =1

n(Var(X) + Var(Y ) − 2Cov(X,Y ))

ta thu được sự giảm phương sai của trong ước lượng biến kiểm soát Monte Carlo so với ướclượng Monte Carlo "thô" như sau:

Do

Var(X ) ≥ Var(X − Y )nên độ chênh lệch về phương sai của hai phương pháp ước lượng là:

2Cov(X,Y ) − Var(Y )

Những ứng dụng mở rộng của phương pháp biến điều khiển.

1 Tối ưu hóa biến điều khiển:

Nếu ta tìm thấy biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn yêu cầu thì aY cũng được sử dụng như mộtbiến điều khiển với a > 0 Do tính chất tuyến tính của kỳ vọng, ước lượng biến điều khiểnmới cũng không chệch Vì vậy việc sử dụng biến điểu khiển Y đạt được thông qua số nhân

2a∗Cov(X ,Y ) − (a∗)2.Var(Y ) = σ

2 XY

σY2

2 Điều khiển bội

Theo cách xây dựng ước lượng biến điều khiển, ta có thể lấy thêm một biến điều khiểnkhác, gọi là Z, như sau:

Var(Z) < 2Cov(X , Z)Vậy một trong những ứng dụng của điều khiển bội là dùng trong trường hợp nhiều chiều:

X= f (Y1, ,Yd)

đó là phương pháp điều khiển biến trong trường hợp không có điều kiện

3 Biến điều khiển và chuỗi xấp xỉ

Không dễ dàng để tìm được một biến điều khiển tốt Giả sử có ước lượng :

j

Vấn đề đặt ra là, liệu có thể xác định được giá trị x0như trên để có thể giảm phương saimột cách nhiều nhất khi sử dụng fk(X ) như là hàm biến thiên đồng thời Tất nhiên điều nàyphụ thuộc nhiều vào việc tính toán tất cả các giá trị của X cho đến bậc k và đặc biệt là tínhtất cả các phương sai: Cov(Xj, f (X ))

Vì vậy, ước lượng tuyến tính tốt nhất mà ta đạt được trong trường hợp này là xấp xỉ Taylorcấp 1 tại giá trị x0=12.

(Xem hình 1.1)

Hình 1.1:

4 Biến điều khiển trung bình không điều kiện

Phương pháp sử dụng biến ngẫu nhiên điều khiển không điều kiện là xấp xỉ kỳ vọng củacác hàm nhiều chiều:

E(g(X )) = E(g(X(1), , X(d)))với d đơn biến điều khiển

YU Mj(X ) = g(µ1, , µi−1, X(i), µi+1, , µd), j = 1, , dvới µj= E(X( j)), được gọi là biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện

Ta có ước lượng của biến ngẫu nhiên điều khiển trung bình không điều kiện:

d

∑

j=1

E(YU Mj(X ))

Ví dụ 5.

Ta xem xét một ví dụ đơn giản như sau:

Giả sử có biến ngẫu nhiên X = (X(1), X(2), X(3)) có phân bố chuẩn nhiều chiều

• phân bố xác suất của Y đã biết hoặc dễ dàng tính toán được, và

giảm phương sai, với i = 1, , d ta định nghĩa:

X(i)j , µi= E(X|Y = yi), σi2= Var(X|Y = yi)

Tất cả các biến ngẫu nhiên X(i)j có cùng phân bố xác suất với X |Y = yi Khi đó ta có ướclượng Monte Carlo phân tầng của µ là:

Var Xstrart,n
= Var ∑d

Mệnh đề 1.2.4 (Giảm phương sai với các trọng số được lựa chọn tốt)

(a) Với các kí hiệu n1, , nd tồn tại ở trên thì phương sai của ước lượng Monte Carlo phân tầng nhỏ hơn so với ước lượng Monte Carlo "thô" của µ.

