2 Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính
2.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black Scholes
Giả sử rằng biến động giá của n cổ phiếu khác nhau là một phương trình vi phân ngẫu nhiên n - chiều cho trước:
dSi(t) =µi(t)Si(t)dt+ n
∑
j=1
σi,j(t)Si(t)dWj(t), Si(0) =si (2.1) ∀i=1, . . . ,nvới{(W(t),Ft,t∈[0,T])}là một chuyển động Brown n - chiều.
Trong đó, các hệ số thị trườngµ (trung bình độ dịch chuyển) vàσ (độ biến động) là các quá trìnhFt−bị chặn, đo được lũy tiến.
Ta cũng giả sử rằngσ là ma trận đơn vị xác định dương:
x0σ(t,ω)σ(t,ω)0x≥c.x0x, ∀(t,ω)∈[0,T]×Ω
với c là hằng số dương nào đó. Theo phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính, phương trình giá cổ phiếu có nghiệm duy nhấtSi(t)cho như sau:
Si(t) =siexp t Z 0 µi(s)−1 2 n ∑ j=1 σi2,j(s) ! ds+ n ∑ j=1 t Z 0 σi,j(s)dWj(s) (2.2)
Thêm vào đó là những rủi ro trong đầu tư cổ phiếu, có thể là không rủi ro trong đầu tư trái phiếu ( hoặc tốt hơn là một tài khoản ngân hàng ), sự phát triển đó qua thời gian được điều chỉnh bởi phương trình:
dB(t) =r(t)B(t)dt, B(0) =1 (2.3)
Phương trình này có một nghiệm duy nhất là:
B(t) =exp t Z 0 r(s)ds (2.4)
Ở đây quá trình lãi suấtr(t)được giả sử rằng bị chặn và đo được lũy tiến tương ứng với lọc Ft.
Với mô hình giá cổ phiếu đầu tiên này, chúng ta sẽ giới thiệu những nhà đầu tư vào thị trường của mình bằng cách chỉ rõ những hoạt động và diễn biến của họ. Những hoạt động có thể xảy ra của nhà đầu tư là:
1. Tái cân bằng các cổ phần, tức là có thể bán cổ phiếu và đầu tư tiền vào mua các cổ phiếu khác. Hành động này được mô phỏng bởi quá trình danh mục đầu tư hoặc theo chiến lược kinh doanh.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử {(B(t),Ft)t∈[0,T]} là một chuyển động Brown n - chiều. Giả sử rằng ta có một thị trường nơi mà cổ phiếu và trái phiếu được giao dịch với diễn biến giá cả được cho bởi các phương trình (2.1) và (2.3).
(a) Một chiến lược kinh doanhϕlà một quá trình đo được lũy tiến nhận giá trị trênRn+1:
ϕ(t):= (ϕ0(t),ϕ1(t), . . . ,ϕn(t))0
sao cho các tích phân sau được xác định và hữu hạn:
T Z 0 ϕ0(t)dB(t), T Z 0 ϕi(t)dSi(t), i=1, . . . ,n
Giá trịx:=ϕ0(0) +∑in=1 ϕi(0)siđược gọi là giá trị ban đầu của ϕ hay là tài sản ban đầu của nhà đầu tư.
(b) Giả sửϕ là một chiến lược kinh doanh với giá trị ban đầux>0. Quá trình :
X(t):=ϕ0(t)B(t) + n
∑
i=1
ϕi(0)(t)Si(t)
được gọi là quá trình tổng sở hữu tương ứng vớiϕ, với tài sản ban đầu x. (c) Một quá trình đo được lũy tiến không âmc(t)với:
T
Z
0
c(t)dt <∞ P−h.c.c
được gọi là một quá trình tiêu thụ.
