Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan ( luận văn ths toán học)

N O N N - Lại hị hu MỘ SỐ UỖ N ẪU N VÀ Á VẤN Ề L N i - 2017 N N QU N U N O N N - Lại hị hu MỘ SỐ UỖ N ẪU N VÀ Á VẤN Ề L N QU N LTXS v t ố ố LU V TS T 60460106 S UYỄ T Ị N i - 2017 N k toá ọc Lời cảm ơn Luận văn hồn thành với hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Thịnh Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy đáng kính Thầy ln tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả muốn gửi tới toàn thể thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2014 - 2016, đặc biệt thầy tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2014 - 2016 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nhóm Xác suất thống kê 2014 - 2016 quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để tác giả hồn thành khóa học Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Học viên Lại Thị Thu Mục lục Lời cảm ơn Kí hiệu Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các dạng hội tụ 1.2 Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc dãy α- ổn định chuẩn tắc 10 1.3 Modun khơng gian tuyến tính 12 1.4 Lọc thời điểm dừng 14 1.5 Martingale giá trị thực 14 1.6 Các bất đẳng thức 17 1.7 Một số kết martingale thực 18 Một số bất đẳng thức cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc lập 21 2.1 Bất đẳng thức Levy - Octaviani 21 2.2 Bất đẳng thức co 25 2.3 Bất đẳng thức Moment 27 Sự hội tụ nguyên lí trội chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập 32 3.1 Định lý Ito-Nisio 33 3.2 Sự hội tụ theo trung bình cấp p 35 MỤC LỤC 3.3 Moment mũ moment khác chuỗi ngẫu nhiên 40 3.4 Phép trội yếu 45 3.5 Phép trội mạnh 50 Martingale nguyên lí trội cho Martingale 56 4.1 Các bất đẳng thức Doob 56 4.2 Sự hội tụ martingale 61 4.3 Các dãy tách rời dãy tiếp xúc 65 4.4 Phép trội yếu cho martingale 68 4.5 Phép trội mạnh cho martingale 72 Kết luận 80 Kí hiệu Những kí hiệu sử dụng lời giải kí hiệu khơng phải định nghĩa thức |A| - lực lượng (số phần tử) tập hợp A A0 - Đại số tập A- σ− đại số tập B- σ− đại số tập Borel C - số phức C-các hàm lồi liên tục không âm D(T ) - Không gian Skorohod T E (X ) - Kì vọng biến ngẫu nhiên X E , F - Không gian Banach thực khả ly khơng gian metric tuyến tính đầy đủ E , F - Không gian đối ngẫu E , F F, G- σ− đại số tập (F(t )), (Fi )-Các lọc H -Không gian Hilbert h, g -Tích khơng gian Hilbert HC- Lớp siêu co I A (.)