(b) Giả sử rằng tất cả các giá trị của npi đều là số nguyên Khi đó, với sự lựa chọn tỉ lệ phân tầng ni= npi, phương sai của ước lượng Monte Carlo phân tầng nhỏ hơn thực sự so với phương sai của ước lượng Monte Carlo "thô" nếu E(X|Y ) không là hằng số hầu chắc chắn (c) Việc giảm phương sai lớn nhất là khi chọn:

n∗i = n piσi

∑dj=1 pjσj

(không giảm tổng quát, ta giả sử rằng tất cả σj là các số dương).

Giả sử rằng:

• E(X |Y ) có thể được tính toán một cách chính xác bằng công thức tích phân đã cho.

• Phân bố của Y được ước lượng bằng phương pháp Monte Carlo (thô).

Bằng việc biến đổi:

ta có một ước lượng Monte Carlo của µ bằng cách lấy mẫu E(X|Y ) Ước lượng Monte Carlo

có điều kiện được tính như sau:

• Lấy mẫu Y n lần để được các giá trị Y1, ,Yn,

σ2= Var(X) = E(Var(X|Y )) + Var(E(X|Y )) ≥

≥ Var(E(X|Y )) =: σcond2

Khi đó ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.5 Với các kết quả và kí hiệu trên, phương sai của ước lượng Monte Carlo có

điều kiện không vượt quá phương sai của ước lượng Monte Carlo thô Nếu X |Y khác hằng

số hầu chắc chắn thì bằng việc sử dụng ước lượng Monte Carlo có điều kiện sẽ giảm được phương sai (lượng phương sai giảm được là σ2− σcond2 ).

Mẫu chính được xây dựng dựa trên một sự biến đổi trực tiếp của hàm mật độ của X (hoặcbiến đổi hàm xác suất, trong trường hợp X là một biến ngẫu nhiên rời rạc) Ý tưởng chính củaphương pháp lấy mẫu chính là để tìm một phân phối cho các biến ngẫu nhiên cơ bản bằngcách xác định một mẫu có xác suất cao với những giá trị rất quan trọng để tính toán kỳ vọng,E(g(X ))

Để thấy sự thay đổi của phương pháp, ta quay lại xem xét tích phân Monte Carlo trong ví

dụ 3 Với f (x) là hàm mật độ của phân bố đều trên U [0, 1]dta có:

từ đây ta có thể tính tích phân xác định thông qua sử dụng N biến ngẫu nhiên độc lập X1, , XN

có phân phối đều trên U [0, 1]d để có ước lượng Monte Carlo thô:

Cụ thể ta xét trường hợp: d = 1, g(x) = x.(1 − x) là một hàm không âm, đối xứng trênđoạn [0, 1], g(1) = g(0) = 0, max

[0,1]g(x) = g(12) = 14 Bây giờ thay vì dùng phân phối đều trênđoạn [0, 1], thì ta sử dụng phân phối tam giác cho biến ngẫu nhiên X , tức là nó có mật độ xácsuất :

Một so sánh đơn giản của việc sử dụng ước lượng Monte Carlo giữa xấp xỉ đều và xấp xỉtam giác với N = 1.000 cho thấy sự vượt trội của phương pháp mới Kết quả thu được là:

IMC 0.168 [0.166, 0.170] Var(Iimp) =1152N1 = 64.18N1

(CMC: Phương pháp ước lượng Monte Carlo thô; IMC: Phương pháp ước lượng Monte Carlobằng lấy mẫu chính.); kết quả chính xác bằng 16

Nhận xét thấy rằng, việc sử dụng phương pháp lấy mẫu chính cho ta kết quả chính xáchơn Mặt khác, với phương pháp mới này, phương sai cũng nhỏ hơn so với phương pháp cũ(Var(Icrude) ≥ Var(Iimp)) Như vậy, phương sai của ước lượng Monte Carlo bằng việc sửdụng phương pháp lấy mẫu chính đã được giảm ít hơn 1/6 so với phương sai của ước lượngMonte Carlo thô

Bây giờ ta sẽ áp dụng phương pháp lấy mẫu chính để tính kỳ vọng trong trường hợp tổngquát:

và độ đo xác suất của nó là ˜P Ta có:

