Một số quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong tài chính luận văn ths toán học 62 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ Hoàng Thị Phương Thảo MỘT SỐ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN CĨ BƯỚC NHẢY DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ Hoàng Thị Phương Thảo MỘT SỐ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN CĨ BƯỚC NHẢY Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội - 2015 Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tỉi C¡c sŁ li»u, k‚t qu£ n¶u lu“n ¡n l trung thüc v chữa tng ữổc cổng b bĐt ký cỉng tr…nh n o kh¡c Nghi¶n cøu sinh Ho ng Thà Ph÷ìng Th£o Líi c£m ìn Trong qu¡ tr…nh håc nghiản cứu ho n th nh ữổc lun Ăn Tin sắ n y tổi  nhn ữổc rĐt nhi•u sü gióp ï tł c¡c thƒy cỉ gi¡o, b⁄n b ỗng nghiằp v gia nh tổi Ngữới u tiản tổi mun gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh nhĐt l PGS TS Trn Hũng Thao, ngữới Th y  v ang hữợng dÔn, o to tổi nghiản cứu khoa håc r§t nhi»t t…nh Th y khỉng ch¿ gióp tỉi ng y c ng cõ thảm niãm say mả nghiản cứu khoa hồc, th y cặn cho tổi rĐt nhiãu líi khuy¶n cuºc sŁng Ti‚p theo tỉi muŁn b y tä nhœng líi c£m ìn tỵi c¡c th nh viản B mổn XĂc suĐt Thng kả , Khoa ToĂn Cỡ Tin hồc  thữớng xuyản giúp tổi, cho tổi nhng lới khuyản chƠn th nh quĂ tr nh l m b£n lu“n ¡n n y °c bi»t tổi  ữổc tham gia xả mi na ca B mổn XĂc suĐt Thng kả, qua xả mi na tổi  trau dỗi, m rng thảm kin thức v cĂc thƒy bº mỉn ¢ ln cho tỉi nhœng líi nhn xt quỵ bĂu quĂ trnh hồc v nghiản cứu ca mnh ỗng thới, tổi xin gòi lới c£m ìn s¥u s›c ‚n Ban gi¡m Łc ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc tü nhi¶n, Ban chı nhi»m Khoa To¡n-Cì-Tin håc, Phặng sau i hồc  to nhng iãu kiằn thun lỉi ” tỉi nghi¶n cøu tŁt hìn v gióp tỉi ho n th nh thı töc b£o v» lu“n ¡n CuŁi cịng, tỉi xin gßi líi c¡m ìn ‚n nhœng ngữới thƠn gia nh, hồ h ng, bn b thƠn thit, nhng ngữới  luổn cnh ng viản gióp ï tỉi, ” tỉi ho n th nh lu“n ¡n n y H nºi, 01/2015 NCS: Ho ng Thà Ph÷ìng Th£o Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ỡn BÊng kỵ hiằu M u CĂc kin thức chu'n bà 1.1 Qu¡ tr…nh i”m 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 Qu¡ tr…nh Poisson 1.3 Qu¡ tr…nh Poisson phø 1.4 T‰ch phƠn ngÔu nhiản 1.5 Cổng thức Itổ i vợi qu 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.6 QuĂ trnh ngÔu nhiản p 1.6.1 1.6.2 XĐp x L -semimarti 1.6.3 Tch phƠn ngÔu nhiả vi phƠn ngÔu nhiản p QuĂ trnh cõ bữợc nhÊy v 2.1 Mổ hnh cõ bữợc nhÊy i•u khi”n bði mºt martingale Poisson 2.1.1 2.1.2 2.2 Mæ h…nh câ bữợc nhÊy iãu khin bi mt chuyn ng Brown v mºt qu¡ tr…nh Poisson 2.2.1 2.2.2 2.3 Mổ hnh cõ bữợc nhÊy iãu khin bi mt chuy”n ºng Brown v mºt qu¡ tr…nh Poisson phøc hæp 2.3.1 2.3.2 QuĂ trnh cõ bữợc nhÊy v 3.1 CĂc quĂ trnh phƠn thứ cõ bữợc nhÊy 