-Hàm tiêu tập A L p -Không gian hàm p− khả tích L -Khơng gian hàm đo L ϕ -Không gian Musielak-Orlicz L(X )-Phân phối biến ngẫu nhiên X m, n -Các độ đo ngẫu nhiên Kí hiệu N -Tập số ngun khơng âm N + -Tập số nguyên dương p, p -Các lũy thừa liên hợp Holder, 1/p + 1/p = p ∗ = max{p, p/(p − 1)} P -Các trình tiên đốn dãy với giá trị tuyệt đối ≤ P Q -Tích độ đo độ đo hạt nhân (kernel) chuyển Q -Tập số hữu tỷ Q n∗∗ = max{∥ Q k,l ∥: ≤ i < j ≤ n, i ≤ k, j ≤ l } R -Tập số thực R + -Tập số thực dương R0 - Hàm f liên tục: R → R cho với r, c > 0, | f (x)| ≤ c f (x) = với |x| ≤ r Sn = X1 + · · · + Xn S n∗ = max ∥ S k ∥ 1≤k≤n S ∗ = sup ∥ S k ∥ 1≤k X c = c X /c ( Xˆ i )- Dãy tiếp xúc tách rời tới (X i ) X ∗ = sup X (t ) t ∈T Kí hiệu X n∗ = sup ∥ X k ∥ k≤n V ar X = E ∥ X − E X ∥2 - phương sai Z - Tập số nguyên α - Số nguyên bé lớn α α - Số nguyên lớn nhỏ α α ∧ β = min{α, β} α ∨ β = max{α, β} (γi )- Dãy Gauss tắc biến ngẫu nhiên có phân phối N (0, 1) đồng độc lập δx - Độ đo Dirac tập trung điểm x δnk = n = k, = n = k (εk )- Các biến ngẫu nhiên Bernoulli (Rademacher) dãy ±1 µ X = L(X )- độ đo phân phối X π, ρ - Các modun σ(A), σ(X )- σ− trường sinh A, X ∗ - max sup tổng riêng ξ, η- Các biến ngẫu nhiên thực ϕ, Φ- Hàm Musielak- Orlicz modun φε -Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên ξ (Ω, F, P )-Không gian xác suất Lời mở đầu Hiện nay, xác suất thống kê ngày đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực ngày phổ biến cách rộng rãi Cũng lẽ đó, Lý thuyết xác suất trở thành ngành nghiên cứu đặc biệt coi trọng ứng dụng tính thực tiễn việc dự báo, tính tốn tìm quy luật tự nhiên sống hàng ngày Tất nhiên, quan trọng phát triển quãng thời gian dài nhà toán học lỗi lạc giới, nên sâu vào tìm hiểu nghiên cứu ta thấy Lý thuyết xác suất chia làm nhiều mảng kiển thức để tìm hiểu phát triển Vì tác giả xin tìm hiểu nghiên cứu mảng nhỏ giới ngành toán học rộng lớn bao la Trong luận văn này, tác giả xin trình bày số chuỗi ngẫu nhiên vấn đề liên quan Luận văn tác giả chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả giới thiệu chung kiến thức sở để làm tảng giúp người đọc theo dõi thấu hiểu hoàn toàn nội dung chương sau Kiến thức chương bao gồm: Các dạng hội tụ bản, bất đẳng thức sở, định nghĩa lọc, thời điểm dừng, martingale giá trị thực Chương Một số bất đẳng thức cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc lập Trong chương này, tác giả giới thiệu bất đẳng thức cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc lập bao gồm: bất đẳng thức Levy-Octaviani, bất đẳng thức co bất đẳng thức Moment Chương Sự hội tụ nguyên lí trội chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập Trong chương này, tác giả trình bày kiến thức tính chất chuỗi ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc lập, bao gồm tính hội tụ phép làm trội chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập Chương Martingale nguyên lí trội cho Martingale Trong chương này, tác giả giới thiệu khái niệm có liên quan đến chuỗi biến ngẫu nhiên, martingale tính chất phép trội cho khái niệm Để nghiên cứu đề tài "Một số chuỗi