Nhận xét rằng, ước lượng của mẫu chính là ước lượng không chệch và ước lượng vững.Phương sai của nó được cho bởi:

σimp, ˜2 f,N= ˜Var(Iimp, ˜f,N(g(X )))

= 1N

˜Var( ˜g(X )) = 1

N

˜

E ˜g(X )2
− µ2

= 1N

˜Var



Iimp, ˜f,N(g(X ))= 0Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp là tìm hằng số c bằng phương pháp Monte Carlo, ởđó: µ =1c

Mệnh đề 1.2.6 (Giảm phương sai bằng phương pháp lấy mẫu chính)

Giả sử g(.) là một hàm không âm Khi đó tồn tại hàm mật độ của mẫu chính ˜ f sao cho ta có:

˜Var

Một số phương pháp phổ biến để có được hàm mật độ của mẫu chính

1 Dịch chuyển hàm mật độ và nguyên lý cực đại

Ý tưởng của phương pháp này là thay thế f (x) bởi :

˜

f(x) = f (x − c)với c là hằng số thỏa mãn:

˜g(x) = f(x)

f(x − c)g(x)Khi đó thực hiện nguyên lý cực đại, tức là chọn c sao cho ˜f(x) và g(x) f (x) đạt cực đại tạicùng một giá trị xmax (Chú ý rằng xmax không phải là duy nhất, nên không phải việc chọngiá trị c lúc nào cũng rõ ràng) Trong trường hợp đặc biệt của một hàm mật độ chuẩn nhiềuchiều:

ν∗= arg maxx{g(x) f (x)}

Ví dụ 6 (Tính toán chi phí cho các sự kiện tiêu cực có phân phối chuẩn)

Giả sử ta có X ∼ N(0, 1) và chúng ta phải đối mặt với chi phí của g(X) nếu quan sátcác giá trị của X lớn hơn 10 Ví dụ, như là một vụ phá sản của Mỹ hay là một tai nạn nghiêmtrọng ở nhà máy điện hạt nhân

Nếu bây giờ ta sử dụng ước lượng Monte Carlo thô, thì ngay cả đối với một số lượng N lớn,cũng không quan sát một giá trị đơn lẻ Xi> 10 , và do đó ước lượng chi phí trung bình

E(g(X )) bằng 0.

Nếu lấy:

g(x) := C.x.1[10,∞)(x)với C là hằng số rất lớn, khi đó ta có:

10 = arg max

x

C.x.1[10,∞)(x).√1

2 Thay đổi dáng điệu của hàm mật độ bởi tỷ lệ

Ý tưởng là thay thế f (x) bởi

˜

f(x) =1

cf

xc



với c > 0 ta có:

˜g(x) = c f(x)

f x

c

g(x)(Nhận xét rằng, nếu chọn một giá trị lớn của c  1 thì phương sai của phân phối ứng với hàmmật độ ˜f bằng phương sai tương ứng với hàm mật độ f ban đầu nhân với c2)

Ví dụ 7 (Với các giả thiết như trong ví dụ 6)

Chọn tham số c sao cho xác suất có nghĩa trong khoảng [10, ∞) khi mô phỏng các sốngẫu nhiên theo hàm mật độ chuyển đổi ˜f Đối với biến ngẫu nhiên Xσ có phân bố chuẩn

N (0,σ2), ta có:

P(Xσ ≥ σ ) = 1 − Φ(1) = 0.159

ta có thể chọn σ = 10 Nghĩa là 1/6 các số ngẫu nhiên Xiđược tạo ra thuộc khoảng [10, ∞)

và do đó có thể có được ước lượng mẫu chính khác 0

(xem hình 1.5)

Tuy nhiên, bằng việc chọn σ = 10, ta tăng độ lệch chuẩn của phân bố mẫu lên gấp 10 lần.Khi đó ta có được ước lượng 8259.10−14với khoảng tin cậy xấp xỉ 95% là [5956.10−14, 1056.10−13].Trong khi đó giá trị chính xác là 7659.10−14thuộc khoảng tin cậy trên, do đó ước lượng nàykhá là không ổn định

