1.4.2.1 Sơ đồ Euler - Maruyama
Trường hợp 1:Số chiều của quá trình Wiener và quá trình Itô làm=d=1thì sơ đồ Euler - Maruyama (cũng được gọi là sơ đồ Euler) cho (1.22) có dạng:
Yn+1=Yn+a(tn,Yn)∆+b(tn,Yn)∆W (1.24) vớiY0=X0; ∆=tn+1−tn= NT; ∆W =Wtn+1−Wtn∼N(0,∆)là số gia của quá trình dừng WienerWt trên[tn,tn+1].
Trường hợp 2: Với m=1 vàd∈ {1,2, . . .}, thành phần thứkcủa sơ đồ Euler - Maruyama cho (1.22) có dạng:
Ynk+1=Ynk+ak(tn,Yn)∆+bk(tn,Yn)∆W (k=1, . . . ,d)
Trường hợp 3 (tổng quát): Vớim∈ {1,2, . . .}vàd∈ {1,2, . . .}, thành phần thứkcủa sơ đồ Euler - Maruyama cho (1.22) có dạng:
Ynk+1=Ynk+ak(tn,Yn)∆+ m
∑
j=1
bk j(tn,Yn)∆Wj (k=1, . . . ,d)
với ∆Wj =Wtnj+1−Wtnj ∼N(0;∆) (j ∈ {1, . . . ,m}) là số gia của thành phần thứ j của quá trình Wienerm−chiềuWt trên[tn,tn+1], các số gia∆Wj1 và∆Wj2 (j16= j2)độc lập với nhau.
Ví dụ 9.
Cho{Wt;t≥0}là quá trình Wiener 1 - chiều và{Xt,t∈[0,T]}là quá trình Itô 1 - chiều thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính:
dXt =2Xtdt+XtdWt Phương trình này có nghiệm đúng là:
Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian∆của[0,T], sơ đồ Euler - Maruyama choXt xấp xỉ như sau:
Yn+1=Yn+2Yn∆+Yn∆W Y0=X0 (1.25)
ChoT =1,X0=1ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời giandt =
2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Euler - Maruyama (với bước thời gian∆=Dt =
16dt=2−4).
Hình 1.10:Nghiệm số của SDE tính bởi Euler - Maruyama
1.4.2.2 Sơ đồ Milstein
Trường hợp 1: Số chiều của quá trình Wiener và quá trình Itô làm=d=1, ta thêm vào sơ đồ Euler - Maruyama (1.24) số hạng
bb0I(1,1)= 1
2bb
0
(∆W)2−∆
thì thu được sơ đồ Milstein cho (1.22) :
Yn+1=Yn+a(tn,Yn)∆+b(tn,Yn)∆W+1
2b(tn,Yn)b
0(tn,Yn)(∆W)2−∆ Thực hiện tương tự trong các trường hợp nhiều chiều ta nhận được:
Trường hợp 2: Vớim=1và d∈ {1,2, . . .}, thành phần thứkcủa sơ đồ Milstein cho (1.22) có dạng: Ynk+1=Ynk+ak(tn,Yn)∆+bk(tn,Yn)∆W +1 2 d ∑ l=1 bl∂b k ∂xl ! (∆W)2−∆ (k=1, . . . ,d)
Trường hợp 3 (tổng quát): Vớim∈ {1,2, . . .}vàd∈ {1,2, . . .}, thành phần thứkcủa sơ đồ Milstein cho (1.22) có dạng: Ynk+1=Ynk+ak(tn,Yn)∆ m ∑ j=1 bk j(tn,Yn)∆Wj + m ∑ j1=1 m ∑ j2=1 Lj1bk j2(tn,Yn)I(j1,j2) (k=1, . . . ,d)
Ví dụ 10. (Làm lại ví dụ 9 bằng sơ đồ Milstein)
Vẫn xét phương trình:
dXt =2Xtdt+XtdWt Phương trình này có nghiệm đúng là:
Xt=X0e32t+Wt
Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian∆của[0,T], sơ đồ Milstein choXtxấp xỉ như sau: Yn+1=Yn+2Yn∆+Yn∆W+12Yn(∆W)2−∆ Y0=X0 (1.26)
ChoT =1,X0=1ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời giandt =
2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Milstein (với bước thời gian∆=Dt=16dt=2−4).
Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính
Toán tài chính chủ yếu liên quan tới các vấn đề:
Mô hình của sự tiến hóa của các quá trình tài chính như giá cổ phiếu, lãi suất, lạm phát, tỷ giá hối đoái, hoặc là giá cả hàng hóa.
Giá cả dẫn đến những khái niệm cơ bản như giá cổ phiếu, lãi suất, hoặc là hàng hóa. Tối ưu hóa danh mục đầu tư, tức là tìm kiếm các chiến lược đầu tư tối ưu.
Đo lường và quản lý rủi ro.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu những vấn đề cơ bản chính của mô hình giá cổ phiếu, lựa chọn giá, và mô hình lãi suất, cùng với các ứng dụng của phương pháp Monte Carlo.
2.1 Một số mô hình tài chính. Mô hình Black - Scholes
Một mô hình được định dạng là một cấu trúc tạo ra để mô tả các quan hệ giữa các biến số hoặc các yếu tố. Việc vận dụng các mô hình trong hoạt động tài chính là hết sức quan trọng, vì trong thực tế kinh doanh của thị trường tài chính, có nhiều điều kiện lẩn khuất bên dưới các quyết định cực kỳ phức tạp. Những người ra quyết định tài chính thường áp dụng các mô hình tài chính đã có hoặc tự xây dựng một mô hình mới có liên quan loại hình quyết định mà họ phải xác lập. Những mô hình mà dựa vào đó để đưa ra những quyết định gọi là mô hình chuẩn tắc.
Mục tiêu của một mô hình là nhằm tái tạo hay mô phỏng lại một diễn biến tài chính ở cuộc đời thực. Khi xây dựng mô hình như vậy, các nhà nghiên cứu gạt bỏ các điều kiện thực tế không tác động, hoặc tác động không đáng kể. Họ chủ yếu tập trung vào các yếu tố liên quan trực tiếp đến bản chất tình huống định mô phỏng. Và, mục tiêu cuối cùng là khả năng dự báo thị trường.
Có hai loại mô hình chính : lý thuyết và thực nghiệm, kèm theo đó là các phép toán sử dụng khi xây dựng mô hình. Các mô hình mang tính lý thuyết được xây dựng nhằm mô phỏng và giải thích các hiện tượng. Mô hình thực nghiệm được xác định để đánh giá mối quan hệ giữa các yếu tố trong điều kiện thực tế. Các nhà nghiên cứu tài chính có thể đưa ra và vận dụng một mô hình thực nghiệm nhằm kiểm định lý thuyết.
Trong lĩnh vực tài chính, các mô hình toán thường có điều kiện thuận lợi để phát triển, thao tác và điều chỉnh. Hơn nữa các mô hình toán thường dễ chuyển đổi sang các phương trình hoặc sang các bảng tính của máy tính. Có một số mô hình toán tài chính như: mô hình Black - Scholes , mô hình Cox - Ross - Rubinstein, mô hình Vasicek, mô hình Ho - Lee ,mô hình Health - Jarrow - Merton,. . .
Và trong phần này, tác giả đề cập đến mô hình nổi tiếng và phổ biến nhất là mô hình định giá quyền chọn Black Scholes. Mô hình định giá quyền chọn Black Scholes phát triển năm 1973 đã giúp đẩy mạnh các giao dịch quyền chọn vốn lộn xộn trước đó. Mô hình có thể lập trình trên các bảng tính hoặc trên các máy tính tài chính. Mô hình xuất phát từ quan niệm "phòng ngừa hoàn toàn rủi ro" là kiểu phòng ngừa bằng cách mua một cổ phiếu và tiến hành bán ngay quyền chọn mua cổ phiếu đó và kết quả là không có rủi ro.
Chúng tôi tập trung vào các mô hình giá cổ phiếu thời gian liên tục với những quỹ đạo liên tục, tức là giá cổ phiếu được xem như là một hàm theo thời gian không có bước nhảy. Khi quan sát sự phát triển của giá cổ phiếu hay chỉ số của giá cổ phiếu qua thời gian, chúng ta phát hiện ra được những đặc tính đáng chú ý nhất là: Giá cổ phiếu không thay đổi một cách bằng phẳng qua thời gian, những sự biến động ngẫu nhiên rõ ràng thống trị một xu hướng, sự phát triển của giá cổ phiếu ...