ngẫu nhiên vấn đề liên quan", tác giả tham khảo số tài liệu nước Xác suất nâng cao, chuỗi ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên Trong ◦ Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [1] [3] [6]; ◦ Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [6]; ◦ Nội dung chương luận văn tham khảo tài liệu [6]; 4.3 CÁC DÃY TÁCH RỜI VÀ CÁC DÃY TIẾP XÚC Các dãy tiếp xúc thỏa mãn điều kiện (C I ) G- có điều kiện độc lập ý tưởng ứng dụng để xây dựng, với dãy cho trước X , X , , dãy tiếp xúc với tính chất (C I ) (hoặc tương tự cho q trình) đó, qua bất đẳng thức đưa từ đầu đến giờ, suy kết X , X , từ kết biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 4.3.5 Cho X , X , dãy (Fi ) - tương thích khơng gian xác suất có lọc (Ω, F, P ; (Fi )) Với không gian có lọc (Ω , F ; (Fi )) hàm xác suất ˆ = Ω × Ω chuyển P : Ω × F → R + , dãy Xˆ , Xˆ , biến ngẫu nhiên xác định Ω tương thích với lọc (Fˆ i ) = Fi ⊗ Fi gọi dãy tiếp xúc rời tới X , X , (a) Với ω ∈ Ω, dãy Xˆ (ω, ), Xˆ (ω, ), dãy biến ngẫu nhiên độc lập (Ω , F , P (ω, )) (b) Các dãy Xˆ , Xˆ , X , X , , X i (ω, ω ) := X i (ω), với (ω, ω ) ∈ Ω × Ω , với i = ˆ , Pˆ ; (F ˆ i )) Ở Pˆ định nghĩa ˆ F 1, 2, tiếp xúc không gian xác suất có lọc (Ω, cơng thức Pˆ (A × B ) := P ⊗ P (A × B ) = P (ω, B )P (d ω), A A ∈ F B ∈ F Khi đó, mở rộng tầm thường X i X i đơn giản đồng với X i mà không gây nên hiểu nhầm Rõ ràng, dãy tiếp xúc rời thỏa mãn điều kiện (C I ) σ- trường G = F ( xác G = F ⊗ {Ω, }) Với dãy cho trước X , X , có phương pháp tắc để xây dựng dãy tiếp xúc tách rời Cho Ω = R N , cho Fi σ- trường sinh tọa độ i R N cuối cùng, cho ∞ P (ω, B ) = L(X i |Fi −1 )(ω) (B ), i =1 Khi dãy Xˆ i (ω, (x j )) = x i , i = 1, 2, dãy tiếp xúc tách rời tới X , X , Ví dụ 4.3.6 Cho (Ω, F, P ) = ∞ i =1 (Ωi , Fi , P i ) khơng gian tích xác suất vơ hạn với ω = (ω1 , ω2 , ) cho Fi σ- trường phụ thuộc vào tọa độ i ω1 , , ωi 67 4.4 PHÉP TRỘI YẾU CHO MARTINGALE Nếu X i = X i (ω1 , , ωi ), i = 1, 2, chuỗi Xˆ i (ω, ω ) := X i (ω1 , ω2 , , ωi −1 , ωi ), i = 1, 2, xác định (Ω × Ω, F ⊗ F, P ⊗ P ; (Fi ⊗ Fi )) dãy tiếp xúc tách rời tới X , X , Chú ý rằng, trường hợp P ⊗ P độ đo tích Đặc biệt, X , X , dãy biến ngẫu nhiên độc lập v , v , dãy tiên đoán Fi = σ(X , , X i ) Yi = v i X i với i = 1, 2, Yˆi := v i X i với i = 1, 2, , X , X , độc lập X , X , dãy tiếp xúc tách rời tới Y1 , Y2 , 4.4 Phép trội yếu cho martingale Phép trội yếu nguyên lý tính siêu co làm việc tốt cho biến ngẫu nhiên độc lập sử dụng phạm vi mactingan Định nghĩa 4.4.1 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên có giá trị khơng gian Banach F , cho G σ- trường F cho U tập lớp tất hàm Borel u : F → R + Khi ta nói X làm (U, G)- trội Y (kí hiệu X ≺GU Y ) , với x ∈ F với u ∈ U E (u(x + X )|G) ≤ E (u(x + Y )|G) hầu chắn Thấy rằng, X , Y độc lập G G σ - trường tầm thường định nghĩa trùng với định nghĩa phép U- trội ≺U giới thiệu trước Bây giờ, ta phát biểu định lí sau: Định lý 4.4.2 Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất cho (X i ) (Yi ) dãy biến ngẫu nhiên có giá trị F , tương thích với lọc F0 ⊆ F1 ⊆ · · · ⊆ Fn ⊆ F, cho Yi độc lập với Fi −1 , với i = 1, 2, , n Nếu X i ≺FUi −1 Yi với i = 1, 2, , n n n Yi X i ≺U i =1 i =1 68 4.4 PHÉP TRỘI YẾU CHO MARTINGALE Chứng minh Rõ ràng, đủ để chứng minh với i = 1, 2, , n , ta có E u(x + X + · · · + X i −1 + X i + Yi +1 + · · · + Yn )|Fi −1 ≤E u(x + X + · · · + X i −1 + Yi + Yi +1 + · · · + Yn )|Fi −1 hầu chắn Bất đẳng thức hệ tức tính độc lập Yi +1 , , Yn Fi Định lý 4.4.2 áp dụng trường hợp độc lập U = C, C lớp tất hàm liên tục lồi u : F → R + , để đưa chứng minh định lý 3.4.3 Chứng minh định lý 3.4.3 Cho X , X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị F cho ε1 , , εn dãy Bernoulli độc lập (X i ) Kí hiệu F0 = { , Ω} Fi = σ(X , , X i , ε1 , , εi ) Định nghĩa, với k = 1, , n ξk := E ∥ n n X i ∥ Fk − E ∥ i =1 X i ∥ Fk−1 i =1 η k := 2εk ∥ X k ∥ Ta ξk ≺FC k−1 η k với k = 1, 2, , n Với mục đích này, ta cố định k cho X˜ k X k độc lập với dãy X , , X n Cuối cùng, cho Fk = σ(Fk , X˜ k ) Định nghĩa ξk := E ∥ n X i ∥ Fk − E ∥ i =1 n i =1,i =k X i + X˜ k ∥ Fk Vì n E ∥ X i + X˜ k ∥ Fk = E ∥ n X i ∥ Fk−1 , i =1 i =1,i =k hầu chắn Fk ⊃ Fk , theo bất đẳng thức Jensen suy ξk ≺FC k−1 ξk Vì vậy, để kết thúc chứng minh ξk ≺FC k−1 η k , đủ để chứng minh ξk ≺FC k−1 η k , có nghĩa với hàm lồi u : R → R + , E u(ξk ) Fk−1 ≤ E u(η k ) Fk−1 69 (4.2) 4.4 PHÉP TRỘI YẾU CHO MARTINGALE Từ η k ξk đối xứng Fk−1 - có điều kiện, đủ để kiểm tra ( 4.2) với hàm chẵn lồi u : R → R + Nhưng trường hợp n n u(ξk ) ≤ u E ∥ X i ∥ Fk − E ∥ X i ∥ Fk i =1 i =1,i =k n n X i + X˜ k ∥ Fk − E ∥ X i ∥ Fk + u 2E ∥ i =1,i =k i =1,i =k , 1 ≤ u ∥ X k ∥ + u ∥ X˜ k ∥ , 2 u hàm khơng giảm R + Vì E u(ξk ) Fk−1 ≤ E 1 u ∥ X k ∥ + u ∥ X˜ k ∥ Fk−1 2 = E u(η k ) Fk−1 Bây giờ, để thu định lý 3.4.3, điều kiện để áp dụng định lý 4.4.2 vào dãy ξ1 , , ξn η , , η n Định lý 4.4.3 Cho ξ1 , , ξn dãy mactigan sai phân thực cho η , η n , , η n dãy biến ngẫu nhiên thực có trung bình độc lập cho với i = 1, 2, , n ess sup |ξi | ≤ ω∈Ω Khi với hàm lồi u : R n −1 E η2i ess supω∈Ω |η i | → R + , ta có Eu(X ) ≤ Eu(Y ), X Y biến ngẫu nhiên R n −1 cho X = {ξi · ξi · · ξi k : ≤ i < i < · · · < i k ≤ n} Y = {η i · η i · · η i k : ≤ i < i < · · · < i k ≤ n} Nói cách khác X ≺C Y 70 4.4 PHÉP TRỘI YẾU CHO MARTINGALE Chứng minh Không tổng quát, ta giả sử ξ1 , , ξn biến ngẫu nhiên không gian xác suất (Ω1 , F1 , P ) η , , η n xác định không gian xác suất (Ω2 , F2 , P ) Ta định nghĩa hạt nhân (ker) K