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 ìợc lữổng bin ng ngÔu nhiản phƠn thứ vỵi quan s¡t l 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 Danh mưc c¡c cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n P- h.c.c L ( ; F; P) k:k ) N (0; 1) L lim C(S) b C (S) [x] Mð ƒu Mt quĂ trnh cõ bữợc nhÊy l mt quĂ trnh ngÔu nhiản m cĂc qu o ca nõ b giĂn on bi cĂc bữợc nhÊy Vã mt lch sò th u tiản, ngữới ta nghiản cứu cĂc hằ ng lỹc ngÔu nhiản iãu khin bi chuyn ng Brown m lới gi£i l c¡c qu¡ tr…nh câ q ⁄o li¶n tưc Tuy nhiản cĂc ứng dửng thỹc t th nhiãu c¡c h» ºng lüc §y khỉng ph£n ¡nh óng sü thüc nhœng sü ki»n quan s¡t ÷ỉc Thay v o õ ngữới ta nhn thĐy cĂc quĂ trnh cõ bữợc nhÊy Ăp ứng ữổc tt hỡn sỹ mổ tÊ c¡c hi»n t÷ỉng â Chflng h⁄n, c¡c qu¡ tr…nh câ bữợc nhÊy õng vai trặ ht sức quan trồng tĐt cÊ cĂc lắnh vỹc i chnh õng gõp cho sỹ phĂt trin ca cĂc mổ hnh ngÔu nhiản cõ bữợc nhÊy phÊi k n nhng th nh tỹu ca lỵ thuyt Semimartingale v cÊ nông lỹc tnh toĂn hiằn i ca cổng nghằ thổng tin QuĂ trnh cõ bữợc nhÊy ỡn giÊn nhĐt l quĂ trnh cõ mt bữợc nhÊy t Gồi T l mt thới im ngÔu nhiản, thổng thữớng õ l mt thới im dng ứng vợi mºt bº låc (Ft; t 0) n o â X =1 t fT tg ; qu¡ tr…nh n y câ giĂ tr bng trữợc mt sỹ kiằn n o â x£y t⁄i thíi i”m T v b‹ng sau â Nâ cơng mỉ t£ thíi i”m ph¡ s£n cıa mºt cæng ty vi»c mæ h…nh hâa rıi ro t‰n döng Ti‚p theo l c¡c qu¡ tr…nh cõ giĂ tr nguyản v cõ cù bữợc nhÊy ch b‹ng 1, gåi l qu¡ tr…nh ‚m (Xt; t 0) â l qu¡ tr…nh mæ t£ sŁ c¡c bi‚n cŁ x£y kho£ng thíi gian tł ‚n t Qu¡ tr…nh ‚m i”n h…nh l qu¡ tr…nh Poisson (Nt; t 0), õ Nt cõ phƠn phi Poisson vợi tham sŁ t Ng÷íi ta cơng câ th” mỉ t£ qu¡ tr…nh â b‹ng c¡ch cho kho£ng thíi gian gia hai bữợc nhÊy l bin ngÔu nhiản c lp phƠn b mụ vợi tham s Sỹ m rºng ti‚p theo l c¡c qu¡ tr…nh Poisson phøc hæp (Xt; t 0), tøc l c¡c qu¡ tr…nh vỵi gia s c lp, dng v cõ cù bữợc nhÊy khổng phÊi l na m l cĂc bin ngÔu nhiản cõ phƠn b xĂc suĐt n o õ Nt Xk Xt = Yk; =1 â (Y1; Y2; :::) l dÂy cĂc bin ngÔu nhiản c lp phƠn phi Mºt øng döng i”n h…nh cıa qu¡ tr…nh Poisson phøc hỉp l mỉ t£ tŒng sŁ ti•n m cỉng ty b£o hi”m ph£i tr£ cho kh¡ch h ng t⁄i thíi i”m t, t⁄i thíi i”m §y sŁ kh¡ch h ng ặi trÊ bÊo him l bin ngÔu nhiản cõ phƠn b Poisson Bản cnh õ ngữới ta cụng þ ‚n qu¡ tr…nh Łi trång cıa Xt, tøc l qu¡ tr…nh Xt E[Xt] N‚u ph¥n phŁi câ ký vång hœu h⁄n th… v… Xt câ gia sŁ ºc l“p, dłng n¶n ta câ E[Xt] = tE[X1] v â ta câ bi”u di„n Xt = (Xt E[Xt]) + tE[X1]: (3) Qu¡ tr…nh Łi trång (Xt E[Xt]) l mºt martingale n¶n tŒng cıa (3) l tŒng cıa mºt martingale v mºt dàch chuy”n tuy‚n t‰nh tE[X1] Bi”u di„n (3) ð trản gổi ỵ n mt nh nghắa tng quĂt vã qu¡ tr…nh semimartingale Xt = X + V t + Mt ; â V = (Vt; t 0) l mºt qu¡ tr…nh th‰ch nghi, c dl g v cõ bin phƠn hu hn, cặn M = (Mt; t 0) l mºt martingale àa ph÷ìng Cơng câ nhœng qu¡ tr…nh khỉng