Quá trình ngẫu nhiên là mô hình toán học của rất nhiều bài toán thực tế xuất hiện trong khoa học và công nghệ. Nó mô tả sự tiến hóa theo thời gian của một hệ thống chịu sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên. Tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ xem xét các hiện tượng như giá cổ phiếu, lãi suất và quá trình bảo hiểm, nhưng người ta cũng có thể xem xét các hiện tượng thiên nhiên như thời tiết hoặc các vấn đề về kỹ thuật như dòng chảy của các hạt tương tác thông qua một số bộ lọc. Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫu nhiên nào đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3.1. Cho (Ω,z,P) là một không gian xác suất với không gian mẫu Ω, σ- trườngF, và độ đo xác suấtP. Giả sửIlà một tập chỉ số.
(b) Một họ {(Xt,Ft)}t∈I, gồm một lọc {Ft}t∈I và một họ {Xt}t∈I các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trongRn, sao choXt làFt- đo được, được gọi là một quá trình ngẫu nhiên tương ứng với lọc{Ft}t∈I.
(c) Với mỗiω ∈Ωcố định, tập:
X.(ω):={Xt}t∈I ={X(t,ω)}t∈I
được gọi là một quỹ đạo mẫu.
Định nghĩa 1.3.2. Nếu những quỹ đạo mẫu của một quá trình ngẫu nhiênX.(ω)là liên tục (liên tục phải, liên tục trái) thì ta gọi là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục (liên tục phải, liên tục trái).
Định nghĩa 1.3.3. (a) Một quá trình ngẫu nhiên{(Xt,Ft)}t∈I được gọi là có gia số độc lập nếu với mọir≤u≤s≤t,(r,u,s,t∈I)ta có:
Xt−Xs độc lập với Xu−Xr
(b) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt,Ft)}t∈I được gọi là có gia số "dừng" nếu với mọi
s≤t,(s,t∈I)ta có:
Xt−Xs ∼ Xt−s
Nhận xét.
Hai tính chất trên sẽ giúp việc phân tích và đặc biệt là mô phỏng quá trình ngẫu nhiên đơn giản hơn.
• Nếu quá trình ngẫu nhiênX có các gia số độc lập thì nó sẽ cho dự báo kết quả trong tương lai, tại thời điểmt làXt.
• Nếu quá trình ngẫu nhiên X có gia số dừng thì các tính chất phân phối của quá trình không thay đổi theo thời gian. Điều này không có nghĩa là cácXt có cùng phân bố, mà phân bố của gia sốXt−Xs chỉ phụ thuộc vào sự chênh lệch về thời giant−s.
Do đó ta sẽ nghiên cứu hai lớp cơ bản của quá trình ngẫu nhiên khái quát hai thuộc tính này:
• Thuộc tính thứ nhất (với gia số độc lập): là lớp các quá trình Markov mà ở đó phân bố của các giá trị tương lai của quá trình này chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua giá trị hiện tại của nó.
• Thuộc tính thứ hai là của mac-tin-gan, khái quát về ý tưởng của một trò chơi công bằng.
Định nghĩa 1.3.4. Một quá trình ngẫu nhiên{(Xt,Ft)}t∈I nhận giá trị trênRd, xác định trên một không gian xác suất(Ω,z,P)được gọi mà một quá trình Markov với phân bố ban đầu
ν nếu ta có:
P(Xt∈A|Fs) =P(Xt ∈A|Xs), ∀A∈B(Rd); t≥s
Đặc biệt là, phân bố của các giá trị tương lai của X chỉ phụ thuộc vào quá khứ thông qua giá trị hiện tạiXt.