Ω1 × Ω2 cơng thức K (ω1 , ω2 ) = n + αi ξi (ω1 )η i (ω2 ) , i =1 αi = (E η2i )−1 Hạt nhân K , theo giả thiết, thỏa mãn điều kiện sau : Với ω1 , ω2 ∈ Ω1 × Ω2 , K (ω1 , ω2 ) ≥ 0; với ω2 ∈ Ω2 , K (ω1 , ω2 )P (d ω1 ) = 1; với ω1 ∈ Ω1 , K (ω1 , ω2 )P (d ω2 ) = 1; cuối với ≤ i < i < · · · < i k ≤ n ω1 ∈ Ω1 K (ω1 , ω2 )η i (ω2 ) · · η i k (ω2 )P (d ω2 ) = ξi (ω1 ) · · ξi k (ω1 ) Ω2 Do đó, theo bất đẳng thức Jensen, K (ω1 , ω2 )Y (ω2 )P (d ω2 ) E u(X ) = E u Ω2 ≤ E1 K (ω1 , ω2 )u(Y (ω2 ))P (d ω2 ) Ω2 = E u(Y ) Trường hợp η , , η n lấy αε1 , , αεn dãy Bernoulli ε1 , , εn đưa ứng dụng thú vị định lý 4.4.3 Hệ 4.4.4 Nếu ξ1 , , ξn dãy sai phân mactigan bị chặn αi = ess supω∈Ω |ξi | 71 4.5 PHÉP TRỘI MẠNH CHO MARTINGALE n ξi ≺C i =1 n αi εi i =1 Như hệ khác ta thu kết sau (được biết đến bất đẳng thức Azuma) Hệ 4.4.5 Cho M1 , , Mn mactigan có trung bình cho ess supω∈Ω |∆Mi | = αi Khi đó, với t ≥ −t P (M n∗ > t ) ≤ exp n i =1 αi Chứng minh Theo hệ 4.4.4, với λ > n E exp(λM n ) ≤ E exp(λ εi αi ) i =1 n = λαi (e + e −λαi ) i =1 n exp ≤ i =1 λ2 α2i = exp λ2 n α i =1 i Phần lại chứng minh từ bất đẳng thức Chebyshev phần 3.1 4.5 Phép trội mạnh cho martingale Định nghĩa 4.5.1 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên có giá trị khơng gian Banach F G tương ứng, đồng thời cho G σ- trường F Khi X gọi làm G- trội mạnh theo Y (kí hiệu X ≺G Y ) với t ≥ P (∥ X ∥> t |G) ≤ P (∥ Y ∥> t |G) Thấy X Y độc lập G định nghĩa trùng với định nghĩa phép trội mạnh (1,1) phần 3.5 Hai ví dụ quan trọng biến ngẫu nhiên G- trội mạnh Ví dụ 4.5.2 Nếu ∥ X ∥≤∥ Y ∥ hầu chắn X ≺G Y với G Trong trường hợp X gọi phụ thuộc vào Y 72 4.5 PHÉP TRỘI MẠNH CHO MARTINGALE Ví dụ 4.5.3 Nếu L(X |G) = L(Y |G) hầu chắn X ≺G Y Trong trường hợp X Y gọi G- tiếp xúc Rõ ràng, ta trường hợp tầm thường mà phép trội mạnh dãy sai phân mactigan kế thừa mactigan Tuy nhiên, phép trội mạnh dãy sai phân mactigan kéo theo số kêt so sánh cho mactigan Một số kết trình bày phần Ban đầu, ta xét dãy (Fi )- tương thích tổng quát (X i ) biến ngẫu nhiên có giá trị F mà với i = 1, 2, , n làm (Fi )- trội mạnh biến ngẫu nhiên không âm Yi Kí hiệu n n X i Nn = Mn = i =1 Yi i =1 Ngoài ra, để thuận tiện việc chứng minh phần này, ta chấp nhận quy ước, nhờ với i > n , biến ngẫu nhiên X i Yi Các kết biết trường hợp đến từ: Định lý 4.5.4 Cho X , , X n Y1 , , Yn hai dãy biến ngẫu nhiên (Fi )- tương thích có giá trị F R + tương ứng Giả sử rằng, với i = 1, , n , X i ≺Fi −1 Yi Khi đó: (i) Với t ≥ 0, P (X n∗ > t ) ≤ 2P (Yn∗ > t ); (ii) Với hàm lõm ϕ : R + → R + E ϕ(M n∗ ) ≤ 3E ϕ(Nn ); (iii) Với t , s > P (M n∗ > t ) ≤ s + 2P (Nn > s); t (iv) Với hàm tăng liên tục ϕ : R + → R + có tăng trưởng ơn hòa, tồn số c , phụ thuộc vào ϕ cho E ϕ(M n∗ ) ≤ cE ϕ(Nn ) Chứng minh Vì Mn∗ ≤ n i =1 ∥ X i ∥, chứng minh quy trường hợp X , , X n biến ngẫu nhiên không âm 73 4.5 PHÉP TRỘI MẠNH CHO MARTINGALE (i) Với t > cố định, định nghĩa τ = min{i : Yi > t }, Yi ≤ t với i = 1, 2, xác định τ = ∞ Theo kí hiệu này, ta có n P (X n∗ > t ) = P (τ < ∞) + E I {i ≤τ} I {X i >t } i =1 n ≤ P (τ < ∞) + E I {i ≤τ} I {Yi >t } i =1 τ ≤ P (τ < ∞) + E I {Yi >t } i =1 = 2P (Yn∗ > t ), {i ≤ τ} ∈ Fi −1 theo giả thiết X i ≺Fi −1 Yi với i = 1, 2, (ii) Với s > cố định, định nghĩa k σ = min{k : Yi > s}, i =1 trước đó, đặt σ = ∞ tập rỗng Khi đó, tương tự chứng minh (i) σ E (M n ∧ s) ≤ sP (σ < ∞) + E Xi ∧ s i =1 σ ≤ sP (σ < ∞) + E Yi ∧ s i =1 ≤ 2sP (σ < ∞) + E (Nn ∧ s) ≤ 3E (Nn ∧ s) Bất đẳng thức suy với hàm lõm ϕ : R + → R + , ta có E ϕ(Mn ) ≤ 3E ϕ(Nn ), ϕ giới hạn dãy tăng hàm mà tổ hợp tuyến tính dương hàm có dạng ϕ(x) = x ∧ s, s ∈ R + ϕ(x) ≡ 74 4.5 PHÉP TRỘI MẠNH CHO MARTINGALE (iii) Với σ trên, ta có σ P (M n > t ) ≤ E (M n ∧ t ) ≤ P (σ < ∞) + E (X i ∧ t ) t t i =1 σ ≤ P (σ < ∞) + E Yi ∧ t t i =1 s+t s ≤ P (σ < ∞) + P (σ < ∞) + P (σ = ∞) t t s = 2P (σ < ∞) + t s ≤ 2P (Nn > s) + t (iv) Chứng minh "sự tương tự" có điều kiện chứng minh bất đẳng thức phần dư từ mệnh đề 2.3.1 Với t , s, u ≥ cố định δ > kí hiệu τ = min{k : M k > t }, σ = min{k : P (Nn > δs|Fk ) > δ} Khi {M n > s + t + u} ∩ {X n∗ ≤ u} ∩ {σ = ∞} n−1 {τ = k} ∩ {σ > k} ∩ {(M n − M k ) > s}, ⊂ k=1 {τ = k}, {σ > k} ∈ Fk , ta có P (M n > s + t + u, X n∗ ≤ u, σ = ∞) n−1 ≤ E I {τ=k}∩{σ>k} P (M n − M k ) > s Fk k=1 Theo phiên có điều kiện phần (iii) định lý này, ta có P (M n − M k ) > s Fk ≤ δ + 2P (Nn − Nk ) > δs Fk ≤ δ + 2P (n n > δs Fk ) 75 4.5 PHÉP TRỘI MẠNH CHO MARTINGALE Do đó, theo định nghĩa σ, σ > k P (M n − M k ) > s Fk ≤ 3δ, cho P (M n > s + t + u, X n∗ ≤ u, σ = ∞) ≤ 3δP (M n > t ) Mặt khác, theo (i) P (X n∗ > u) ≤ 2P (Yn∗ > u) ≤ 2P (Nn > u), P (σ < ∞) = P max P (Nn > δs Fk ) > δ 1≤k δs), δ suy từ bất đẳng thức Doob cực đại (mệnh đề 4.1.1) Kết hợp bất đẳng thức với nhau, ta thu P (M n > s + t + u) ≤ 2P (Nn > u) + P (Nn > δs) + 3δP (M n > t ), δ Vì vậy, theo mệnh đề 1.6.1, thay s = u = t , Eϕ Nn Mn ≤ 2E ϕ(Nn ) + E ϕ + 3δE ϕ(M n ) δ δ Cuối cùng, từ ϕ tăng trưởng ơn hòa, 1 − 3δ E ϕ(M n ) ≤ + c E ϕ(Nn ), c(3) δ δ chứng minh (iv), δ chọn nhỏ 3c(3) Định lý 4.5.5 Cho X , , X n Y1 , , Yn hai dãy (Fi )- tương thích biến ngẫu nhiên có giá trị khơng gian Hilbert H Giả sử X i Yi đối xứng Fi −1 - có điều kiện X i ≺Fi −1 Yi với i = 1, 2, n Khi 76 4.5 PHÉP TRỘI MẠNH CHO MARTINGALE (i) Với t , s > s + P (Nn∗ > s) ; t P (M n∗ > t ) ≤ (ii) Với hàm liên tục tăng ϕ : R + → R có tăng trưởng ơn hòa, tồn số C phụ thuộc vào ϕ, cho E ϕ(M n∗ ) ≤ C E ϕ(Nn∗ ) Chứng minh (i) Với s > cố định, định nghĩa k σ = min{k :∥ Yi 2s ∥> s} i =1 Nhớ việc bỏ hết số hạng