ph£i l semimartingale, mºt v‰ dư quan trång â l qu¡ tr…nh chuy”n ºng Brown ph¥n thø H» thøc (4) nâi chung khỉng ph£i l nh§t, nâ s l nhĐt vợi K hiằu (Xt) hoc Xt l ữợc lữổng trng thĂi chữa chu'n hõa ca Xt , hay tŒng qu¡t hìn ta câ t(f) Tł c¡ch x¡c Y = EQ(Ltf(Xt)jFt ); vỵi f Cb(R): ành låc ch÷a chu'n hâa ta câ (Xt) ; (Xt) = â h m sŁ 1t l h m nhn giĂ tr bng vợi mồi t 3.2.2 ìợc lữổng Vt ;1 ;1 Y nh lỵ 3.4 (i) ìợc l÷ỉng tr⁄ng th¡i t(f) = E[f(Vt )jFt ] cho h» ºng lüc (3.2.5) vỵi qu¡ tr…nh quan s¡t i”m (3.2.2) ÷æc cho bði t t(f) = 0(f) + Z Z (ii) t ;1 Y ìợc lữổng trng thĂi chữa chu'n hâa t(f) = EQ[Ltf(Vt )jFt ] ÷ỉc cho nh÷ sau t(f) = 0(f) + Z Z t + [ s( f) â t= Yt s(f)]d s; t; f Cb (R): 70 ” chøng minh ành lỵ n y ta nhc li kt quÊ Â cõ vã lồc ca quĂ trnh Feller sau Ơy (xem [38]) Gi£ sß Xt l mºt qu¡ tr…nh Markov nh“n gi¡ tr trản khổng gian Hausdorff S v nòa nhõm (P t; t 0) tữỡng ứng vợi xĂc suĐt chuyn P t(x; E) l mºt nßa nhâm Feller, tøc l Z t Ptf(x) = Pt(x; dy)f(y) thäa m¢n lim Ptf(x) = f(x); t#0 sü hºi tö n y l hºi tử ãu S vợi mồi f thuc khổng gian c¡c h m thüc li¶n tưc tr¶n S Qu¡ tr…nh quan sĂt Y t l quĂ trnh Poisson vợi cữớng º t C(S) To¡n tß Af = lim t#0 ÷ỉc gåi l to¡n tß sinh cüc vi cıa nßa nhâm Pt: Qu¡ tr…nh tin mỵi mt = Y t Ta  cõ cĂc kt quÊ sau Ơy nh lỵ 3.5 N‚u A l to¡n tß sinh cüc vi cıa nßa nhâm P t cıa qu¡ tr… nh Feller Xt, õ lồc tiảu chu'n t(f) = (f(Xt)) vợi quĂ trnh quan sĂt l quĂ trnh im Yt vợi cữớng t, thọa mÂn cĂc phữỡng trnh sau vợi iãu ki»n s( ) 6= h.c.c a, t(f) Z t = 0(f) + Z + t s s(Af)ds+ ( )[ s (f ) s 71 (f) s( )]dms; f Cb(S) b, Z t t(f) = 0(Ptf) + s ( )[ s ( Pt sf) (Pt sf) s( )]dms; f Cb(S): s nh lỵ 3.6 Lồc chữa chu'n hõa ca quĂ trnh Feller vợi qu¡ tr…nh quan s¡t i”m, thäa m¢n c¡c i»u ki»n sau a, Zt t(f) = 0(f) + Zt s(Af)ds + [ s ( f) s (f)]d s; f Cb(S) b, Z t t(f) = 0(Ptf) + [ s ( sPt sf) s (Pt sf)]d s; f Cb(S): BƠy giớ ta chứng minh nh lỵ 3.4 ;1 Chøng minh Chóng ta bi‚t r‹ng thüc t‚ nghi»m Vt l mºt qu¡ tr…nh Ornstein-Uhlenbeck, â l mºt qu¡ trnh Markov v nòa nhõm ca nõ ữổc xĂc nh bi mt hồ cĂc toĂn tò (Pt; t 0) trản c¡c h m Borel bà ch°n f (xem [38]) l : Z â bt (Ptf)(x) = R f[e x + l º o Gauss chu'n t›c tr¶n R (dy) = p exp ( y2 )dy: Rª r ng ta th§y r‹ng lim(Ptf)(x) = f(x) â Vt ;1 l mºt qu¡ tr…nh t#0 Feller Do â cụng theo [38] toĂn tò sinh cỹc vi tữỡng ứng At ÷ỉc cho bði (Atf)(x) = lim t#0 72 Theo nh lỵ 3.5, ữợc lữổng t(f) cho quĂ trnh hằ thŁng Feller tł qu¡ tr…nh quan s¡t i”m Yt = t(f) R t sds Z t = 0(f) + Z + Mt ÷ỉc cho bði s(Af)ds t õ mt = Yt ìợc lữổng trng t(f) vợi t= Yt Zt = 0(f) + Zt s(Af)ds + [ s( f) s(f)]d s; t B‹ng c¡ch thay Af nhœng ph÷ìng tr…nh n y bði bi”u thøc (3.2.9) ta cõ ữổc iãu phÊi chứng minh Hằ quÊ 3.1 Ta câ, f l ;1 =V0 d Vt ;1 d g 3.2.3 ìợc lữổng Vt ;2 v Vt : Tł (3.2.6) ta th§y r‹ng Z t ;2 V v Z t d t ;2 g V t Chú ỵ 3.1 Thỹc t cĂc phữỡng trnh (3.2.12), (3.2.13) trản câ nghi»m hi”n nh÷ sau: Vt ;2 = V0 ;2e bt d d 73 v Vt ;2 = V0 ;2e bt g g Tł c¡c ph÷ìng tr…nh (3.2.10), (3.2.11) v (3.2.12), (3.2.13) ta câ H» qu£ 3.2 Zt ;1 = Vd Vt tt c + Z Z t g =V Vt t f + ;1 Z ;2 â ta gi£ thi‚t r‹ng Vd0 + Vd0 = V0 3.2.4 Sü hºi tư cıa Vt tỵi nghi»m Vt m»nh • sau M»nh • 3.1 Vt hºi tö •u theo t [0; T ] tỵi Vt L ( ) Chøng minh Ta câ Z t Vt Vt = b H (Vs Vs )ds + jjBt (Vs Vs )dsjj + jjBt H; Bt jj v… th‚ Z jjVt T Vt jj jjb t nh lỵ 1.2 ch÷ìng ta câ, Z t H Bt H; jj: jjVt Vt jj b jjVs Vs jjds + C( ) 74 + ; (3.2.16) â jj:jj l chu'n thỉng th÷íng L ( ; F; P ) p dưng bŒ • Gronwall cho (3.2.16) ta s‡ thu ÷ỉc k‚t qu£ sau jjVt V tł Vt jj C( ) + bt e : â ta d„ d ng th§y r‹ng t T Do vy ta cõ Vt 7! Vt 3.2.5 ìợc lữổng bin ng Vt Vợi cĂc kt quÊ Â cõ trản cõ th tm ữổc ữợc lữổng cho bin ng ngÔu nhiản tuƠn theo mổ hnh (3.2.1) nhữ nh lỵ sau Ơy nh lỵ 3.7 ìợc lữổng trng thĂi Vt hi l giợi hn L Chøng minh Theo t‰nh ch§t cıa k… vång câ i•u ki»n ta câ N‚u L2 Vt 7! Vt L 7!0 th… Y E(Vt jFt ) 7! L2 Y E(VtjFt ) 7!0: V ¡nh gi¡ nh÷ (3.2.17) ta cõ sỹ hi tử ãu nhữ nh lỵ 75 Kt lun v kin ngh Kt lun: Nh‹m nghi¶n cøu mºt sŁ d⁄ng cıa c¡c qu¡ tr…nh ngÔu nhiản cõ bữợc nhÊy, mt mt chúng tổi xt mºt sŁ qu¡ tr…nh vŁn l líi gi£i cıa c¡c phữỡng trnh vi phƠn ngÔu nhiản cõ bữợc nhÊy v øng dưng ” mð rºng mỉ h…nh Merton v• rıi ro t i ch‰nh, m°t kh¡c chóng tỉi cơng ÷a cĂch xƠy dỹng cĂc quĂ trnh cõ bữợc nhÊy gn vợi quĂ trnh phƠn thứ xt cĂc quĂ trnh vi phƠn ngÔu nhiản phƠn thứ cõ bữợc nhÊy, ỗng thới khÊo sĂt b i toĂn ữợc lữổng trng thĂi ti ữu ca bin ng ngÔu nhiản phƠn thứ vợi quan sĂt l quĂ trnh cõ bữợc nhÊy CĂc kt quÊ thu ữổc gỗm cõ: v M rng mỉ h…nh Merton cŒ i”n v• rıi ro t‰n dưng th nh mỉ h…nh i•u khi”n bði mºt martingale ríi r⁄c l martingale Poisson hay qu¡ tr…nh Poisson Łi trång Tm ữổc xĂc suĐt phĂ sÊn cho mổ hnh n y trữớng cõ mt hoc nhiãu khoÊn nổ Ti‚p tưc mð rºng Merton cho tr÷íng hỉp mỉ h…nh ữổc iãu khin bi hai nguỗn ngÔu nhiản gỗm mt chuy”n ºng Brown v mºt qu¡ tr…nh Poisson X¡c su§t phĂ sÊn ữổc ữợc lữổng cho hai trữớng hổp cõ mºt v nhi•u kho£n nỉ ph£i tr£ Mð rºng hỡn na cho mổ hnh iãu khin bi hai nguỗn ngÔu nhiản l mổ hnh ữổc iãu khin bi mt chuy”n ºng Brown v mºt qu¡ tr…nh Poisson phøc hæp v cụng xĂc nh ữổc xĂc suĐt phĂ sÊn, ngo i cặn xt cĂc trữớng hổp riảng ứng vợi cĂc trữớng hổp riảng 76 ca quĂ trnh Poisson phức hổp XƠy dỹng ữổc cĂc quĂ trnh ngÔu nhiản phƠn thứ cõ bữợc nhÊy cĂc trữớng hổp tng qu¡t v x†t c£ hai tr÷íng hỉp cư th” l qu¡ tr…nh chuy”n ºng Brown h…nh håc ph¥n thø câ bữợc nhÊy v quĂ trnh Ornstein-Ulhenbeck phƠn thứ cõ bữợc nh£y X¡c ành ÷ỉc ph÷ìng tr…nh cho tr⁄ng th¡i ti ữu ca bin ng ngÔu nhiản ca mt h» ºng lüc tr¶n cì sð quan s¡t l mºt quĂ trnh cõ bữợc nhÊy tng