Các đại lượng đo lường rủi ro trong toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- TRẦN THU TRANG CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO LƯỜNG RỦI RO TRONG TOÁN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TRẦN THU TRANG

CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO LƯỜNG RỦI RO

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TRẦN THU TRANG

CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO LƯỜNG RỦI RO

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS TRẦN HÙNG THAO

Hà Nội – 2011

Mục lục

1.1 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1

1.1.2 Hàm phân phối xác suất 1

1.1.3 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục 2

1.2 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 4

1.2.1 Moment 4

1.2.2 Phương sai 5

1.2.3 Hiệp phương sai 5

1.2.4 Hệ số tương quan 6

1.2.5 Độ nhọn 6

1.2.6 Bất đẳng thức Chebyshev 7

1.3 Các mô hình phi tuyến ARCH, GARCH 7

1.3.1 Mô hình tự hồi quy với phương sai có điều kiện khác nhau: ARCH(p) 8

1.3.2 Mô hình tổng quát tự hồi quy với phương sai có điều kiện khác nhau: GARCH(p, q) 9

1.4 Phân vị thống kê (quantiles) 9

2 Các độ đo rủi ro tài chính 11 2.1 Độ đo rủi ro VaR 11

2.1.1 Giá trị rủi ro VaR 12

2.1.2 Mô hình 13

2.1.3 Xác định giá trị thua lỗ lớn nhất của phương án

đầu tư với độ tin cậy cho trước 14

2.1.4 Một số phương pháp tính VaR 17

2.1.4.1 Phương pháp RiskMetrics 17

2.1.4.2 Phương pháp toán kinh tế 25

2.1.5 Một số hạn chế của VaR 26

2.2 Độ đo rủi ro liên kết (Coherent risk measures) 27

2.2.1 Định nghĩa độ đo rủi ro liên kết 27

2.2.2 Biểu diễn độ đo rủi ro liên kết 30

2.3 Xây dựng độ đo rủi ro 31

2.4 Độ đo rủi ro thua lỗ trung bình (Expected shortfall measure) 35 3 Định mức rủi ro 38 3.1 Giới thiệu hệ thống định mức rủi ro 38

3.2 Lựa chọn các tham số định lượng trong phân tích VaR 39 3.2.1 VaR được sử dụng để xác lập vốn an toàn rủi ro 40 3.2.2 Hệ số điều chỉnh k trong hiệp định Basel sử dụng trong mô hình định mức rủi ro 41

Lời nói đầu

Quản lý rủi ro tài chính có vị trí trung tâm trong quản trị tài chínhhiện đại Tuy vậy, lĩnh vực này chỉ mới thực sự phát triển từ thập kỷ

90 trở lại đây nhờ sự phát triển vượt bậc của công nghệ - kỹ thuật chophép phát triển và hoàn thiện một loạt các hệ thống và phương phápđánh giá rủi ro Cùng với xu thế toàn cầu hóa, cơ hội đầu tư được mởrộng song rủi ro và thách thức đi kèm cũng không nhỏ Đã có không ít

vụ đổ bể tài chính của các ngân hàng, các tập đoàn kinh tế lớn diễn ratại nhiều quốc gia trên thế giới từ các nước có nền kinh tế phát triểnnhư Mỹ, Nhật, Anh, Đức đến các nước đang phát triển như Thái Lan,Malaysia, Hàn Quốc Thực trạng này đã khiến các nhà hoạch định chínhsách quốc gia và các tổ chức tài chính quan tâm đặc biệt đến quản lýrủi ro Trong quản lý rủi ro tài chính hiện đại nếu chỉ đơn thuần dựavào các chính sách định tính thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phảihình thành và phát triển một hệ thống các phương pháp khoa học nhằmlượng hóa mức độ rủi ro và tổn thất tài chính có thể xảy ra trong nhữngđiều kiện nhất định của thị trường và của nền kinh tế để từ đó đưa racác giải pháp quản lý rủi ro hữu hiệu