2.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes
Giả sử rằng biến động giá của n cổ phiếu khác nhau là một phương trình vi phân ngẫu nhiên n - chiều cho trước:
dSi(t) =µi(t)Si(t)dt+ n
∑
j=1
σi,j(t)Si(t)dWj(t), Si(0) =si (2.1) ∀i=1, . . . ,nvới{(W(t),Ft,t∈[0,T])}là một chuyển động Brown n - chiều.
Trong đó, các hệ số thị trườngµ (trung bình độ dịch chuyển) vàσ (độ biến động) là các quá trìnhFt−bị chặn, đo được lũy tiến.
Ta cũng giả sử rằngσ là ma trận đơn vị xác định dương:
x0σ(t,ω)σ(t,ω)0x≥c.x0x, ∀(t,ω)∈[0,T]×Ω
với c là hằng số dương nào đó. Theo phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính, phương trình giá cổ phiếu có nghiệm duy nhấtSi(t)cho như sau:
Si(t) =siexp t Z 0 µi(s)−1 2 n ∑ j=1 σi2,j(s) ! ds+ n ∑ j=1 t Z 0 σi,j(s)dWj(s) (2.2)
Thêm vào đó là những rủi ro trong đầu tư cổ phiếu, có thể là không rủi ro trong đầu tư trái phiếu ( hoặc tốt hơn là một tài khoản ngân hàng ), sự phát triển đó qua thời gian được điều chỉnh bởi phương trình:
dB(t) =r(t)B(t)dt, B(0) =1 (2.3)
Phương trình này có một nghiệm duy nhất là:
B(t) =exp t Z 0 r(s)ds (2.4)
Ở đây quá trình lãi suấtr(t)được giả sử rằng bị chặn và đo được lũy tiến tương ứng với lọc Ft.
Với mô hình giá cổ phiếu đầu tiên này, chúng ta sẽ giới thiệu những nhà đầu tư vào thị trường của mình bằng cách chỉ rõ những hoạt động và diễn biến của họ. Những hoạt động có thể xảy ra của nhà đầu tư là:
1. Tái cân bằng các cổ phần, tức là có thể bán cổ phiếu và đầu tư tiền vào mua các cổ phiếu khác. Hành động này được mô phỏng bởi quá trình danh mục đầu tư hoặc theo chiến lược kinh doanh.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử {(B(t),Ft)t∈[0,T]} là một chuyển động Brown n - chiều. Giả sử rằng ta có một thị trường nơi mà cổ phiếu và trái phiếu được giao dịch với diễn biến giá cả được cho bởi các phương trình (2.1) và (2.3).
(a) Một chiến lược kinh doanhϕlà một quá trình đo được lũy tiến nhận giá trị trênRn+1:
ϕ(t):= (ϕ0(t),ϕ1(t), . . . ,ϕn(t))0
sao cho các tích phân sau được xác định và hữu hạn:
T Z 0 ϕ0(t)dB(t), T Z 0 ϕi(t)dSi(t), i=1, . . . ,n
Giá trịx:=ϕ0(0) +∑in=1 ϕi(0)siđược gọi là giá trị ban đầu của ϕ hay là tài sản ban đầu của nhà đầu tư.
(b) Giả sửϕ là một chiến lược kinh doanh với giá trị ban đầux>0. Quá trình :
X(t):=ϕ0(t)B(t) + n
∑
i=1
ϕi(0)(t)Si(t)
được gọi là quá trình tổng sở hữu tương ứng vớiϕ, với tài sản ban đầu x. (c) Một quá trình đo được lũy tiến không âmc(t)với:
T
Z
0
c(t)dt <∞ P−h.c.c
được gọi là một quá trình tiêu thụ.
