Sử dụng các phương pháp thống kê quá trình ngẫu nhiên để đánh giá sự rủi ro trong đầu tư tài chính

Khi kinh tế hàng hóaphát triển cao, nhiều hình thức huy động vốn mới linh hoạt hơn nảy sinh vàphát triển, góp phần tốt hơn vào việc giải quyết cân đối giữa cung và cầu về cácnguồn lực tà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hạnh

SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐỂ ĐÁNH GIÁ SỰ RỦI RO

TRONG ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hạnh

SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐỂ ĐÁNH GIÁ SỰ RỦI RO

TRONG ĐẦU TƯ TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Phê Đô

Hà Nội - 2013

Mục lục

1.1 Giới thiệu về thị trường tài chính 6

1.1.1 Cơ sở khách quan cho sự ra đời 6

1.1.2 Khái niệm 7

1.1.3 Cấu trúc của thị trường tài chính 7

1.1.4 Phân loại thị trường tài chính 8

1.2 Các thị trường tài chính 10

1.2.1 Cổ phiếu và các phái sinh 10

1.2.2 Hợp đồng Quyền chọn mua và hợp đồng Quyền chọn bán 12 1.2.3 Thị trường trái phiếu 13

1.2.4 Trao đổi ngoại tệ 16

1.3 Sự hình thành và phát triển của thị trường tài chính Việt Nam 17 1.3.1 Thị trường tài chính Việt Nam trước cách mạng tháng 8 17 1.3.2 Thị trường tài chính Việt Nam thời kỳ 1975 - 1985 18

1.3.3 Thị trường tài chính Việt Nam từ 1986 đến nay 20

2 Quá trình ngẫu nhiên trong tài chính 23 2.1 Quá trình ngẫu nhiên 23

2.1.1 Định nghĩa 23

2.1.2 Ví dụ 24

2.1.3 Đặc tả quá trình ngẫu nhiên và một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng 26

2.2 Kỳ vọng có điều kiện và Martingal 27

2.2.1 Mô hình nhị phân 27

2.2.2 Kỳ vọng có điều kiện 29

2.2.3 Quá trình Martingale 32

2.3 Nguyên tắc định giá trong điều kiện không có mua bán song hành 33 2.3.1 Quá trình giá chứng khoán và martingal 34

2.3.2 Chiến lược đảm bảo tài chính 35

2.4 Quá trình chuyển động Brown thời gian rời rạc 37

2.5 Định lý Gisanov: Ứng dụng vào mô hình nửa liên tục 39

2.5.1 Mô hình định giá nửa liên tục 39

2.5.2 Tính toán điều hòa rủi ro trong mô hình nửa liên tục 41

2.5.3 Dạng thức thời gian rời rạc của định lý Girsanov 43

2.5.4 Phái sinh thời gian rời rạc của công thức Black – Scholes 45 2.6 Quá trình chuyển động Brown thời gian liên tục 48

2.7 Mô hình Black-Scholes 50

2.7.1 Thị trường Black-Scholes 50

2.7.2 Danh mục đầu tư và bảo hiểm đảm bảo tài chính trong mô hình Black-Scholes 51

2.7.3 Giải thích về mặt xác suất của công thức Black – Scholes bằng cách áp dụng định lý Girsanov 52

3 Các mô hình đánh giá rủi ro trong đầu tư tài chính 55 3.1 Mô hình Merton 55

3.1.1 Giới thiệu mô hình 55

3.1.2 Phân tích mô hình 56

3.2 Mô hình ARIMA 58

3.2.1 Quá trình ARMA 58

3.2.2 Mô hình ARIMA 62

3.3 Mô hình Cramer - Lundberg 65

3.3.1 Định nghĩa quá trình Cramer - Lundberg 65

3.3.2 Mô hình Cramer-Lundberg 65

3.3.3 Xác suất thiệt hại và ước lượng xác suất thiệt hại 66

3.3.4 Phương trình vi phân cho xác suất phá sản 69

3.3.5 Nhận xét mô hình 72

3.4 Các mô hình phi tuyến ARCH và GARCH 74

3.4.1 Mô hình ARCH 74

3.4.2 Mô hình GARCH 77

3.4.3 Một số dạng khác 79

LỜI NÓI ĐẦU

Trong thời đại hiện nay thì hệ thống tài chính luôn được xem là trung tâmcủa nền kinh tế Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của kinh tế, tài chính thì Toánhọc nói chung và Xác suất thống kê nói riêng đã đóng góp một phần không nhỏtrong đó Nó không chỉ phục vụ cho nhu cầu tất yếu của nền kinh tế mà còn làcông cụ quan trọng giúp chúng ta đánh giá và quản lý rủi ro, đặc biệt là rủi rotrong đầu tư tài chính Đã có nhiều phương pháp thống kê và mô hình rủi rođược áp dụng một cách hiệu quả trong việc đưa ra các dự báo và đánh giá xácsuất rủi ro, từ đó giúp các nhà đầu tư quản lý tốt hơn hoạt động tài chính củamình

Bốn mô hình khá thông dụng và hiệu quả trong đánh giá rủi ro tài chính,

đó là: mô hình Merton, mô hình Arima, mô hình Cramer – Lundberg và các môhình phi tuyến ARCH, GARCH

Mục đích của luận văn là nghiên cứu về bài toán đánh giá rủi ro trong đầu

tư tài chính bằng cách sử dụng các phương pháp thống kê quá trình ngẫu nhiên.Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 trình bày một cách khái quát về thị trường tài chính và sự hìnhthành, phát triển của thị trường tài chính Việt Nam

Chương 2 trình bày về các khái niệm cơ bản, quá trình ngẫu nhiên trong tàichính (đặc biệt là quá trình dừng, quá trình chuyển động Brown), nguyên tắcđịnh giá trong điều kiện không có mua bán song hành, định lý Girsanov và môhình Black – Scholes cho giá cổ phiếu

Chương 3 dựa trên các khái niệm và các quá trình ngẫu nhiên ở chương 2,đưa ra các mô hình đánh giá rủi ro và các ưu, khuyết điểm của từng mô hình.Phần phụ lục đưa ra một ứng dụng của mô hình Arima trong dự báo (giáchứng khoán VNIndex), với sự trợ giúp của phần mềm kinh tế lượng Eviews.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lê Phê Đô.Xin được tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới Thầy

Tác giả cũng xin cảm ơn chân thành tới Khoa Toán – Cơ - Tin học, trườngĐại học Khoa học tự nhiên, nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại họccăn bản

Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt là bác Nguyễn Văn Vỵ (giảng

viên đã nghỉ hưu của trường Đại học Công nghệ), bạn bè và đồng nghiệp đãcảm thông, ủng hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viếtluận văn.

Do kiến thức và thời gian còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏinhững thiếu sót Vì vậy, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các thầy cô

và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 7 tháng 11 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Hạnh

Chương 1

Khái quát chung về thị

trường tài chính

Trong nền kinh tế luôn tồn tại hai trạng thái trái ngược nhau giữa một bên

là nhu cầu về vốn và một bên là khả năng về vốn Mâu thuẫn này ban đầuđược giải quyết thông qua hoạt động của ngân hàng với vai trò trung gian trongquan hệ vay mượn giữa người có vốn và người cần vốn Khi kinh tế hàng hóaphát triển cao, nhiều hình thức huy động vốn mới linh hoạt hơn nảy sinh vàphát triển, góp phần tốt hơn vào việc giải quyết cân đối giữa cung và cầu về cácnguồn lực tài chính trong xã hội, làm xuất hiện các công cụ huy động vốn nhưtrái phiếu, cổ phiếu của các doanh nghiệp, trái phiếu của chính phủ - đó lànhững loại giấy tờ có giá trị, gọi chung là các loại chứng khoán Và từ đó xuấthiện nhu cầu mua bán, chuyển nhượng giữa các chủ sở hữu khác nhau các loạichứng khoán Điều này làm xuất hiện một loại thị trường để cân đối cung cầu

về vốn trong nền kinh tế là thị trường tài chính

Do đó, thị trường tài chính là sản phẩm tất yếu của nền kinh tế thị trường,

cơ sở khách quan cho sự ra đời của thị trường tài chính là sự giải quyết mâuthuẫn giữa cung và cầu về vốn trong nền kinh tế thông qua các công cụ tài

chính đặc biệt là các loại chứng khoán, làm nảy sinh nhu cầu mua bán, chuyểnnhượng chứng khoán giữa các chủ thể khác nhau trong nền kinh tế Chính sựphát triển của nền kinh tế hàng hóa và tiền tệ mà đỉnh cao của nó là kinh tếthị trường làm nảy sinh một loại thị trường mới là thị trường tài chính.Thị trường tài chính hình thành và phát triển gắn liền với sự phát triển củanền kinh tế thị trường Sự phát triển của nền kinh tế thị trường đã làm xuấthiện những chủ thể cần nguồn tài chính và những người có khả năng cung ứngnguồn tài chính Khi nền kinh tế thị trường ngày càng phát triển thì các hoạtđộng về phát hành và mua bán lại các chứng khoán cũng phát triển, hình thànhmột thị trường riêng nhằm làm cho cung cầu nguồn tài chính gặp nhau dễ dàng

và thuận lợi hơn, đó là thị trường tài chính

Thị trường tài chính là nơi diễn ra các hoạt động trao đổi, mua bán quyền

sử dụng các nguồn tài chính thông qua những phương thức giao dịch và công

cụ tài chính nhất định Thị trường tài chính là tổng hòa các quan hệ cung cầu

về vốn trong nền kinh tế

Nói một cách đơn giản, thị trường tài chính là nơi diễn ra các hoạt độngmua bán các loại giấy có giá, nơi gặp gỡ của các nguồn cung về vốn và cầu,qua đó hình thành nên giá mua và giá bán các loại cổ phiếu, trái phiếu hìnhthành nên các loại vốn đầu tư bao gồm: lãi suất đi vay, lãi suất cho vay, lãi suấtngắn hạn, trung hạn và dài hạn