(d) Một cặp(ϕ,c)gồm một chiến lược kinh doanhϕ và một quá trình tiêu thụ c, được gọi là tự tài trợ nếu quá trình tổng sở hữu tương ứngX(t),
t ∈[0,T]thỏa mãn: X(t) =x+ t Z 0 ϕ0(s)dB(s) + n ∑ i=1 t Z 0 ϕi(s)Si(s)dSi(s)− t Z 0 c(s)ds P−h.c.c
(e) Giả sử(ϕ,c)là một cặp tự tài trợ bao gồm một chiến lược kinh doanh và một quá trình tiêu thụ, với một quá trình tổng sở hữu tương ứng X(t)>0 P−h.c.c, ∀t∈[0,T]. Khi đó một quá trình nhận giá trị trênRn:
π(t):= (π1(t), . . . ,πn(t))0, t∈[0,T]
với πi(t) = ϕi(s)(t)Si(t)
X(t) , được gọi là một quá trình danh mục đầu tư tự tài trợ tương ứng với
Nhận xét. 1. Quá trình danh mục đầu tư biểu thị các phần phân đoạn của tổng tài sản đầu tư vào các cổ phiếu khác nhau. Do đó các phần của tài sản đầu tư vào trái phiếu được cho bởi:
1−π(t)01= ϕ0(t).B(t)
X(t) ; 1 := (1, . . . ,1)
0∈Rn
2. Các yêu cầu đặc biệt thỏa mãn các giả thiết của các hệ số thị trường là vớiP−h.c.cta có: T Z 0 |ϕ0(t)|dt <∞ n ∑ j=1 T Z 0 (ϕi(t).Si(t))2dt <∞, với i=1, . . . ,n.
Định nghĩa 2.1.2. Một cặp tự tài trợ(ϕ,c)hay(π,c)bao gồm một chiến lược kinh doanhϕ
hoặc một quá trình danh mục đầu tưπ và một quá trình tiêu thụ gọi là chấp nhận được đối với tổng sở hữu ban đầux>0, nếu quá trình tổng sở hữu tương ứng thỏa mãn:
X(t)≥0 P−h.c.c ∀t ∈[0,T]
Tập các cặp chấp nhận được(π,c)với tài sản ban đầu x được ký hiệu làA(x)
2.1.1.1 Mô hình Black - Scholes
Trong mô hình Black - Scholes, các hệ số thị trườngµi,σi j được giả sử là các hằng số, điều này dẫn đến giá trái phiếu và cổ phiếu có dạng:
B(t) =exp(rt), (2.5) Si(t) =siexp µi1 2 n ∑ j=1 σi2,j ! + n ∑ j=1 σi,jWj(t) ! (2.6) Khi đó, ta có thể xác định: E(Si(t)) =si.exp(µit) (2.7)
Var(Si(t)) =s2i.exp(2µit) exp
n ∑ j=1 σi j2t ! −1 ! (2.8) Cov(ln(Si(t)),ln(Sj(t))) = n ∑ k=1 σikσjkt (2.9)
Như vậy rõ ràng là giá cổ phiếu là một hàm theo thời gian và chuyển động Brown: f(t,W(t)). Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên với một cổ phiếu:
dS1(t) =µS1(t)dt+σS1(t)dB(t) (2.10)
dt vàdB(t)là các hàm bậc nhất củaS1(t)(giá của một cổ phiếu tại thời điểm t),µ và σ là các hằng số.
Lời giải của phương trình (2.10) là một quá trình ngẫu nhiênS1(t) =S1(t,ω)có dạng : S1(t) =S1(0).exp σBt+ µ−σ 2 2 t (2.11)
Quá trìnhS1(t)này được gọi là một chuyển động Brown hình học,S1(0)là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểmt=0.
2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học
S(t)
Nhận xét rằng, nếu ta có thể ước lượng các tham sốµ vàσ thì sẽ ước lượng được giáS1(0) của cổ phiếu tại thời điểmt.
Giả sử xét giá cổ phiếuS1(t)trong một khoảng thời gian quan sát[0,T].
Nếu0=t0<t1< . . . <tn=T là một phân hoạch của [0, T] vớinkhoảng đều như nhau có độ dài∆t=ti−ti−1, ∀i=0, . . . ,n, thì giả sử là đã biết giá chứng khoán tại thời điểm cuối ti+1của mỗi khoảng nhỏ[ti;ti+1]. Vậy ta cón+1quan sátS1,S2, . . . ,Sn+1.