(d) Một cặp(ϕ,c)gồm một chiến lược kinh doanhϕ và một quá trình tiêu thụ c, được gọi là tự tài trợ nếu quá trình tổng sở hữu tương ứngX(t),
t ∈[0,T]thỏa mãn: X(t) =x+ t Z 0 ϕ0(s)dB(s) + n ∑ i=1 t Z 0 ϕi(s)Si(s)dSi(s)− t Z 0 c(s)ds P−h.c.c
(e) Giả sử(ϕ,c)là một cặp tự tài trợ bao gồm một chiến lược kinh doanh và một quá trình tiêu thụ, với một quá trình tổng sở hữu tương ứng X(t)>0 P−h.c.c, ∀t∈[0,T]. Khi đó một quá trình nhận giá trị trênRn:
π(t):= (π1(t), . . . ,πn(t))0, t∈[0,T]
với πi(t) = ϕi(s)(t)Si(t)
X(t) , được gọi là một quá trình danh mục đầu tư tự tài trợ tương ứng với
Nhận xét. 1. Quá trình danh mục đầu tư biểu thị các phần phân đoạn của tổng tài sản đầu tư vào các cổ phiếu khác nhau. Do đó các phần của tài sản đầu tư vào trái phiếu được cho bởi:
1−π(t)01= ϕ0(t).B(t)
X(t) ; 1 := (1, . . . ,1)
0∈Rn
2. Các yêu cầu đặc biệt thỏa mãn các giả thiết của các hệ số thị trường là vớiP−h.c.cta có: T Z 0 |ϕ0(t)|dt <∞ n ∑ j=1 T Z 0 (ϕi(t).Si(t))2dt <∞, với i=1, . . . ,n.
Định nghĩa 2.1.2. Một cặp tự tài trợ(ϕ,c)hay(π,c)bao gồm một chiến lược kinh doanhϕ
hoặc một quá trình danh mục đầu tưπ và một quá trình tiêu thụ gọi là chấp nhận được đối với tổng sở hữu ban đầux>0, nếu quá trình tổng sở hữu tương ứng thỏa mãn:
X(t)≥0 P−h.c.c ∀t ∈[0,T]
Tập các cặp chấp nhận được(π,c)với tài sản ban đầu x được ký hiệu làA(x)
2.1.1.1 Mô hình Black - Scholes
Trong mô hình Black - Scholes, các hệ số thị trườngµi,σi j được giả sử là các hằng số, điều này dẫn đến giá trái phiếu và cổ phiếu có dạng:
B(t) =exp(rt), (2.5) Si(t) =siexp µi1 2 n ∑ j=1 σi2,j ! + n ∑ j=1 σi,jWj(t) ! (2.6) Khi đó, ta có thể xác định: E(Si(t)) =si.exp(µit) (2.7)
Var(Si(t)) =s2i.exp(2µit) exp
n ∑ j=1 σi j2t ! −1 ! (2.8) Cov(ln(Si(t)),ln(Sj(t))) = n ∑ k=1 σikσjkt (2.9)
Như vậy rõ ràng là giá cổ phiếu là một hàm theo thời gian và chuyển động Brown: f(t,W(t)). Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên với một cổ phiếu:
dS1(t) =µS1(t)dt+σS1(t)dB(t) (2.10)
dt vàdB(t)là các hàm bậc nhất củaS1(t)(giá của một cổ phiếu tại thời điểm t),µ và σ là các hằng số.
Lời giải của phương trình (2.10) là một quá trình ngẫu nhiênS1(t) =S1(t,ω)có dạng : S1(t) =S1(0).exp σBt+ µ−σ 2 2 t (2.11)
Quá trìnhS1(t)này được gọi là một chuyển động Brown hình học,S1(0)là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểmt=0.
2.1.2 Xác định các tham số µ và σ của chuyển động Brown hình học
S(t)
Nhận xét rằng, nếu ta có thể ước lượng các tham sốµ vàσ thì sẽ ước lượng được giáS1(0) của cổ phiếu tại thời điểmt.
Giả sử xét giá cổ phiếuS1(t)trong một khoảng thời gian quan sát[0,T].
Nếu0=t0<t1< . . . <tn=T là một phân hoạch của [0, T] vớinkhoảng đều như nhau có độ dài∆t=ti−ti−1, ∀i=0, . . . ,n, thì giả sử là đã biết giá chứng khoán tại thời điểm cuối ti+1của mỗi khoảng nhỏ[ti;ti+1]. Vậy ta cón+1quan sátS1,S2, . . . ,Sn+1.
