Các phép toán của giải tích ngẫu nhiên thông qua mô hình black scholes ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA oOo NGUYỄN VĂN BÉ CÁC PHÉP TOÁN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN THƠNG QUA MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH CHUN NGÀNH : TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ : 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học : TS.Dương Tôn Đảm Cán chấm nhận xét 1:…………………………………………………………… Cán chấm nhận xét 2:…………………………………………………………… Luận văn Thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa-ĐHQG-Tp.HCM Ngày 30 tháng 12 năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn Thạc sĩ gồm : 1……………………………………………………………………………………… 2……………………………………………………………………………………… 3…………………………………………………………………………………… 4……………………………………………………………………………………… 5……………………………………………………………………………………… Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sữa chữa CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨAVIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự - Hạnh phúc oOo oOo - NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : Nguyễn Văn Bé MSHV: 12240563 Ngày,tháng,năm sinh : 06/10/1987 Nơi sinh: Cà Mau Chuyên ngành : Toán Ứng Dụng Mã số : 60 46 36 I.Tên đề tài : CÁC PHÉP TỐN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN THƠNG QUA MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG : Dùng mơ hình Black-Scholes định giá hợp đồng Quyền Chọn Mua,Bán theo kiểu Châu Âu II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 7/07/2014 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 7/12/2014 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS.Dương Tôn Đảm TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS.Dương Tôn Đảm CHỦ NHIỆM BỘ MƠN PGS.TS.Nguyễn Đình Huy TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy hướng dẫn TS.Dương Tơn Đảm Người tận tình giảng dạy,hướng dẫn cho nhiều ý kiến đóng góp quý báo để luận văn hoàn thành Em xin cảm ơn q Thầy (Cơ) mơn Tốn ứng dụng,Trường Đại học Bách Khoa,đặc biệt Thầy PGS.TS.Nguyễn Đình Huy tận tình giúp đở em suốt thời gian học tập trường Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại học,khoa Khoa học ứng dụng,Thư viện trường quý Thầy (Cô),cán công nhân viên trường Đại học Bách khoa giúp đở,tạo điều kiện tốt cho em suốt thời gian học tập trường,cũng thời gian thực luận văn Cuối cùng, em xin cảm ơn đồng nghiệp,gia đình,bạn bè giúp đở,động viên,góp ý kiến suốt trình học tập trình làm luận văn TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014 Nguyễn Văn Bé LỜI MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên cơng cụ quan trọng để giải tốn lý thuyết xác suất thống kê,ứng dụng giải tốn kinh tế, tài chính,bảo hiểm,dự báo,các tốn xã hội,…Đồng thời giải tích ngẫu nhiên, gắn với trình ngẫu nhiên,với biến động thị trường chứng khoán tăng lên hay giảm xuống diễn theo quy luật ngẫu nhiên Từ vấn đề phát sinh tài theo quy luật ngẫu nhiên, người ta mơ hình lại mơ hình tốn học mơ tính tốn cho q trình dao động thị trường tài khoảng thời gian định Mơ hình Black-Scholes ứng dụng vào việc định giá tài sản khơng rủi ro thị trường tài với thời gian liên tục,cho Quyền Chọn Mua Quyền Chọn Bán thu lại lợi nhuận cho nhà đầu tư tài giai đoạn Luận văn trình bày số vấn đề giải tích ngẫu nhiên ,áp dụng mơ hình Black-Scholes để định giá hợp đồng Quyền Chọn,luận văn gồm có chương Chương 1: Trình bày khái niệm giải tích ngẫu nhiên, q trình Martingale, Weiner,Poisson,Itơ,… Chương 2: Trình bày dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên,phương pháp giải,áp dụng mơ hình Black-Scholes định giá hợp đồng Quyền Chọn Mua,Bán cho loại tài sản phi rủi ro tài Chương 3: Trình bày q trình ngẫu nhiên có nhảy, tốn phương án đầu tư đáp ứng Nội dung luận văn trình bày tập chung chương 2,sử dụng kiến thức giải tích ngẫu nhiên,mơ hình Black-Sholes để giải tốn tài LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình khoa học viết tìm tịi,nghiên cứu khoa học nghiêm túc thân hướng dẫn TS.Dương Tơn Đảm.Trong q trình thực luận văn, tham khảo tài liệu liệt kê danh mục tài liệu tham khảo.Các tài liệu, số liệu dùng luận văn có nguồn gốc rõ ràng TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014 Người cam đoan Nguyễn Văn Bé DANH MỤC KÍ HIỆU R Tập số thực dương Rn Không gian n-chiều Cn Tập hàm khả vi liên tục tới