MỘT số QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN PHÂN THỨ và ỨNG DỤNG TRONG tài CHÍNH

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NGUYN TIN DNG số trình ngẫu nhiên phân thứ ứng dụng tài LUN N TIN S TON HC H Ni-2011 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NGUYN TIN DNG số trình ngẫu nhiên phân thứ ứng dụng tài Chuyờn ngnh: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc Mó s: 62 46 15 01 LUN N TIN S TON HC NGI HNG DN KHOA HC PGS.TS TRN HNG THAO Hà Nội - 2011 Li cam oan Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc s liu, kt qu nờu lun ỏn l trung thc v cha tng c cụng b bt k cụng trỡnh no khỏc Nghiờn cu sinh Nguyn Tin Dng i Li cm n Trc tiờn tụi xin by t lũng bit n chõn thnh ti PGS.TS Trn Hựng Thao, ngi Thy ó v ang hng dn, o to tụi nghiờn cu khoa hc rt nhit tỡnh, giỳp tụi ngy cng cú thờm nim say mờ nghiờn cu khoa hc, ng thi to nhiu iu kin thun li giỳp tụi hon thnh bn lun ỏn ny Tip theo tụi mun by t nhng li cm n ti cỏc thnh viờn B mụn Xỏc sut Thng kờ ó thng xuyờn giỳp tụi vic trau di, m rng thờm kin thc khoa hc c bit tụi mun cm n GS.TS Nguyn Vn Hu, ngi ó cho tụi tham gia xờ mi na Toỏn ti chớnh ca ụng v luụn cho tụi nhng li nhn xột quý bỏu ng thi, tụi xin gi li cm n sõu sc n Ban giỏm c i hc Quc gia H Ni, Ban giỏm hiu Trng i hc Khoa hc t nhiờn, Ban ch nhim Khoa Toỏn-C-Tin hc, Phũng sau i hc ó to nhng iu kin tụi nghiờn cu tt hn v giỳp tụi hon thnh th tc bo v lun ỏn Cui cựng, tụi xin gi lũng bit n sõu sc ca mỡnh n gia ỡnh, h hng, bn bố thõn thit, nhng ngi ó rt hiu v luụn ng bờn c v tụi H ni, 03/2011 NCS: Nguyn Tin Dng ii Mc lc Li cam oan i Li cm n ii Bng ký hiu vi M u 1 Chuyn ng Brown phõn th 1.1 nh ngha v cỏc tớnh cht 1.2 Tớnh cht nh lõu ca fBm 1.3 Biu din Volterra ca fBm 1.4 Tớch phõn ngu nhiờn phõn th theo qu o 11 1.4.1 Tớch phõn phõn th tt nh 11 1.4.2 Tớch phõn ngu nhiờn phõn th 15 Phng phỏp xp x semimartingale 17 2.1 Cỏc kt qu xp x 17 2.2 Tớch phõn ngu nhiờn phõn th 19 2.2.1 nh ngha tớch phõn 19 2.2.2 Mt lp cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn kh tớch 25 2.3 Phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn phõn th 26 2.3.1 Cỏc quỏ trỡnh kiu Ornstein-Uhlenbeck phõn th iii 27 2.3.2 Cỏc phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn phõn th vi h s dch chuyn a thc 2.3.3 32 Cỏc quỏ trỡnh hi phc trung bỡnh hỡnh hc phõn th 38 2.4 Lc tuyn tớnh ngu nhiờn phõn th 46 Cỏc ng dng Ti chớnh 49 3.1 Mụ hỡnh qun lý ti sn v n bo him 49 3.2 Mụ hỡnh Black-Scholes phõn th 52 3.2.1 M rng kt qu xp x 54 3.2.2 Mụ hỡnh Black-Scholes phõn th xp x 59 Kt lun 68 Danh mc cụng trỡnh khoa hc ca tỏc gi liờn quan n lun ỏn 70 Ti liu tham kho 71 Ph lc 77 A Tớnh toỏn Malliavin 77 A.1 Khai trin nhiu lon Wiener-Itụ 77 A.1.1 Tớch phõn Itụ lp 77 A.1.2 Khai trin nhiu lon Wiener-Itụ 79 A.2 Tớch phõn Skorohod 79 A.2.1 Tớch phõn Skorohod 80 A.2.2 Cỏc tớnh cht c bn ca tớch phõn