Quá trình ARMA

3 Các mô hình đánh giá rủi ro trong đầu tư tài chính

3.2.1 Quá trình ARMA

3.2.1.1 Quá trình tự hồi quy

Định nghĩa 3.1. Người ta gọi quá trình ngẫu nhiên {Xt, t ∈ Z} là một quá trình tự hồi quy cấp p, viết là Xt ∼AR(p), là quá trình dừng thỏa mãn

với {εt} là một ồn trắng.

Ta có thể viết biểu thức của quá trình tự hồi quy ở trên bởi công thức Xt −a1Xt−1−a2Xt−2−. . .−apXt−p =εt, ap 6= 0

hay ở dạng toán tử:

a(z) = 1−a1z−a2z2−. . .−apzp.

Chú ý 3.2. Nếu đa thức a(z) ở trên có nghiệm nằm ngoài hình tròn đơn vị

(|z| > 1) thì Xt được gọi là quá trình nhân quả tự hồi quy cấp p và nói chung ta chỉ xét các quá trình nhân quả.

Các đặc trưng của quá trình tự hồi quy cấp p: E(Xt) = 0, γ(0) = p X i=1 aiγ(i) +σ2, ρ(h)− p X i=1 aiρ(h−i) = 0, với mọi h > 0. Lần lượt cho h = 1,2, ..., p ta được

         1 ρ(1) . . . ρ(p−2) ρ(p−1) ρ(1) 1 . . . ρ(p−3) ρ(p−2) . . . . ρ(p−2) ρ(p−3) . . . 1 ρ(1) ρ(p−1) ρ(p−2) . . . ρ(1) 1                   a1 a2 . . . ap−1 ap          =          ρ(1) ρ(2) . . . ρ(p−1) ρ(p)         

Hệ phương trình trên gọi là hệ phương trình Jule - Walker, song tuyến đối với avàρ. Nghĩa là nếu choρta sẽ tính đượca và ngược lại choata cũng sẽ tính được ρ. Trong hệ phương trình Jule - Walker, nếu ta đặt φpi =ai, i= 1,2, ..., p thì hệ phương trình Jule - Walker tương đương với

ρ(j) =

p

X

i=1

φpiρ(j−i), j = 1,2, ..., p.

Đại lượng φpp ở trên được gọi là tự tương quan riêng cấp p của quá trình

{Xt}, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc xác định bậc của quá trình tự hồi quy cũng như việc ước lượng tham số mô hình tự hồi quy sau này.

Trong việc thực tế, khi cho chuỗi quan sát X := {xt, t = 1,2, ..., n} thì ta dùng công thức của tương quan mẫu để tính các r(i), là các giá trị xấp xỉ của ρ(i). Khi đã có các tự tương quan mẫu, ta thay vào hệ phương trình Jule - Walker và giải nó để tìm các tham số ai. Từ đây ta cũng xác định được tương quan riêng φp1, ..., φpp.

3.2.1.2 Quá trình trung bình trượt

Định nghĩa 3.3. Một quá trình trung bình trượt cấp q, ký hiệu Xt ∼ M A(q), là một quá trình {Xt, t∈ Z} thỏa mãn biểu thức:

Xt = εt+b1εt−1+. . .+bqεt−q, b1, ..., bq ∈ R, bq 6= 0, với {εt} là một ồn trắng.

Ta cũng có thể viết biểu thức trung bình trượt ở trên dưói dạng toán tử lùi tương tự như đối với quá trình tự hồi quy như sau :

Xt = b(B)εt, trong đó hàm b(·) định nghĩa bởi

b(z) := 1 +b1z+. . .+bqzq. Ở đây b(z) được gọi là đa thức trung bình trượt.

Chú ý 3.4. Khác với quá trình AR, biểu thức trên luôn xác định duy nhất một quá trình MA mà không đòi hỏi thêm điều kiện gì đối với các hệ số bi. Và với giả thiết εt là ồn trắng ta có b(z)Ψ(z) = 1. Và khi đó εt có thể biểu diễn dưới dạng εt = +∞ X j=−∞ ψjXt−j, Ψ(z) = j=+∞ X j=−∞ ψjzj, +∞ X j=−∞ |ψj|< ∞.

Một chú ý nữa, cũng giống như trường hợp AR, nếu đa thức trung bình trượt b(z) không có nghiệm có môđun bằng 1 thì ta có thể biểu diễn Xt dưới dạng sau: Xt =− ∞ X j=1 ψjXt−j +εt, +∞ X j=−∞ |ψj| < ∞.