3 Lấy mẫu có điều kiện bị hạn chế bởi miền giá trị

Thay điều kiện (1.5) bởi điều kiện sau:

˜

f(x) > 0, ∀x thỏa mãn g(x) f (x) 6= 0 (1.8)Khi đó xét trên một khoảng [a, b] (ở đây có thể a = −∞, b = +∞), ta có:

f{X|X∈[a,b]}(x) = f(x)

P(X ∈ [a, b])Nếu ta chọn mật độ có điều kiện là mật độ của mẫu chính thì sẽ có một hàm tỷ số hợp lý:

f(x)

˜

f(x) = P(X ∈ [a, b])Điều này cũng giúp ta tính ước lượng của mẫu chính dễ dàng hơn, ta cũng có:

trong đó Xilà mẫu được lấy từ mật độ có điều kiện

Nếu khoảng mà ta lấy điều kiện có một xác suất rất nhỏ thì việc tính toán xác suất này sẽ làmột vấn đề khó khăn Để tránh điều này ta sử dụng phương pháp dịch chuyển có điều kiện:đầu tiên, bằng sự dịch chuyển thích hợp ta biến đổi mật độ (hoặc một phần) vào miền xácđịnh (mà ta quan tâm); sau đó sử dụng mật độ đã được chuyển dịch thay cho mật độ ban đầuvới điều kiện trong miền xác định đó Khi đó ta lại có một ước lượng của mẫu chính:

Iimp, ˜f

cond ,N(g(X )) = 1

N

˜P(X ∈ [a, b])

Kết quả của việc thực hiện kết hợp các phương pháp là kết quả chính xác nhất được minhhọa trong bảng so sánh dưới đây, trong đó giá trị đúng là 7695.10−14:

Dịch chuyển trung bình 7528.10−14 7029.10−14 8030.10−14

Định tỷ lệ 8259.10−14 5956.10−14 1056.10−13

Kết hợp điều kiện 7621.10−14 7380.10−14 8611.10−13

Bảng 1.4 (Các phương pháp mẫu chính khác nhau với khoảng tin cậy 95% )

Hình 1.4: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ dịch chuyển mẫu chính ˜f(x)

Hình 1.5: Mật độ ban đầu f(x) và mật độ tỷ lệ mẫu chính ˜f(x)

Hình 1.6: Mật độ dịch chuyển ˜f(x) và mật độ dịch chuyển có điều kiện ˜fcond(x)

1.3 Các quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

Quá trình ngẫu nhiên là mô hình toán học của rất nhiều bài toán thực tế xuất hiện trongkhoa học và công nghệ Nó mô tả sự tiến hóa theo thời gian của một hệ thống chịu sự tácđộng của các nhân tố ngẫu nhiên Tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ xem xét các hiện tượng nhưgiá cổ phiếu, lãi suất và quá trình bảo hiểm, nhưng người ta cũng có thể xem xét các hiệntượng thiên nhiên như thời tiết hoặc các vấn đề về kỹ thuật như dòng chảy của các hạt tươngtác thông qua một số bộ lọc Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫunhiên nào đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trình

vi phân ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.1 Cho (Ω, z, P) là một không gian xác suất với không gian mẫu Ω, σ

-trường F, và độ đo xác suất P Giả sử I là một tập chỉ số.

(a) Họ {Ft}t∈I của σ -trường con của F với Fs⊂ Ft nếu s < t ; s,t ∈ I, được gọi là một lọc.

(b) Một họ {(Xt, Ft)}t∈I, gồm một lọc {Ft}t∈I và một họ {Xt}t∈I các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rn, sao cho Xt là Ft- đo được, được gọi là một quá trình ngẫu nhiên tương ứng với lọc {Ft}t∈I.

(c) Với mỗi ω ∈ Ω cố định, tập:

X.(ω) := {Xt}t∈I = {X (t, ω)}t∈I

được gọi là một quỹ đạo mẫu.

Định nghĩa 1.3.2 Nếu những quỹ đạo mẫu của một quá trình ngẫu nhiên X (ω) là liên tục

(liên tục phải, liên tục trái) thì ta gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục (liên tục phải, liên tục trái).