Thị trường tài chính được cấu trúc như sơ đồ (trang bên) Trong đó:

+ Thị trường chứng khoán: là nơi diễn ra các hoạt động trao đổi, mua bán,chuyển nhượng các giấy tờ có giá trị thường gọi là chứng khoán như: tráiphiếu, cổ phiếu, quyền lựa chọn, hợp đồng tương lai, qua đó thay đổi chủthể nắm giữ chứng khoán

+ Nhà đầu tư: là người thực sự mua và bán chứng khoán trên thị trường chứngkhoán Nhà đầu tư có thể được chia thành hai loại: nhà đầu tư cá nhân vànhà đầu tư có tổ chức

+ Nhà phát hành: là các tổ chức, công ty cổ phần thực hiện huy động vốnthông qua thị trường chứng khoán Nhà phát hành là người cung cấp cácchứng khoán - nguồn hàng hóa của thị trường chứng khoán.

+ Các trung gian tài chính bao gồm:

- Các tổ chức kinh doanh trên thị trường chứng khoán: công ty chứngkhoán, quỹ đầu tư chứng khoán, các trung gian tài chính: ngân hàng đầu

tư, công ty bảo hiểm,

- Các tổ chức có liên quan đến thị trường chứng khoán: cơ quan quản lý nhànước, sở giao dịch chứng khoán, công ty dịch vụ máy tính chứng khoán,các tổ chức tài trợ chứng khoán, công ty đánh giá hệ số tín nhiệm,

1.1.4 Phân loại thị trường tài chính

Có nhiều cách để phân loại thị trường tài chính nhưng ta có 4 cách phânloại chính như sau:

1.1.4.1 Căn cứ vào phương thức huy động nguồn tài chính

- Thị trường nợ: là thị trường buôn bán trao đổi các công cụ nợ, trong đócông cụ nợ là công cụ làm phát sinh nghĩa vụ trả nợ như trái phiếu, tín phiếu,hối phiếu,

Phát hành các công cụ nợ là phương pháp thông dụng nhất mà công ty sửdụng để vay vốn trên thị trường tài chính Đây là dạng thỏa thuận theo hợpđồng trong đó người vay phải trả cho người nắm giữ các công cụ nợ một khoảntiền nhất định trong giới hạn cố định (vốn và lãi) vào ngày tháng cụ thể (thờiđiểm đáo hạn – khi khoản chi trả cuối được thực hiện ) Thời gian đáo hạn củacông cụ nợ là khoảng thời gian cho đến khi công cụ nợ hết hạn Dựa vào thờigian đáo hạn, ta có 3 công cụ nợ: công cụ nợ ngắn hạn ( thời gian đáo hạn nhỏhơn 1 năm ), công cụ nợ trung hạn ( thời gian đáo hạn từ 1 đến 5 năm ) vàcông cụ nợ dài hạn ( thời gian đáo hạn trên 5 năm )

- Thị trường vốn cổ phiếu (thị trường cổ phiếu): Phương pháp thứ hai để thuhút vốn là các công ty phát hành cổ phiếu Người nắm giữ cổ phiếu sở hữu mộtphần tài sản của công ty có quyền được chia lợi nhuận ròng từ công ty sau khitrừ chi phí, thuế và thanh toán cho chủ nợ (những người sở hữu công cụ nợ).Nếu bạn sở hữu một cổ phiếu trong một công ty phát hành một triệu cổ phiếuthì bạn nhận được một phần triệu thu nhập từ công ty và một phần triệu tàisản của công ty đó Cổ đông thường được thanh toán định kỳ lãi cổ phần vànhững cổ phần đó là những chứng khoán dài hạn vì chúng không có thời gianđáo hạn

1.1.4.2 Căn cứ vào sự luân chuyển của các nguồn tài chính

- Thị trường sơ cấp: là thị trường tài chính trong đó diễn ra việc mua bánchứng khoán đang phát hành hay chứng khoán mới Việc mua bán chứng khoántrên thị trường cấp một thường được tiến hành thông qua trung gian là cácngân hàng

- Thị trường thứ cấp: là thị trường mua bán lại những chứng khoán đã pháthành Khi diễn ra hoạt động mua bán chứng khoán trên thị trường này thì ngườivừa bán chứng khoán nhận được tiền bán chứng khoán còn công ty phát hànhkhông thu được tiền nữa, một công ty thu được vốn chỉ khi chứng khoán của

nó được bán lần đầu tiên trên thị trường sơ cấp

1.1.4.3 Căn cứ vào tính chất pháp lý

- Thị trường tài chính chính thức: là bộ phận của thị trường tài chính, màtại đó mọi hoạt động huy động, cung ứng, giao dịch các nguồn tài chính đượcthực hiện theo những nguyên tắc, thể chế do nhà nước quy định rõ ràng trongcác văn bản pháp luật Các chủ thể tham gia được pháp luật thừa nhận và bảovệ

- Thị trường tài chính không chính thức: là thị trường tài chính, mà ở đómọi hoạt động huy động, cung ứng, giao dịch các nguồn tài chính và người cầnnguồn tài chính không theo những nguyên tắc, thể chế do nhà nước quy địnhnhư hoạt động của những người cho vay nặng lãi hay những phường hụi nămtrong thị trường tài chính không chính thức

1.1.4.4 Căn cứ vào thời gian sử dụng nguồn tài chính huy động được

- Thị trường tiền tệ: là một thị trường tài chính chỉ có các công cụ ngắn hạn(kỳ hạn thanh toán dưới 1 năm)

- Thị trường vốn: là thị trường diễn ra việc mua bán các công cụ nợ dài hạnnhư cổ phiếu, trái phiếu Thị trường vốn được phân thành ba bộ phận là thịtrường cổ phiếu, các khoản cho vay thế chấp và trái phiếu

a, Cổ phiếu: là loại chứng khoán phát hành bởi công ty để huy động vốncho hoạt động kinh doanh của họ Giá cổ phiếu biến động phụ thuộc vào tìnhtrạng xã hội và hoạt động kinh doanh của công ty Người giữ cổ phiếu có quyềntham gia hoạt động kinh doanh của công ty và nhận cổ tức

b, Phái sinh chứng khoán: là một hợp đồng đặc biệt và giá trị của nó tạimột ngày nào đó trong tương lai phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị tương lai củachứng khoán đó Có ba loại hợp đồng phái sinh chính: Hợp đồng tương lai (hợpđồng cổ phiếu ký kết trước); Hợp đồng quyền chọn; giao dịch hoán đổi

- Hợp đồng cổ phiếu ký kết trước:

+ Điều kiện của hợp đồng là:

• Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng bắt buộc phải trả cho ngườiviết hợp đồng đó một số tiền xác định, gọi là giá trị thực thi.