cấp n ( , F , P ) Không gian xác suất (, F , Ft , P ) Không gian xác suất lọc P( A | F ) Xác suất có điều kiện A F L2 ( p ) Tập đại lượng ngẫu nhiên bình phương khả tích theo p L2 ([a, b]) Tập hàm thực bình phương khả tích đoạn [a,b] L2 () Tập đại lượng bình phương khả tích theo độ đo Gauss l.i.m Giới hạn theo nghĩa trung bình h.c.c Hầu chắn  (t ) Bước nhảy  thời điểm t N (U , t ) Độ đo bước nhảy N (dt , dz ) Dạng vi phân độ đo bước nhảy N (dt , dz ) Độ đo bước nhảy bù  Q trình khả đốn (Predictable Stochastic Processes)  (U ) Độ đo Lévy t  f ( s,  )dWt Tích phân Wiener SDE Phương trình vi phân ngẫu nhiên MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU LỜI CAM ĐOAN DANH MỤC KÍ HIỆU MỤC LỤC Chương 1:MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN………… 1.1 Quá trình ngẫu nhiên đặc trưng nó………………………………….1 1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itơ………………………………………………… 14 1.3 Cơng thức vi phân ngẫu nhiên Itơ…………………………………………20 Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN…………………… 31 2.1 Sự tồn nghiệm…………………………………………… 31 2.2 Một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên đặc biệt…………………….36 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính dạng tổng qt ………………………….41 2.4 Mơ hình Black-Scholes định giá Quyền Chọn ……………………………46 Chương 3: QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CĨ NHẢY ………………………….72 3.1 Tích phân theo độ đo Poisson ………………………………………… 72 3.2 Vi tích phân Itơ-Lévy …………………………………………………… 75 3.3 Bài toán phương án đầu tư đáp ứng …………………………………… 92 KẾT LUẬN ……………………………………………………………………….97 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………….98 PHỤ LỤC…………………………………………………………………………99 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Chương 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN 1.1 Quá trình ngẫu nhiên đặc trưng Cho (, F , P ) không gian xác suất X :   R biến ngẫu nhiên, tức  tập hợp mà phần tử    đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên, F   trường tập  , P độ đo xác suất khơng gian đo (, F ) Q trình ngẫu nhiên tập hợp đại lượng ngẫu nhiên X (t )  X (t ,  ) xác định không gian xác suất (, F , P ) phụ thuộc vào tham số t.Nếu cố định   , ta thu hàm biến t gọi hàm chọn hay quỹ đạo trình, t  X (t , ) Quá trình ngẫu nhiên tập hợp tất biến ngẫu nhiên biểu thị thời gian,xét hai trường hợp thời gian rời rạc liên tục Quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc X  { X n , n  0,1,2,3, } tập đếm biến ngẫu nhiên, biểu thị số ngun khơng âm Q trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục X  { X t ,0  t  } tập không đếm biến ngẫu nhiên, biểu thị số thực khơng âm 1.1.1 Định nghĩa q trình ngẫu nhiên a/ Cho (, F , P ) không gian xác suất, trình X t , t  hàm hai biến X (t ,  ) xác định R    lấy giá trị R , hàm đo với   đại số tích BR  F ,trong BR   đại số tập Borel R  Điều có nghĩa với tập Borel B R tập hợp {(t ,  )  R    : X (t ,  )  B} phần tử   đại số tích BR   F ,   đại số   đại số nhỏ chứa tập có dạng [0, t ]  A với t  R  A  F b/ Khi cố định   ,thì ánh xạ riêng phần t  X (t , ) từ R   R gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên X  { X t , t  0} ,ứng với yếu tố ngẫu nhiên  c/ Nếu X lấy giá trị khơng gian R n (n  0) ta có q trình ngẫu nhiên n chiều d/ Trong tài chính,các q trình giá chứng khốn St ,giá trái khốn Pt ,giá sản phẩm phái sinh Ct ,…điều xem q trình ngẫu nhiên Hình 1.1 mơ tả quỹ đạo hai q trình ngẫu nhiên,trích dẫn từ tài liệu [9] Hình 1.1 Quỹ đạo hai trình ngẫu nhiên 1.1.2 Hàm phân phối hữu hạn chiều Đặc trưng trình ngẫu nhiên (QTNN) hàm phân phối hữu hạn chiều  k  Ft1 ,t2 , ,tk ( A1 , A2 , , Ak )  P { (t j ,  )  Aj } , k  N j 1 ... ngành : Toán Ứng Dụng Mã số : 60 46 36 I.Tên đề tài : CÁC PHÉP TỐN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN THƠNG QUA MƠ HÌNH BLACK- SCHOLES ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG : Dùng mơ hình Black- Scholes. .. LỜI MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên công cụ quan trọng để giải toán lý thuyết xác suất thống kê ,ứng dụng giải tốn kinh tế, tài chính, bảo hiểm,dự báo ,các tốn xã hội,…Đồng thời giải tích ngẫu nhiên, gắn... tài giai đoạn Luận văn trình bày số vấn đề giải tích ngẫu nhiên ,áp dụng mơ hình Black- Scholes để định giá hợp đồng Quyền Chọn,luận văn gồm có chương Chương 1: Trình bày khái niệm giải tích ngẫu