Định nghĩa 1.3.3 (a) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt, Ft)}t∈I được gọi là có gia số độc lập nếu với mọi r ≤ u ≤ s ≤ t, (r, u, s,t ∈ I) ta có:

bố của gia số Xt− Xs chỉ phụ thuộc vào sự chênh lệch về thời gian t − s

Do đó ta sẽ nghiên cứu hai lớp cơ bản của quá trình ngẫu nhiên khái quát hai thuộc tínhnày:

• Thuộc tính thứ nhất (với gia số độc lập): là lớp các quá trình Markov mà ở đó phân bốcủa các giá trị tương lai của quá trình này chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua giá trị hiệntại của nó

• Thuộc tính thứ hai là của mac-tin-gan, khái quát về ý tưởng của một trò chơi công bằng

Định nghĩa 1.3.4 Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt, Ft)}t∈I nhận giá trị trên Rd, xác định trên một không gian xác suất (Ω, z, P) được gọi mà một quá trình Markov với phân bố ban đầu

ν nếu ta có:

P(X0∈ A) = ν(A), ∀A ∈ B(Rd)

P(Xt∈ A|Fs) = P(Xt ∈ A|Xs), ∀A ∈ B(Rd); t ≥ s

Đặc biệt là, phân bố của các giá trị tương lai của X chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua giá trị hiện tại Xt.

Định nghĩa 1.3.5 Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt, Ft)}t∈I nhận giá trị thực với E|Xt| < ∞,

• Các phần tử Xt;t ∈ I của một quá trình ngẫu nhiên thường không độc lập

• Tập chỉ số I có thể không đếm được, có nghĩa là một mô phỏng hoàn toàn chi tiết củamột quá trình tương ứng là không thể

• Mục đích của bạn là gì khi mô phỏng quá trình ngẫu nhiên?

Thuật toán 1.3.6 (Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục với các quỹ đạo liên

tục)

Giả sử0 = t0< t1< < tn= T là một phân hoạch của [0, T ].

Gọi Pk là phân phối có điều kiện của Xtk bởi Xtk−1.

Khi đó ta thu được quỹ đạo X (ω) thông qua các bước sau:

Quá trình ngẫu nhiên là nền tảng cơ sở quan trọng nhất để xây dựng các mô hình tài chính

và các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học là quá trình chuyển độngBrown

Định nghĩa 1.3.7 (a) Quá trình ngẫu nhiên giá trị thực {Wt,t ≥ 0} với các quỹ đạo liên tục

và thỏa mãn các tính chất:

(i) W0= 0, P − h.c.c.

(ii) Wt−Ws∼ N(0,t − s) với 0 ≤ s < t.

(iii) Wt−Ws độc lập với Wu−Wr với0 ≤ r ≤ u ≤ s < t

được gọi là một chuyển động Brown một chiều.

(b) Một chuyển động Brown n - chiều là một quá trình nhận giá trị trên Rn:

W(t) = (W1(t), ,Wn(t))

với các Wilà các chuyển động Brown một chiều, độc lập.

1.3.2.1 Các tính chất của chuyển động Brown

Định lí 1.3.8 (a) Tất cả các quỹ đạo của chuyển động Brown {Wt}t∈[0,∞) là các hàm theo t khả vi P − h.k.n.

Định lí 1.3.9 (a) Một chuyển động Brown một chiều là một mac-tin-gan.

(b) Một chuyển động Brown với độ lệch µ và độ biến động σ , với µ, σ ∈ R:

Xt := µt + σWt, t > 0

là:

(i) một mac-tin-gan nếu và chỉ nếu µ = 0

(ii) một mac-tin-gan - trên nếu và chỉ nếu µ ≤ 0

(iii) một mac-tin-gan - dưới nếu và chỉ nếu µ ≥ 0

Thuật toán 1.3.10 (Mô phỏng quỹ đạo của chuyển động Brown)

Giả sử 0 = t0< t1< < tn= T là một phân hoạch của [0, T ] Khi đó ta sẽ có một quỹ

đạo W.(ω) của một chuyển động Brown một chiều thông qua thuật toán sau:

1.3.2.2 Hội tụ yếu và định lí Donsker

Định nghĩa 1.3.11 Giả sử (S, B(S)) là một không gian metric với metric ρ và σ−trường

Borel B(S) của S Gọi P,Pn, n ∈ N là các độ đo xác suất trên (S, B(S)).