• Người viết hợp đồng bắt buộc phải giao cổ phiếu cho người giữ hợpđồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng

+ Lợi và thiệt vào ngày đáo hạn:

Ta kí hiệu: ST là giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn T

X là giá trị thực thi vào ngày đó

Lợi hay thiệt của người giữ vào thời điểm T được mô tả bởi: ST − X Chúng

ta nhận được thông tin về giá của cổ phiếu bằng cách tạo ra một sự đầu tưđáp ứng để bảo hộ một chứng khoán nào đó

- Đầu tư để bảo hộ:

Tạo nên một sự lựa chọn đầu tư, hay một danh mục đầu tư nghĩa là gắn kếtmột hợp đồng ( tính thành tiền là f ) và một khoản tiền mặt là Xe−r(T −t) với:

T là thời điểm đáo hạn

t là thời điểm đang xét

r là lãi suất hiện tại ứng với một đầu tư

Khi đó giá thực sự là f + Xe−r(T −t) Nó tăng lên bởi thừa số e−r(T −t) Do

đó tiền vốn sẽ không chịu sự rủi ro theo sự thay đổi của giá thị trường và có thểrút ngay lập tức nếu cần để đầu tư vào chỗ khác tốt hơn Như vậy tiền mặt sẽđược đầu tư một cách an toàn Vào ngày đáo hạn, chiến lược đầu tư thu đượcmột cổ phần trả một khoản chi phí thực thi Nhưng khoản tiền mặt đã trù liệu

sẽ tăng lên chính xác thành giá trị thực thi Vì hệ số tăng tiền mặt trong biểuthức đầu tư f + e−r(T −t) sẽ bằng 1 nếu t = T và do đó không còn chi phí nữa

Ta nói vào ngày đáo hạn, chiến lược đầu tư đó đã đáp ứng để bảo hộ hay đápứng một cổ phần chứng khoán Như vậy giá cả là chính xác vì:

giá trị hợp đồng + khoản tiền mặt = một cổ phần chứng khoán

- Mua bán một phương án đầu tư:

Ta có thể mua bán một phương án đầu tư ( hay danh mục đầu tư) trướcngày đáo hạn, mặc dù đó có thể là một cổ phần cơ sở Mặt khác, người ta có

thể bán hợp đồng này trong một thị trường ngay cả khi không sở hữu nó Loạimua bán này gọi là bán khống một hợp đồng nền tảng nếu người ta bán mộtphần cơ bản như cổ phiếu mà không cần sở hữu nó Như vậy người ta có thểbán khống một khoản tiền trong danh mục đầu tư bằng cách mượn tạm một

số tiền với lãi suất ngắn hạn “r00 Chiến lược đầu tư này là công cụ đáp ứng đểbảo hộ cổ phần vào một ngày trong tương lai Điều đó dẫn chúng ta đến việc

so sánh các giá cả trong một ngày trước đó Và ta sẽ áp dụng nguyên lý “không

có cơ hội có độ chênh thị giá” để đánh giá ngang bằng một số giá cả

bán

1.2.2.1 Hợp đồng Quyền chọn mua

a, Định nghĩa: Người ta có thể mua “một cơ hội mua một cổ phần chứng khoántrong tương lai với một giá đảm bảo trước” Quyền có thể mua (mà không bắtbuộc phải mua) như vậy trong tương lai được gọi là Quyền chọn mua

b, Các điều kiện của hợp đồng:

+ Đến ngày đáo hạn người giữ hợp đồng có thể trả cho người viết hợp đồng

số tiền bằng giá trị thực thi hợp đồng

+ Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá trị thực thi do người giữ trả thìngười viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáohạn

c, Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn: Hợp đồng sẽ được xếp đặt sao cho người viết trảcho người giữ khoản chênh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi Khi đó:

số tiền chi trả = Max {ST − X; 0} = (ST − X)+.Tuy nhiên, một số hợp đồng Quyền chọn mua có khoản chi trả lớn hơn Loạihợp đồng với điều kiện: Người giữ chỉ có thể sử dụng nó vào ngày đáo hạn làhợp đồng Quyền chọn mua kiểu châu Âu Còn loại hợp đồng mà người ngườigiữ được phép thực thi tại bất kì thời điểm nào trước ngày đáo hạn là hợp đồngQuyền chọn mua kiểu Mỹ Một hợp đồng kiểu Mỹ có thể có khoản chi trả lớnhơn so với hợp đồng kiểu châu Âu

b, Các điều kiện của hợp đồng:

+ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết một

cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị trườnglúc ấy của một cổ phần chứng khoán

+ Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tươngđương do người giữ hợp đồng giao cho, thì anh ta phải trả chi phí thực thicho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng

c, Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn:

Với hợp đồng quyền chọn bán thì hoặc là hợp đồng không được thực thihoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênhlệch giữa giá thực thi và giá chứng khoán vào ngày đáo hạn Khi đó:

Thu hoạch Quyền bán = Max {X − ST; 0} = (X − ST)+

Nếu Quyền chọn bán chỉ được thực thi vào lúc đáo hạn thì ta gọi nó làQuyền chọn bán kiểu châu Âu Còn nếu có thể thực thi vào bất kỳ thời điểmnào trước lúc đáo hạn thì gọi là Quyền chọn bán kiểu Mỹ Một Quyền chọn bánkiểu Mỹ có thể kiếm nhiều tiền hơn một Quyền chọn bán kiểu châu Âu

1.2.3.1 Các khái niệm

- Trái phiếu là một chứng nhận nghĩa vụ nợ của người phát hành phải trả chongười sở hữu trái phiếu đối với một khoản tiền cụ thể (mệnh giá của tráiphiếu), trong một thời gian xác định và với một lợi tức quy định Người pháthành có thể là doanh nghiệp (trái phiếu trong trường hợp này được gọi làtrái phiếu doanh nghiệp), một tổ chức chính quyền như Kho bạc nhà nước(trong trường hợp này gọi là trái phiếu kho bạc), chính quyền (trong trường

hợp này gọi là công trái hoặc trái phiếu chính phủ) Người mua trái phiếu,hay trái chủ, có thể là cá nhân hoặc doanh nghiệp hoặc chính phủ Tên củatrái chủ có thể được ghi trên trái phiếu (trường hợp này gọi là trái phiếu ghidanh) hoặc không được ghi (trái phiếu vô danh).

- Thị trường trái phiếu là một kênh trao đổi giữa các chính phủ và các công tycần vay tiền với các nhà đầu tư có vốn cho vay Thị trường trái phiếu tạo ranhững khả năng thanh toán bằng tiền mặt (monetary liquidity), đó là điềusống còn đối với tiềm lực của một nền kinh tế

- Những nhà môi giới trái phiếu thì hoạt động như những người trung gian,mua của người phát hành trái phiếu và bán cho người mua trái phiếu Nhữnghoạt động đó tạo nên một thị trường sơ cấp về trái phiếu Những nhà môigiới trái phiếu cũng duy trì một thị trường thứ cấp linh hoạt về trái phiếu,đặt giá cho những trái phiếu đã phát hành mà những nhà đầu tư muốn bánlại Mặt khác họ cũng có thể bán khống trái phiếu và người mua có thể làcác tổ chức tài chính như các công ty bảo hiểm, các quỹ tài chính hỗ tương,các quỹ lương hưu, các công ty tài chính, cá nhân các nhà đầu tư và thờigian trung bình để người ta giữ trái phiếu kho bạc loại 30 năm là 2 tuần

- Mỗi trái phiếu đều có một mệnh giá mà, đó là khoản tiền mà người mua tráiphiếu sẽ được nhận tại thời điểm đáo hạn

1.2.3.2 Các loại trái phiếu

Có hai loại trái phiếu: Trái phiếu chiết khấu và Trái phiếu có lãi

- Trái phiếu chiết khấu hay còn gọi là trái phiếu lãi suất-không, hay là phiếulãi-0: người phát hành chi trả cho người sở hữu trái phiếu số tiền theo mệnhgiá ( in trên trái phiếu) vào đúng thời điểm đáo hạn

- Trái phiếu có lãi hay còn gọi là trái phiếu có lãi suất: là loại trái phiếu màngười phát hành, ngoài số tiền theo mệnh giá phải trả vào ngày đáo hạn, cònphải trả thêm cho người sở hữu trái phiếu một số tiền lãi theo một số định

kỳ cố định ghi rõ trên trái phiếu, trong phạm vi trái phiếu còn giá trị (trướcthời điểm đáo hạn)

1.2.3.3 Tỷ lệ lợi nhuận hay lợi suất

Khi ta mua một trái phiếu với giá thị trường khác với mệnh giá của nó thì

có 3 yếu tố thường được dùng để đo tỷ lệ lợi nhuận hàng năm đạt được tínhtrên đầu tư của chúng ta:

- Lãi suất trái phiếu: là số tiền phải trả định kỳ, tính theo từng năm, và tínhtheo tỷ lệ phần trăm của mệnh giá của trái phiếu

- Hoa lợi hiện tại: là số tiền phải trả hàng năm tính theo tỷ lệ phần trăm củagiá thị trường hiện hành của trái phiếu

- Hoa lợi-cho-đến-lúc-đáo hạn: là số tiền tính theo tỷ lệ phần trăm của giá tráiphiếu nếu người mua giữ trái phiếu cho đến tận lúc đáo hạn Đây có lẽ là yếu

tố tốt nhất dùng để đo tỷ lệ lợi nhuận Nó được tính bằng một phép chiếtkhấu

Tính chiết khấu cho một khoản chi trả trong tương lai:

Một bản cam kết sẽ trả một khoản tiền 1000 đô la sau 1 năm nữa, thì ngàyhôm nay chưa đáng giá đến 1000 đô la Chú ý rằng một khoản tiền nhỏ hơn

1000 đô la đem đầu tư hôm nay một cách an toàn có thể nở ra thành 1000 đô

la của một năm sau Nói một cách chính xác, khoản tiền trị giá V cam kết từhôm nay, có thể tạo ra một tỷ lệ lợi nhuận hàng năm là R khi đem đầu tư vàomột việc gì đó Ta có thể mô tả sự tăng trưởng đầu tư cho đến 1000 đô la bởi

V eR(T −t) = P

Nếu biết lãi suất đầu tư R thì V được tính theo hệ thức:

V = P e−R(T −t).Đối với một trái phiếu thì hoa lợi-cho-đến-lúc-đáo hạn là một loại lãi suất

R, mà khi dùng để tính chiết khấu các khoản chi trả trong tương lai của trái

phiếu tính lùi trở lại cho đến thời điểm hiện tại, sẽ sinh ra giá hiện tại của tráiphiếu Nói một cách khác, ta sẽ tìm được R khi biết giá thị trường hiện tại V Trong trường hợp trái phiếu lãi suất-0: nếu trái phiếu có mệnh giá là 1 và thờiđiểm đáo hạn là T , thì ta có thể tính được R theo giá hiện tại P (t, T ) của tráiphiếu như sau:

R(t) = − ln P (t, T )

T − t .Đối với một trái phiếu có lãi suất thì không dễ dàng tính ra được hoa lợi-cho-đến-lúc-đáo hạn

Khi thực hiện các giao dịch có liên quan đến việc chi trả bằng ngoại tệthường nảy sinh những rủi ro, ví dụ: một công ty Đức có thể bán sản phẩm của

họ cho một công ty Mỹ và nhận tiền trả bằng đô la Mỹ Họ cần phải chuyểnđổi tiền đô la thành tiền euro Số tiền euro mà họ thu về còn phụ thuộc vào tỷgiá hối đoái phổ biến giữa đồng đô la và đồng euro lúc ấy Công ty Đức ấy đã ởvào một vị trí có rủi ro, bởi vì tỷ giá hối đoái đó có thể thay đổi thất thường

Và người ta có thể khống chế rủi ro do tỷ giá hối đoái bằng cách dùng các hợpđồng ký kết trước và các hợp đồng quyền chọn, từ đó đạt được một khối lượngtiền đảm bảo sau khi chuyển đổi

Tính toán các Hợp đồng giao sau về tiền tệ:

Xét một hợp đồng giao sau liên hệ giữa đồng đô la Mỹ và đồng euro nhưsau: tại thời điểm T , bên A sẽ giao 1 euro cho bên B và bên B sẽ trả cho bên Amột số tiền bằng đô la Vậy cái giá hợp lý cho hợp đồng giao sau là bao nhiêu?Bên A sẽ phải lấy về bao nhiêu đồng đô la để giao 1 euro cho bên B?

Ta sẽ thực hiện tính toán như sau

Giả sử ta đã có các số liệu sau đây:

Tỷ giá hối đoái hôm nay: 1 đô la =α euro

Lãi suất không rủi ro của Mỹ = rd

Lãi suất không rủi ro của Châu Âu = rm

Ta xây dựng một sơ đồ sau:

Ta lý luận như sau: Giả sử ta có 1 đô la Ta có thể thực hiện hai quá trìnhsau:

(ii) Có thể chuyển đổi 1 đô la thành α euro rồi đem đầu tư vào một ngânhàng châu Âu với lãi suất không rủi ro rm Khi đó số tiền này sẽ biến thành

erm Tα euro tại thời điểm T

Như vậy tại thời điểm T , ta có hai món tiền là erd T và erm Tα mặc dù tạithời điểm T = 0 thì hai món tiền đó có giá trị như nhau

Tại T = 0: erm T · α euro = erdT đô la hay 1 euro = e

(rd−rm)T

α đô la Đóchính là giá hợp lý cho hợp đồng giao sau

Theo quan điểm thực hành, bên A sẽ đi vay e

−rmT

α đô la Anh ta sẽchuyển đổi số đó thành e−rm T euro vào hôm nay Đến thời điểm T , số tiềneuro đó biến thành 1 euro Tại thời điểm T, anh ta phải trả lại cho người vay

tài chính Việt Nam

tháng 8

Trước cách mạng tháng 8 năm 1945, Việt Nam là nước thuộc địa nửa phongkiến dưới sự thống trị của thực dân Pháp Cùng với việc tổ chức hoàn chỉnh bộmáy cai trị hành chính (công cụ bóc lột), thực dân Pháp cũng dần dần từngbước thiết lập và hoàn thiện cơ chế tài chính thuộc địa ( phương tiện bóc lột)

Các chính sách tài chính được thực dân Pháp ban hành trong từng thời kỳ, đặcbiệt là từ năm 1897 đến năm 1945 phần lớn là các chính sách thuế khóa Đây lànguồn thu chủ yếu của các loại ngân sách do thực dân Pháp đặt ra, đồng thờithuế khóa cũng là “xương sống” của chính sách bóc lột kinh tế.

Đồng tiền Đông Dương (các nước Đông Dương: Việt Nam, Lào, Campuchia)xuất hiện thông qua sắc lệnh ngày 25.1.1875 của Tổng thống Pháp “Ngân hàngĐông Dương là ngân hàng phát hành cho vay và chiết khấu” Ngoài hoạt độngtrên, ngân hàng Đông Dương còn được phát triển các nghiệp vụ như phát hànhséc, thư tín dụng, mở tài khoản tiền gửi thanh toán, nhận tiền ký thác, cho vaythế chấp phiếu cứ, phát hành cổ phiếu lập hội kinh doanh, điều khiển thị trườngchứng khoán, quản lý ngoại hối, kinh doanh hối đoái Trong thời kỳ này, hệthống tiền tệ, tín dụng được thiết lập và hoạt động chủ yếu phục vụ chính sáchcai trị của Nhà nước bảo hộ Pháp tại Việt Nam Trong suốt thời kỳ thuộc địa,

sự hình thành và phát triển của hệ thống tiền tệ, tín dụng đều do Chính phủPháp sắp xếp, toàn quyền, thông qua Ngân hàng Đông Dương, tổ chức thựchiện Ngân hàng Đông Dương vừa đóng vai trò là ngân hàng Trung ương trêntoàn cõi Đông Dương, vừa là ngân hàng thương mại Ngân hàng này là công cụphục vụ đắc lực chính sách thuộc địa của chính phủ Pháp và làm giàu cho tưbản Pháp

Tất cả những chính sách tài chính, đặc biệt là chính sách thuế đã đem lạimột món lợi khổng lồ cho bọn tư bản tài phiệt Pháp trong suốt những nămthống trị ở Việt Nam nhưng đồng thời nó cũng là gánh nặng đổ lên đầu nhândân lao động Việt Nam, mà hơn hết là đổ lên đầu những người nông dân đã vôcùng nghèo đói lại càng bị bần cùng hóa Bên cạnh những chính sách khai thácbóc lột bằng thuế khóa, thực dân Pháp cũng đã đầu tư vốn vào Việt Nam với

số lượng đáng kể Song số vốn này không nhằm phát triển kinh tế thuộc địa,nâng cao mức sống người dân mà chỉ nhằm: hoặc là xây dựng cơ sở hạ tầng,tạo điều kiện cho việc vơ vét, bóc lột, hoặc là đầu tư vốn vào các ngành kinh tếthuận lợi để thu lợi nhuận tối đa

Sau khi miền Nam được hoàn toàn giải phóng (năm 1975) và đất nước thốngnhất (năm 1976), chúng ta bắt đầu ngay khôi phục kinh tế bằng việc thực hiện

kế hoạch 5 năm lần thứ hai (1976-1980) và kế hoạch 5 năm lần thứ ba 1985) Do đó nền tài chính thời kỳ này phải phát huy tác dụng tích cực phục

(1981-vụ khôi phục kinh tế và bảo đảm công tác quản lý thu chi Ngân sách Nhà nướcđồng nhất giữa hai miền Bắc – Nam Và vấn đề được quan tâm đầu tiên theonghị quyết Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ IV là: “trước mắt, tài chính phảixây dựng được một ngân sách tích cực nhằm đảm bảo tốt kế hoạch phát triểnkinh tế và mở rộng các hoạt động văn hóa, xã hội Ở miền Nam, cần có chínhsách thuế đúng đắn, cân bằng, hợp lý, góp phần điều tiết các nguồn thu nhập.Cùng với việc thống nhất thị trường, giá cả, phải thống nhất chế độ tài chínhtrong cả nước” Để làm điều đó, Nhà nước đã chủ trương cải tiến về chính sáchđộng viên, thu chi ngân sách Từ đó nhằm quán triệt chế độ tập trung dân chủcủa tài chính Xã hội chủ nghĩa, thúc đẩy hạch toán kinh tế, tạo điều kiện chođịa phương và cơ sở có điều kiện về tài chính, chủ động sản xuất kinh doanh,nhất là trong hoàn cảnh khó khăn, mất cân đối, trì trệ

