Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong toán tài chính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  VÕ TUYẾT NHUNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  VÕ TUYẾT NHUNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng – Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Võ Tuyết Nhung LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lê Văn Dũng tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực để em hoàn thành luận văn Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giáo, anh chị học viên lớp Giải tích K31 tận tình dạy bảo giúp đỡ em suốt thời gian qua Xin chân thành cảm ơn! Võ Tuyết Nhung MỤC LỤC CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 XÁC SUẤT .1 1.1.1 σ -Đại số 1.1.2 σ -Đại số Borel Rk 1.1.3 Không gian xác suất 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 1.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1.3.1 Kỳ vọng toán 1.3.2 Phương sai 1.3.3 Phân vị 1.3.4 Mốt 1.4 VECTƠ NGẪU NHIÊN .5 1.5 HIỆP PHƯƠNG SAI, HỆ SỐ TƯƠNG QUAN 1.6 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.7 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO 1.7.1 Chuyển động Brown 1.7.2 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.7.3 Công thức Ito 10 1.7.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 11 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TRONG TỐN TÀI CHÍNH 12 2.1 CHỨNG KHỐN PHÁI SINH 12 MỤC LỤC 2.1.1 Hợp đồng quyền chọn 12 2.2 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 12 2.2.1 Giá quyền chọn thời điểm đáo hạn 12 2.2.2 Định lý kinh doanh chênh lệch giá 13 2.2.3 Công thức cặp đôi mua - bán 15 2.2.4 Định giá quyền chọn mơ hình nhị thức 15 2.2.5 Định giá quyền chọn mơ hình Cox-Ross-Rubinstein 17 2.2.6 Định giá quyền chọn mơ hình Black-Scholes 19 2.2.7 Ước lượng tham số µ σ 22 2.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BLACK-SCHOLES 24 2.3.1 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes 24 2.3.2 Tham số Θ 25 2.3.3 Tham số ∆ 26 2.3.4 Tham số Γ 27 2.3.5 Xét chung tham số Θ, ∆ Γ 27 2.4 BẢO HỘ GIÁ 28 2.4.1 Khái niệm bảo hộ 28 2.4.2 Bảo hộ Delta 28 2.4.3 Delta danh mục đầu tư 32 2.4.4 Gamma danh mục đầu tư 33 2.5 TỐI ƯU HÓA DANH MỤC ĐẦU TƯ 34 2.5.1 Tỉ lệ lợi nhuận tỉ lệ lợi nhuận kì vọng 34 2.5.2 Hàm thỏa dụng 35 2.5.3 Tối ưu hóa danh mục đầu tư 36 MỤC LỤC KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N R (Ω, F, P ) Card(A) I(A) a := b B(R) E(X) Var(X) vα ModX (Ω, F, (Ft ), P ) [x] Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Không gian xác suất đầy đủ Số phần tử tập hợp A Hàm tiêu tập hợp A a gán b σ - đại số Borel R Kỳ vọng giá trị trung bình biến ngẫu nhiên X Phương sai biến ngẫu nhiên X Phân vị mức α biến ngẫu nhiên X Mốt biến ngẫu nhiên X Không gian xác suất lọc Số nguyên lớn không vượt x CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 XÁC SUẤT 1.1.1 σ-Đại số Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập hợp σ -đại số F Ω họ tập Ω với tính chất sau: i) ∅ ∈ F ii) Nếu F∈ F F c =Ω\F∈ F iii) Nếu A1 , A2 , ∈ F ∞ i=1 Ai ∈F 1.1.2 σ-Đại số Borel Rk Cho A họ tập Ω.Ta có tập hợp tất tập Ω, kí hiệu B(Ω) σ -Đại số Điều tồn σ -Đại số chứa A Hơn nữa, giao họ σ -Đại số σ -Đại số, tồn σ -Đại số nhỏ chứa A Vậyσ -Đại số nhỏ chứa A là: σ(A) = {σ−đại số G ⊃ A} Định nghĩa 1.1.2 σ - đại số Borel Rk , kí hiệu B(Rk ),được xác định σ - đại số nhỏ chứa tất tập mở Rk 1.1.3 Không gian xác suất Định nghĩa 1.1.3 Một không gian xác suất (Ω, F, P ), Ω tập hợp không rỗng, F σ - đại số Ω, P : Ω → R độ đo xác suất F , tức là: i) ≤ P (A) ≤ với A ∈ F ; ii) P(Ω)=1; iii) Với A1 , A2 , ∈ F với Ai Aj = ∅ i = j : ∞ i=1 Ai ) P( = ∞ i=1 P (Ai ) Tập hợp Ω gọi không gian mẫu, phần tử F gọi biến cố phần tử Ω gọi biến cố sơ cấp Chú ý 1.1.4 Nếu Ω hữu hạn ta xem xét σ - đại số tất tập Ω 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN Định nghĩa 1.2.1 Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất Một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực ánh xạ Borel đo X : Ω → R tức với tập Borel B ∈ B(R), X −1 (B) ∈ F Định nghĩa 1.2.2 Cho X : Ω → R biến ngẫu nhiên, ánh xạ PX : B(R) → R với PX (B) = P (X −1 (B)) = P ([X ∈ B]) độ đo xác suất R gọi quy luật xác suất X Mệnh đề 1.2.3 Cho P : B(R) → R độ đo xác suất Tồn biến ngẫu nhiên X : R → R cho P trùng với luật xác suất PX kết hợp với X Định nghĩa 1.2.4 Cho X : Ω → R biến ngẫu nhiên Khi σ - đại số FX = X −1 B(R) gọi σ− đại số sinh X Định nghĩa 1.2.5 Cho X : Ω → R biến ngẫu nhiên Ánh xạ FX : R → [0; 1] với FX (x) = P (X ≤ x), x ∈ R, gọi hàm tích lũy(cumulative function) X Mệnh đề 1.2.6 27 Giải Ta có: ln( ω= 100 0, 232 ) + (0, 04 + )0, 110 √ ≈ −0, 0, 23 0, Độ nhạy ∆ = φ(ω) = φ(−0, 38) = 0, 35 2.3.4 Tham số Γ Định lý 2.3.5 Γ= σS e−d /2 2π(T − t) Ví dụ 2.3.6 Cho giá cổ phiếu thời điểm S0 = 180 USD; lãi kép liên tục không rủi ro r = 0, 0375/năm; độ dao động σ = 0, 3; giá thực thi quyền chọn K = 175 USD; thời điểm thực thi T = tháng; t = Tính Γ Giải Ta có: ln( ω= 0, 32 180 ) + (0, 0375 + ) 175 ≈ 0, 32 0, 13 Vậy Γ= σS e−d /2 = 0, 012 2π(T − t) 2.3.5 Xét chung tham số Θ, ∆ Γ Áp dụng khai triển Taylor hàm biến Ce = C(t, St ) ta ∂C ∂C ∂2 C dCe = dt + dSt + dSt + số hạng bậc cao ∂t ∂S ∂ S2 28 Do ∂C ∂2 C ∂C dt + dSt + dSt dCe ≈ ∂t ∂S ∂ S2 Áp dụng cơng thức ta tính gần giá quyền chọn Ví dụ 2.3.7 Cho S0 = 43 USD; K = 40 USD; σ = 0, 1414; r = 5%/năm; T = năm Giả sử sau tuần, giá cổ phiếu St = 44 USD Giải Áp dụng cơng thức tính gần giá quyền chọn với dCe = C −C : cũ ∂C ∂2 C ∂C dt + dSt + dSt cũ ∂t ∂S ∂ S2 Thay dt = 3/52; dS = 1; tính tham số Θ = −3, 0635; ∆ = 0, 825; Γ = 0, 143 ta C ≈ 6, 28 C ≈C + 2.4 BẢO HỘ GIÁ 2.4.1 Khái niệm bảo hộ Một cổ đông nắm giữ 100 cổ phiếu X , lo ngại tương lai cổ phiếu bị giá cổ đông mua quyền chọn bán kiểu Châu Mỹ 100 cổ phiếu