Và có thể xác định ψj bằng cách chia 1(theo lũy thừa tăng) cho b(z), (ψ0 = 1). Khi quá trình Xt có thể biểu diễn ở dạng trên, tức là khi b(z) chỉ có nghiệm có môđun lớn hơn 1 thì ta nói Xt là một quá trình khả nghịch. Và từ nay về sau nếu không nói gì thêm thì khi nói về các quá trình AR và MA chúng ta hiểu đó là các quá trình nhân quả và khả nghịch.

3.2.1.3 Quá trình tự hồi quy trung bình trượt ARMA (p, q)

Định nghĩa 3.5. Một quá trình {Xt, t ∈ Z} được gọi là quá trình tự hồi quy trung bình trượt cấp p, q, ký hiệu Xt ∼ ARM A(p, q) nếu nó có dạng:

Xt = a1Xt−1+· · ·+apXt−p +εt +b1εt−1+. . .+bqεt−q,

trong đó εt là ồn trắng (nhiễu trắng), a(·) là đa thức tự hồi quy bậc p, b(·) là đa thức trung bình trượt bậc q.

a(z) = 1−a1z−. . .−apzp b(z) = 1 +b1z+. . .+bqzq.

Khi đó, ta có thể viết quá trình ARMA ở dạng toán tử sau: a(B)Xt = b(B)εt.

Ước lượng tham số mô hình ARMA:

Giả sử cần ước lượng các tham số của mô hình ARMA(p,q): Xt = a1Xt−1+. . .+apXt−p +εt +b1εt−1+. . .+bqεt−q, với a1, ..., ap, b1, ..., bq ∈ R, ap 6= 0, bq 6= 0 và εt đóng vai trò là sai số.

Đối với mô hình ARMA cũng có nhiều phương pháp ước lượng tham số hiệu quả và được nêu chi tiết trong P.Brockwell, R.David, 2001. Dưới đây ta sẽ xem xét phương pháp bình phương cực tiểu theo kiểu thuật toán Hannan-Rissanen. Ý tưởng của thuật toán này là sử dụng hồi quy tuyến tính để ước lượng tham số. Nếu q >0 ta còn phải ước lượng các giá trị chưa biết εt.

Thuật toán Hannan-Rissanen:

Bước 1: Dùng ước lượng Yule Walker để ước lượng các tham số mô hình AR(m) với m >max(p, q): Xt = a1Xt−1+. . .+amXt−m+εt, t= m+ 1, ..., n.

Bước 2: Ước lượng các vectơ tham số β = (a1, ..., ap, b1, ..., bq)t trên cơ sở cực tiểu hóa hàm S(β) = n X t=m+q+1 (xt−a1xt−1−. . .−apxt−p −b1εt−1−. . .−bqεt−q)2 theo β. Giải hệ Gauss-Markov, kết quả thu được ở dạng sau: βˆ = (ZtZ)−1ZtXn. Ta cũng có thể dùng phương pháp trực giao hóa Househoder để tìm. Ở đây, Xn = (Xm+1+q, ..., Xn) và Z =       Xm+q Xm+q+1 . . . Xm+q+1−p εm+q εm+q−1 . . . εm+1 Xm+q+1 Xm+q+2 . . . Xm+q+2−p εm+q+1 εm+q . . . εm+2 . . . . Xn−1 Xn−2 . . . Xn−p εn−2 εn−3 . . . εn−q      

Ước lượng Hannan-Rissanen cho phương sai của εt là: σˆ2HR = S( ˆβ)

n−m−q.

3.2.2 Mô hình ARIMA

Khái niệm sai phân: Sai phân chỉ sự khác nhau giữa giá trị hiện tại và giá trị trước đó.

Ví dụ, với chuỗi dữ liệuXt, sai phân cấp0của Xt chính là dữ liệu gốcXt. Sai phân cấp 1của Xt là:Yt = Xt−Xt−1. Sai phân cấp2của Xt là: Zt = Yt−Yt−1. Sai phân cấp d của Xt, ký hiệu là Dd(Xt) = D(Xt−1). Khi chuỗi dữ liệu có dạng

Yt =Yt−1+Ut,

với Ut là nhiễu trắng thì Yt được gọi là di động ngẫu nhiên. Trong trường hợp này, sai phân cấp 1 của Yt là D(Yt) = Yt −Yt−1 = Ut, là chuỗi dừng (do Ut là nhiễu trắng). Với trường hợp tổng quát, người ta chỉ ra được rằng luôn luôn tồn tại một giá trị được xác định để sai phân cấp d của một chuỗi Xt là chuỗi dừng.