quĂt, õ l quĂ trnh im ngÔu nhiản Mt s kin ngh: Trong thới gian tợi chúng tổi s tip tửc nghiản cứu nhng vĐn ã sau: M rng b i toĂn Merton cho mºt sŁ mỉ h…nh tŒng qu¡t hìn T‰nh to¡n rıi ro ph¡ s£n cıa mºt tŒ chøc t i ch‰nh düa tr¶n mºt dœ li»u câ sfin: ki”m tra sü phị hỉp mỉ h…nh, l“p tr…nh c¡c cỉng thức Tm cĂc ữợc lữổng bin ng cho mt s mổ hnh cõ bữợc nhÊy 77 Danh mưc c¡c cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n Thao H T P (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jumps Processes", E ast-West J of Mathematics, 15(2),pp 101-106 Thao H T P (2014), "A Note on Jumps-Fractional Processes", E ast-West Journal of Math., 16 (1), pp 14-24 Thao H T P and Thao T H (2012), "A Note on A Model of Merton Type for Valuing Default Risk", Applied Mathematical Sci-ences, 6(89-92), pp 4457-4461 Thao H T P and Thao T H (2012), "Estimating Fractional Stochastic Volatility", T he International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 82(38), pp 1861 - 1869 Thao H T P and Hoang V Q (2015), A Merton Model of Credit Risk with Jumps", J ournal of Statistics Applications & Probability Letters, 2(2), pp 1-7 78 T i li»u tham kh£o [1] AlỈs E., Mazet O., and Nualart D (2000), "Stochastic calculus with respect to fractional Brownian motion with Hurst paramenter less than "; Stochastic Processes and Their Applications 86(1), pp 121-139 [2] Berg T (2010), "From actual to risk-neutral default probabilities: Merton and Beyond", T he Journal of Credit Risk 6(1), pp 55-86 [3] Biagini F., Hu Y., ksendal B., Sulem A (2002), "A stochastic maximum principle for processes driven by a fractional Brownian motion", Stoch Proc Appl 100, pp 233-254 [4] Bielecki T., Jeanblan M and Rutkowski M (2009), Credit Risk Modeling, Center for Study of Insurance and Finance, Osaka University [5] Bystrom H (2007), "Merton for Dummies: A Flexible Way of Modelling Default Risk", Research Paper Series, 112, Quantitative Finance Research Centre, University of Technology, Sydney [6] Carmona P., Coutin L., and Montseny G (2003), "Stochastic inte-gration with respect to fractional Brownian motion", Ann Inst H Poincar† Probab Statist 39(1), pp 27-68 79 [7] Coutin L (2007), "An Introduction to Stochastic Calculus with Re-spect to Fractional Brownian motion", S†minaire de Probabilit†s XL, Springer-Verlag Berlin Heidelberg pp 3-65 [8] Cont R., Tankov P (2003), Financial Modelling With Jump Processes, Chapman and Hall, CRC Press [9] Cyganowski S., Grume L., Kloeden P E (2012), "MAPLE for Jump-Diffusion Stochastic Differential Equations in Finance", Prepient, Feb [10] Decreusefond L and Ustunel A S (1999), "Stochastic analysis of the fractional Brownian motion", Potential Anal.,10(2), pp 177-214 [11] Duncan T E., Hu Y., Duncan P B (2000), "Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion", SIAM Control and Optimization 38(2), pp 582-612 [12] Feyel D., De la Pradelle A (1996), "Fractional integrals and Brow-nian processes", Potential Analysis, 10, pp 273-288 [13] Gihman I I., Skorohod A.V (1972), Stochastic Differential Equations, Springer [14] Giesecke K and Lisa R G (2004), "Forecasting Default in Face of Uncertainty", T he Journal of Derivatives, Fall, pp 11-25 [15] Ito K (1951), "Multiple Wiener integral", J Math Soc Japan, 3, pp 157-169 [16] Jacques J., Manca, R (2007), Semi-Markov Risk Models For Fi-nance, Insurance and Reliability, Springer [17] Kloeden P E and Platen E (1995), Numerical Solution of Stochas-tic Differential Equations, Springer 80 [18] Lamberton D., Lapeyre B (2000), Introduction to Stochastic Cal-culus Applied to Finance, Chapman & Hall/CRI [19] L†on (1993), "Fubini theorem for anticipating stochastic integrals in Hilbert space", Appl Math Optim 27(3), pp 313-327 [20] Lin S M., Ansell J., Andreeva G (2010), "Merton Models or Credit Scoring: Modelling Default of A Small Business", W orking pa-per, Credit Reseach Centre, Management School Longleftarrow & E conomics, The University of Edinburgh, U.K [21] Lo–ve M (1963), Probability Theory, D.Van Nostrand Company, third Edition [22] Lyons T (1994), "Differential Equations Driven by Rough Signals (I): An Extension of an Inequality of L.C Young", Mathematical Research Letters 1, pp 451-464 [23] Mandelbrot B., van Ness J (1968), "Fractional Brownian motions, Fractional Noises and Applications", J SIAM Review 10(4), pp 422-437 [24] Nualart D., AlỈs E., Mazet O (2000), "Stochastic Calculus with respect to Fractional Brownian Motion with Hurst Parameter less than 1/2", J Stoc Proc Appl.86, 131-139 [25] Nualart D., R«scanu A (2002), "Differential equations driven by fractional Brownian motion", Collectanea Mathematica 53, pp 55-81 [26] Privault N (2003), "Notes on Stochastic Finance", http://www.ntu.edu.sg/home/nprivault/indext.html [27] Protter P (1990), Stochastic Integration and Differential Equations, Berlin-Springer 81 [28] Revuz D and Yor M (1999), Continuous martingales and Brownian motion, Springer, Berlin Heidelberg New York, third edition [29] Roger M (2004), "Merton Robert C on putting theory into practice", CFA Magazine, July-August, pp 34-37 [30] Trƒn Hòng Thao (2003), "A note on Fractional Brownian Motion", V ietnam J Math.31(3), 255-260 [31] Trƒn Hòng Thao (1991), "Optimal State Estimation of a Markov from Point Process Observations", Annales Scientifiques de l’Universit† Blaise Pascal, Clermont-Ferrand II Fasc 9, pp 1-10 [32] Trƒn Hòng Thao (2013), "A Practical Approach to Fractional Stochastic Dynamics", J Comput., Nonlinear Dyn 8,pp 1-5 [33] Trƒn Hòng Thao (2006), "An approximate approach