để cổ phiếu bị giá cổ đơng có quyền bán cổ phiếu với giá định trước K Việc mua quyền chọn bán gọi bảo hộ giá 2.4.2 Bảo hộ Delta Giả sử bạn nhà mơi giới chứng khốn vừa bán quyền chọn mua 1000 cổ phiếu công ty A Nếu đến thời điểm đáo hạn mà giá chứng khốn lớn giá thực thi buộc phải bán cổ phiếu cho người sở hữu quyền chọn mua cố phiếu Để đảm bảo tình xảy bạn mua vào 1000 cổ phiếu Nếu làm có điều khơng hợp lí: - Nếu cổ phiếu giảm bạn bị tiền - Để mua vào 1000 cổ phiếu bạn vay khoản tiền đáng kể Trong phần xây dựng phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes, để quyền chọn 29 có giá F nghiệm phương trình đạo hàm riêng: 2 ∂ 2F ∂F ∂F + σ St + rS − rF = ∂t ∂t ∂S thời điểm t bán quyền chọn có giá F ta phải mua vào ∆t chứng khoán quyền chọn có giá St Bảo hộ Delta phát biểu sau: để bảo hộ quyền chọn có giá F bán cần mua vào ∆t chứng khoán quyền chọn Nếu F = Ce ∂Ce = Φ(d), ∆t = ∂S đó: St σ2 ln( ) + (r + )(T − t) K √ d= σ T −t Ví dụ 2.4.1 Ở thời điểm cổ phiếu ABC có giá S0 = 50 USD, giả sử r = 0, 5, σ = 0, Giả sử bán đơn vị quyền chọn mua 1000 cổ phiếu ABC có giá thực thi K = 40 thời điểm thực thi T = năm Tính số cổ phiếu cần mua vào Giải Ta tính: σ2 S0 ln( ) + (r + )(T ) K √ d= = −1, 06 σ T Do ∆0 = Φ(1, 06) = 0, 855 Như ta cần mua vào 855 cổ phiếu Trên thực tế ta phải thường xuyên điều chỉnh số cổ phiếu mua vào bán tùy theo thay đổi giá cổ phiếu Giả sử ta điều chỉnh bảo hộ tuần lần Tuần thứ Giá cổ phiếu d ∆ = Φ(d) Số cổ phiếu cần nắm 50 1,06 0,885 885 51,5 1,064 0,878 878 49 1,00004 0,841 841 30 Như sang tuần thứ ta cần phải mua vào 878 − 885 = 23 cổ phiếu, sang tuần thứ ta bán 878 − 841 = 37 cổ phiếu Qua ví dụ ta thấy có hai nhược điểm phương pháp bảo hộ Delta sau: - Khi giá cổ phiếu tăng mua vào giá cổ phiếu giảm lại bán - Vì phải điều chỉnh bảo hộ thường xuyên nên phải trả chi phí giao dịch nhiều Ví dụ ta xem xét chi phí bảo hộ Delta Ví dụ 2.4.2 Một loại cổ phiếu có giá thị trường S0 = 100 USD Lãi suất không rủi ro r = 4%/năm, độ dao động thị trường cổ phiếu σ = 23%/năm Một quyền chọn mua kiểu Châu Âu 10.000 cổ phiếu có thời điểm đáo hạn T = tháng, giá thực thi K = 105 USD Áp dụng công thức định giá quyền chọn ta tính giá quyền chọn loại Ce (0) = 2, 96155 Tức bán quyền chọn mua 10.000 cổ phiếu người bán thu khoản tiền 2, 96155 × 10000 = 2965, USD Ngay sau bán đơn vị quyền chọn mua 10.000 cổ phiếu, để bảo hộ quyền chọn cần phải mua vào lượng ∆0 cổ phiếu Ta có: d = −0, 2798 ⇒ Φ(d) = 0, 38981 nên ∆0 = 3898 Chi phí để mua 3898 cổ phiếu V0 = 3898×100 = 389800 USD Sau tuần, chi phí lãi suất cho khoản tiền mua 3898 cổ phiếu là: V0 (ert − 1) = 389800(e0,04 52 − 1) = 299, 962USD Lúc giá cổ phiếu S1 = 98, 79 USD nên số cổ phiếu cần nắm giữ ∆1 = 3398, cần bán 3898 − 3398 = 500 cổ phiếu Tổng chi phí cho tuần thứ là: 389800 − (500 × 98, 79 − 299, 962) ≈ 340705USD Tiếp tục vậy, ta bảng sau: 31 Tuần Giá cổ phiếu St 100 98,79 