Khi đó, ta nói dãy Pnhội tụ yếu tới P nếu với mỗi hàm f liên tục, bị chặn, nhận giá trị thực trên S, ta có:

Các ánh xạ liên tục bảo toàn sự hội tụ theo phân phối

(Rk,B(Rk)) cũng là một không gian xác suất

Giả sử Xn, X là các quá trình ngẫu nhiên liên tục, giá trị thực

Cố định k thời điểm: 0 ≤ t1< < tk≤ 1, theo định lí 1.3.13 ta có:

Xn−−−→ X theo phân phốin→∞

khi đó (Xn(t1), , Xn(tk))−−−→ (X(tn→∞ 1), , X (tk)) theo phân phối

Định lí 1.3.14 (Donsker) Giả sử {ξn}n∈Nlà một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, với E(ξi) = 0, 0 < Var(ξi) = σ2< ∞ Đặt:

Ta xây dựng một dãy Xncủa quá trình ngẫu nhiên bởi:

Khi đó dãy Xnhội tụ yếu tới chuyển động Brown một chiều {Wt}t in[0,1], tức là ta có:

Xn−−−→ W, theo phân phối.n→∞

Định lí 1.3.15 Giả sử {Wt}t≥0là một chuyển động Brown một chiều Khi đó ta có:

lim sup

t→∞

Wt(ω)p2t log(log(t)) = 1, P − h.c.c

lim inf

t→∞

Wt(ω)p2t log(log(t)) = −1, P − h.c.c

Hệ quả 1.3.16 Giả sử Xt= µ.t + σWt, t ≥ 0 là một chuyển động Brown với độ lệch µ và độ

được gọi là một cầu Brown từ a tới b.

Mệnh đề 1.3.18 Một cầu Brown từ a tới b thỏa mãn tính chất:

Mệnh đề 1.3.19 (Công thức phân phối chuẩn có điều kiện)

Giả sử Z = (Z(1), , Z(d)) là một vecto ngẫu nhiên d - chiều, với Z ∼ N (µ,∑) Phân hoạch

Z thành d1thành phần đầu tiên là X và d − d1thành phần tiếp theo là Y Khi đó, với:



XY

Thuật toán 1.3.20 (Mô phỏng một cầu Brown)

1 Mô phỏng một quỹ đạo của một chuyển động Brown Wt(ω) trên [0, T ].

2 Đặt Ba,bt = aTT−t+ bTt + Wt− t

TWT
, ∀t ∈ [0, T ]

Mệnh đề 1.3.21 Giả sử W là một chuyển động Brown một - chiều, a, b ∈ R, 0 < s < t < u.

Khi đó phân phối có điều kiện của Wt bởi (Wu,Ws) được cho như sau:

Định nghĩa 1.3.22 Giả sử {(Wt, Ft)|t ∈ [0, T ]} là một chuyển động Brown một chiều trên

không gian xác suất (Ω, F, P).

(a) Một quá trình ngẫu nhiên {Xt}t∈[0,T ]được gọi là một quá trình đơn giản nếu tồn tại các

số thực0 = t0< t1< < tp= T, p ∈ N và các biến ngẫu nhiên bị chặn Φi: Ω → R, i=

0, 1, , p, với:

Φ0 là F0− đo được, Φi là Fti−1− đo được, i = 1, , p,

sao cho với mỗi ω ∈ Ω : Xt(ω) thỏa mãn:

Hình 1.8: Mô phỏng các quỹ đạo mẫu của một cầu Brown từ 0 tới 1 (n = 100)

(b) Với một quá trình đơn giản {Xt}t∈[0,T ]và t ∈ (tk,tk+1], tích phân ngẫu nhiên hay tích phân

Itô I.(X ) được định nghĩa như sau:

Định lí 1.3.23 (Những tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên)

Giả sử X là một quá trình đơn giản Khi đó ta có:

(a) {(It(X ), Ft)}t∈[0,T ]là một mac-tin-gan liên tục, cụ thể ta có:

Hình 1.9: Hàm bậc thang, chuyển động Brown và tích phân Itô tương ứng

là các mac-tin-gan Mỗi một dãy thời điểm dừng được gọi là một dãy địa phương.