Hai công cụ được biết rộng rãi nhất dùng để hình thức hóa rủi ro thịtrường là các tham số phòng hộ Hy Lạp, đo lường độ nhạy của các tàisản đối với sự dịch chuyển của thị trường, và Value-at-Risk (VaR) Mặc

dù Leavens không giới thiệu mô hình VaR một cách chính thức, nhưng

có thể được coi là người tiên phong nghiên cứu VaR Đó là do Leavens

đã công khai đầu tiên và có nghiên cứu toàn diện nhất về lợi ích của sự

đa dạng danh mục đầu tư vào năm 1945 Markowitz (1952) và sau đóRoy (1952) kế tiếp Leavens công khai cùng độ đo VaR một cách độc lập.William Sharpe đề xuất mô hình Capital Asset Pricing Model vào năm

1963 Ba năm sau, ủy ban do JP Morgan tổ chức nghiên cứu về các phái

sinh dùng VaR đầu tiên trong một báo cáo được phát hành năm 1993.Tháng 10 năm 1994 JP Morgan đề xuất một hệ thống mới gọi là RiskMetrics Đó là một hệ thống máy tính độc lập cung cấp các độ đo rủi rocho 400 công cụ tài chính Hơn nữa năm 1996 ủy ban Basle tán thànhdùng giới hạn của độ đo VaR để tính yêu cầu vốn ngân hàng, VaR trởthành độ đo rủi ro tài chính được dùng rộng rãi nhất.

VaR là lượng tổn thất lớn nhất có thể được quan sát với mức độ tincậy đã cho trong một khoảng thời gian xác định Ví dụ, nói VaR của một

vị thế với độ tin cậy 95% là 1000 nghĩa là trong 95 của 100 ngày ta có thểđối mặt với tổn thất thấp hơn 1000 Về cơ bản VaR là sự ước lượng phân

vị của một phân phối xác suất nhất định Đáng tiếc là định nghĩa củaVaR không cổ vũ cho sự đa dạng danh mục đầu tư Nghĩa là rủi ro gắnvới danh mục đầu tư hỗn hợp có thể cao hơn tổng các số VaR của từngdanh mục riêng lẻ Sự mâu thuẫn đó của VaR thúc đẩy các nhà nghiêncứu xây dựng các độ đo rủi ro khác Một số đề xuất các biến đổi và mởrộng VaR trong khi số khác đề nghị cách lựa chọn khác để tính rủi ro tàichính Kênh nghiên cứu thứ nhất được bắt đầu bởi Artzner, Deldean,Eber, và Heath vào năm 1997 với bài báo tựa đề “Thinking Coherently”.Đóng góp chủ yếu của các nhà nghiên cứu này là “Độ đo rủi ro liên kết”(Coherent Risk Measures) vào năm 1999 Những bài báo này giới thiệucác điều kiện nhất quán phải được thỏa mãn bởi một độ đo rủi ro VìVaR không là độ đo rủi ro liên kết theo hoàn cảnh đang xét, các độ đorủi ro mới được xây dựng thỏa mãn các điều kiện nhất quán này và dễdàng tính toán giống VaR Ví dụ, Conditional Value at Risk (CVaR)bởi Uryasev và Rockafeller năm 1999 và Expected Shortfall (ES) Acerbi

et al năm 2000 Cả hai độ đo này làm việc với α phần trăm trường hợptồi tệ nhất và lấy kỳ vọng của các tổn thất tồi tệ nhất này

Luận văn này nhằm hệ thống lại lý thuyết về độ đo rủi ro tài chính

và đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa Chúng tôi cũng cố gắng đưa

ra một hệ thống ví dụ tuy không quá phức tạp, nhưng cũng đảm bảocho mục đích minh họa và làm cho các kết quả lý thuyết trừu tượng trởnên dễ hiểu hơn Với các công việc đó, bản luận văn được chia thành 3chương:

Chương 1: trình bày một số kiến thức cơ bản của xác suất thống

kê dùng trong khóa luận

Chương 2: là chương quan trọng nhất của luận văn Phần đầu của

chương này chúng tôi trình bày lại độ đo rủi ro VaR, giới thiệu một

số phương pháp tính VaR, đưa ra hạn chế của VaR Phần còn lại củachương này, chúng tôi trình bày độ đo rủi ro liên kết và biểu diễn nó,cách xây dựng một độ đo rủi ro liên kết, là độ đo thua lỗ trung bình(Expected shortfall) Nội dung chính của chương này là chứng minh chitiết tính chất cộng tính dưới của độ đo Expected shortfall

Chương 3 dành để trình bày về xác định giá trị rủi ro trong thực

tế và mức xếp hạng đánh giá mức độ rủi ro của một công ty

Chương 1

Các kiến thức mở đầu

1.1 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ω, A, P ) là không gian xác suất cơ bản và (R, B) là khônggian đo được với R là tập số thực, B là σ - đại số borel trên R

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi ánh xạ đo được X : Ω −→ R (tức là X−1(B) ⊂A)) là biến ngẫu nhiên

1.1.2 Hàm phân phối xác suất

Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó độ đo ảnh XP được gọi làphân phối (hay chính xác hơn, phân phối xác suất) của X Ta ký hiệu

PX = XP , như vậy

PX(B) = P (X−1(B))

là xác suất trên không gian đo được (R, B)

Định nghĩa 1.1.2 Nếu X là biến ngẫu nhiên thì ta gọi

FX(x) = P {ω : X(ω) < x}

là hàm phân phối xác suất của X

Mệnh đề 1.1.3 Nếu X là biến ngẫu nhiên, thì hàm phân phối của nó:

FX(x) = P {ω : X(ω) < x}

có các tính chất sau:

1) Không giảm: FX(x1) ≤ FX(x2) với x1 ≤ x2

2) Liên tục bên trái: FX(x) = FX(x − 0)

3) Nhận giá trị 0 tại −∞ và 1 tại +∞

F (−∞) = limx→−∞F (x) = 0, F (+∞) = limx→+∞F (x) = 1.Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ítnhất một không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P ) và một biến ngẫu nhiên

X sao cho F là hàm phân phối của nó FX = F

1.1.3 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục

Định nghĩa 1.1.4 Ta nói biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc (haybiến ngẫu nhiên rời rạc) nếu hàm phân phối F của nó là hàm bước nhảy.Giả sử {xk} là tập hợp tất cả các điểm gián đoạn của F và {pk} làcác bước nhảy tương ứng: pk = F (xk+ 0) − F (xk) Khi đó, ta có:

pk = Pξ{xk} = P {ω : ξ(ω) = xk}

Bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫunhiên ξ:

 ξP



= x1 x2 · · ·

p1 p2 · · ·

,

trong đó xk, k = 1, 2, là các giá trị có thể của ξ (hay là điểm tập trungkhối lượng của ξ) và pk, k = 1, 2, là xác suất để ξ lấy giá trị xk (hay làkhối lượng của Fξ đặt tại xk) Rõ ràng, pk, k = 1, 2, có các tính chấtsau:

Ngược lại, nếu cho trước xk là dãy bất kỳ và {pk} là dãy có tính chất(1.1) thì vế phải của (1.2) xác định hàm phân phối và do đó, tồn tại đạilượng ngẫu nhiên ξ tập trung tại các điểm {xk} với khối lượng tươngứng {pk}

Định nghĩa 1.1.5 Nói rằng X có phân phối liên tục, nếu phân phối

PX của nó tuyệt đối liên tục đối với độ đo Lebesgue của đường thẳng.Vậy, nếu X có phân phối liên tục (hay tuyệt đối liên tục), thì có đạohàm Radon - Nikodym

p(x) = 1

σ√2π exp{−

Mệnh đề 1.1.6 Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối liên tục

F (x) Khi đó hàm phân phối của Y = F (X) là phân phối đều trên (0, 1)

1.2 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu

c) X là biến ngẫu nhiên liên tục, thì

√

DX được gọi là độ lệch tiêu chuẩn của X

Mệnh đề 1.2.4 a) Nếu X có hàm phân phối FX, thì

DX =

Z +∞

−∞

(x − EX)2pX(x)dx

1.2.3 Hiệp phương sai

Định nghĩa 1.2.5 Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và

2 Nếu X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục và f (x, y) là hàmmật độ đồng thời của (X, Y ) thì

Định nghĩa 1.2.7 Độ nhọn là một đại lượng thống kê mô tả đo mức

độ tập trung của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên, cụ thể

là mức độ tập trung của các quan sát quanh trung tâm của phân phốitrong mối quan hệ với hai đuôi, được định nghĩa bởi

γ2 = µ4

σ4 − 3,

trong đó µ là moment trung tâm bậc 4, còn σ là độ lệch chuẩn Tỷ lệ

µ4

σ4 được gọi là moment chuẩn hóa bậc 4

1.2.6 Bất đẳng thức Chebyshev

Mệnh đề 1.2.8 Giả sử ξ ∈ L0 và g : R −→ R+ là hàm Borel không

âm và không giảm trên [0, ∞) Khi đó nếu g(ξ) > 0, thì

P {ω : ξ(ω) ≥ ε} ≤ Eg(ξ)

g(ε) .

Đó là bất đẳng thức Chebyshev

Chứng minh Đặt A = {ω : ξ(ω) ≥ ε}, ta có

Eg(ξ) ≥ Eg(ξ)1A ≥ g(ε)E1A = g(ε)P (A)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

ξ rơi vào lân cận ε của giá trị trung bình, tức là cho ta biết mức độ tậptrung (phân tán) của ξ quanh Eξ

1.3 Các mô hình phi tuyến ARCH, GARCH

Nhiều tính toán trong toán học tài chính có thể dựa vào sự phỏngđoán rằng một giá cả đã chiết khấu là một mac-tin-gan, làm cho khái

niệm mac-tin-gan trở thành một khái niệm trung tâm để phân tích giácả; các giá cả này được xem như các dãy ngẫu nhiên hoặc các quá trìnhngẫu nhiên với những phân phối đặc biệt nào đó Tuy nhiên, các phânphối có tính chất mac-tin-gan là không đủ dùng để tính toán cụ thể.Người ta cần biết những cấu trúc tinh vi hơn về những phân phối đó.

Do đó cần phải nghiên cứu các loại mô hình xác suất và thống kê khácnhau tỉ mỉ hơn để tìm ra những mô hình phù hợp với các phân phối thựcnghiệm xây dựng trên cơ sở các số liệu thống kê Trong phân tích tàichính, nếu ký hiệu một loại giá cả thay đổi hằng ngày là Sn, để thuậntiện cho việc phân tích các yếu tố ngẫu nhiên của các chỉ số, người tahay xét các đại lượng

hn = ln Sn

Sn−1, n = 1, 2,

Ta hiểu rằng hn = lnSn− lnSn−1 được xem là “lợi nhuận” hay “lợi nhuậnlôgarit” Giả thiết thường được ưa chuộng nhất là giả thiết cho rằng(h1, , hn) tuân theo luật phân phối chuẩn Thế nhưng, tiếc thay, theo

sự phân tích thống kê các chuỗi thời gian tài chính, giả thiết đó nhiềukhi không phù hợp thực tế diễn biến của các giá cả tài chính

1.3.1 Mô hình tự hồi quy với phương sai có điều

kiện khác nhau: ARCH (p)

Ta giả thiết dãy ε = (εn) là nguồn ngẫu nhiên duy nhất:

Fn = σ(ε1, , εn)

Bây giờ ta đặt:

µn = E(hn|Fn−1) = 0và

này do R.F.Eagle đưa ra vào năm 1982, đã chứng tỏ khá thành côngtrong việc giải thích nhiều tính chất đặc biệt của chuỗi thời gian tàichính, chẳng hạn như tính chất tập kết 1 đối với các giá trị của hn.

1.3.2 Mô hình tổng quát tự hồi quy với phương sai

có điều kiện khác nhau: GARCH(p, q)

Sự thành công của mô hình ARCH ứng dụng trong kinh tế tài chính

và kỹ thuật làm cho người ta quan tâm mở rộng, cải tiến mạnh mẽ môhình này Năm 1986, T Bollerslev đã đưa ra mô hình ARCH-tổng quátnhư sau Như trước đây, đặt

µn = E(hn|Fn−1) = 0nhưng bây giờ

1.4 Phân vị thống kê (quantiles)

Định nghĩa 1.4.1 Cho X là một biến ngẫu nhiên và α ∈ [0, 1]

1 cluster property

1 q được gọi là một phân vị mức α nếu

x(α) = x(α) nếu và chỉ nếu X liên tục

Chương 2

Các độ đo rủi ro tài

chính

2.1 Độ đo rủi ro VaR

Dưới góc độ hoạt động kinh doanh và đầu tư tài chính, rủi ro đượcđịnh nghĩa một cách đơn giản và trực tiếp nhất là sự thay đổi khônglường trước được về giá trị tài sản và khoản nợ Rủi ro được phân thànhcác loại:

1 Rủi ro trong kinh doanh: thường do chính doanh nghiệp chủ độngtạo ra Ví dụ như doanh nghiệp sản xuất sản phẩm mới nhưng lạikhông đáp ứng được thị hiếu khách hàng và gây ra thua lỗ

2 Rủi ro ngoài kinh doanh: nằm ngoài dự tính và kiểm soát của doanhnghiệp Ví dụ như doanh nghiệp phải thay đổi căn bản hoặc chuyểnhướng hoàn toàn sang lĩnh vực kinh doanh khác do sự thay đổi vềthể chế chính trị hoặc chính sách kinh tế

3 Rủi ro tài chính: là rủi ro dẫn đến các tổn thất do thị trường tàichính mang lại như rủi ro về lãi suất, tỷ giá, rủi ro về biến động giácác loại chứng khoán, rủi ro tín dụng, rủi ro thanh khoản Rủi ro vềtài chính là có thể kiểm soát được

Trong rủi ro tài chính, xét theo quan điểm đầu tư chứng khoán, rủi

ro trong đầu tư chứng khoán là khả năng xảy ra những kết quả đầu tưngoài dự kiến, cụ thể hơn là những khả năng làm cho mức sinh lời thực

tế nhận được trong tương lai khác với mức dự kiến ban đầu Theo quanđiểm đó thì rủi ro chính là khả năng biến động của mức sinh lời Vìvậy, khả năng biến động mức sinh lời càng rộng thì chứng tỏ khoản đầu

tư càng nhiều rủi ro Phương sai và độ lệch chuẩn là những hệ số đượcdùng để đo lường mức biến động của mức sinh lời hay chính là rủi rocủa khoản đầu tư

2.1.1 Giá trị rủi ro VaR

Lý luận đằng sau khái niệm của VaR là như sau: cố định ngưỡng xácsuất α (chẳng hạn 1%) và định nghĩa một vị trí chấp nhận được khi vàchỉ khi xác suất đi đến phá sản là nhỏ hơn α Vấn đề chủ yếu của VaR

là nó không phân biệt giữa sự phá sản 1 triệu và 100 triệu Euro Tuythế, VaR được dùng rộng rãi nhất để quản lý rủi ro và để nghiên cứucác tính chất của nó ta cần định nghĩa chính xác hơn

Định nghĩa 2.1.1 Cho trước một vị trí X và một số α ∈ [0, 1] ta địnhnghĩa

V aRα(X) := −qα(X)

và ta gọi X là VaR - chấp nhận được nếu V aRα(X) ≤ 0 hay, qα ≥ 0

Ta có thể coi VaR là lượng vốn bổ sung mà một công ty cần để giảmxác suất đi đến phá sản về α VaR âm nghĩa là công ty có thể hoàn lạitiền cho cổ đông của nó hay có thể thay đổi các hoạt động của nó, ví dụ

nó có thể chấp nhận nhiều rủi ro hơn

Nói riêng, ta có V aRα(X + V aRα(X)) = 0 VaR cũng có tính chấtđẹp đó là được định nghĩa trên toàn bộ không gian L0 Do đó về nguyêntắc nó có thể được tính trên bất kỳ biến ngẫu nhiên nào.

2.1.2 Mô hình

Mô hình dưới đây dùng để xác định giá trị thua lỗ lớn nhất của mộtphương án đầu tư gồm n chứng khoán với độ tin cậy cho trước Xét mộtphương án đầu tư gồm n chứng khoán Gọi Xi, ci lần lượt là lợi suất,trọng số của chứng khoán thứ i trong phương án đầu tư này Khi đó, lợisuất R của toàn bộ phương án là:

Xi = Yi − xi

xi .Giá trị hiện tại của phương án đầu tư là

R = Q − Q0

Q0 =

Pn i=1εi(Yi − xi)

2.1.3 Xác định giá trị thua lỗ lớn nhất của phương

án đầu tư với độ tin cậy cho trước

Giá trị thua lỗ lớn nhất này gọi là giá trị rủi ro, hay là VaR Giá trịVaR được xác định bởi zα sao cho:

Hình 2.1: Hàm mật độ của Q − Q0 và giá trị VaR.

Ta giả thiết: (X1, X2, · · · , Xn) tuân theo luật phân phối chuẩn nchiều Khi đó, lợi suất R cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng và phươngsai xác định bởi (2.1) và (2.2) Ký hiệu µ = E(R) và σ2 = D(R) ta có

Như vậy ta được

zα = Q0(xασ − µ) (2.4)

Chú ý 2.1.3 Vì phạm vi thời gian rủi ro mà ta xem xét là ngắn (thường

là 1 ngày hoặc một tuần) cho nên trong quản lý rủi ro thị trường, người

ta thường đặt lợi suất trung bình µ = 0

Trong trường hợp đó, giá trị của V aR với độ tin cậy (1 − α)100%được cho bởi xα.σ.Q0

Ví dụ 2.1.4 (Minh họa cách tính VaR) Cho Xi(i = 1, 2, · · · ) là lợi suấthàng năm của chứng khoán i và giả sử rằng (X1, X2) tuân theo luậtchuẩn 2 chiều với các trung bình là:

Lời giải: Lợi suất trung bình của toàn bộ phương án đầu tư trong 5ngày là:

µ = 5

365ER =

5365

σ = 0, 7182 Thay vào công thức (2.4) ta được:

V aR = Q0(xασ − µ) = 1 · (1, 645 · 0, 7182 − 0, 00178) = 1, 1796.Điều đó có nghĩa là, với xác suất 5% xảy ra rủi ro, thì giá trị thua lỗ lớnnhất có thể có của phương án đầu tư là 1, 1796 triệu đô la

2.1.4 Một số phương pháp tính VaR

Hiện nay, có nhiều phương pháp ước tính VaR, phổ biến như là:phương pháp phân tích quá khứ (Historical method), phương pháp môphỏng Monte Carlo (Monte Carlo Approach), phương pháp RiskMetrics, Trong khuôn khổ của khóa luận này, tác giả chỉ đề cập đến phươngpháp được dùng khá rộng rãi:

Năm 1995, Long và More đã đưa ra mô hình này vào thực nghiệm

Mô hình: Trong mô hình RiskMetrics, giả định rằng lợi suất hàngngày liên tiếp của danh mục đầu tư tuân theo luật phân phối chuẩn cóđiều kiện

1 Lợi suất hàng ngày ký hiệu là rt

2 Phương pháp giả định rằng: µt và σt2 có thể khai triển theo thời gianbằng mô hình sau:

rt = σtεt + µt = σtεt

3 Ước lượng cho độ lệch chuẩn σt

Sử dụng mô hình trung bình trượt có trọng số mũ EWMA 1 Môhình

EW M A = 1

1 + λ + λ2 + · · · + λTrt2 + λ

1 + λ + λ2 + · · · + λTrt−12+ · · · + λ

T

1 + λ + λ2 + · · · + λTrt−T2

1 Exponentially Weighted Moving Average model