102,52 103,41 102,82 102,25 100,67 106,05 104,17 106,08 10 105,86 11 110,4 12 112,46 13 108,47 d Φ(d) -0,279806 -0,412979 -0,093073 -0,024586 -0,099069 -0,180865 -0,393039 0,2255 -0,021687 0,240549 0,21705 1,168464 2,192023 0,389813 0,339811 0,462923 0,490193 0,460542 0,428237 0,347145 0,589205 0,491349 0,595048 0,585915 0,87869 0,985811 Số cổ phiếu Chi phí Tổng cần nắm lãi suất chi phí 3898 389800 3398 299,9612 340705 4629 262,182 467169 4902 359,499 495759 4605 381,5 465603 4282 358,294 432935 3471 333,155 351625 5892 270,585 608643 4913 468,367 507129 5950 390,249 617524 5859 475,201 608366 8787 468,154 932085 9858 717,264 1053247 10000 810,502 1069460 Như đến thời điểm đáo hạn, chi phí cho bảo hộ Delta 1069460 10.000 cổ phiếu bán cho người nắm giữ quyền chọn mua với giá 105 USD/1 cổ phiếu, số tiền thu bán cổ phiếu 10000 × 105 = 1050000 USD Như số tiền thu cho phương án đầu tư bảo hộ Delta (khơng tính chi phí giao dịch mua bán) là: 2965, + 1050000 − 1069460 = 10155, USD Ví dụ 2.4.3 Một loại cổ phiếu có giá thị trường S0 = 100 USD Lãi suất không rủi ro r = 4%/năm, độ dao động thị trường cổ phiếu σ = 23%/năm Một đơn vị quyền chọn mua kiểu Châu Âu 10.000 cổ phiếu có thời điểm đáo hạn T = tháng, giá thực thi K = 105 USD Giá theo tuần cổ phiếu thời gian tháng cho bảng sau: Tuần Giá cổ phiếu 100 101,71 100,43 100,91 103,37 97,69 91,95 Tuần 10 11 12 13 Giá cổ phiếu 91,12 92,81 95,45 97,75 96,58 95,4 95,1 Lập bảng bảo hộ Delta Tìm lợi nhuận phương án đầu tư bảo hộ Detla quyền chọn mua 32 Giải Tuần Giá cố phiếu St 100 101,71 100,43 100,91 103,37 97,69 91,95 91,12 92,81 95,45 10 97,75 11 96,58 12 95,4 13 95,1 d Φ(d) -0,279806 -0,149338 -0,28778 -0,267222 -0,043315 -0,686573 -1,466699 -1,716635 -1,640726 -1,414728 -1,225712 -1,796471 -2,96608 0,389813 0,440643 0,386758 0,394649 0,482725 0,246176 0,071229 0,043023 0,050427 0,078574 0,110154 0,03621 0,001508 Số cổ phiếu cần nắm 3898 4406 3868 3946 4827 2462 712 430 504 786 1102 362 15 Chi phí Tổng lãi suất chi phí 389800 299,962 441769 339,953 388078 298,636 396248 304,923 487622 375,238 256960 197,738 96245 74,063 70623 54,346 77545 59,673 104522 80,432 135491 104,264 64126 49,347 31072 23,911 29669 Như số tiền thu cho phương án đầu tư bảo hộ Delta (khơng tính chi phí giao dịch mua bán) là: 2965, − 29669 = −53, USD 2.4.3 Delta danh mục đầu tư Ta biết Delta quyền chọn mua kiểu Châu Âu chứng khốn có giá S đạo hàm theo S giá quyền chọn kiểu châu Âu ∂Ce ∆= ∂S Trong mục ta mở rộng khái niệm Delta danh mục đầu tư Định nghĩa 2.4.4 Gọi P danh mục đầu tư gồm chứng khoán phái sinh (quyền chọn mua, quyền chọn bán, chứng khoán X , ) chứng khoán X có giá S = St Delta danh mục đầu tư P , kí hiệu ∆P , đạo hàm theo giá S giá trị danh mục đầu tư P Nếu ∆P = danh mục đầu tư P gọi có Delta trung tính Ví dụ 2.4.5 Xét danh mục đầu tư P gồm quyền chọn mua kiểu 33 Châu Âu −∆0 chứng khốn X có giá