Đây cũng là thời kỳ xây dựng hệ thống ngân hàng mới của chính quyền cáchmạng; tiến hành thiết lập hệ thống ngân hàng thống nhất trong cả nước vàthanh lý hệ thống ngân hàng của chế độ cũ ở miền Nam Theo đó, Ngân hàngQuốc gia Việt Nam của chính quyền Việt Nam cộng hoà (ở miền Nam) đã đượcquốc hữu hoá và sáp nhập vào hệ thống Ngân hàng Nhà nước Việt Nam, tạothành hệ thống Ngân hàng Nhà nước duy nhất của cả nước, thực hiện nhiệm

vụ thống nhất tiền tệ trong cả nước, phát hành các loại tiền mới của nướcCHXHCN Việt Nam, thu hồi các loại tiền cũ ở cả hai miền Nam - Bắc vào năm

1978 Hệ thống tổ chức thống nhất của Ngân hàng Nhà nước bao gồm: Ngânhàng Trung ương đặt trụ sở chính tại thủ đô Hà Nội, các Chi nhánh Ngân hàngtại các tỉnh, thành phố và các chi điếm ngân hàng cơ sở tại các huyện, quậntrên phạm vi cả nước Đến cuối những năm 80, hệ thống Ngân hàng Nhà nước

về cơ bản vẫn hoạt động như là một công cụ ngân sách, chưa thực hiện các hoạtđộng kinh doanh tiền tệ theo nguyên tắc thị trường Sự thay đổi về chất tronghoạt động của hệ thống ngân hàng - chuyển dần sang hoạt động theo cơ chế thịtrường chỉ được bắt đầu khởi xướng từ cuối những năm 80, và kéo dài cho tớingày nay

1.3.3 Thị trường tài chính Việt Nam từ 1986 đến nay

Từ năm 1986 đến nay thị trường tài chính Việt Nam đã diễn ra nhiều sựkiện quan trọng, được thể hiện qua ba giai đoạn:

1.3.3.1 Giai đoạn 1986-1990

Đây là giai đoạn đầu của thời kỳ Đổi mới kinh tế với việc chủ yếu là đổimới cơ chế quản lý Trong thời gian này đã ban hành nhiều nghị quyết và quyếtđịnh của Đảng và Chính phủ nhằm cải tiến quản lý kinh tế, chính sách tiền tệ,chính sách nông nghiệp Thực hiện tách dần chức năng quản lý Nhà nước rakhỏi chức năng kinh doanh tiền tệ, tín dụng, chuyển hoạt động ngân hàng sanghạch toán, kinh doanh xã hội chủ nghĩa Cơ chế mới về hoạt động ngân hàng đãđược hình thành và hoàn thiện dần Tháng 5/1990, hai pháp lệnh Ngân hàng rađời (Pháp lệnh Ngân hàng Nhà nước Việt Nam và Pháp lệnh Ngân hàng, hợptác xã tín dụng và công ty tài chính ) đã chính thức chuyển cơ chế hoạt độngcủa hệ thống Ngân hàng Việt Nam từ 1 cấp sang 2 cấp Trong đó lần đầu tiênđối tượng nhiệm vụ và mục tiêu hoạt động của mỗi cấp được luật pháp phânbiệt rạch ròi:

+ Ngân hàng Nhà nước thực thi nhiệm vụ Quản lý nhà nước về hoạt độngkinh doanh tiền tệ, tín dụng, thanh toán, ngoại hối và ngân hàng; Thực thinhiệm vụ của một Ngân hàng Trung ương - là ngân hàng duy nhất đượcphát hành tiền; Là ngân hàng của các ngân hàng và là Ngân hàng của Nhànước; Ngân hàng Trung ương là cơ quan tổ chức việc điều hành chính sáchtiền tệ, lấy nhiệm vụ giữ ổn định giá trị đồng tiền làm mục tiêu chủ yếu vàchi phối căn bản các chính sách điều hành cụ thể đối với hệ thống các ngânhàng cấp 2

+ Cấp Ngân hàng kinh doanh thuộc lĩnh vực lưu thông tiền tệ, tín dụng,thanh toán, ngoại hối và dịch vụ ngân hàng trong toàn nền kinh tế quốcdân do các Định chế tài chính Ngân hàng và phi ngân hàng thực hiện Cùngvới quá trình đổi mới cơ chế vận hành trong hệ thống ngân hàng là quátrình ra đời hàng loạt các ngân hàng chuyên doanh cấp 2 với các loại hình

sở hữu khác nhau gồm Ngân hàng thương mại quốc doanh, cổ phần, Ngânhàng liên doanh, chi nhánh hoặc văn phòng đại diện của ngân hàng nước

ngoài, Hợp tác xã tín dụng, QTDND, công ty tài chính Trong thời giannày, 4 ngân hàng thương mại quốc doanh lớn đã được thành lập gồm: 1)Ngân hàng Nông nghiệp Việt Nam; 2) Ngân hàng đầu tư và phát triển ViệtNam; 3) Ngân hàng Công thương Việt Nam; 4) Ngân hàng ngoại thươngViệt Nam.

1.3.3.2 Giai đoạn 1991-2000

Đây là giai đoạn đầu, phôi thai cho một thị trường tài chính hoạt động theo

cơ chế thị trường Do chịu ảnh hưởng của một thời kỳ chiến tranh lâu dài, vàthời kỳ trước đổi mới, nền kinh tế ta hoạt động một cách quan liêu và bao cấpkém hiệu quả Sau đổi mới năm 1986, một thị trường tài chính Việt Nam đãdần dần thành hình Điển hình là qua những sự kiện như:

- Tháng 5/1990, Hội đồng Nhà nước đã thông qua và công bố hai pháp lệnh vềNgân hàng: Pháp lệnh ngân hàng nhà nước và Pháp lệnh ngân hàng, Hợp tác

xã tín dụng và Công ty tài chính Hai pháp lệnh nói trên đã tạo cơ sở pháp lý

để đổi mới cơ bản tổ chức và hoạt động của hệ thống ngân hàng, được coi làmũi đột phá mở đầu cho sự nghiệp đổi mới hệ thống ngân hàng, chính sáchtiền tệ, tín dụng trong giai đoạn 1990- 2000

- Về cổ phần hoá doanh nghiệp nhà nước: nhằm thu hút thêm các nguồn vốn,tạo nên động lực, ngăn chặn tiêu cực, thúc đẩy Doanh nghiệp Nhà nước làm

ăn có hiệu quả Văn kiện đại hội Đảng VII khẳng định “cần thực hiện cáchình thức cổ phần hoá có mức độ phù hợp với tính chất và lĩnh vực sản xuất-kinh doanh”

- Hệ thống bảo hiểm xã hội Việt Nam ra đời và bước vào hoạt động từ 1/10/1995đánh dấu một bước tiến quan trọng trong định hướng phát triển của Đảng

bạc, nghiệp vụ mở ) Tuy chưa có điều kiện phát triển nhưng hệ thống thịtrường tiền tệ đã góp phần tích cực trong việc khắc phục tình trạng ách tắccủa lưu thông, thanh toán, phân phối và điều chỉnh các nguồn vốn ở một mức

độ nhất định; đồng thời mở ra nhiều cơ hội kinh doanh cho các chủ thể kinhtế

Trong giai đoạn này, thị trường tài chính đã dần dần có những bước đột phá

và thành công nhất định Nhưng mức độ huy động vốn trong dân, và từ nướcngoài vẫn chiếm một tỷ lệ chưa cao

1.3.3.3 Giai đoạn từ năm 2000 cho đến nay

Cột mốc đánh dấu đáng chú ý nhất, có ảnh hưởng lớn nhất và đáng tự hàonhất của thị truờng tài chính Viêt Nam, đó chính là sự ra đời của thị trườngchứng khoán, một thị trường vốn- một kênh huy động vốn hiệu quả nhất chonền kinh tế Từ khi thị trường chứng khoán ra đời, đã tạo nên những bướcchuyển đổi và nhảy vọt quan trọng Thị trường tài chính lớn mạnh hơn, giúpđẩy mạnh công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước

Sau sở giao dịch chứng khoán TP.Hồ Chí Minh, rồi đến lượt trung tâm giaodịch chứng khoán Hà Nội ra đời, thị truờng tài chính lại bùng nổ với hàng loạtquỹ đầu tư trong nước và nước ngoài, các ngân hàng thương mại cổ phần nhiềuhơn, mức độ huy động vốn lớn hơn, tạo ra một sức mạnh lớn cho nền kinh tế.Uớc tính mức vốn hoá của thị trường chứng khoán hiện nay đã là 40 %GDP.Con số này sẽ ngày càng được tăng lên trong những thời gian tới Có thể nóirằng, chưa bao giờ thị truờng tài chính Việt Nam lại phát triển mạnh mẽ nhưlúc này

đã trình bày những vấn đề then chốt trong những nghiên cứu tổng quan về quátrình ngẫu nhiên thời gian liên tục vẫn còn được chấp nhận cho đến ngày nay.Xét không gian xác suất (Ω,F, P ) và một tập vô hạn (đếm được hoặc khôngđếm được) I, được gọi là tập chỉ số Chúng ta thường coi I là tập chỉ số thờigian với I = (−∞, +∞) hoặc I = [0, +∞) hoặc I = [0, 1] Ta có định nghĩa 2.1:Định nghĩa 2.1 Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên {X(t), t ∈ I} đượcgọi là quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục.