Mô hình ARIMA (p, d, q):

Một chuỗi thời gian dừng ở sai phân bậc d ta nói chuỗi liên kết bậc d, ký hiệu I(d), kết hợp với quá trình ARMA ta có mô hình trung bình trượt, đồng liên kết, tự hồi quy ARIMA (p, d, q) với p là số hạng tự hồi quy, q là số hạng

trung bình trượt và cần lấy sai phân bậc d để chuỗi dừng. Hay nói ngắn gọn thì đây chính là mô hình ARMA(p, q) cho sai phân bậc d của biến cần dự báo. Phương trình tổng quát

Dd(Xt) = a1Dd(Xt−1) +. . .+apDd(Xt−p) +εt+b1εt−1+. . .+bqεt−q. Phương pháp Box - Jenkins (BJ): giúp xác định các giá trị p, d, q và mô hình phù hợp. Phương pháp này gồm 4 bước: nhận dạng, ước lượng, kiểm tra và dự báo.

Bước 1. Nhận dạng: (xác định các giá trị p, d, q) + d: là số lần cần lấy sai phân để chuỗi dừng.

+ p, q: được xác định chủ yếu dựa vào lược đồ tương quan và tương quan riêng phần của chuỗi đã chủ yếu được biến đổi thành chuỗi dừng.

Bước 2. Ước lượng: (tính toán các tham số ai, bj của mô hình) sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu hoặc các phương pháp ước lượng phi tuyến, ta có thể thực hiện dễ dàng điều này với sự trợ giúp của các phần mềm thống kê.

Bước 3. Kiểm tra: Để kiểm tra tính phù hợp của mô hình, ta kiểm tra xem phần dư của mô hình phải là ồn trắng không ? Nếu không phải thì mô hình lựa chọn là không phù hợp, ta quay lại bước 1. Tuy nhiên, một chuỗi dữ liệu có thể phù hợp với nhiều mô hình ARIMA khác nhau, do đó ta cần thử nhiều mô hình để chọn được mô hình phù hợp nhất.

Bước 4. Dự báo: Khi mô hình thích hợp với dữ liệu đã tìm được, ta sẽ thực hiện dự báo tại thời điểm tiếp theo t+ 1. Do đó, mô hình ARMA(p, q):

Xt+1 = a1Xt+. . .+apXt−p+1+εt+1+b1εt +. . .+bqεt−q+1.

Nhận xét về mô hình:

Ưu điểm: Mô hình này được ứng dụng nhiều và khá thành công trong các dự báo tài chính, chẳng hạn dự báo giá cổ phiếu, chứng khoán, giá vàng, ... Trong nhiều trường hợp thì các dự báo thu được từ phương pháp này tin cậy hơn so với các dự báo từ phương pháp lập mô hình kinh tế lượng truyền thống, đặc biệt là đối với dự báo ngắn hạn. Với tính linh hoạt, tiết kiệm và khả năng dự báo tốt, mô hình ARIMA đã được sử dụng rộng rãi trên toàn thế giới, tuy

Sơ đồ mô tả phương pháp Box -Jenkins

nhiên cần có sự xem xét cẩn thận trong từng trường hợp để đạt được kết quả tốt nhất.

Nhược điểm:

- Số quan sát cần cho dự báo phải lớn, thông thường để xây dựng mô hình ARIMA cần trên 60 quan sát.

- Chỉ dùng để dự báo ngắn hạn. Do ARIMA dự báo giá trị thời kỳ sau chỉ dựa trên dãy số liệu các thời kỳ trước nên giá trị dự báo có dao động tắt dần. Dự báo cho các chu kỳ xa chỉ còn là hằng số ứng với giá trị trung bình của chuỗi dừng. Thông thường chỉ dùng ARIMA dự báo cho một đến hai giai đoạn.

- Không thể đưa các ảnh hưởng nhân quả của các biến số kinh tế của thời kỳ cần dự báo vào mô hình. Ý tưởng của ARIMA là mô phỏng diễn biến của biến số cần dự báo theo diễn biến trong quá khứ với giả định là điều kiện ảnh hưởng đến quá trình ngẫu nhiên của biến số cần dự báo không đổi. Vậy nếu thời kỳ hiện tại có bối cảnh hoàn toàn khác với quá khứ thì không thể dùng ARIMA.

- Xây dựng mô hình ARIMA theo phương pháp luận Box - Jenkins có tính chất nghệ thuật hơn là khoa học, hơn nữa kỹ thuật và khối lượng tính toán khá lớn nên đòi hỏi phải có phần mềm kinh tế lượng chuyên dùng.