3 Các mô hình đánh giá rủi ro trong đầu tư tài chính
3.3.1 Định nghĩa quá trình Cramer-Lundberg
Trong một danh mục đầu tư của hợp đồng bảo hiểm, các khoản thanh toán phí bảo hiểm phải được kéo dài theo các năm. Do đó nguồn thu bảo hiểm là liên tục theo thời gian và tỷ lệ thuận với độ dài thời gian. Điều này dẫn đến mô hình sau đây cho thặng dư của một danh mục đầu tư bảo hiểm
Ut =u+ct−
Nt
X
i=1
Yi,
trong đó u là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm, c là phí suất bảo hiểm (mà khách hàng phải đóng), Nt là số lượng khiếu kiện (số yêu cầu đòi bồi thường) của khách hàng trong khoảng thời gian (0, t], Nt ∼ P(λ), Yi là số tiền đòi trả bảo hiểm thứ i.
Mô hình này được gọi là quá trình Cramer - Lundberg hay quá trình rủi ro cổ điển.
Chú ý 3.6. Khi Ut > 0 thì công ty bảo hiểm mới có lãi, ngược lại nếu Ut < 0
thì có sự cố “thiệt hại”. Nếu Nt = 0 thì Ut = u+c·t. 3.3.2 Mô hình Cramer-Lundberg
Một quá trình Cramer - Lundberg thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Các số tiền đòi trả bảo hiểm (Yi)i∈N∗ là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng µ và phương sai hữu hạn σ2;
ii) Các yêu cầu đòi bồi thường xảy ra tại các thời điểm ngẫu nhiên T0 = 0, T1, ..., sao cho 0< T1 < T2 < . . . hầu chắc chắn;
iii) Nt được định nghĩa bởi Nt = sup{n ≥ 1 : Tn ≤ t}, t ≥ 0 (quy ước
sup∅= 0).
iv) Khoảng thời gian giữa hai yêu cầu liên tiếp
ξk = Tk −Tk−1 (k = 2, Nt)
ξ1 = T1
là các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối mũ với kỳ vọng hữu hạn 1/λ;
v) Dãy các biến ngẫu nhiên (Yk), (ξk) độc lập với nhau; thì được gọi là một mô hình Cramer -Lundberg.
Chú ý 3.7. Nếu thay điều kiện iv) bởi điều kiện: Các biến ngẫu nhiên (ξk)
(k = 1, Nt) độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng hữu hạn là 1/λ thì ta có một mô hình khác gọi là mô hình đổi mới.
3.3.3 Xác suất thiệt hại và ước lượng xác suất thiệt hạiĐịnh nghĩa 3.8. (Thời điểm thiệt hại) Thời điểm thiệt hại τ(T) là một