Bây giờ ta xét trường hợp I là tập đếm được , tức là I là hữu hạn hoặc vô

hạn đếm được Những ví dụ điển hình về tập đếm được là tập các số nguyên,tập các số nguyên không âm và tập các số hữu tỷ Do trên tất cả các tập vôhạn đếm được đều có thể xây dựng được ánh xạ 1-1 lên tập số tự nhiên nên tathường giả thiết I = {1, 2, 3, } hoặc I = N Ta có định nghĩa 2.2:

Định nghĩa 2.2 Họ đếm được các biến ngẫu nhiên {X(t).t ∈ I} được gọi làquá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc

Chúng ta đã gặp quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc là dãy các biến ngẫunhiên độc lập cùng phân phối X1, X2, X3, Ta thường ký hiệu quá trình ngẫunhiên bởi Xt hoặc Xn

Hình 2.1: Một vài thể hiện của quá trình ngẫu nhiên

Ví dụ 2.3 Giá cả được xem như quá trình ngẫu nhiên (với thời gian liên tục)Xét tài sản tài chính S mà giá của nó tại thời điểm t ký hiệu là St Tại thờiđiểm hiện tại t0 ta biết được giá trị St0 nhờ quan sát trên thị trường và nóichung không biết được St với t > t0 Giá St biến đổi phụ thuộc vào nhiều yếu tốngẫu nhiên như các tác động giá của sản phẩm khác, các xu hướng tăng trưởnghoặc suy thoái của các nền kinh tế thế giới, các diễn biến về nhu cầu tiêu dùngtrong và ngoài nước, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, các chính sách

của nhà nước, các diễn biến tâm lý nhà đầu tư Ta gom các yếu tố ngẫu nhiên

đó của tất cả các sản phẩm tài chính S trên thị trường vào một tập hợp cơ bản,

ký hiệu Ω mà mỗi phần tử ω của nó biểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó.Mỗi sự kiện xảy ra trong thị trường là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu

tố ngẫu nhiên Để đo lường một cách định lượng khả năng xảy ra các sự kiện

đó người ta dùng một loại thước đo là một độ đo xác suất P Độ đo đó chỉ đođược các sự kiện thuộc về một lớp F nào đó các sự kiện (F được xác định nhưmột σ-đại số) Mỗi sự kiện A thuộc vào lớp này (A ∈ F) được gọi là một biến

cố ngẫu nhiên và giá trị đo lường khả năng xảy ra sự kiện A đó là P (A)

Vậy ta có một không gian xác suất (Ω,F, P ) mà mỗi tài sản tài chính St làmột quá trình ngẫu nhiên xác định trên đó Với mỗi t, St còn phụ thuộc vàocác yếu tố ngẫu nhiên ω: S = S(ω, t)

Ví dụ 2.4 Dãy nhị phân ngẫu nhiên

Giả sử ξ là một số được lấy một cách ngẫu nhiên trong khoảng S = [0, 1] vàgiả sử b1, b2, là biểu diễn nhị phân của ξ:

Ví dụ 2.5 Các đường hình sin ngẫu nhiên

Giả sử ξ được chọn một cách ngẫu nhiên từ đoạn [−1; 1] Xác định quá trìnhngẫu nhiên thời gian liên tục X(t, ξ) như sau:

X(t, ξ) = ξ cos(2πt), −∞ < t < ∞

Các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên này là các đường hình sin với biên

độ ξ như được chỉ ra trong hình 2.2

Giả sử ξ được lấy ngẫu nhiên trong khoảng (−π, π) và giả sử Y (t, ξ) =cos(2πt + ξ) Các thể hiện của Y (t, ξ) là các biểu diễn dịch chuyển theo thờigian của cos 2πt như được chỉ ra trong hình 2.3

Hình 2.2: Các đường hình sin với

biên độ ngẫu nhiên

Hình 2.3: Các đường hình sin vớipha ngẫu nhiên

ngẫu nhiên quan trọng

Giả sử Xt1, Xt2, , Xtk là k biến ngẫu nhiên nhận được bởi việc lấy mẫuquá trình ngẫu nhiên X(t, ξ) tại các thời điểm t1, t2, , tk:

Xt1 = X(t1, ω), Xt2 = X(t2, ω), , Xtk = X(tk, ω),như được chỉ ra trong hình 2.1 Dáng điệu đồng thời của quá trình ngẫu nhiêntại k thời điểm này được xác định bởi phân phối đồng thời của vectơ ngẫu nhiên(Xt1, Xt2, , Xtk) Xác suất của một biến cố bất kỳ thuộc vào quá trình ngẫunhiên tại tất cả hoặc một số thời điểm có thể được tính từ hàm phân phối đồngthời khi sử dụng các phương pháp cho các vectơ ngẫu nhiên Như vậy một quátrình ngẫu nhiên được xác định hoàn toàn bởi tập các hàm phân phối đồng thờibậc k:

FX

t1,Xt2, ,Xtk(x1, x2, , xk) = P {Xt1 ≤ x1, Xt2 ≤ x2, , Xtk ≤ xk}với k bất kỳ và với các thời điểm mẫu t1, t2, , tk được chọn bất kỳ Chú ýrằng tập hợp các hàm phân phối đồng thời cần phải thoả mãn điều kiện là hàmphân phối đồng thời bậc thấp nhận được như là trường hợp riêng của các hàmphân phối bậc cao

Nếu quá trình ngẫu nhiên có giá trị rời rạc, khi đó tập các hàm phân phốixác suất có thể được dùng để đặc tả quá trình ngẫu nhiên là:

FXt1,Xt2, ,Xtk(x1, x2, , xk) = P {Xt1 = x1, Xt2 = x2, , Xtk = xk}.Nếu quá trình ngẫu nhiên có giá trị liên tục, khi đó tập các hàm mật độ xácsuất có thể được dùng thay thế: fXt1,Xt2, ,Xtk(x1, x2, , xk)

Trong thực tế, chúng ta sẽ thấy rằng hai quá trình cơ bản, quá trình Poisson

và quá trình Brown, thuộc lớp các quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập vàdừng

Định nghĩa 2.6 Quá trình ngẫu nhiên có gia số độc lập

Một quá trình ngẫu nhiên Xt được gọi là có số gia độc lập nếu với k bất kỳ

và các thời điểm mẫu t1 < t2 < < tk, được chọn bất kỳ, các biến ngẫu nhiên

Xt2 − Xt1, Xt3 − Xt2, , Xtk − Xtk−1 là các biến ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 2.7 Quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa hẹp

Quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc hoặc liên tục Xt là dừng nếu phânphối đồng thời của một tập bất kỳ các mẫu không phụ thuộc vào thời điểm bắtđầu

Nghĩa là hàm phân phối đồng thời của Xt1+τ, Xt2+τ, , Xtk+τ:

Định nghĩa 2.8 Quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng

Quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng nếu: mX(t) = E[Xt] là hằng sốvới mọi t và hàm tự hiệp phương sai (hàm tự tương quan) chỉ phụ thuộc vào

t1− t2 hay: CX(t1, t2) = Cov[Xt2, Xt1]CX(t1− t2), với mọi t1, t2

a) Không gian xác suất mà ta xét ở đây là (Ω, G, P ), ở đây

Ω = {tất cả các dãy gồm n toạ độ chứa H hoặc T}

với các kết cục là ω Chúng ta ký hiệu St và Bt lần lượt là giá của chứngkhoán mạo hiểm và của tài khoản không mạo hiểm tại thời điểm t ∈ I, với