Bước 1. Tạo ra một dãy số liệu:
Zi=ln(Si+1)−ln(Si) (2.12) Z1,Z2, . . . ,Zn là một dãy số. Theo công thức của chuyển động Brown hình học (2.11) ta có biểu thức: Zi=σ(Bti+1−Bti) + µ−σ 2 2 ∆t (2.13)
Bước 2. Tìm trung bình và phương sai của dãy số liệuZ1,Z2, . . . ,Zntheo công thức thống kê: • Trung bình mẫu:Z˜= 1n∑ni=1 Zi,
• Phương sai mẫu:S2=n−11∑ni=1 Zi−Z˜2
Đó là những ước lượng cho trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiênZ mà thể hiện là (Z1,Z2, . . . ,Zn). Nếu chỉ căn cứ vào biểu thức (2.13) thì ta tính ra trung bình và phương sai củaZsẽ là:
• Trung bình:µ−σ2 2
∆t
• Phương sai:σ2∆t
Bước 3. Giải các phương trình sau đây đối vớiµ vàσ :
˜ Z= µ−σ 2 2 ∆t S2=σ2∆t Ta sẽ được: µ= ˜ Z+S22 ∆t và σ = √S ∆ Ví dụ 11.
Giá cổ phiếu KSS (Tổng Công Ty Cổ Phần Khoáng Sản NaRi Hamico) lúc đóng cửa trong khoảng thời gian từ ngày 29/02/2012 đến ngày 17/05/2012 được thống kê lại gồm 40 số liệu như sau (tính theo đơn vị một nghìn Việt Nam đồng (1000 vnđ)):
7,8 8,1 8,2 8,1 7,8 8,1 8,4 8,2 8,5 8,9 9,3 9,4 9,5 9,1 8,8 8,4 8,3 8,7 8,5 8,9 8,9 8,6 9.0 9.4 9.8 10,2 11,2 11,7 12,2 12,8 13,4 12,7 13,3 12,7 12,1 11,9 12,4 11,8 11,3 10,8
Bằng các công thức trên, ta tính được:
˜
Z=0,0083442
S=0,04
Trong bước 3, ta ước lượngµ vàσ theo tỉ lệ xích hàng năm: ∆t = 1
365
Vậy các ước lượng của tham sốµ vàσ của giá cổ phiếu sẽ là:
ˆ µ =Z˜+ S2 2 ∆t =3,34 và σˆ = √S ∆ =0,76
Khi đó theo công thức (2.11), giá một cổ phiếu vào bất kỳ một ngày t nào đó sẽ được ước lượng bởi:
˜
2.1.2.1 Tính đầy đủ của thị trường
Trong mục này ta chỉ xét trên thị trường tuyến tính với định lí về các thị trường đầy đủ. Ta có các kí hiệu: γ(t):=exp − t Z 0 r(s)ds , θ(t):=σ−1(t)(b(t)−r(t).1) Z(t):=exp − t Z 0 θ(s)0dW(s)−1 2 t Z 0 ||θ(s)||2 H(t):=γ(t).Z(t)
θ(t)có thể được hiểu như là một loại phí bảo hiểm rủi ro tương đối trong đầu tư chứng khoán. Quá trìnhH(t)dương, liên tục và đo được lũy tiến, sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việc kết nối với quyền chọn giá. Hơn nữa nó là nghiệm duy nhất của phương trình:
dH(t) =−H(t)(r(t)dt+θ(t)0dW(t)), H(0) =1
Định lí 2.1.3. (Tính đầy đủ của thị trường) Xét một mô hình thị trường tuyến tính.
