Phương pháp mô phỏng monte carlo và ứng dụng vào toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hồng Thị Hồng Minh PHƯƠNG PHÁP MƠ PHỎNG MONTE CARLO VÀ ỨNG DỤNG VÀO TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2012 Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp mô Monte Carlo 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 Các cách cải tiến phương pháp Monte 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 Các trình ngẫu nhiên với thời gian 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.4 Mô nghiệm phương trìn 1.4.1 1.4.2 Ứng dụng phương pháp Monte Carlo vào mơ hình tài 2.1 Một số mơ hình tài Mơ hình Black - Scholes 2.1.1 2.1.2 i MỤC LỤC 2.2 Định nghĩa quyền chọn lý 2.2.1 2.2.2 2.3 Định giá quyền chọn phương p hình Black - Scholes 2.4 Những hạn chế mơ hình B Kết luận Phụ lục Tài liệu tham khảo ii Lời nói đầu Ngày nay, mơ số chiếm vị trí quan trọng nghiên cứu khoa học, bao gồm mặt lý thuyết thực nghiệm Với phát triển nhanh ngày phức tạp ngành khoa học nói chung tốn tài nói riêng, phương pháp lý thuyết gặp nhiều khó khăn, lẽ thường sử dụng tới phép tính gần Mơ số kiểm chứng phép tính gần từ lý thuyết, từ góp phần hạn chế sai số Các kết định lượng để mơ số cịn sử dụng để so sánh với kết nghiên cứu thực nghiệm Ngồi ra, mơ cịn xem bước "số hóa thực nghiệm", tiến hành trước bước thực nghiệm để thu kết tốt hơn, tiết kiệm chi phí cho lần thực nghiệm Một phương pháp mô phổ biến ứng dụng tốn tài phương pháp Monte Carlo với giúp đỡ máy tính Tên gọi "phương pháp Monte Carlo" xuất từ điển toán học vào năm 1949-1950, đời năm 1943-1944 gần thời với máy tính điện tử Mỹ, giới thiệu vào nước ta từ năm 1963-1964, thực áp dụng phổ biến từ sau năm 1975-1977 Phương pháp Monte Carlo phương pháp thường dùng để mô tượng xác suất, tượng khơng thay đổi đặc tính theo thời gian, sử dụng để tính tốn biểu thức không theo xác suất cách sử dụng phương pháp theo xác suất Phương pháp mô Monte Carlo ứng dụng phổ biến ngành công nghiệp tài bảo hiểm Nó cơng cụ cần thiết cho kỹ sư chun gia tính tốn tài phải tính tốn loại giá hay tính tốn rủi ro phức tạp Do đó, tác giả chọn cách tiếp cận kết hợp trình bày lý thuyết phương pháp mô Monte Carlo, cách cải tiến ứng dụng việc mơ nghiệm trình vi phân ngẫu nhiên, ứng dụng để định giá quyền chọn lĩnh vực tốn tài Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, tác giả giới thiệu phương pháp mô Monte Carlo, định lí bản, trình bày phương pháp khác để tăng tốc độ tính tốn mà gọi MỤC LỤC chung phương pháp giảm phương sai Tiếp theo, tác giả trình bày kiến thức trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục mô Monte Carlo cho chuyển động Brown Ngồi ra, tác giả cịn mơ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên phương pháp xấp xỉ Milstein xấp xỉ Euler-Maruyama Chương 2: Ứng dụng phương pháp Monte Carlo vào mơ hình tốn tài Trong chương này, tác giả chủ yếu đề cập đến mơ hình Black Scholes, khung giá cổ phiếu kiểu mơ hình Black - Scholes Tác giả trình bày cách xác định hệ số thị trường chứng khoán (m: tỉ lệ trung bình giá cổ phiếu luân chuyển; s: độ biến động giá cổ phiếu) Tác giả trình bày hai loại định giá quyền chọn, quyền chọn bán quyền chọn mua, lý thuyết Tác giả thu thập liệu thật giá cổ phiếu dùng nhiều phương pháp khác để tính tốn sau so sánh kết chạy máy với kết lý thuyết chứng minh Do thời gian kiến thức nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý từ quý thầy cô bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn! Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình TS Nguyễn Thịnh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tác giả xin gửi tới thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy phản biện đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn tác giả Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả hồn thành luận văn Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Hoàng Thị Hồng Minh Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Phương pháp mô Monte Carlo Phương pháp mơ Monte Carlo hay cịn gọi phương pháp thử thống kê định nghĩa phương pháp tính, cách biểu diễn nghiệm tốn dạng tham số đám đông lý thuyết sử dụng dãy số ngẫu nhiên để xây dựng mẫu đám đơng mà từ ta thu ước lượng thống kê tham số Nói cách khác, phương pháp Monte Carlo cung cấp lời giải gần cho toán cách thực thí nghiệm lấy mẫu thống kê sử dụng số ngẫu nhiên Ý tưởng phương pháp Monte Carlo xấp xỉ kỳ vọng E(X) trung bình cộng kết nhiều lần thí nghiệm độc lập, biến ngẫu nhiên X có phân phối Cơ sở lý thuyết phương pháp kết quan trọng lý thuyết xác suất, Luật mạnh số lớn 1.1.1 Luật mạnh số lớn Định lí 1.1.1 Giả sử (Xn)n2N dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập phân phối xác định không gian xác suất (W; z; P) Đặt : m = E(X1) Khi đó, với w W: n n å Xi(w!) i=1 (Xem chứng minh [9]) n!¥ m; P h:c:c Chương Cơ sở lý thuyết 1.1.2 Phương pháp mô Monte Carlo "thô" Giả sử X biến ngẫu nhiên giá trị thực với E(X) < ¥ Thuật tốn 1.1.2 (Phương pháp Monte Carlo "thơ") Xấp xỉ E(X) trung bình số học n å = Xi(w) , với n N Ở đây, Xi(w) kết n i n phép thử độc lập, có phân phối xác suất với X Định lí 1.1.3 (Ước lượng không chệch phương pháp Monte Carlo) Giả sử (Xn)n2N dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập phân phối với X, xác định không gian xác suất (W; z; P) Khi ước lượng Monte Carlo: n := X ước lượng không chệch với m = E(X), hay cách tương đương ta có: E(Xn) = m (Xem chứng minh [13]) Định lí 1.1.4 (Định lí giới hạn trung tâm) Giả sử (Xn)n2N dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập phân phối với X, xác định không gian xác suất (W; z; P) Giả sử biến ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn s = Var(X) Khi đó: n åi =1 Xi p (Xem chứng minh [5]) 1.1.3 Một vài ứng dụng phương pháp mơ Monte Carlo Ví dụ Một thí nghiệm để tính giá trị xấp xỉ p giao phần đường tròn đơn vị (C) có tâm gốc tọa độ với hình vng đơn vị dương [0; 1] Thí nghiệm thực cách lấy ngẫu nhiên điểm P 1; P2; :::; Pn hình vng đơn vị giả sử rằng: X =1 i Pi2C Chương Cơ sở lý thuyết Khi : Pi int(C) Pi bound(C) Do đó, ta ngầm giả sử điểm chọn có phân bố [0; 1] Khi ta có: p P(Pi C) = Suy , xác suất C diện tích phần giao Do hàm tiêu 1Pi thỏa mãn : p E(1 ) = P(P C) = Pi i Vì ước lượng p cách tính trung bình cộng P i tương ứng để thu ước lượng Monte Carlo: pˆ(w) = 4n n : å 1Pi2C(w) i=1 Tốc độ hội tụ phương pháp minh họa bảng kết sau: n pˆ Bảng 1.1 (Ước lượng Monte Carlo "thô" p) Nhận xét rằng, tốc độ hội tụ phương pháp Monte Carlo chậm, nhiên cần phải ý sai số tương đối ước lượng 0.5 % So sánh với điều ta thấy, ước lượng với n = 100:000 cho ta kết tương đối xác Độ tin cậy [pˆlow; pˆup] ước lượng Monte Carlo tính : n ˆ p low ˆ p up Bảng 1.2 (Ước lượng Monte Carlo cho khoảng tin cậy 95% p) Ví dụ (Ước lượng xác suất biến cố) Ước lượng xác suất biến cố ứng dụng quan trọng phương pháp Monte Carlo Giả sử A biến cố Ước