I = {0, 1, 2, , n} Tại thời điểm t, sự chuyển động của St và Bt được xác địnhtheo công thức:

Cho trước B0 = 1, S0 và ở đây: u = 1/d, u > 1 + r > d

Dãy (St)t=0,1,2, ,n là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xácsuất (Ω, G, P ) Liên kết các quá trình ngẫu nhiên cho chúng ta thông tin về cácσ-đại số được tạo bởi các quá trình ngẫu nhiên cho tới thời điển đã cho.Ví dụ,với t ∈ I bất kỳ, chúng ta có thể xác định:

σ- đại số bé nhất chứa tất cả các σ-đại số sinh bởi S0, S1, , St σ-đại số Gt biểudiễn thông tin về các kết cục ω ∈ Ω mà ta có thể nhận được khi ta quan sát quátrình giá tới thời điểm t Rõ ràng: Gt ⊆ Gs ⇔ t ≤ s Do đó, dãy (Gt)t=0,1,2, ,ntạo thành một bộ lọc, bộ lọc được tạo bởi quá trình (St)t=0,1,2, ,n

b) σ-đại số con và thông tin từng phần:

Chúng ta lập mô hình thông tin từng phần về các kết cục riêng lẻ ω ∈ Ωhoặc về các biến cố riêng lẻ A ∈ G bằng cách dùng σ -đại số con của G

Ví dụ 2.9 Giả sử X là biến ngẫu nhiên trên (Ω, G) Khi đó σ(X) là σ-đại sốcon của G σ(X) biểu diễn thông tin từng phần về kết cục ω ∈ Ω mà ta có thểnhận được từ quan trắc X(ω) Trường hợp riêng, n=3 trong mô hình nhị thức

ở trên và giả sử kết cục ω = {T T T } Bởi việc quan sát S1, tức là dùng σ(S1)như là nguồn thông tin tốt, chúng có thể rút ra:

để biểu diễn ω ∈ Ω Cả hai σ(S1) và G3 là σ-đại số con của G, mà nó biểu diễncác phần thông tin khác nhau về ω ∈ Ω

Định nghĩa 2.10 (i) Biến cố A ∈ G được gọi là đo được theo σ-đại số con

G0 ⊂ G nếu A ∈ G0

(ii) Giả sử Gt là σ-đại số được tạo bởi quá trình giá tới thời điểm t Chúng

ta nói rằng A là được thực hiện nghĩa thông tin giá tới thời điểm t nếu

A ∈ Gt

Chú ý 2.11 Theo định nghĩa, thể hiện của biến cố A ∈ Gt theo nghĩa G0 là

đo được đối với σ-đại số G0 Cho biến cố A ∈ G, chúng ta có thể xác định nóbởi việc dùng duy nhất G0, tức là ta có thể nói rằng A được thực hiện nếu vàchỉ nếu A ∈ G0 Trường hợp riêng, trong mô hình nhị phân 3 – chu kỳ ở trên,chúng ta có thể xét biến cố A = {T T T }

Rõ ràng A /∈ σ(S1) bởi vì khi dùng σ(S1) chúng ta không biết giá trị của lầntung thứ 2 và thứ 3 Bởi vậy, A không phải là được thực hiện theo nghĩa σ(S1),tức là nó không được thực hiện theo thông tin giá tới thời điểm 1 Hơn nữa,

tức là A được thực hiên theo thông tin giá của các quá trình có hiệu lực tới thờiđiểm t = 3

G0 ∈ σ(X) có thể xảy ra tình huống chúng ta không thể xác định đầy đủ giátrị X(ω) với kết cục đơn ω ∈ A Đặc biệt, có thể dẫn tới thông tin trong G0 chỉcho phép xác định biến cố không phải là biến cố sơ cấp B ∈B(R):

ω ∈ X−1(B) tức là X(ω) ∈ B (2.1)

Trong trường hợp này, thông tin tập G0 không cho ta đủ điều kiện để xácđịnh giá trị chính xác của X(ω) với ω ∈ A Như vậy, mục tiêu trong tình huốngnày là đưa ra giá trị dự báo phù hợp E(X|G0) cho giá trị chưa biết X(ω) dựavào thông tin trên G0 Chúng ta sẽ gọi E(X|G0) là kỳ vọng có điều kiện của Xvới điều kiện G0 Điều cần thiết đầu tiên đối với nó phải là hàm G0-đo được.Hơn nữa E(X|G0) phải là một ước lượng không chệch cho X trên tập tất cả cáctập A ∈ G0:

Nhận xét 2.13 (i) E(X|G0) tồn tại nghĩa là X ∈ L1(P ); điều này là hệ

quả của định lý Radon – Nykodin

(ii) Biến ngẫu nhiên E(X|G0) là duy nhất trên tập có xác suất 0 Một cáchchính xác, nếu Y và Z là hai biến ngẫu nhiên G0-đo được thoả mãn haiđiều kiện trong định nghĩa trên, thì: P (Y = Z) = 1

Ví dụ 2.14 (i) Nếu G0 = {∅, Ω}, khi đó E(X|G0) = E(X)1Ω, nghĩa là kỳ vọng

có điều kiện trên các tập thông tin tầm thường bằng kỳ vọng không điều kiện.Hơn nữa, E(X|G0) = E(X)1Ω là G0-đo được và

(ii) Nếu X là G0-đo được khi đó E(X|G0) = X, nghĩa là nếu tập thông tinđiều kiện đủ để xác định X hoàn toàn thì kỳ vọng có điều kiện của một biếnngẫu nhiên là chính biến ngẫu nhiên đó Hơn nữa, khi đó

2 Với a, b ∈R bất kỳ, E(aX + bY |G0) = aE(X|G0) + bE(Y |G0)

3 Nếu X ≥ 0 khi đó E(X|G0) ≥ 0 với xác suất 1

4 Với σ-đại số con bất kỳ H ⊂ G0: E(E(X|G0)|H) = E(X|H)

5 Nếu σ(X) trực giao với G0 khi đó E(X|G0) = E(X)1Ω

6 Nếu V là biến ngẫu nhiên G0-đo được, X ∈ L1(P ), khi đó:

E(V X|G0) = V E(X|G0)

Ví dụ 2.16 Trong mô hình nhị phân n – chu kỳ chúng ta có

E(S1|σ(S1)) = S1,bởi tính σ(S1)-đo được của S1, còn S2 không phải là σ(S1)-đo được Hơn nữa,chúng ta biết rằng σ(S2/S1) trực giao với σ(S1) Hơn nữa,

Từ đó với cùng một cách lý luận, ta có:

E(St|Gt−1) = St−1[pu + (1 − p)d]

Cuối cùng, tính chất sau nhận được bởi quá trình tích phân lặp.

số ví dụ đầu tiên của quá trình martingal

Định nghĩa 2.17 (i) Giả sử G∗ := (Gt)t=0,1, là một lọc trên (Ω, G, P ) Bộbốn (Ω, G, G∗, P ) được gọi là không gian xác suất có lọc

(ii) Quá trình ngẫu nhiên X := (Xt)t=0,1, trên không gian xác suất có lọc(Ω, G, G∗, P ) được hiệu chỉnh (là G∗-hiệu chỉnh) nếu với bất kỳ t = 0, 1, , nbiến ngẫu nhiên Xt là Gt-đo được

(iii) Một quá trình G∗-hiệu chỉnh là martingal nếu với bất kỳ t = 0, 1, , n−1

E(St|Gt−1) = St−1[pu + (1 − p)d]

Do đó, chỉ độ đo xác suất nhị thức mà trên đó quá trình giá chứng khoán

là một martingal thỏa mãn điều kiện

pu + (1 − p)d = 1 tức là p = 1 − d

Các xác suất nhị thức mà p > (1 − d)/(u − d) (p < (1 − d)/(u − d)) dẫn tớiquá trình giá chứng khoán là martingal trên

Điều kiện martingal là một điều kiện mạnh đối với một quá trình ngẫu nhiên,

mà quá trình ngẫu nhiên đó có liên hệ mạnh với quá trình ngẫu nhiên khác.Điều này được chỉ ra rõ ràng hơn trong mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.19 Giả sử G := (Gt)t=0,1,2, ,n là một martingal trên không gianxác suất có lọc (Ω, G, G∗, P ) Khi đó

(i) Với t, s ∈ {0, 1, 2, , n} bất kỳ thỏa mãn s ≥ t: Xt = E(Xs|Gt)

(ii) Nếu (Yt)t=0,1, ,n là một martingal, thêm nữa trên không gian xác suất

có lọc (Ω, G, G∗, P ) thỏa mãn Yn = Xn khi đó Yt = Xt hầu khắp nơi vớitất cả t ∈ {0, 1, 2, , n}