(a) Giả sử(π,c)∈A(x). Khi đó quá trình tổng sở hữuX(t)tương ứng thỏa mãn:
E H(t)X(t) + t Z 0 H(s)c(s)ds ≤x ∀t∈[0,T] (2.14)
(b) Giả sửB≥0là một biến ngẫu nhiênFT - đo được, vàc(t),∀t ∈[0,T]là một quá trình tiêu thụ thỏa mãn : x:=E H(T)B+ T Z 0 H(s)c(s)ds <∞ (2.15)
Khi đó tồn tại một quá trình đầu tưπ(t), t ∈[0,T], với(π,c)∈A(x)và quá trình tổng sở hữuX(t)tương ứng thỏa mãn:
2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết
2.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn
Định giá quyền chọn thực sự là một mảng sáng, hấp dẫn trong lĩnh vực tài chính với thời gian liên tục. Nó bao gồm những kết quả quan trọng nhất của toán tài chính, như công thức Black - Scholes. Tầm quan trọng của công thức này cho các ứng dụng lý thuyết và thực tế được nhấn mạnh bởi giải thưởng Nobel kinh tế được trao cho Robert Merton và Myron Scholes năm 1997 để tôn vinh những đóng góp của họ về định giá quyền chọn.
Quyền chọn là gì?Quyền chọn là một hợp đồng cho phép người mua được phép lựa chọn là thực hiện hay không thực hiện việc mua hay bán một số lượng xác định các đơn vị tài sản cơ sở, trong một khoảng thời gian xác định với một mức giá được xác định trước. Các hàng hóa cơ sở của hợp đồng quyền chọn có thể là cổ phiếu, trái phiếu, ngoại tệ, hợp đồng tương lai, nhóm chứng khoán hay hợp đồng chứng khoán. . .Một hợp đồng quyền chọn phải bao gồm các điểm cơ bản sau:
1. Loại quyền chọn. 2. Tên hàng hóa cơ sở. 3. Khối lượng giao dịch. 4. Ngày hết hạn.
5. Giá thực hiện.
Giao dịch quyền chọn?Là giao dịch giữa bên mua quyền và bên bán quyền, trong đó bên mua quyền có quyền nhưng không có nghĩa vụ mua hoặc bán một lượng ngoại tệ xác định ở một mức tỷ giá xác định trong một khoảng thời gian thỏa thuận trước. Nếu bên mua quyền lựa chọn thực hiện quyền của mình, bên bán quyền có nghĩa vụ bán hoặc mua lượng ngoại tệ quy định trong hợp đồng quyền chọn theo tỷ giá đã thỏa thuận trước. Giao dịch quyền chọn chỉ liên quan đến hai ngoại tệ. Có hai loại quyền chọn:
• Quyền chọn mua: Người mua hợp đồng có quyền mua hay không một hàng hóa xác định với mức giá định trước tại một thời điểm xác định trong hợp đồng.
• Quyền chọn bán: Người mua hợp đồng có quyền bán hay không một hàng hóa xác định với mức giá định trước tại một thời điểm xác định trong hợp đồng.
2.2.1.1 Quyền chọn mua
Người ta có thể mua "một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo trước". Cái quyền cho phép có thể mua (mà không bắt buộc phải mua) như vậy trong tương lai được gọi là Quyền Chọn Mua.
• Đến ngày đáo hạn , người mua hợp đồng có thể trả cho người bán hợp đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng.
• Nếu người bán hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người mua trả, thì người bán phải giao một cổ phần chứng khoán cho người mua vào ngày đáo hạn.
Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng quyền chọn mua sẽ được xếp đặt sao cho người bán phải trả cho người mua khoản chệnh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi.
GọiST là giá của cổ phiếu tại thời điểmt=T trong tương lai vàK là giá thực thi vào ngày đáo hạn. Khi đó số tiền mà người mua hợp đồng quyền chọn phải trả là:
Số tiền chi trả=max{ST −K,0}= (ST−K)+
2.2.1.2 Quyền chọn bán
Người ta có thể mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo, ngay cả khi mà người ta không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đó là nội dung của các hợp đồng Quyền Chọn Bán hay gọi tắt là Quyền Chọn Bán.
Các điều kiện của quyền chọn bán:
• Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết một cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị trường lúc ấy của một cổ phần chứng khoán.
• Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương đương do người giữ hợp đồng giao cho, thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng.
Thông thường thì với hợp đồng quyền chọn bán này, thì hoặc là hợp đồng không được thực thi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênh lệch giữa giá thực thi và giá chứng khoán vào ngày đáo hạn.