Skorohod 82 A.2.3 Tớch phõn Skorohod l mt m rng ca tớch phõn Itụ 83 A.3 o hm Malliavin 83 A.3.1 Tớnh toỏn o hm Malliavin 84 iv A.3.2 o hm Malliavin v tớch phõn Skorohod B B Gronwall 85 87 v Bng ký hiu h.c.c s hi hu chc chn L2 () Khụng gian cỏc bin ngu nhiờn bỡnh phng kh tớch . Chun khụng gian L2 () () Hm Gamma N (0, 1) Bin ngu nhiờn chun tiờu chun P L () s hi t theo xỏc sut s hi t L2 () ucp hi t u theo xỏc sut C [a, b] Khụng gian cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn -Hăolder liờn tc h.c.c trờn on [a, b] C [a, b] C [a, b] 0 12 V phng din ng dng m ni bt l ng dng Ti chớnh, fBm l mt cụng c rt phự hp mụ t din bin ca cỏc quỏ trỡnh giỏ phỏi sinh cú tớnh cht "nh lõu" Gia mt s lng ln cỏc bi bỏo ó xut bn, cú th k n cỏc bi bỏo ni bt ca Rogers (1997), [18] Dung N T (2008), "A class of fractional stochastic differential equations", Vietnam Journal of Mathematics, 36(3), pp 271-279 [19] Dung N T (2011), "Fractional stochastic differential equations: a semimartingale approach", Stud Univ Babeás-Bolyai Math LVI(1), pp 141-155 [20] Dung N T (2011), "Semimartingale approximation of Fractional Brownian motion and its applications", Computers and Mathematics with Applications, 61(7), pp 1844-1854 [21] Dung N T (2011), "Fractional Geometric mean reversion processes", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 380, pp 396-402 [22] Dung N T and Thao T H (2010), " An approximate approach to fractional stochastic integration and Its applications", Brazilian Journal of Probability and Statistics, 24(1), pp 57-67 [23] Dung N T and Thao T H (2010), "On a fractional stochastic Landau-Ginzburg equation", Applied Mathematical Sciences, 4(7), pp 317-325 [24] Fernique X (1997), "Fonctions alộatoires gaussiennes, vecteurs alộatoires gaussiens", Universitộ de Montrộal Centre de Recherches Mathộmatiques, Montreal, QC [25] Feyel D and de la Pradelle A (1996), "Fractional integrals and Brownian processes", Potential Analysis, 10, pp 273-288 [26] Gihman I I and Skorohod A.V (1972), Stochastic Differential Equations Springer [27] Hu, Y., ỉksendal, B., Sulem, A (2003), "Optimal portfolio in a fractional Black and Scholes market", Infin Dimens Anal Quantum Probab Relat 6, pp 519-536 73 [28] Hurst, H E (1951), "Long-term storage capacity in reservoirs", Trans Amer Soc Civil Eng., 116, pp 400-410 [29] Hurst, H E., Black, R P., Simaika, Y M (1965), Long Term Storage in Reservoirs An Experimental Study Constable, London [30] Itụ K (1951), "Multiple Wiener integral", J Math Soc Japan, 3, pp 157-169 [31] Jacques, J and Manca, R (2007), Semi-Markov Risk Models For Finance, Insurance and Reliability Springer [32] Kloeden P E and Platen E (1995), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer [33] Kolmogorov, A N (1940), "The Wiener spiral and some other interesting curves in Hilbert space", Dokl Akad Nauk SSSR, 26, pp 115-118 [34] Lộon (1993), "Fubini theorem for anticipating stochastic integrals in Hilbert space", Appl Math Optim., 27(3), pp 313-327 [35] Lim S C and Sithi V M (1995), "Asymptotic properties of the fractional Brownian motion of Riemann-Liouville type", Physics Letters A, 206, pp 311-317 [36] Liptser R S and Shiryaev A N (2001), Statistics of Random Processes, I General Theory, Vol.5 of Stochastic Modelling and Applied Probablility Springer, New York, second edition, 2001 [37] Lyons T (1994), "Differential Equations Driven by Rough Signals (I): An Extension of an Inequality of L.C Young", Mathematical Research Letters, 1, pp 451-464 [38] Mandelbrot B., van Ness J (1968), "Fractional Brownian motions, Fractional Noises and Applications", J SIAM Review, 10(4), pp 422-437 74 [39] Nualart D and Ráscanu A (2002), "Differential equations driven by fractional Brownian motion", Collectanea Mathematica, 53, pp 55-81 [40] Nunno G D., ỉksendal B., Proske F (2009), Malliavin Calculus for Lộvy Processes with Applications to Finance, Springer [41] Protter, P (1990) Stochastic Integration and Differential Equations, Berlin-Springer [42] Revuz D and Yor M (1999), Continuous martingales and Brownian motion, Springer, Berlin Heidelberg New York, third edition [43] Rogers, L C G (1997), "Arbitrage with fractional Brownian motion", Mathem Finance, 7, pp 95-105 [44] Thao T H (1991), "Optimal State Estimation of a Markov from Point Process Observations", Annales Scientifiques de lUniversitộ Blaise Pascal, Clermont-Ferrand II Fasc 9, pp 1-10 [45] Thao T H (2003), "A Note on Fractional Brownian Motion",Vietnam Journal of Mathematics, 30(3), pp 255-260 [46] Thao T H (2006), "An approximate approach to fractional analysis for finance", Nonlinear Analysis, 7, pp 124-132 [47] Thao T H and Thomas-Agnan C (2003), "Evolution des cours gouvernộe par un processus de type ARIMA Fractionnaire", Studia Univ Babes-Bolyai, Mathematica, XVIII(2), pp 125-137 [48] Thao T H., Dung N T (2010) , "A Note on Optimal State Estimation for A Fractional Linear System", Int J Contemp Math Sciences, 5(10), pp 467-474 [49] Thao, T.H and Nguyen , T.T (2003), "Fractal Langevin Equation", Vietnam Journal of Mathematics, 30(1), pp 89-96 75 [50] Tvedt J (1995), Market Structure, Freight Rates and Assets in Bulk Shipping Dr Oecon Dissertation, Norwegian School of Economics and Business Administration, Bergen, Norway [51] Zăahle M (1998), "Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus, Part I", Probab Theory Related Fields, 111, pp 333-372 [52] Zăahle M (2001), "Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus, Part I", Mathematische Nachrichten, 225(1), pp 145-183 [53] ỉksendal B (2003), Stochastic Differential Equations, Sixth edition, Springer [54] Samko, S G., Kilbas, A A and Marichev, O I (1993), Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science, Yverdon [55] Schoutens W (2000), Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials, Volume 146 of Lecture Notes in Statistics Springer-Verlag, New York [56] Shiryayev A N (2001), "On arbitrage and replication for fractal models", Preprint, MaPhySto, Aahus [57] Shiryaev, A N (1996), Probability New York-Springer, 2nd edition [58] Skorohod A V (1975), "On a generalization of the stochastic integral", Teor Verojatnost Primenen., 20(2), pp 223-238 [59] Yor, M., Jeanblanc, M., and Chesney, M (2009), Mathematical Methods for Financial Markets Springer 76 Ph lc A Tớnh toỏn Malliavin Ph lc ny gii thiu s lc v tớch phõn Skorokhod v o hm Malliavin Chng minh ca cỏc nh lý cú th c tỡm thy [40] A.1 Khai trin nhiu lon Wiener-Itụ A.1.1 Tớch phõn Itụ lp Cho W l chuyn ng Brown tiờu chun trờn khụng gian xỏc sut y (, F, P ) v F = {Ft , t T } (A.1) l lc t nhiờn sinh bi W Nhc li rng lc F l liờn tc c hai phớa: Ft = lim Fs := st { } Fs , st nh ngha A.1 Hm thc g : [0, T ]n R gi l hm i xng nu g(t1 , , tn ) = g(t1 , , tn ) vi mi song ỏnh t {1, 2, , n} vo chớnh nú 77 (A.2) Ký hiu L2 ([0, T ]n ) l khụng gian cỏc hm Borel bỡnh phng kh tớch trờn [0, T ]n g (t1 , , tn )dt1 dtn < g2L2 ([0,T ]n ) := (A.3) [0,T ]n L2 ([0, T ]n ) L2 ([0, T ]n ) l khụng gian cỏc hm Borel bỡnh phng kh tớch v i xng trờn [0, T ]n Xột hp sau Sn = {(t1 , , tn ) [0, T ]n : t1 tn } Bi vỡ Sn cú din tớch bng n!1 din tớch ca hỡnh hp [0, T ]n nờn gL2 ([0,T ]n ) = n! g (t1 , , tn )dt1 dtn = n!g2L2 (Sn ) (A.4) Sn Nu f l hm thc trờn [0, T ]n thỡ i xng húa ca nú xỏc nh bi f (t1 , , tn ) = f (t1 , , tn ), n! (A.5) ú tng c ly trờn tt c cỏc hoỏn v ca 1, , n nh ngha A.2 Cho f l mt hm tt nh trờn Sn tha f 2L2 (Sn ) := f (t1 , , tn )dt1 dtn < Sn Th thỡ ta cú th nh ngha tớch phõn Itụ lp n ln nh sau T tn Jn (f ) := t2 0 f (t1 , , tn )dWt1 dWtn1 dWtn (A.6) Chỳ ý rng vi mi i = 1, , n tớch phõn Itụ theo dWti l tn ti ti t2 vỡ hm ly tớch phõn f (t1 , , tn )dWt1 dWti1 , ti [0, ti+1 ] l mt 0 quỏ trỡnh ngu nhiờn F-tng thớch v bỡnh phng kh tớch i vi dP ì dti 78 nh ngha A.3 Cho g L2 ([0, T ]n ) nh ngha tớch phõn Itụ lp n ln trờn [0, T ]n nh sau In (g) := g(t1 , , tn )dWt1 dWtn1 dWtn := n!Jn (g) (A.7) [0,T ]n A.1.2 Khai trin nhiu lon Wiener-Itụ nh lý A.1 Cho l bin ngu nhiờn FT -o c L2 (P ) Khi ú tn ti nht mt dóy cỏc hm {fn }n0 L2 ([0, T ]n ) tha = In (fn ) , (A.8) n=0 s hi t ca chui c xột L2 (P ) Hn na, ta cú cụng thc ng c sau 2L2 (P ) = n!fn 2L2 ([0,T ]n ) (A.9) n=0 Vớ d Khai trin Wiener-Itụ ca = W (T ) Ta cú T t2 1dW (t1 )dW (t2 ) = W (T ) T, 0 ú W (T ) = T + I2 (1) A.2 Tớch phõn Skorohod Tớch phõn Skorohod c xõy dng bi A Skorohod nm 1975 [58] õy l mt m rng ca tớch phõn Itụ, ú hm ly tớch phõn khụng cn gi thit l F-tng thớch 79 A.2.1 Tớch phõn Skorohod Cho u = u(t, ), t [0, T ], l mt quỏ trỡnh ngu nhiờn o c tha món: vi mi t [0, T ], u(t) l bin ngu nhiờn FT -o c v E[u2 (t)] < Khi ú, vi mi t [0, T ], ta cú th ỏp dng nh lý khai trin Wiener-Itụ v ú tn ti cỏc hm i xng fn,t = fn,t (t1 , , tn ), (t1 , , tn ) [0, T ]n L2 ([0, T ]n ) tha u(t) = In (fn,t ) n=0 Bi vỡ hm fn,t ph thuc vo t nờn ta cú th vit nú nh mt hm (n + 1) bin fn (t1 , , tn , tn+1 ) = fn (t1 , , tn , t) = fn,t = fn,t (t1 , , tn ) Hm fn ch i xng theo n bin u tiờn, ú ta cn i xng húa nú bi [ fn (t1 , , tn+1 ) = fn (t1 , , tn+1 ) n+1 ] + fn (t2 , , tn+1 , t1 ) + + fn (t1 , , tn1 , tn+1 , tn ) (A.10) nh ngha A.4 Cho u(t), t [0, T ] l mt quỏ trỡnh ngu nhiờn o c tha vi mi t [0, T ], bin ngu nhiờn u(t) l FT -o c v E[u2 (t)] < Gi s khai trin Wiener-Itụ ca u(t) l u(t) = In (fn,t ) = n=0 In (fn (., t)) n=0 Vi fn xỏc nh nh cụng thc (A.10), ta nh ngha tớch phõn Skorohod ca u bi T (u) = u(t)W (t) := n=0 80 In+1 (fn ) (A.11) nu chui v phi hi t L2 (P ) Nu u l kh tớch Skorohod, ta vit u Dom() Chỳ ý T (A.9), quỏ trỡnh ngu nhiờn u thuc vo Dom() nu v ch nu E[(u) ] = (n + 1)!fn 2L2 ([0,T ]n+1 ) < n=0 [ Ta t u2L2 (P ì) = E T (A.12) ] u2 (t)dt < thỡ t ng thc trờn suy rng Dom() L (P ì ) T Vớ d Tớnh tớch phõn W (T )W (t) T u tiờn ta phi tỡm khai trin Wiener-Itụ ca u(t) = W (T ) = 1dW (t) Nh vy, f0 = 0, f1 = 1, fn = 0, n Do ú T T t2 1dW (t1 )dW (t2 ) = W (T ) T W (T )W (t) = I2 (f1 ) = I2 (1) = 0 T vớ d trờn ta cú th thy rng nu u Dom() v c G l bin ngu nhiờn FT -o c tha Gu Dom() thỡ tng quỏt ta cú T T Gu(t)W (t) = G Vớ d Tớnh T u(t)W (t) W (t)[W (T )W (t)]W (t) u tiờn ta cú khai trin Wiener-Itụ T W (t)[W (T ) W (t)] = W (t){t[...]... nghim trong trng hp tng quỏt vn l mt bi toỏn m Trong chng ny, 3 chỳng tụi cng nghiờn cu bi toỏn lc cho mt h ng lc ngu nhiờn phõn th tuyn tớnh Chng 3 trỡnh by v cỏc ng dng ca cỏc quỏ trỡnh phõn th trong ti chớnh v bo him: u tiờn chỳng tụi nghiờn cu bi toỏn ỏnh giỏ xỏc sut ri ro trong mụ hỡnh qun lý ti sn v n ca mt ngõn hng hoc mt cụng ty bo him Sau ú chỳng tụi nghiờn cu mụ hỡnh Black-Scholes phõn th trong. .. giỏ quyn chn mua phõn th kiu chõu u trong khi nhiu phng phỏp khỏc l cha lm c Lun ỏn gm ba chng v c cu trỳc nh sau: Trong Chng 1, sau khi gii thiu v fBm: nh ngha v cỏc tớnh cht ca nú, chỳng tụi nhc li mt cỏch ngn gn tớch phõn ngu nhiờn phõn th gii thiu bi Zăahle, kiu nh ngha tớch phõn c s dng trong Chng 3 ca Lun ỏn ny úng gúp chớnh ca Lun ỏn c trỡnh by Chng 2 v Chng 3 Trong Chng 2, u tiờn chỳng tụi nhc... H,(2) Wt = K2 (t, s)dWs , 0 10 trong ú K2 (t, s) = (t s) , = H 12 Nh vy ta thy rng fBm v LfBm cựng cú biu din Volterra vi hai dng c th khỏc nhau, v trong Lun ỏn ny, khi khụng cn phõn bit ta s s dng ký hiu WtH chung cho c fBm v LfBm Ta vit t WtH = K(t, s)dWs , 0 trong ú K(t, s) l K1 (t, s) hoc K2 (t, s) 1.4 Tớch phõn ngu nhiờn phõn th theo qu o 1.4.1 Tớch phõn phõn th tt nh Trong mc ny chỳng ta nhc li... b), x trong ú (.) l hm Gamma Cho p 1, ta ký hiu Ia+ (Lp ) v Ib (Lp ) l nh ca khụng gian Lp (R) qua cỏc toỏn t phõn th Ia+ , Ib , mt