x α x := := α x/α    x    ∥ x ∥≤ x ∥x∥ khác Khi P (M n∗ > t ) ≤ P (X n∗ > 2s) + P max ∥ 1≤k≤n k Xi 2s ∥> t i =1 Theo định lý 4.5.4, P (X i∗ > 2s) ≤ 2P (Yi∗ > 2s) ≤ 2P (Nn∗ > s) Hơn k P max ∥ 1≤k≤n Xi 2s ∥> t i =1 k ≤ P (σ < ∞) + P max ∥ 1≤k≤n Mặt khác, từ k i =1 I {σ≥k} Xi 2s , k I {σ≥k} X i 2s ∥> t i =1 = 1, 2, mactigan, bất đẳng thức Doob cực đại cho 77 4.5 PHÉP TRỘI MẠNH CHO MARTINGALE ta k P (σ < ∞) + P max ∥ 1≤k≤n ≤ n I {σ≥k} X i E∥ t i =1 n E I {σ≥k} ∥ Yi t i =1 3s ≤ t ≤ I {σ≥k} X i 2s ∥> t i =1 2s ∥2 2s ∥ 2 = n I {σ≥k} ∥ X i E t i =1 = n E∥ I {σ≥k} Yi t i =1 2s ∥2 2s ∥ 2 Hơn k P (σ < ∞) = P ( max ∥ 1≤k≤n Yi 2s ∥> s) ≤ P (Nn∗ > s), i =1 (i) chứng minh (ii) Ý tưởng chứng minh gần đồng với chứng minh định lý 4.5.4 (iv) ta khác Cho τ = min{k :∥ M k ∥> t }, σ = min{k : P max ∥ Ni − Nk ∥> δs Fk > δ} k s + t + u, X n∗ ≤ u, σ = ∞) n−1 ≤ E I {τ=k}∩{σ>k} P max ∥ M i − M k ∥> s Fk , k s Fk k δs Fk , k s + t + u, X n∗ ≤ u, σ = ∞) ≤ 6δP (M n∗ > t ) Mặt khác, theo định lý 4.5.4 (i), P (X n∗ > u) ≤ 2P (Yn∗ > u) ≤ 2P (Nn∗ > u ) P (σ < ∞) = P ≤P max P max ∥ Ni − Nk ∥> δs Fk > δ 1≤k δ Điều cho ta Eϕ M n∗ ≤ 2E ϕ(2Nn∗ ) + 6δE ϕ(M n∗ ) + (ii) chứng minh 79 2Nn∗ Eϕ , δ δ Kết luận Nhìn chung, chuỗi ngẫu nhiên tính chất vấn đề liên quan phần thú vị quan trọng lý thuyết xác suất Do khả có hạn nên tác giả tìm hiểu chuỗi ngẫu nhiên, martingale vấn đề xoay quanh khái niệm Trong tương lai, có hội thời gian để nghiên cứu sâu đề tài này, tác giả dành nhiều thời gian để tìm hiểu tổ hợp đa tuyến tính ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc lập 80 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (2010), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Đào Hữu Hồ(2008), Xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến-Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo Dục [4] Buldygin V.V (1973), "On random series is Banach spaces" Theory of Probability and Its Applications,p 18,491-504 [5] Chatterji S.D (1960), Martingales of Banach valued random variables, Bull American Math.Soc p.66, 395-398 [6] Stanishaw Kwapien Wojbor A.Woyczynski (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple 81 ... khái niệm có liên quan đến chuỗi biến ngẫu nhiên, martingale tính chất phép trội cho khái niệm Để nghiên cứu đề tài "Một số chuỗi ngẫu nhiên vấn đề liên quan" , tác giả tham khảo số tài liệu nước... E Φ(x + y) ≤ C ( (x) ∨ 1 )( (y) ∨ 1) Ta cần tính chất modun [50 ] Tồn hàm liên tục [liên tục điểm (0 ; 0)] ψ : R + × R + → R + cho ψ(s, 0) = (0 , s) = s với s ∈ R + ta có Φ(x, y) ≤ ( (x), Φ(y))... xin tìm hiểu nghiên cứu mảng nhỏ giới ngành toán học rộng lớn bao la Trong luận văn này, tác giả xin trình bày số chuỗi ngẫu nhiên vấn đề liên quan Luận văn tác giả chia làm chương: Chương Kiến