Gọi ST là giá chứng khoán lúc đáo hạn và K là giá thực thi, khi đó ta có thể nói rằng thu hoạch của người giữ quyền bán này là:
Thu hoạch quyền bán=max{K−ST; 0}= (K−ST)+
2.2.2 Giới thiệu sơ lược về định giá quyền chọn
2.2.2.1 Lịch sử vắn tắt của định giá quyền chọn
Lý thuyết hiện đại của định giá quyền chọn bắt đầu với các luận án Theorie de la Sp0eculation của L. F. Bachelier. Do đó, với mô hình giá cổ phiếu là một chuyển động Brown với độ biến động, Bachelier muốn có lý thuyết giá cho quyền chọn cho các cổ phiếu để so sánh chúng với giá thực tế trên thị trường. Ông đề nghị sử dụng giá trị kỳ vọng của các tài
khoản được chọn giá thanh toán để định giá quyền chọn.
Bước đột phá quyết định hình thức định giá quyền chọn hiện đại có được là công thức Black - Scholes của Fischer Black và Myron Scholes (1973).
2.2.2.2 Định giá quyền chọn thông qua các nguyên tắc đáp ứng để bảo hộ Định giá quyền chọn trong một chu kỳ của mô hình nhị thức
Xét một thị trường bao gồm các trái phiếu và cổ phiếu với các ngày giao dịch là0vàT. Quá trình giá trái phiếu được cho bởi:
B(0) =1;B(T) =exp(rT)
Còn giá cổ phiếu bắt đầu với tài sản cơ sởS(0)và có thể đạt được hai giá trịd.S(0)hoặc u.S(0)vớid<u.
Giả sử xác suất đểS(T) =uS(0)bằng p; p∈(0,1). Ở đây ta cần có điều kiện: d<exp(rT)<u
để giảm nguy cơ rủi ro không cần thiết cho đầu tư vốn ban đầu, được gọi là các cơ hội kinh doanh có độ chênh lệch thị giá .
Ví dụ 12.
Ta xem xét một quyền chọn mua trong mô hình nhị thức với giá thực thiK=100và ngày đáo hạnT =1. Chọnu=1.2;d=0.95vàr=0. Khi đó kết quả thu được như sau:
S(0) Xác suất S1(T) (S1(T)−K)+
100 p 120 20
100 1−p 95 0
Khi đó giá quyền chọn mua là:
C=E (S1(T)−K)+=20.p+0.(1−p) =20.p
Theo dự kiến, mức giá được đề xuất này phụ thuộc rất nhiều vào khả năng thành công p. Nguyên nhân chính của vấn đề này là cán cân thanh toán cuối cùng của quyền chọn có thể đạt được bằng cách làm theo một chiến lược kinh doanh tự tài trợ phù hợp của cổ phiếu và trái phiếu. Nguyên tắc tổng hợp xây dựng các quyền chọn này được gọi là nguyên tắc đáp ứng để bảo hộ giá.
Ta phải xác định chiến lược kinh doanh(ϕ0(0),ϕ1(0))để có:
Sau đó ta định nghĩa giá quyền chọnCˆcủa quyền chọn mua với vốn ban đầu tạit=0để mua chiến lược đáp ứng để bảo hộ giá(ϕ0(0),ϕ1(0)):
ˆ
C=ϕ0(0)B(0) +ϕ1(0)S(0) Đây là giá cả hợp lý cho quyền chọn.
Thật vậy, giả sử giá quyền chọnC˜ nhỏ hơnC. Khi đó ta mua quyền chọn với giሠC˜ và bán (ϕ0(0),ϕ1(0))với giáC, tức là giữ lạiˆ (−ϕ0(0),−ϕ1(0)).
Như vậy, với t = 0, chúng ta thu được lợi nhuận làCˆ−C˜mà không cần phải sử dụng vốn ban
đầu.
NếuC˜>Cˆthì bán quyền chọn bán và giữ vị trí(ϕ0(0),ϕ1(0))với giáC. Một lần nữa ta giảmˆ