cỏch tng ng Nh ó chng minh trong [54] rng vi p > 1 thỡ hm f Ia+ (Lp ) nu v ch nu f Lp (R) v tớch phõn x a f (x) f (y) dy (x y)+1 hi t trong Lp (R) nh mt hm ca x khi 0+ Tng t, hm f Ib (Lp ) nu v ch nu f Lp (R) v tớch phõn b x+ f (x) f (y) dy (y x)+1 hi t trong. .. vi mi > 1 H v ta cú th thay vai trũ ca hm Ws g trong nh ngha 1.4 bi W H nhn c nh ngha cho tớch phõn ngu nhiờn phõn th t f (s)dWsH , 0 t T, (1.3) 0 trong ú f l quỏ trỡnh ngu nhiờn o c tha món f0+ I0+ (L1 (0, T )), tham s trong nh ngha 1.4 cn tha món iu kin > 1 H Tớch phõn ngu nhiờn phõn th (1.3) l c nh ngha vi mi c nh, nh vy vi mi t c nh trong on [0, T ] ta cn chng minh tớch phõn l mt bin... dt + Xt dWtH , t [0, T ] Trong trng hp H > 12 , nghim ca phng trỡnh cho bi H Xt = X0 eàt+Wt Tht vy, khng nh c suy ra t cụng thc i bin trong Mnh H 1.7 v bi vỡ eàt+Wt C H [0, T ] h.c.c Trong trng hp H < 12 , cng nh tt c cỏc phng phỏp khỏc, ta cha th núi gỡ v nghim ca phng trỡnh 16 Chng 2 Phng phỏp xp x semimartingale Chng 2 l úng gúp chớnh ca Lun ỏn v phng din lý thuyt Trong chng ny, u tiờn chỳng... (Wn+1 WnH )] núi H cho ta bit s tng quan gia W1H v (Wn+1 WnH ) Trong trng hp 1 2 < H < 1 thỡ (n) gim n 0 rt chm, tc l (n) vn khỏc 0 cho cỏc giỏ tr ln ca n iu ny cú ngha l cỏc tớnh cht ca W H ti thi im t = 1 vn c lu gi li trong cỏc giỏ tr ti uụi ca nú Bi tớnh cht ny, ta núi fBm l mt quỏ trỡnh cú tớnh cht nh lõu 1.3 Biu din Volterra ca fBm Trong ton b Lun ỏn ny, biu din tớch phõn Volterra ngu nhiờn ca... cỏc hm kh tớch, tc l tỡm iu kin v hm f gii hn trong v phi ca (2.6) tn ti Mc 3.3 tip theo s tr li cõu hi ny chung cho mi ch s H (0, 1) õy, ngi c cú th hỡnh dung mt cỏch rừ rng lp cỏc hm kh tớch chỳng tụi phỏt biu mt kt qu trong bi bỏo [22] vi mt vi sa i lm mn hn C th, khi H > 1 2 1 v nu hm f C 2 + [0, T ] (mn 3 hn so vi gi thit f C 4 + [0, T ] nh trong [22] ) thỡ tớch phõn ngu nhiờn phõn th s... |2 c1 |t s|2H , 20 (2.8) E|WtH, WsH, |2 c1 |t s|, (2.9) trong ú c1 l mt hng s dng no ú ch ph thuc vo H v T (b) t DtH, = WtH, WtH , ta cú vi mi p (0, 1) E|Dt Ds |2 c2 (1p)H |t s|p t, s [0, T ] , (2.10) trong ú c2 l mt hng s dng no ú ch ph thuc vo H v T (c) Vi mi 0 < < 1 2 ta cú c lng sau vi mi 2 < p < 1 EW H, W H 2,1 c3 (1p)H , trong ú c3 l mt hng s dng no ú ch ph thuc vo H, T v Chng minh... |us|2 0 ...I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NGUYN TIN DNG số trình ngẫu nhiên phân thứ ứng dụng tài Chuyờn ngnh: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc Mó s: 62 46 15 01 LUN N TIN... Xt dWtH , t [0, T ] Trong trng hp H > 12 , nghim ca phng trỡnh cho bi H Xt = X0 eàt+Wt Tht vy, khng nh c suy t cụng thc i bin Mnh H 1.7 v bi vỡ eàt+Wt C H [0, T ] h.c.c Trong trng hp H < 12... Itụ c in khụng th ỏp dng c v ta cn xõy dng hn mt lý thuyt mi cho h ng lc ngu nhiờn iu khin bi fBm Trong khong 16 nm tr li õy, tc l bt u t nhng nm 1995, tớnh toỏn ngu nhiờn i vi fBm mi t c cỏc phỏt