Định nghĩa 1.3.26 Giả sử {(Wt, Ft)}t∈[0,∞)là một chuyển động Brown m - chiều, m ∈ N (a) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt, Ft)}t∈[0,∞):

với mọi t ≥ 0, i = 1, , m được gọi là một quá trình Itô giá trị thực.

(b) Một quá trình Itô n - chiều X =



X(1), , X(n)



là một vecto với các thành phần là các quá trình Itô giá trị thực.

Định nghĩa 1.3.27 Giả sử X và Y là hai quá trình Itô giá trị thực có dạng:

Định lí 1.3.28 (Công thức Itô một chiều)

Giả sử W là một chuyển động Brown một - chiều, X là một quá trình Itô giá trị thực có dạng:

t

Z

0

f0(Xs).HsdWs P − h.c.c

(Nói riêng, f (Xt) cũng là một quá trình Itô và tất cả các tích phân trên được xác định)

Định lí 1.3.29 (Công thức Itô nhiều chiều)

Giả sử X (t) = (X1(t), , Xn(t)) là một quá trình Itô n - chiều với :

và W (t) là một chuyện động Brown m - chiều.

Hơn nữa giả sử, f : [0, ∞) × Rn→ R là một C1,2− hàm số (tức là: f là hàm liên tục; biến thứ

nhất khả vi liên tục; n biến thành phần phía sau là khả vi liên tục tới cấp 2) Khi đó ta có:

1.3.4.1 Các kết quả cơ bản của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.30 Một nghiệm (mạnh) X (t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên :

Hai ví dụ đơn giản của phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng trong tài chính là:

• Phương trình tuyến tính thuần nhất một chiều:

dX(t) = bX (t)dt + σ X (t)dW (t), X(0) = xvới b, σ ∈ R và W (.) là một chuyển động Brown một chiều

• Phương trình tuyến tính một chiều với tiếng ồn:

dX(t) = (a + bX (t))dt + σ dW (t), X(0) = xvới a, b, σ ∈ R và W (.) là một chuyển động Brown một chiều

Định lí 1.3.31 (Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên )

Giả sử b(t, x), σ (t, x) là các hệ số của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.9) là các hàm

liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz:

||b(t, x) − b(t, y)|| + ||σ (t, x) − σ (t, y)|| ≤ K||x − y|| (1.10)

và

||b(t, x)||2+ ||σ (t, x)||2≤ K2 1 + ||x||2
(1.11)

∀t ≥ 0, x, y ∈ Rd và hằng số K > 0, trong đó ||.|| là chuẩn Euclide.

Khi đó tồn tại nghiệm mạnh , liên tục {(X (t), Ft)t≥0} của phương trình (1.9) với:

1.3.4.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

Định lí 1.3.32 (Biến phân của hàm số)

Giả sử {(W (t), Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều Giả sử x ∈ R và A, a, Sj, σj

là các quá trình nhận giá trị thực, đo được lũy tiến với:

Định lí 1.3.33 (Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tình thuần nhất đa chiều)

Giả sử {(W (t), Ft)}t∈[0,∞)là một chuyển động Brown m - chiều.

Định lí 1.3.34 (Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đa chiều)

Giả sử {(W (t), Ft)}t∈[0,∞)là một chuyển động Brown m - chiều.

Giả sử x ∈ Rn, A, Sjlà các ma trận giá trị đo được lũy tiến cỡ n × n , và a, σjlà các quá trình nhận giá trị trên Rnvới: