Các hợp đồng quyền chọn ngoại lai trong toán tài chính luận văn ths toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MAI TRẦN MINH CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI TRONG TOÁN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MAI TRẦN MINH CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI TRONG TOÁN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Mã số: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội, 2015 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Trần Hùng Thao, người thầy tận tình giúp đỡ, bảo, định hướng nghiên cứu cho để hoàn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Mai Trần Minh Mục lục BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG TOÁN TÀI CHÍNH NGẪU NHIÊN 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Cổ phiếu, trái phiếu lợi suất 1.1.2 Phương án đầu tư 1.1.3 Cơ hội có độ chênh thị giá nguyên lý AAO 1.1.4 Nguyên lý đáp ứng khái niệm thị trường đầy đủ 1.1.5 Định giá phương pháp độ chênh thị giá (Arbitrage Pricing) 1.1.6 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale 1.1.7 Các tài sản phái sinh(Derivatives) 1.2 Mô hình Black - Scholes vấn đề liên quan 1.2.1 Mở đầu 1.2.2 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn kiểu châu Âu 1.2.3 Công thức Black-Scholes giá quyền chọn bán 1.2.4 Những mô hình quyền chọn liên quan 24 26 27 CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI 2.1 Ba giá trị cổ phiếu 2.1.1 Các trình cực trị 2.1.2 Phân phối xác suất đồng thời ba giá trị cổ 2.1.3 Giá Quyền Chọn 28 28 28 29 29 phiếu 8 11 13 14 15 17 19 22 22 MỤC LỤC 2.2 30 30 30 32 32 33 34 34 35 35 35 37 39 39 41 43 43 44 Một số toán khác Quyền Chọn ngoại lai 3.1 Quyền Chọn châu Á 3.1.1 Các định nghĩa 3.1.2 Phép tính Trung bình-Phương sai 3.1.3 Định giá 3.2 Quyền Chọn giỏ 3.2.1 Các định nghĩa 3.2.2 Tính độ biến động tiềm ẩn (implied volatility) 3.2.3 Định giá 3.3 Quyền chọn lựa chọn 3.3.1 Định giá Quyền Chọn lựa chọn đơn giản 3.3.2 Cơ sở sau chiến lược Quyền Chọn lựa chọn 3.4 Quyền chọn số 3.4.1 Chọn giá thực 3.4.2 Mức chênh mua ủy quyền Quyền Chọn số 3.4.3 Biên độ mức chênh mua việc dự phòng 45 45 45 46 46 47 47 47 48 49 49 52 52 54 54 55 2.3 2.4 2.5 2.6 Mô hình Kunitomo-Ikeda 2.2.1 Đặt vấn đề 2.2.2 Giới thiệu mô hình Quyền Chọn với rào cản Quyền Chọn với rào cản phương trình chuyền nhiệt 2.3.1 Mô hình 2.3.2 Việc chia cổ tức 2.3.3 Giá P T T’ 2.3.4 Giá P T’ 2.3.5 Giá P vào thời điểm t=0 Mô hình Quyền Chọn với rào cản 2.4.1 Mô hình 2.4.2 Giá Quyền Chọn Quyền Chọn Mua Quyền Chọn Bán với rào cản 2.5.1 Ký hiệu 2.5.2 Tính giá Quyền Chọn "Nhìn-lại" (Look-back Options) 2.6.1 Giá thực thi thả 2.6.2 Giá thực thi cố định MỤC LỤC KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực R+ Tập số thực không âm (Ω, F , P) Không gian xác suất V Giá thu hoạch V α (t) Giá trị phương án đầu tư thời điểm t S(t) Giá trị chứng khoán thời điểm t Wt Chuyển động Brown M Một thị trường T Thời điểm đáo hạn hợp đồng EQ Kỳ vọng lấy theo độ đo Q K Giá thực thi Quyền chọn H Rào cản C Quyền chọn mua P Quyền chọn bán A Quyền chọn Châu ∅ Tập rỗng ∂P ∂t Đạo hàm riêng f (x, y, z)ρ(x, y, z)dxdydz Tích phân bội R3 Ω f (ω)dµ Tích phân Lebesgue f (s, ω)dWs Tích phân Wiener MỞ ĐẦU Toán học dùng cho nghiên cứu tài gồm nhiều phận, đó, đóng vai trò lớn phép vi tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên Với người bắt đầu, sa đà vào chi tiết kỹ thuật khó giải tích chóng nản lòng, không nắm chất kinh tế - tài vấn đề, mô hình toán học đặt công cụ để thấy rõ chất kinh tế - tài Trong kỷ qua, nội dung phát triển mạnh mẽ công cụ thiếu nghiên cứu tài Lý thân giá chứng khoán giá tài sản tài biến động cách ngẫu nhiên nên xem chúng trình ngẫu nhiên Luận văn bao gồm hầu hết mô hình toán học gặp nghiên cứu thị trường tài như: thị trường cổ phiếu, trái phiếu, Quyền Chọn, loại hợp đồng Các công cụ toán học đưa vào cách tự nhiên đạng, không dừng lại phương pháp Giải tích ngẫu nhiên Luận văn gồm chương : Chương I Các khái niệm toán tài ngẫu nhiên Chương trình bày khái niệm toán tài ngẫu nhiên như: Cổ phiếu, trái phiếu phái sinh, phương án đầu tư, hợp đồng quyền chọn mua, mô hình Black - Scholes vấn đề liên quan Chương II Các hợp đồng quyền chọn ngoại lai Chương trình bày hợp đồng ngoại lai như: Ba giá trị cổ phiếu, mô MỤC LỤC MỤC LỤC hình Kunitotmo - Ikeda, quyền chọn rào cản phương trình truyền nhiệt, mô hình quyền chọn rào cản, quyền chọn mua quyền chọn bán rào cản, quyền chọn nhìn lại Chương III Một số toán khác quyền chọn Chương trình bày toán khác Quyền Chọn ngoại lai như: Quyền Chọn Châu á, Quyền Chọn giỏ, Quyền chọn lựa chọn, Quyền Chọn số Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG TOÁN TÀI CHÍNH NGẪU NHIÊN Chương trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên dùng nghiên cứu tài Ngoài khái niệm chung cổ phiếu, trái phiếu, phương án đầu tư, hội có độ chênh thị giá, đề cập 1.1 Các khái niệm Cho (Ω, F , P) không gian xác suất, tức ba gồm • Ω tập hợp sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên • F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói cách khác F σ -trường tập Ω Mỗi tập hợp A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian đo (Ω, F) CHƯƠNG CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI 2.6 Quyền Chọn "Nhìn-lại" (Look-back Options) 2.6.1 Giá thực thi thả • Định nghĩa Một Quyền Chọn Mua nhìn-lại với giá thực thi phân thức thả (fractional floating strike look-back call) với hệ số phân thức λ, Quyền Chọn Mua châu Âu viết tài sản S mà thu hoạch thời điểm đáo hạn T f M CT loat = (λST − ST )+ (2.6.1) Tương tự: Một Quyền Chọn Bán nhìn-lại với giá thực thi phân thức thả (fractional floating look-back put) với hệ số phân thức λ, Quyền Chọn Bán Châu Âu viết tài sản S mà thu hoạch thời điểm đáo hạn f m PT loat = (ST − λST )+ (2.6.2) • Giá Quyền Chọn Việc tính giá Quyền Chọn Mua trường hợp λ ≥ Quyền Chọn Bán trường hợp λ ≤ khó khăn Quả vậy, ta có f M M CT loat = (λST − ST )+ = λST − ST (2.6.3) f m m PT loat = (ST − λST )+ = ST − λST (2.6.4) M Như vậy, với giá trị cực đại Mt = max Ss = St , giá 0≤s≤t Quyền Chọn Mua thời điểm t là: f M Ct loat = λe−r(T −t)EQ (ST ) − e−r(T −t) EQ (ST ), (2.6.5) M EQ (ST ) cho +∞ M EQ (ST ) = St eσx h h σh +St e (x − ντ )2 exp − πτ 2τ (x − ντ )2 exp − πτ 2τ với h = ln Mtt , τ = T − t, ν = S r−q σ − σ − 2νe2νx N N(x) = 43 − 2νe2νx N √1 2π x + ντ − √ τ x + ντ − √ τ x − u2 e du dx dx CHƯƠNG CÁC HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI 2.6.2 Giá thực thi cố định • Định nghĩa Ta gọi Quyền Chọn Mua Nhìn-lại với giá thực thi cố định K (fixed strike look-back call) Quyền Chọn Mua châu Âu C viết tài sản S mà thu hoạch thời điểm đáo hạn T là: f M CT ixed = (ST − K)+ (2.6.6) Tương tự: Một Quyền Chọn Bán Nhìn-lại với giá thực thi cố định K (fixed strike look-back call) Quyền Chọn Bán châu Âu P viết tài sản S mà thu hoạch thời điểm đáo hạn là: f m PT ixed = (K − ST )+ (2.6.7) • Giá Quyền Chọn Để tính CT , lưu ý ta viết M M (ST − K)+ = ST − ST + (ST − K)+ − (K − ST )+ (2.6.8) suy hệ thức cặp-đôi với t: f f Ct ixed = CT loat (λ − 1) + C BS (K) − P BS (K) (2.6.9) ký hiệu BS giá Black-Scholes Tương tự vậy, ta tính giá Quyền Chọn Bán: f Ptf ixed = PT loat (λ − 1) − C BS (K) + P BS (K) 44 (2.6.10) Chương Một số toán khác Quyền Chọn ngoại lai 3.1 Quyền Chọn châu Á 3.1.1 Các định nghĩa • Một Quyền Chọn châu Á Quyền Chọn xác định dãy thời điểm cố định T1 , , Tn Quyền Chọn đó, ký hiệu A, viết cổ phiếu S thu hoạch thời điểm đáo hạn T AT = f ST1 + + STn n f (x) hàm tất định cho trước Ký hiệu M = xét trình ngẫu nhiên Mt xác định Mt = EQ ( M| Ft ), (3.1.1) ST1 + +STn n (3.1.2) Ft σ−trường sinh St (trường thông tin cổ phiếu) • Giá Quyền Chọn t hàm phụ thuộc vào cổ phiếu S thông qua Mt Giả sử cổ phiếu S có diễn biến theo thời gian xác định dS = µ(t)dt + σ(t)dWt (3.1.3) S Cổ phiếu S có phân phối lôgarit-chuẩn với t, Mt lôgarit-chuẩn với t Ta giả thiết trung bình Mt biến lôgaritchuẩn, thời điểm trước thời điểm ổn 45 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI định giá T1 , chẳng hạn t = thời điểm (hôm nay), điều không làm tính tổng quát 3.1.2 Phép tính Trung bình-Phương sai Kỳ vọng Mt tính trực tiếp M = EQ ( MT | Ft ) = F (t, T1 ) + + F (t, Tn ) n (3.1.4) F (t, Ti ) giá tương lai thời điểm t cổ phiếu có thời gian đáo hạn Ti Bởi chuyển động Brown trình có số gia độc lập, ta có đẳng thức sau Cov = V ar σ(s)dWs σ(s)dWs , min(t,t′ ) t′ t σ(s)dWs (3.1.5) Đẳng thức cho phép ta tính phương sai MT ν = V arQ ( ln MT | Ft ) = n n i=1 Ti (2n − 2i + 1) σ(s)dWs (3.1.6) Cuối ta lấy Quyền Chọn châu Á A có thu hoạch cuối f (MT ) Ta gọi C Quyền Chọn mà thu hoạch cuối f (ST ) giả thử giá Quyền Chọn t cho √ Ct = C(F (t, T ), σ T − t) (3.1.7) C(x, y) hàm tất định biến x, y ; x = F (t, T ) giá √ tương lai, y = σ T − t phương sai S 3.1.3 Định giá Khi xấp xỉ giá trị trung bình biến log-chuẩn, giá A thời điểm t At = C(M, √ ν) (3.1.8) Chẳng hạn áp dụng kết cho Quyền Chọn châu Á với giá thực thi K có thu hoạch lúc đáo hạn là: AT = (MT − K)+ 46 (3.1.9) CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI Nếu B(t, T ) ký hiệu cho giá thời điểm t trái phiếu-0 đáo hạn T , giá Quyền Chọn châu Á cho At = B(t, T ) MN 3.2 3.2.1 ln M K √ + ν ν − KN ln M K √ ν − ν (3.1.10) Quyền Chọn giỏ Các định nghĩa Ta xét Quyền Chọn châu Âu viết cổ phiếu mà tập hợp cổ phiếu S1 , , Sn với trọng số khác α1 , , αn Quyền Chọn có thu hoạch cuối vào lúc đáo hạn T AT = f (a1 S1 (T ) + + an Sn (T )) (3.2.1) f hàm tất định cho trước Ta định nghĩa giỏ P tài sản tổng hợp, có giá trị thời điểm t PT = a1 S1 (t) + + an Sn (t) (3.2.2) Để dùng ước lượng phân phối loogarit-chuẩn theo kiểu BlackScholes, ta phải tìm cách xấp xỉ giá trị giỏ biến ngẫu nhiên có phân phối lôgarit-chuẩn mà kỳ vọng là: M = EQ ( PT | Ft ) = a1 F1 (t, T ) + + an Fn (t, T ) (3.2.3) Fi (t, T ) giá giao sau cổ phiếu Si đáo hạn vào thời điểm T 3.2.2 Tính độ biến động tiềm ẩn (implied volatility) Việc tính toán phương sai ln PT thực công thức sau cách máy móc Trước hết, ta ký hiệu ρij (t) hệ số tương quan tức thời ln Si (t) ln Sj (t), σi (t) độ biến động tức thời Si , ν1 = V arQ ( PT | Fr ) đại lượng xác định bởi: ν1 = V arQ ( PT | Fr ) = ln(1 + (T − t)) X(t), Ω(t)X(t) 47 (3.2.4) CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI x, y ký hiệu cho tích vô hướng thông thường hai vecto x y Rn , X vecto Rn với thành phần Xi = αi Si (t) , (i = 1, , n) Pt (3.2.5) Ω(t) ma trận vuông cấp n mà phần tử (i, j) Ωij (t) = exp( T −t T t ρij (s)σi (s)σj (s)ds) − (3.2.6) Độ biến động tương đương tìm theo cách tiếp cận xấp xỉ hoàn toàn nhược điểm Ngay mà độ biến động σi hệ số tương quan ρij số, hệ số biến động tổng hợp giỏ phụ thuộc mạnh vào T − t Hiện tượng gọi hiệu ứng tê-ta (theta effect), theo tiếng Hy-lạp, từ giỏ đọc lên có âm hưởng tê-ta Độ biến động tổng hợp này, theo với thời gian, dần tới độ biến động cổ phiếu Như vậy, Quyền Chọn giỏ, hay nói tắt giỏ có dáng điệu lâu dài cổ phiếu biến động nhiều số cổ phiếu chứa giỏ Để khắc phục điều bất tiện đó, người ta thường khai triển biểu thức đến số hạng bậc T − t Ta phương sai tiềm-ẩn ν2 (t) ν1 T −t ν2 (t) = X(t), Ω(t)X(t) tích vô hướng vecto X xác định X(t) = (3.2.7) α1 S1 (t) αn Sn (t) Pt , , Pt , tích ΩX Ω ma trận vuông cấp n mà phần tử (i, j) T Ωij (t) = ρij (s)σi (s)σj (s)ds (3.2.8) t 3.2.3 Định giá Xét Quyền Chọn giỏ A với thu hoạch cuối f (PT ) Ta gọi C giá Quyền Chọn châu Âu mà thu hoạch cuối f (PT ) St cổ phiếu tuân theo mô hình Black-Scholes giả thử giá C cho √ Ct = C(F (t, T ), σ T − t) 48 (3.2.9) CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI C(x, y) hàm tất định giá giao sau x = F (t, T ) phương sai √ S : y = σ T − t Trong việc xấp xỉ lôgarit-chuẩn giá Quyền Chọn giỏ vào thời điểm đáo hạn, giá At vào thời điểm t √ √ At = C(M ν1 ) hay At = C(M ν2 ) (3.2.10) Thí dụ áp dụng Ta vận dụng kết vào Quyền Chọn châu Á với giá thực thi K có thu hoạch thời điểm đáo hạn T AT = (PT − K)+ (3.2.11) Nếu B(t, T ) giá thời điểm t trái phiếu-0 đáo hạn T , giá Quyền Chọn châu Á đó, theo xấp xỉ lôgarit-chuẩn, cho At = B(t, T ) MN ln M + K √ ν ν −K ln M + K √ ν ν (3.2.12) với ν = ν1 hay ν = ν2 tùy theo việc chọn độ biến động 3.3 Quyền chọn lựa chọn Quyền Chọn lựa chọn vấn đề thảo luận lý thú Quyền Chọn lựa chọn thường cho dạng Quyền Chọn ngoại lai khó định giá Tuy nhiên, phân tích cặn kẽ Quyền Chọn lựa chọn thực định hàng loạt lựa chọn thông thường Người mua Quyền Chọn lựa chọn có quyền lựa chọn, đến ngày xác định, Quyền Chọn lựa chọn mua hay Quyền Chọn lựa chọn bán Giá khởi điểm Quyền Chọn mua hay Quyền Chọn bán không thiết phải giống Khi Quyền Chọn lựa chọn quy định cụ thể giá khởi điểm nhau, Quyền Chọn lựa chọn xem Quyền Chọn lựa chọn đơn giản Khi giá khởi điểm (strike), chí kỳ đáo hạn không giống nhau, Quyền Chọn lựa chọn xem Quyền Chọn lựa chọn phức tạp 3.3.1 Định giá Quyền Chọn lựa chọn đơn giản Xét Quyền Chọn lựa chọn Châu Âu giá cổ phiếu BMW với kỳ đáo hạn năm, giá khởi điểm 40 Euro người mua có tháng để lựa chọn 49 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI nên Quyền Chọn lựa chọn mua 40 Euro hay Quyền Chọn lựa chọn bán 40 Euro Nói cách khác , Quyền Chọn lựa chọn Châu Âu nghĩa là, người mua lựa chọn Quyền Chọn lựa chọn mua hay bán, Quyền Chọn lựa chọn định hợp đồng Châu Âu thực vào ngày đáo hạn Do tài sản Châu Âu không liên quan đến việc định thời gian người mua chọn ngày Trên danh nghĩa, người mua lựa chọn ngày vòng tháng để định quyền chọn lựa chọn mua hay bán Tuy nhiên, người mua chọn ngày khả thi cuối để định quyền chọn lựa chọn mua hay bán, lựa chọn sớm lợi ích Giả sử, hợp đồng kỳ hạn năm với giá 40 Euro, giá cổ phiếu BMW 38 Euro sau tháng, nghĩa sau hết tháng, hợp đồng kỳ hạn 22 tháng giá 40 Euro giá cổ phiếu BMW 38 Euro thời gian tháng Với giả định trên, quyền chọn lựa chọn năm cổ phiếu BMW định sau nhà đầu tư Nói cách khác, nhà đầu tư mua trạng thái sau, phải phong tỏa hoàn toàn việc bán Quyền Chọn lựa chọn • Mua hợp đồng quyền mua Châu Âu giá thực 40 Euro thời gian đáo hạn năm • Mua hợp đồng quyền bán Châu Âu giá thực 38 Euro thời gian đáo hạn tháng Để nhìn vào tổng giá trị hợp đồng Quyền Chọn lựa chọn BMW xác, cần xem xét trường hợp sau: Sau giá cổ phiếu BMW tháng 38 Euro Do thời gian đáo hạn quyền bán tháng giá trị, giao dịch viên rời với hợp đồng quyền mua 40 Euro thời hạn 22 tháng Điều phản ánh xác trạng kết quyền chọn người mua Quyền Chọn lựa chọn Quả thực, người mua Quyền Chọn lựa chọn định chuyển thành hợp đồng quyền mua 40 Euro thay hợp đồng quyền chọn bán 22 tháng sau cao 40 Euro hợp đồng quyền mua giá trị hợp đồng quyền bán 50 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI Sau giá cổ phiếu BMW tháng 38 Euro Trường hợp này, quyền mua hết hạn "có lãi" (in the money) vậy, giao dịch viên thực quyền bán 38 Euro danh mục đầu tư mình, dẫn đến kết trạng thái cổ phiếu ngắn hạn cho giao dịch viên Điều có nghĩa giao dịch viên rời với việc bán cổ phiếu kết hợp với trạng thái mua quyền chọn mua (long call position) Cân mua - bán nghĩa trạng thái bán cổ phiếu kết hợp với trạng thái mua quyền chọn mua trạng thái mua quyền chọn bán Thêm nữa, điều phản ánh xác trạng thái bán quyền chọn Thực sự, người mua quyền chọn định chuyển quyện chọn thành quyền bán 40 Euro 22 tháng kỳ hạn 22 tháng 40 Euro quyền bán 40 Euro 22 tháng trị giá quyền mua 40 Euro 22 tháng Qua đó, thấy quyền chọn đơn giản dễ định giá Xét Quyền Chọn lựa chọn với giá khởi điểm Kc , đáo hạn T1 đáo hạn tới ngày định quyền chọn T2 Để định giá Quyền Chọn lựa chọn này, giao dịch viên phải định cấp độ chứng khoán, với điều kiện này, kỳ hết hạn ngày đáo hạn quyền chọn, giá khởi điểm, Kc , quyền chọn, ví dụ giá trị kỳ hạn giá chứng khoán Sf khoảng thời gian đáo hạn T1 − T2 Kc Quyền chọn mua bán với giá khởi điểm kỳ hạn thời gian đáo hạn giống có giá trị Do đó, ngày chọn, Sf định điểm tới hạn cho quyền chọn mua có giá trị quyền chọn bán Quyền Chọn lựa chọn định sau: • Quyền chọn mua với thời hạn đáo hạn T1 giá khởi điểm Kc + • Quyền chọn bán với thời gian đáo hạn T2 giá khởi điểmSf Hoặc , quyền chọn định sau: • Quyền chọn bán với thời gian đáo hạn T1 giá khởi điểm Kc + • Quyền chọn mua với thời gian đáo hạn T2 giá khởi điểm Sf Bởi việc mua quyền chọn bán cổ phiếu giống với mua quyền chọn mua; điều phản ánh xác trạng thái bán quyền chọn vào ngày chọn, giá cổ phiếu Sf trường hợp người chủ quyền chọn chuyển quyền chọn thành quyền chọn mua Rõ ràng là, vào ngày chọn, giá cổ phiếu 51 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI thấp Sf , người chủ quyền chọn định chọn quyền chọn bán Thêm nữa, việc phản ánh trạng thái phong tỏa danh mục đầu tư quyền chọn mua với giá khởi điểm Sf thời gian đáo hạn T2 "không có lãi" không thực Điều dẫn đến trạng thái mua quyền chọn bán phong tỏa danh mục đầu tư 3.3.2 Cơ sở sau chiến lược Quyền Chọn lựa chọn Những nhà đầu tư Quyền Chọn lựa chọn áp dụng chiến lược tương tự nhà đầu tư hợp đồng chứng khoán hai chiều Cả hai nhận định cổ phiếu thường trải qua giai đoạn biến động không chắn chiều hướng biến thiên giá cổ phiếu Sự khác biệt nhà đầu tư Quyền Chọn lựa chọn nhà đầu tư hợp đồng chứng khoán hai chiều nhà đầu tư Quyền Chọn lựa chọn tin tưởng biến thiên biểu khung thời gian định sẵn sàng lựa chọn quyền mua bán sau khung thời gian Vì vậy, nhà đầu tư chi trả cho Quyền Chọn lựa chọn so với số tiền trả cho hợp đồng chứng khoán hai chiều tương tự 3.4 Quyền chọn số Quyền chọn số số hình thức giao dịch đơn giản Đơn giản quyền chọn đưa mức cổ tức cố định mức thấp hay cao điểm định không đưa mức cổ tức trường hợp Cho dù đơn giản quyền chọn số cho Quyền Chọn ngoại lai cổ tức tái tạo hệ thống quyền chọn tiêu chuẩn Tuy nhiên, thay đánh giá Quyền Chọn ngoại lai sử dụng trình theo phương pháp Monte Carlo để định giá Quyền Chọn số, giao dịch viên tính xác giá Quyền Chọn số cách sử dụng mức chênh lệch mua bán Cách thực tế để quản lý rủi ro Quyền Chọn số mức chênh lệch mua bán quyền chọn Đa phần Quyền Chọn số Quyền Chọn châu Âu Do phần giới hạn đối tượng Quyền Chọn số châu Âu 52 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI Xét ví dụ sau: Một nhà đầu tư mua Quyền Chọn số châu Âu tháng cổ phiếu BMW với giá 10 Euro sau tháng giá chứng khoán cao 50 Euro giá cổ phiếu BMW 50 Euro vào kỳ đáo hạn Giao dịch viên bán Quyền Chọn số cổ phiếu BMW dễ dàng tái tạo lại giá Quyền Chọn số cách sử dụng mức chênh lệch mua dự phòng (geared call spread) Việc dự phòng mức chênh mua phụ thuộc vào biên độ mức chênh mua Mức chênh mua có biên độ lớn, việc dự phòng thấp giá đảm bảo, ví dụ: Giao dịch viên tính phí nhà đầu tư nhiều để mua Quyền Chọn số Giao dịch viên tin mức chênh mua có biên độ 2,5 Euro đủ để quản lý rủi ro trạng thái Nói cách khác, giao dịch viên định giá cách bán mức chênh mua 47,5/50 Euro tương đương lần dự phòng Để thấy điều tạo nên phạm vi Quyền Chọn số, xét mức cổ phiếu BMW kỳ đáo hạn 55 Euro Theo điều khoản Quyền Chọn số, nhà đầu tư cho có 10 Euro Đây trạng thái mà giao dịch viên quy định Thêm nữa, giao dịch viên có lần mức chênh mua 47,5/50 dự phòng mức chênh mua mang lại 2,5 Euro lợi nhuận giá chứng khoán kết thúc mức 55 Euro, dẫn đến tổng cổ tức cho nhà đầu tư đạt 10 Euro Thứ hai, giá cổ phiếu BMW 49 Euro kỳ đáo hạn, giao dịch viên không nhận thứ theo điều khoản quy định Quyền Chọn số Tuy nhiên, lần mức chênh mua 47,5/50 Euro quy định cổ tức Euro, dẫn đến việc giao dịch viên có Euro lợi nhuận bất ngờ Điều rõ rằng, giao dịch viên định giá Quyền Chọn số cách bảo thủ cách chọn quyền mức chênh mua 47,5/50 Euro hiệu cách lựa chọn mức chênh mua chặt chẽ Tuy nhiên, biên độ mức chênh mua cần thiết để tạo rủi ro lớn đảo chiều kế toán khoảng 50 Euro Thực trước hết hạn với giá chứng khoán đạt xác 50 Euro, Quyền Chọn số không giá trị giá chứng khoán lên đến 50,01 Euro, Quyền Chọn số lại đột ngột giá trị đến 10 Euro Điều rõ ràng khó quản lý rủi ro giao dịch viên biểu giá chứng khoán bán quyền chọn Do đó, cách tốt để định giá Quyền Chọn số phương tiện mức chênh mua dự phòng Ngay với mức chênh mua, giao dịch viên cần quản lý rủi ro lớn nến đảo chiều rủi ro kế toán, thật định giá Quyền Chọn số mức chênh mua vốn đem lại cho dự phòng rủi ro Tuy 53 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI nhiên, mức chênh mua mang lại cho giao dịch viên trạng thái bán với giá mua 47,5 Euro trạng thái mua với giá mua 50 Euro, giao dịch viên chuyển rủi ro nến đảo chiều sang giá thực 47,5 Euro Bằng cách đó, giao dịch viên mang lại cho khối đệm (cushion) để quản lý rủi ro nến đảo chiều Quyền Chọn số cách buộc vào vòng phong tỏa mức giá 47,5 Euro mức chênh mua Thứ ba, giá cổ phiếu BMW 46 Euro, Quyền Chọn số mức chênh mua quy định việc tất toán cho nhà đầu tư 3.4.1 Chọn giá thực Câu hỏi tự nhiên "Tạo Quyền Chọn số phiên trước không trùng với mức 50/52,5 Euro mức chênh mua ?" Câu trả lời mức chênh mua 50/52,5 Euro đạt xác phần đối lập giao dịch viên muốn đạt được, danh nghĩa mang lại cho khối đệm Mức chênh mua 50/52,5 Euro bắt đầu thực kiện Quyền Chọn số xuất Theo cách, mức chênh mua 50/52,5 Euro khiến cho giao dịch viên cảm thấy "giàu hơn" thực tế Ví dụ, giá chứng khoán kết thúc 51 Euro, lần mức chênh mua dự phòng mang lại cổ tức trị giá Euro Quyền Chọn số yêu cầu cổ tức 10 Euro Nói cách khác, kế hoạch phong tỏa mức chênh mua 50/52,5 Euro tạo 10 Euro cổ tức giá thị trường 50 Euro mức chênh mua 47,5/50 Euro không phản ánh xác điều Theo cách, mức chênh mua 50/52,5 Euro theo đuôi Quyền Chọn số giá 47,5/50 Euro buộc giao dịch viên hành động trước Quyền Chọn số thực hoạt động trạng thái tốt để đàm phán với kiện Quyền Chọn số "bùng nổ" 3.4.2 Mức chênh mua ủy quyền Quyền Chọn số Từ viễn cảnh giao dịch viên, mức chênh mua không để định giá Quyền Chọn số mà sản phẩm để giao dịch Nói cách khác, giao dịch viên bán Quyền Chọn số, đạt mức chênh mua hệ thống quản lý rủi ro cách xác Quyền Chọn số Theo cách này, quản lý rủi ro xác Quyền Chọn số mức chênh mua Tiểu mục trước mức chênh mua ủy quyền bảo thủ cho Quyền Chọn số kỳ 54 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ QUYỀN CHỌN NGOẠI LAI mãn hạn Quyền Chọn số kiểu châu Âu, giao dịch viên kiểm tra cổ tức mức chênh mua cổ tức theo điều khoản Quyền Chọn số Cổ tức mức chênh mua cổ tức Quyền Chọn số sau dẫn tới lợi nhuận bất ngờ cho giao dịch viên 3.4.3 Biên độ mức chênh mua việc dự phòng Biên độ mức chênh mua thấp, việc dự phòng cần thiết để lặp lại Quyền Chọn số cao Tiếp đó, việc dự phòng cần thiết quyền chọn mua cao, rủi ro mà cần quản lý giá bán lớn, giá cố định mức chênh mua gần nhau, giao dịch viên mang lại cho khối đệm để chuẩn bị cho kiện Quyền Chọn số Nói cách khác, biên độ việc lặp lại mức chênh mua thấp, rủi ro cao mức chênh mua hành xử Quyền Chọn số lớn 55 KẾT LUẬN Trong luận văn cố gắng hệ thống hóa số khái niệm Toán tài ngẫu nhiên, gồm khái niệm cổ phiếu, trái phiếu phát sinh, phương án đầu tư, hội có độ chênh thị giá, hợp đồng quyền chọn mua, hợp đồng quyền chọn bán, nguyên lý đáp ứng khái niệm đầy đủ, Trong nhiều ứng dụng phong phú Giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu Tài chính, nêu ví dụ điển hình mô hình Black - Scholes định giá quyền chọn kiểu châu Âu Trọng tâm hợp đồng Quyền Chọn ngoại lai, cuối số toán khác quyền chọn Do trình độ thời gian tác giả có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong bảo thầy để tác giả tiến việc nghiên cứu lĩnh vực thú vị 56 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp Toán học Tài chính, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Trọng Nguyên (2011), Cơ sở toán Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [3] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài bản, Nhà Xuất Bản Văn Hóa Thông Tin, Hà Nội [4] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên & Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [5] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán học Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [6] Hoàng Thị Phương Thảo (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jump Processes", East-West J of Mathematics, 15(2), PP.101-106 [7] Bjork, Tomas (1999), Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford Univ, Press [8] Bouchaud, J.E et Rochet J.C (1997), Theórie des risques financiers , Aléa Saclay [9] Helmut Strasser (2006), Introduction to Probability Theory and Stochastic Processes (STATS), Vienna Graduate School Of Finance (VGSF) [10] John Wiley and Sons Ltd (2008), Exotic options trading, The Atrium, Southern Gate, Chichester, West Sussex PO19 8SQ, England 57