to fractional analysis for finance", Nonlinear Analysis 7, pp 124-132 [34] Trƒn Hòng Thao (2013), "On some Classes of Fractional Stochastic Dynamical Systems", E ast-West J of Math 15(1), 54-69 [35] Trƒn Hòng Thao, Christine T A (2003),"Evolution des cours gouvern†e par un processus de type ARIMA fractionaire", S tudia Babes-Bolyai, Mathematica 38(2), 107-115 [36] Trƒn Hịng Thao, Nguy„n Ti‚n Dơng (2010), "A Note on Optimal State Estimation for A Fractional Linear System", Int J Contemp Math Sciences 5(10), pp 467-474 [37] Trƒn Hịng Thao Trƒn Trång Nguy¶n (2003), "Fractal Langevin Equation", Vietnam Journal of Mathematics 30(1), pp 89-96 [38] Trƒn Hòng Thao, Plienpanich T (2007), "Filtering for Stochastic Volatility from Point Process Observation", VNU Journal of Science 23, pp 168-177 82 [39] Ho ng Thà Ph÷ìng Th£o (2014), "A Note on Jumps-Fractional Pro-cesses", E ast-West Journal of Math., 16 (1), pp 14-24 [40] Ho ng Thà Ph÷ìng Th£o (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jumps Processes", E ast-West J of Mathematics 15(2),pp 101-106 [41] Ho ng Thà Ph÷ìng Th£o, Trƒn Hòng Thao (2012), "A Note on A Model of Merton Type for Valuing Default Risk", Applied Mathematical Sciences 6(89-92), pp 4457-4461 [42] Ho ng Thà Ph÷ìng Th£o, Trƒn Hịng Thao (2012), "Estimating Fractional Stochastic Volatility", T he International Journal of Con-temporary Mathematical Sciences 82(38), pp 1861 - 1869 [43] Ho ng Th Phữỡng ThÊo, Vữỡng QuƠn Ho ng (2015), A Merton Model of Credit Risk with Jumps", J ournal of Statistics Applications & Probability Letters 2(2), pp 1-7 [44] kendal B (2008), Stochastic Calculus for Fractional Brownian Mo-tion and Applications, Springer [45] ksendal B (2003), Stochastic Differential Equations, Sixth edition, Springer [46] Shiryaev A N (1999), Essentials of Stochastic Finance Facts, Mod-els, Theory,World Scientific [47] Shiryaev A N (1996), Probability, New York-Springer, 2nd edition [48] Skorohod A V (1975), "On a generalization of the stochastic inte-gral", Teor Verojatnost Primenen 20(2), pp 223-238 [49] Shreve S R (2003), Stochastic Calculus for Finance II, Springer 83 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ Hoàng Thị Phương Thảo MỘT SỐ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN CĨ BƯỚC NHẢY Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 624 6010 6... ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 624 6010 6 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN HÙNG THAO Hà Nội - 2015 Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghi¶n... bn b thƠn thit, nhng ngữới  luổn cnh ng viản gióp ï tỉi, ” tỉi ho n th nh lu“n ¡n n y H nºi, 01/ 2015 NCS: Ho ng Thà Ph÷ìng Th£o Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ìn BÊng kỵ hiằu M u CĂc kin thức chu'n