chứng khốn thời điểm t S = St Giá trị danh mục đầu tư P thời điểm t là: ∂Ce Vt = Ce (t) − ∆0 St = Ce (t) − St , ∂S S0 S0 giá chứng khoán thời điểm ban đầu ∂Ce ∂Vt = − ∆0 , ∆P = ∂S ∂S Tại thời điểm S = S0 ta có: ∆P = Do Vt hàm t S nên áp dụng khai triển Taylor ta có: (S − S0 )2 ∂Vt ∂Vt ∂ Vt + V t = V0 + (t − 0) + (S − S0 ) + ∂t t=0 ∂S S=S0 ∂S S=S0 Do đó: δP = Vt − V0 = Θ0 δt + Γ0 δ(S ) + Vì ta có: δP = Vt − V0 ≈ Θ0 δt + Γ0 δ(S ) Nếu Γ0 = δP ≈ Θ0 δt 2.4.4 Gamma danh mục đầu tư Định nghĩa 2.4.6 Gọi P danh mục đầu tư gồm chứng khoán phái sinh (quyền chọn mua, quyền chọn bán, chứng khoán X , ) chứng khốn X có giá S = St Gamma danh mục đầu tư P , kí hiệu ΓP , đạo hàm cấp theo S giá trị danh mục đầu tư P Nếu ΓP = danh mục đầu tư P gọi có Gamma trung tính Ví dụ 2.4.7 Xét danh mục đầu tư gồm quyền chọn mua kiểu Châu Âu hai thời điểm đáo hạn khác chứng khoán: giả sử thời điểm t = 0, nhà đầu tư bán w1 quyền chọn mua kiểu Châu Âu có thời điểm đáo hạn T1 mua vào w2 quyền chọn mua kiểu Châu Âu có thời điểm đáo hạn T2 (T1 < T2 ) loại chứng khoán 34 Giá danh mục đầu tư là: Vt = w1 Ce1 − w2 Ce2 Đạo hàm cấp Vt theo S ta được: ∂ Ce1 ∂ Ce2 ∂ Vt = w1 − w2 ∂S ∂S ∂S Vì Gamma danh mục đầu tư là: ΓP = w1 ΓT1 − w2 ΓT2 Ta chọn w1 w2 cho ΓP = Ví dụ 2.4.8 Giả sử chứng khốn X có giá S0 = 100 USD, độ dao động thị trường chứng khốn σ = 0, 22 lãi suất khơng rủi ro r = 2, 5%/năm Một nhà đầu tư bán lượng w3 quyền chọn mua kiểu Châu Âu chứng khốn X có thời điểm đáo hạn T = tháng giá thực thi K = 102 USD, đồng thời mua vào lượng w6 quyền chọn mua kiểu Châu Âu chứng khốn X có thời điểm đáo hạn T = tháng với giá thực thi K = 102 USD Ta có Γ3 = 0, 03618 Γ6 = 0, 02563 Gamma danh mục đầu tư ΓP = 0, 03618we − 0, 02563wl Giả sử w3 = 100.000 w6 = 141.163, ΓP = Còn Delta danh mục đầu tư ∆P = w3 ∆3 − w6 ∆6 = −25038 Như bảo hộ Delta danh mục đầu tư cách mua vào 25038 cổ phiếu X 2.5 TỐI ƯU HÓA DANH MỤC ĐẦU TƯ 2.5.1 Tỉ lệ lợi nhuận tỉ lệ lợi nhuận kì vọng Nếu người đầu tư khoản tiền V (0) sau thời gian T khoản đầu tư có giá trị V (T ) tỉ lệ lợi nhuận khoản đầu tư định nghĩa R= V (T ) − V (0) V (0) 35 Như tỉ lệ lợi nhuận xem lãi đơn cho khoản đầu tư khoảng thời gian T Trong trường hợp danh mục đầu tư có n khoản đầu tư khác có giá trị ban đầu V1 (0), V1 (0), , Vn (0) sau thời gian T khoản đầu tư có giá trị tương ứng V1 (T ), V1 (T ), , Vn (T ) Đặt: n n Vk (0), V (0) = Vk (T ) V (T ) = k=1 k=1 Khi tỉ lệ lợi nhuận danh mục đầu tư n n V (T ) − V (0) k=1 Vk (T ) − k=1 Vk (0) R= = = V (0) V (0) n = k=1 n n k=1 Vk (T ) − Vk (0) V (0) Vk (0) Vk (T ) − Vk (0) V (0) Vk (0) xk Rk , = k=1 đó: Vk (0) xk = : tỉ trọng vốn phân bổ cho khoản đầu tư thứ k danh mục V (0) đầu tư Vk (T ) − Vk (0) : tỉ lệ lợi nhuận khoản đầu tư thứ k Rk = Vk (0) Vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) gọi vectơ chiến lược Chú ý: (i) xk ∈ R với k = 1, 2, , n (ii) nk=1 xk = 2.5.2 Hàm thỏa dụng Giả sử có hai chiến lược đầu tư A B Chiến lược B: tỉ lệ lợi nhuận RB = −10% với xác suất 0, RB = 25% với xác suất 0, Chiến lược A có tỉ lệ lợi nhuận RA = 5% tình xảy Một nhà đầu tư thích chiến lược A chiến lược B chiến lược A có tỉ lệ lợi nhuận kì vọng E(RA ) = 5, 7% cao tỉ lệ lợi nhuận kì vọng 36 chiến lược B E(RB ) = 5% Tuy nhiên có nhà đầu tư thứ lại thích chiến lược B chắn đem lại lợi nhuận ( V ar(RB ) = V ar(RA ) > 0) Một cách tổng quát nhà đầu tư sử dụng hàm u tỉ lệ lợi nhuận R chiến lược có E(u(R) lớn nhà đầu tư lựa chọn chiến lược Hàm gọi hàm thỏa dụng Ở ví dụ nhà đầu tư thứ sử dụng hàm u(R) = R nhà đầu tư thứ hai sử dụng hàm u(R) = (R − E(R))2 Ta có định nghĩa tổng quát hàm thỏa dụng sau: Định nghĩa 2.5.1 Hàm số u : R → R gọi hàm thỏa dụng u hàm tăng (nếu x1 ≤ x2 u(x1 ) ≤ u(x2 )) hàm lồi Độ thỏa dụng (hay kì vọng thỏa dụng) chiến lược đầu tư A hàm thỏa dụng u định nghĩa E(u(RA )), RA lợi nhuận chiến lược đầu tư A a Một số hàm thỏa dụng thường sử dụng Hàm thỏa dụng Bernoulli u(x) = ln(1 + x) Hàm thỏa dụng mũ u(x) = − e−bx , b > 2.5.3 Tối ưu hóa danh mục đầu tư Xét danh mục đầu tư gồm n chứng khoán khác Giả sử chứng khốn thứ k có tỉ trọng xk tỉ lệ lợi nhuận Rk Khi tỉ lệ lợi nhuận danh mục đầu tư là: n R= xk Rk , k=1 x1 + x2 + + xn = Để đơn giản ta giả sử vectơ chiến lược x = (x1 , x2 , , xn ) thiết lập từ thời điểm ban đầu t = giữ nguyên thời điểm T Bài tốn: tìm vectơ chiến lược x cho tỉ lệ lợi nhuận R có kì vọng thỏa dụng E(u(R)) lớn Ví dụ 2.5.2 Một nhà đầu tư có 100 USD đầu tư a USD vào cổ phiếu A 100 − a USD vào cổ phiếu B Giả sử thông tin hai cổ 37 phiếu A B sau: Cổ phiếu A B Tỉ lệ lợi nhuận kì vọng E(RA ) = 0, E(RB ) = 0, Phương sai tỉ lệ lợi nhuận V ar(RA ) = 0, V ar(RB ) = 0, ρ(RA , RB ) = Giả sử nhà đầu tư sử dụng hàm thỏa dụng u(x) = x − x2 /2 Tìm a để tỉ lệ lợi nhuận R có độ thỏa dụng E(u(R)) lớn Giải Ta có E(R2 ) E(u(R)) = E(R) − Gọi x1 x2 tỉ trọng phân bổ vốn vào cổ phiếu A cổ phiếu B Tỉ lệ lợi nhuận danh mục đầu tư là: R = x1 RA + x2 RB Do đó: E(R) = x1 E(RA ) + x2 E(RB ) = 0, 3x1 + 0, 5x2 = 0, − 0, 2x1 E(R2 ) = V ar(R) + (E(R))2 = x21 V ar(RA ) + x22 V ar(RB ) + 2x1 x2 cov(RA , RB ) + (E(R))2 = 0, 1x21 + 0, 2(1 − x1 )2 + (0, − 0, 2x1 )2 Suy ra: E(u(R)) = −0, 17x21 + 0, 1x1 + 11/40 E(u(R)) đạt giá trị lớn x1 = 5/17 ≈ 0, 29 Như vậy, nhà đầu tư cần đầu tư 29 USD vào cổ phiếu A 71 USD vào cổ phiếu B a Phân tích phương sai bé Trong mục ta phân tích tìm vectơ chiến lược x cho danh mục đầu tư có rủi ro thấp Trước hết ta xét n = 2, Đặt V ar(R1 ) = σ12 , 38 V ar(R2 ) = σ22 , Cov(R1 , R2 ) = c Khi đó: V ar(R) = x21 σ12 + x22 σ22 + 2x1 x2 c = x21 σ12 + (1 − x1 )2 σ22 + 2x1 (1 − x1 )c = (σ12 + σ22 − 2c)x21 − 2(σ2 − c)x1 + σ22 Giả sử σ12 + σ22 − 2c > 0, V ar(R) đạt cực tiểu σ22 − c ∗ x = σ1 + σ22 − 2c Nếu không bán khống x1 ∈ [0; 1] nên V ar(R) đạt giá trị nhỏ  0, x∗ < x1 = x∗ , ≤ x∗ ≤  1, x∗ > Đặc biệt, R1 R2 khơng tương quan c = 0, σ22 ∗ x = = σ1 + σ22 σ12 σ12 + σ22 ∈ [0, 1] Trong trường hợp tổng quát danh mục đầu tư có n chứng khốn ta có định lí sau Định lý 2.5.3 Giả sử xk tỉ trọng phân bổ vốn cho chứng khoán thứ k với xk ∈ R x1 + x2 + + xn = Giả sử tỉ lệ lợi nhuận chứng khoán thứ k Rk Đặt C = (cov(Ri , Rj ))n×n , u = (1)1×n Khi đó, uC −1 uT = tỉ lệ lợi nhuận R danh mục đầu tư có phương sai V ar(R) bé khi: uC −1 x= uC −1 uT Hệ 2.5.4 Giả sử xk tỉ trọng phân bổ vốn cho chứng khoán thứ k với ≤ xk ≤ x1 + x2 + + xn = Giả sử tỉ lệ lợi nhuận chứng khoán thứ k Rk R1 , R2 , , Rn đôi không tương quan (cov(Ri , Rj ) = với i = j ) Khi tỉ lệ lợi nhuận R danh mục đầu tư có phương sai V ar(R) bé xk = σk2 n , j=1 σj2 σk2 = V ar(Rk ) Ví dụ 2.5.5 Một nhà đầu tư có 1000 USD đầu tư a USD vào 39 cổ phiếu A 1000 − a USD vào cổ phiếu B Giả sử thông tin thị trường hai cổ phiếu sau: Cổ phiếu A B Tỉ lệ lợi nhuận kì vọng E(RA ) = 0, E(RB ) = 0, Phương sai tỉ lệ lợi nhuận V ar(RA ) = 0, V ar(RB ) = 0, Giả sử hệ số tương quan ρ(RA , RB ) = 0, 25 Tìm a để tỉ lệ lợi nhuận đầu tư R có độ thỏa dụng E(u(R)) lớn Giải Gọi x tỉ trọng phân bổ vốn vào cổ phiếu A, − x tỉ trọng phân bổ vốn vào cổ phiếu B Tỉ lệ lợi nhuận: R = xRA + (1 − x)RB Khi đó: 13 11 27 x + x+ 200 200 40 E(u(R)) đạt giá trị lớn x = 13/54 Vậy để tỉ lệ lợi nhuận có độ thỏa dụng lớn nhà đầu tư đầu tư 241 USD vào cổ phiếu A 759 USD vào cổ phiếu B E(u(R)) = − 40 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày số nội dung giải tích ngẫu nhiên số ứng dụng tốn tài Đây kiến thức sở để giải số toán kinh tế, tài Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực nhiều hạn chế sai sót Rất mong nhận góp ý xây dựng quý thầy cô giáo anh chị học viên để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Văn Dũng (2016), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất Thông tin Truyền thơng [2] Đặng Hùng Thắng (2006), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác st ứng dụng, phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Huu Tue Huynh, Van Son Lai and Issouf Souraré (2008), Applied Multivariate Statistical Analysis, Pearson Education Inc [5] Buchanan J.R.(2005),An Undergraduate Introduction to Financial Mathematics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd ...ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  VÕ TUYẾT NHUNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng... độ thỏa dụng lớn nhà đầu tư đầu tư 241 USD vào cổ phiếu A 759 USD vào cổ phiếu B E(u(R)) = − 40 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày số nội dung giải tích ngẫu nhiên số ứng dụng tốn tài Đây kiến... lời giải: X = (Xt , t ∈ [0, T ]) phương trình dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt với điều kiện ban đầu X0 = Z (Z biến ngẫu nhiên cho trước) lời giải 12 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TRONG TỐN TÀI CHÍNH 2.1 CHỨNG