Bước 1. Tạo ra một dãy số liệu:
Zi=ln(Si+1)−ln(Si) (2.12) Z1,Z2, . . . ,Zn là một dãy số. Theo công thức của chuyển động Brown hình học (2.11) ta có biểu thức: Zi=σ(Bti+1−Bti) + µ−σ 2 2 ∆t (2.13)
Bước 2. Tìm trung bình và phương sai của dãy số liệuZ1,Z2, . . . ,Zntheo công thức thống kê: • Trung bình mẫu:Z˜= 1n∑ni=1 Zi,
• Phương sai mẫu:S2=n−11∑ni=1 Zi−Z˜2
Đó là những ước lượng cho trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiênZ mà thể hiện là (Z1,Z2, . . . ,Zn). Nếu chỉ căn cứ vào biểu thức (2.13) thì ta tính ra trung bình và phương sai củaZsẽ là:
• Trung bình:µ−σ2 2
∆t
• Phương sai:σ2∆t
Bước 3. Giải các phương trình sau đây đối vớiµ vàσ :
˜ Z= µ−σ 2 2 ∆t S2=σ2∆t Ta sẽ được: µ= ˜ Z+S22 ∆t và σ = √S ∆ Ví dụ 11.
Giá cổ phiếu KSS (Tổng Công Ty Cổ Phần Khoáng Sản NaRi Hamico) lúc đóng cửa trong khoảng thời gian từ ngày 29/02/2012 đến ngày 17/05/2012 được thống kê lại gồm 40 số liệu như sau (tính theo đơn vị một nghìn Việt Nam đồng (1000 vnđ)):
7,8 8,1 8,2 8,1 7,8 8,1 8,4 8,2 8,5 8,9 9,3 9,4 9,5 9,1 8,8 8,4 8,3 8,7 8,5 8,9 8,9 8,6 9.0 9.4 9.8 10,2 11,2 11,7 12,2 12,8 13,4 12,7 13,3 12,7 12,1 11,9 12,4 11,8 11,3 10,8
Bằng các công thức trên, ta tính được:
˜
Z=0,0083442
S=0,04
Trong bước 3, ta ước lượngµ vàσ theo tỉ lệ xích hàng năm: ∆t = 1
365
Vậy các ước lượng của tham sốµ vàσ của giá cổ phiếu sẽ là:
ˆ µ =Z˜+ S2 2 ∆t =3,34 và σˆ = √S ∆ =0,76
Khi đó theo công thức (2.11), giá một cổ phiếu vào bất kỳ một ngày t nào đó sẽ được ước lượng bởi:
˜
2.1.2.1 Tính đầy đủ của thị trường
Trong mục này ta chỉ xét trên thị trường tuyến tính với định lí về các thị trường đầy đủ. Ta có các kí hiệu: γ(t):=exp − t Z 0 r(s)ds , θ(t):=σ−1(t)(b(t)−r(t).1) Z(t):=exp − t Z 0 θ(s)0dW(s)−1 2 t Z 0 ||θ(s)||2 H(t):=γ(t).Z(t)
θ(t)có thể được hiểu như là một loại phí bảo hiểm rủi ro tương đối trong đầu tư chứng khoán. Quá trìnhH(t)dương, liên tục và đo được lũy tiến, sẽ đóng một vai trò quan trọng trong việc kết nối với quyền chọn giá. Hơn nữa nó là nghiệm duy nhất của phương trình:
dH(t) =−H(t)(r(t)dt+θ(t)0dW(t)), H(0) =1
Định lí 2.1.3. (Tính đầy đủ của thị trường) Xét một mô hình thị trường tuyến tính.
(a) Giả sử(π,c)∈A(x). Khi đó quá trình tổng sở hữuX(t)tương ứng thỏa mãn:
E H(t)X(t) + t Z 0 H(s)c(s)ds ≤x ∀t∈[0,T] (2.14)
(b) Giả sửB≥0là một biến ngẫu nhiênFT - đo được, vàc(t),∀t ∈[0,T]là một quá trình tiêu thụ thỏa mãn : x:=E H(T)B+ T Z 0 H(s)c(s)ds <∞ (2.15)
Khi đó tồn tại một quá trình đầu tưπ(t), t ∈[0,T], với(π,c)∈A(x)và quá trình tổng sở hữuX(t)tương ứng thỏa mãn:
2.2 Định nghĩa quyền chọn bằng lý thuyết
2.2.1 Kiến thức cơ bản về quyền chọn