Chứng minh Sử dụng liên tiếp tính chất của martingal suy ra

Xt = E(Xt+1|Gt) = E(E(Xt+2|Gt+1)|Gt) = E(Xt+2|Gt)

= = E(Xt+k|Gt)với mọi k = s − t

(ii) Từ phần (i) ta có Xt = E(Xn|Gt) = E(Yn|Gt) = Yt Điều này suy racông thức cần chứng minh

• (Gt)t=0, ,n là một lọc tạo bởi một quá trình giá chứng khoán (St)t=0, ,n;

• Độ đo xác suất nhị thức trên (Ω, F ) là nhận được bởi quy tắc xác địnhsau với p ∈ (0, 1) nào đó,

với điều kiện u = 1/d, u > 1 + r > d trong mô hình nhị thức một chu kỳ

Giá chứng khoán được xác định theo nguyên tắc sau,

Định nghĩa 2.20 Quá trình ngẫu nhiên (St/Bt)t=0, ,n được gọi là quá trìnhgiá chứng khoán chiết khấu

Quá trình được giới thiệu ở đây có thể được biểu diễn qua quá trình (St)t=0, ,ntheo công thức sau (với giả thiết B0 = 1):

St

Bt =

1(1 + r)tSt.Mệnh đề sau chỉ ra rằng với độ đo hiệu chỉnh sự mạo hiểm eP quá trình giáchiết khấu là một martingal

Mệnh đề 2.21 Quá trình giá chiết khấu (St/Bt, Gt)t=0, ,n là một martingalvới xác suất eP

Chứng minh Do Bt là tất định, nên St/Bt là Gt-martingal nếu và chỉ nếu St

là Gt-đo được Bởi vậy (St/Bt, Gt)t=0, ,n là một quá trình hiệu chỉnh Ngoàira,

e

E St+1

Bt+1

Gt



do ta sử dụng tính Gt-đo được của St/Bt Từ đó, (St/Bt, Gt)t=0, ,n là mộtmartingal với độ đo xác suất hiệu chỉnh eP nếu và chỉ nếu

e

E St+1

St

ở đây ta sử dụng tính độc lập của số gia nhị thức trong đẳng thức thứ nhất

và công thức của p trong đẳng thức thứ hai Từ đó ta suy ra điều phải chứngeminh

Tính chất martingal của quá trình giá có khấu trừ với độ đo eP vẫn đúngvới trường hợp danh mục đầu tư tự chủ tài chính năng động, tức là danh mụcđầu tư được cân đối tại thời điểm bất kỳ bằng cách chỉ sử dụng lợi nhuân trongquá khứ Điều này là rất quan trọng cho việc định giá của một phái sinh, bởi

vì danh mục đầu tư bảo hiểm rủi ro là trường hợp riêng của danh mục đầu tư

tự chủ tài chính

Định nghĩa 2.22 (i) Một quá trình hiệu chỉnh (∆t, Gt)t=0, ,n với quá trìnhgiá trị (Xt)t=0, ,n xác định quá trình danh mục đầu tư nếu ∆t là số chứngkhoán tại thời điểm t trong danh mục đầu tư và (Xt − ∆tSt)/Bt là số lượngtiền trong tài khoản

(ii) Một danh mục đầu tư tự chủ tài chính là một cơ hội kinh doanh chứngkhoán nếu X0 = 0 và Xn ≥ 0, P (Xn > 0) > 0

Chú ý 2.23 (i) Điều kiện tự hiệu chỉnh đối với quá trình danh mục đầu tưđảm bảo rằng tại thời điểm t bất kỳ số chứng khoán trong danh mục đầu tưđược xác định bằng cách chỉ dùng các thông tin sẵn có tại thời điểm t

(ii) Điều kiện tự chủ tài chính của danh mục đầu tư tự chủ tài chính chỉ rarằng giá trị của danh mục đầu tư Xt+1 tại thời điểm t + 1 cần phải nhận đượcbằng cách lấy tổng số chứng khoán và số tiền trong tài khoản tại thời điểm tđược tính theo giá ở thời điểm t + 1

Xt+1 = ∆tSt+1+ (Xt − ∆tSt)(1 + r) = ∆t· St+1+ Xt− ∆tSt

Bt · Bt+1,

trong đó: ∆t là số lượng chứng khoán; St+1 là giá chứng khoán; Xt− ∆tSt

Bt là

số trái phiếu; Bt+1 là giá trái phiếu

(iii) Điều kiện tự chủ tài chính của danh mục đầu tư tự chủ tài chính suy rarằng quá trình giá trị (Xt, Gt)t=0, ,n của danh mục đầu tư tự chủ tài chính làquá trình tự hiệu chỉnh Hơn nữa, với t = 0, , n − 1 bất kỳ,

Xt+1 = ∆tSt+1+ (Xt− ∆tSt)(1 + r),tức Xt+1 là tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên Gt+1-đo được, và do đó

Mệnh đề 2.24 Quá trình danh mục đầu tư được khấu trừ (St/Bt, Gt)t=0,1,2, ,ncủa quá trình danh mục đầu tư tự chủ tài chính (∆t, Gt)t=0, ,n là một martingalvới độ đo xác suất hiệu chỉnh eP

Chứng minh Chúng ta đã chứng tỏ rằng (Xt, Gt)t=0, ,n là một quá trình hiệuchỉnh Do đó, phần còn lại chỉ cần chứng minh quá trình giá trị khấu trừ(Xt/Bt, Gt)t=0, ,n thỏa mãn điều kiện martingal

ở đây chúng ta sử dụng định nghĩa tự chủ tài chính trong đẳng thức đầu, tính

Gt-đo được của ∆t/Bt+1 và tính tuyến tính của kỳ vọng có điều kiện trong đẳngthức thứ hai, sử dụng tính Gt-đo được của Xt/Bt Như vậy, (Xt/Bt, Gt)t=0, ,nthỏa mãn điều kiện martingal nếu và chỉ nếu,

eE(St+1− St(1 + r)|Gt) = 0

Ví dụ 2.25 (Quá trình chuyển động Brown thời gian rời rạc)

Giả sử Y := (Yt)t=0, ,n là dãy các biến ngẫu nhiên với phân phối chuẩn

và là quá trình thời gian rời rạc tương tự như quá trình chuyển động Brownthời gian rời rạc Chúng ta ngay lập tức nhận được tính chất sau của quá trìnhchuyển động Brown thời gian rời rạc:

Tiếp theo, chúng ta đặt Gt := σ(Y1, Y2, , Yt), σ-đại số được tạo bởi quátrình Y tới thời điểm t Chú ý rằng, chúng ta có

Y1 = Z1, Y2 = Z2− Z1, , Yn = Zn− Zn−1.Bởi vậy, σ-đại số được tạo bởi quá trình Y và bởi quá trình (Zt)t=0, ,n tớithời điểm t là như nhau Điều này suy ra rằng Zt là Gt-đo được và (Zt)t=0, ,n

là (Gt)t=0, ,n Thêm nữa, với các chỉ số thời gian s > t tùy ý, chúng ta có

E(Zs|Gt) = E(Zs − Zt+ Zt|Gt) = E(Zs − Zt|Gt) + Zt = Zt

Tức là quá trình chuyển động Brown thời gian rời rạc là một quá trìnhmartingal

Có một số ví dụ nữa về quá trình martingal nhận được bằng cách xét một

số tính năm của quá trình chuyển động Brown thời gian rời rạc

Ví dụ 2.26 Giả sử (Zt, Gt)t=0, là quá trình chuyển động Brown thời gianrời rạc Với quá trình hiệu chỉnh (Xt, Gt)t=0, := (Zt2, Gt)t=0, và với s > t tacó

Ví dụ sau về tính năng của chuyển động Brown cho ta một quá trình tingal là quá trình chuyển động Brown thời gian rời rạc có phân phối mũ

mar-Ví dụ 2.27 (Chuyển động Brown có phân phối mũ)

... danh mục đầu tư tự chủ tài động, tức danh mụcđầu tư cân đối thời điểm cách sử dụng lợi nhuân trongquá khứ Điều quan trọng cho việc định giá phái sinh,

vì danh mục đầu tư bảo hiểm rủi ro trường... Bt+1 giá trái phiếu

(iii) Điều kiện tự chủ tài danh mục đầu tư tự chủ tài suy rarằng q trình giá trị (Xt, Gt)t=0, ,n danh mục đầu tư tự chủ tài l? ?quá trình. .. chỉnh trình danh mục đầu tư? ?ảm bảo thời điểm t số chứng khoán danh mục đầu tư? ?ược xác định cách dùng thơng tin sẵn có thời điểm t

(ii) Điều kiện tự chủ tài danh mục đầu tư tự chủ tài rarằng