lượng P(A)? Xét : 1A(w) = Chương Cơ sở lý thuyết Suy E(1A) = P(A) ước lượng Monte Carlo cho P(A) tần suất tương đối số lần xuất A n lần thí nghiệm độc lập Một cách hình thức, giả sử Ai số lần xuất A thí nghiệm thứ i, ta định nghĩa ước lượng Monte Carlo cho P(A) sau: r fn (A) = Khi ta có: Var(1A) = P(A):(1 khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là: [r fn (A) Ví dụ (Tích phân Monte Carlo) Một ứng dụng đơn giản hiệu Monte Carlo tính gần giá trị tích phân tất định có dạng: Z g(x)dx [0;1] d (g(x) hàm bị chặn, nhận giá trị thực.) d Hàm mật độ f (x) phân bố d chiều [0; 1] : d f (x) = 1[0;1]d (x); x R Khi đó, với X U ([0; 1]d ): I= d Giả sử X1; :::; Xn biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố [0; 1] , đó, ước lượng Monte Carlo là: n ˆ n I n(w) = : å g(Xi(w)) i=1 Cụ thể, ta áp dụng mơ Monte Carlo để tính tích phân I = R cos(x ):sin(x )dx Tích phân khơng tính theo cơng thức thơng thường Trước hết, ta có nhận xét: Với biến ngẫu nhiên X, với hàm mật độ f (x) j hàm Borel biến ngẫu nhiên Y = j(X) có kỳ vọng là: ¥ E(Y ) = Z ¥ f (x):j(x)dx: Chương Ứng dụng phương pháp Monte Carlo vào mơ hình tài mua hay từ thông tin thực tế thông qua công thức: Var ln Nếu giả sử tất tham số K; r; T cố định cho trước, công thức Black - Scholes, với giá trị dương s, s tăng thực sự, tồn giá trị s cho công thức Black - Scholes cung cấp mức giá lý thuyết với mức giá thị trường quyền chọn bán cụ thể Ta gọi s biến động ngụ ý giá quyền chọn bán Để đánh giá việc định giá quyền chọn giải thích mơ hình Black - Scholes, người ta xem xét đến đường biến động ngụ ý hay bề mặt biến động ngụ ý Đối với đường biến động ngụ ý, ta xem xét quyền chọn mua (hoặc bán) với thời gian đáo hạn T cố định giá thực K thay đổi giá thực cố định K thay đổi thời gian đáo hạn Khi đó, quan sát giá thị trường sử dụng cơng thức Black - Scholes để tính biến động ngụ ý cho quyền chọn mua với thời gian đáo hạn T cố định cho bởi: market pcall (Ki; T ) = C(0; s (Ki); Ki; T ) Vế trái phương trình giá thị trường quyền chọn mua với giá thực Ki Vế phải phương trình giá tính theo cơng thức Black - Scholes với giá thực Ki, thời gian đáo hạn T Từ phương trình (2.28) ta có hàm số: f (K) = s (K) gọi đường biến động với thời gian đáo hạn T cố định Trong trường hợp mà ta xét, đường hay bề mặt biến động khơng tạo từ mơ hình Black - Scholes Để giải vấn đề này, người ta giới thiệu mơ hình phức tạp Hai mơ hình mơ hình biến động địa phương mơ hình biến động ngẫu nhiên Mục đích mơ hình tạo quyền chọn đường cong biến động bề mặt biến động tạo bắt trước tồn giá thực tế 63 Kết luận Luận văn "Phương pháp mô Monte Carlo ứng dụng vào tốn tài chính" tập trung nghiên cứu vấn đề sau: 1.Trình bày cách hệ thống cách mơ Monte Carlo cách cải tiến phương pháp mô Monte Carlo Trình bày lý thuyết trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục áp dụng phương pháp số để mô nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Trình bày mơ hình Black Scholes định giá quyền chọn lý thuyết ứng dụng mô Monte Carlo để ước lượng giá cổ phiếu định giá quyền chọn Tác giả thu thập liệu thật dùng nhiều phương pháp khác để tính tốn, sau so sánh kết chạy máy với kết lý thuyết chứng minh Mặc dù cố gắng, vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh 64 Phụ lục CÁC CODE MATLAB SỬ DỤNG TRONG BÀI Tính số pi: "clear all; iter=input(’Hay nhap so lan lap: iter= ’); n=iter; x=rand(1,n);y=rand(1,n); 2 z= x + y ; m=0; for i=1:n if z(i)